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椭圆巩固练习



《椭圆》 (一)
1. 已知 a ? 6, c ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 ( A.
2 x2 ? y ? 1 36 35

) D.
2 x2 ? y ? 1 25 36

B.

2 x2 ? y ? 1 36 25

C.

2 x2 ? y ? 1 35 36

2 y2 ? 1 上一点到焦点 F1 的距离等于 6 ,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距 2. 如果椭圆 x ? 100 36

离是(

)A. 8

B. 14

C. 16

D. 20

2 y2 ? 1 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,一直线过 F1 交椭圆于 A 、 B ,则 ?ABF2 的 3. 椭圆 x ? 16 9

周长为

. .

4.两焦点为 (0, ?2) , (0, 2) , b ? 3 ,则椭圆的标准方程是 5.已知椭圆的标准方程是

x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) ,它的两焦点分别是 F1 , F2 ,且 a 2 25

F1 F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则 ?ABF2 的周长为________.
6.已知 B、C 是两个定点,∣BC∣=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程.

7.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 y 轴上,且经过两个点 (0, 2) 和 (1, 0) ; (2) 中心在原点,且经过点 P(3, 0) , a ? 3b ;

(3)方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

1

8.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为 25 9

9.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 25 169

10.已知 F1 , F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则 25 49

?ABF2 的周长为
11.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0) , ,椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10;

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)(0,2) 、 ,并且椭圆经过点 (?

3 5 , ). 2 2

12.已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且 2a=10,则椭圆的标准方程是________. 13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a ? b ? 10, c ? 2 5 ; (2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上. 14.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 求经过点 A(1,

6 ) B ( 2 3 ,1) 、 的椭圆的标准方程; 2 3

(2) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 (2, ? 2) 的椭圆方程. 13 9

2

15. (1)方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

(2)方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2 (m ? 1) 2

(3)方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,求实数 m 的取值范围. m 2m ? 6

16.已知椭圆 mx ? 3 y ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0, ?4) ,则实数 m 的值为
2 2

. .

17.椭圆 x2 ? (m ? 2) y 2 ? m 的一个焦点为 (? 2,0) ,则实数 m 的值为

18.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程 为______ __.

19.已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1+PF2=2F1F2,则 椭圆的标准方程是________. x2 y2 20.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上的一点,Q 是 PF1 的中点, 16 9 若 OQ=1,则 PF1=________. 21.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( A.(-1,0)、(1,0) C.(- 6 ,0)、( 6 ,0)
3

) B.(-6,0)、(6,0) D.(0,- 6 )、(0, 6 )

22.若椭圆上的点 P 到焦点的距离最小,则 P 点是( A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点

) C.不是椭圆的端点 D.以上都不对

23.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴上、短轴长、离心率依次是( ) A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 C.5,3,0.6 D.10,6,0.6

24.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是 25.求适合条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ?2, 6? ; ? (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6; (3)椭圆的一个顶点为 A?2,? ,其长轴长是短轴长的 2 倍; 0 (4)椭圆长轴上两端点为 A1(-3,0),A2(3,0),两焦点恰好把长轴三等分。 26.(1)求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标;

(2)设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且 此焦点与长轴上较近的端点的距离为 4( 2-1),求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、 顶点坐标;

(3)已知椭圆 x +(m+3)y =m 的离心率 e= 点坐标、顶点坐标.

2

2

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦 2

27.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭 圆的方程是 28.过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程是________. 9 4 29.椭圆

x2 y2

y2 x2 x2 y2 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为( 9 25 9?k 25 ? k
B.有相等的焦距 C.有相同的焦点



A.有相等的长、短轴

D.有相同的准线

4

《椭圆》 (二)
30.已知椭圆 圆

出题人:朱葆青

x2 y2 x2 y2 x2 y2 + 2 =1 与椭圆 + =1 有相同的长轴,椭圆 2 + 2 =1 的短轴长与椭 25 16 b a2 b a
,b ?
2

y2 x2 2 + =1 的短轴长相等,则 a ? 21 9

31.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,且 G 上一点到 G 的两个 2

焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. 32.已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)则 m 的值为 .

33.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的 标准方程是 34.椭圆长轴上两端点为 A1(-3,0),A2(3,0),两焦点恰好把长轴三等分,则该椭圆的标准方 程是 35.已知椭圆 x2+2y2=a2(a>0)的左焦点 F1 到直线 y=x-2 的距离为 2 2,则椭圆的标准方 程为 .

36.中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程 为 .

37.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON 25 9

( O 为坐标原点)的值为

38.已知 F1、F2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限内的 a 2 b2

一点,若 AF1 · F 1F 2 =0,椭圆的离心率等于 程.

2 ,△AOF2 的面积为 2 2 ,求椭圆的方 2

5

39.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 x2 y2 40.如图,A、B、C 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0) 的顶点与焦点,若∠ABC=90° ,则该椭 a b 圆的离心率为

41.椭圆 面积为

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ F1 PF2 的 49 24

42.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1 PF2 的面积为 1 时, 4

PF1 ? PF2 的值为
43. (1)已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率是

x2 y 2 (2) 过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点, 1 a b
若 ?F PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 1 7 (3) .在△ABC 中,AB=BC,cosB=- ,若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆 18 的离心率 e=________.

x2 y 2 (4)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a b
点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 44. (1)若 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 是其焦点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求△ 100 64

F1 PF2 的面积.

(2)已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 , F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 , 若 25 9

PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 |

?

1 ,求△ F1 PF2 的面积; 2

6

(3)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是 16 9

一个直角三角形的三个顶点,求点 P 到 x 轴的距离;

45.焦点为 F1 , F2 的椭圆

???? ???? ? ? x2 y 2 ? ? 1 上有一点 M,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,求 ?MF1F2 的面积. 49 24

x2 2 46.已知椭圆 2 ? y ? 1 ( a >1)的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 为椭圆上一点,且 a

?F1 PF2 ? 60? ,则 | PF1 | ? | PF2 | 的值为
47.如图把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半 25 16

部分于 P , P ,…… P 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 PF ? P F ? ...... ? P F ? _____ 1 2 7 1 2 7

48.椭圆

2 x 2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的四个顶点顺次连结构成一个菱形,该菱形的面积为 a 2 b2

2 10 ,又椭圆的离心率为

15 ,求椭圆的方程. 5

7

49.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 , F2 的距离之差为 2,试判断 ?PF1 F2 的形状. 16 12

50. 是椭圆 P

x2 y 2 O ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点,E , F 是两个焦点, 是椭圆中心, ? POF 若 a 2 b2
2

是面积为 3 的正三角形,求 b 的值;

51.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 、F 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 52.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 a 2 b2 ??? ? ??? ? BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是

x2 y 2 53.已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上的点,若 PF1 ·? PF 2 = 0, a b
1 且 tan∠PF1F2= ,则椭圆的离心率为________. 2 54.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF 1 · MF 2 离心率的取值范围是 = 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆

55. 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,当△ F1 PF2 的面积最大 4

时, PF ? PF2 的值为 1 56.P 是双曲线
2

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+ 9 16

y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 57.设 F1、F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知 P、F1、F2 是一个 9 4

直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求

| PF1 | 的值. | PF2 |

8

《椭圆》 (一)答案
1.C;2;B;3。16;4。
2 x2 ? y ? 1 9 13

5.因为 F1 F2 ? 8 ,所以 2c=8,即 c=4,所以 a =25+16=41,即 a= 41,
2

所以 ?ABF2 △的周长为 4a=4 41. 6.如右图,建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点 O 与 BC 的中点重合. 由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16,∣BC∣=6,有∣AB∣+∣AC∣=10,即点 A 的轨迹是 椭圆, 2c=6, 2a=16-6=10 且 ∴c=3, a=5, b2=52-32=16 但当点 A 在直线 BC 上, y=0 即

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 时,A、B、C 三点不能构成三角形,所以点 A 的轨迹方程是 25 16
2 x2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 ) , b2 a 2 2 2 将两个已知点坐标分别代入,得 a ? 4 , b ? 1 , y2 2 ? 1. 所以,所求的椭圆方程为 x ? 4 y2 x2 (2)若焦点在 x 轴上,根据已知,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 9b b x2 ? y 2 ? 1. 因为 P(3, 0) 在椭圆上,所以,可得 b ? 1 ,所以椭圆方程为 9 2 y2 x 若焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , b 9b 2 x2 ? y ? 1 因为 P(3, 0) 在椭圆上,所以,可得 b ? 3 ,所以椭圆方程为 . 9 81

7.解: (1)设椭圆的方程为

(3)首先 m ? 0 , m ? 1 ,根据已知, m2 ? (m ?1)2 , 即 m2 ? (m2 ? 2m ? 1) ? 0 , 解得 m ?

1 ;所以实数 m 的取值范围是 m ? 1 且 m ? 0 . 2 2

8.? PF ? PF2 ? 2a ? 10 ? 5 ? PF2 ,? PF2 ? 5 1
2 2 2 2 9.? a ? 169 b ? 25,? c ? a ? b ? 169 ? 25 ? 144 ,? c ? 12 , 2

又因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以椭圆
2 10.? a ? 49 ,? a ? 7 ,

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是(0,±12),故选 C; 25 169

又 ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? AF ? BF ? AF2 ? BF2 ? 4a ? 28 ,故选 D; 1 1

9

11.解: (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

∵2a=10, 2c=8, ∴a=5, c=4, 2=a2-c2=52-42=9, ∴b 所以所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 9

(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

由椭圆的定义知:2a= (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) ? 2 10
2 2 2 2

3 2

5 2

3 2

5 2

∴a= 10 ,又 c=2 ,∴b2=a2-c2=6,所以所求椭圆方程为
2

y2 x2 ? ?1 10 6
x2 y2

12.由椭圆定义知 c=1,∴b= 5 -1= 24.∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 24
2 2 2 13. (1) a ? b ? c ? 20 ,又 a ? b ? 10 ,所以 a ? b ? 2 ,解得 a ? 6 , b ? 4 .

所以椭圆的标准方程为

2 2 x2 ? y ? 1 x2 ? y ? 1 或 . 36 16 16 36 2

2 2 2 (2) b ? a ? c ? 1 ,所以椭圆的标准方程为 x ?

y2 ? 1. 16

14. (1)当椭圆的方程是标准形式,而焦点的位置不确定时,可设椭圆的标准方程为

mx2 ? ny2 ? 1 (m ? 0 , n ? 0 ).将 A 、 B 点坐标代入,得 ?m ? 3 n ? 1 2 ? x2 ? y ? 1 2 1 1 ,解之得 m ? , n ? .所以椭圆方程为 . ? 2 3 3 2 4 m ? n ?1 ? ?3 x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,依题意设椭圆方程为 (2)椭圆 13 9 2 x 2 ? y ? 1 ,将点 (2, ? 2) 代入,得 4 ? 2 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 2 ,或 a 2 ? 8 , a2 a2 ? 4 a2 a ? 4 2 x2 ? y ? 1 2 2 因为 a ? 4 ? 0 ,所以舍去 a ? 2 .所以椭圆的方程为 . 8 4 1 2 2 15. (1)首先 m ? 0 , m ? 1 ,根据已知, m ? (m ?1) ,解得 m ? ; 2 1 所以实数 m 的取值范围是 m ? 且 m ? 1 . 2 1 2 2 (2)首先 m ? 0 , m ? 1 ,根据已知, m ? (m ?1) ,解得 m ? ; 2 1 所以实数 m 的取值范围是 m ? 0 , m ? 且 m ? 1 . 2 2 2 x ? y ? 1 ,若表示椭圆,则 m ? 0 , 6 ? 2m ? 0 且 6 ? 2m ? m , (3)原方程化为 m 6 ? 2m
10

解得 0 ? m ? 2 或 2 ? m ? 3 .16.将原方程化为
2

2 x2 ? y ? 1 , 6 2m

因为焦点在 y 轴上,所以 a ? 2m , b ? 6 ,又 c ? 4 ,于是 2m ? 6 ? 4 ,所以 m ? 11 .
2
2

2 x 2 ? y ? 1 ,于是 a 2 ? m ? 0 , b2 ? m ? 0 , c 2 ? 2 , 17.将椭圆方程化为 m m m?2 m?2 m ? 2 ? m ,即 m2 ? 5m ? 4 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? 4 ,检验知 m ? 4 符合条件, 所以 m?2 所以实数 m ? 4 .

18.解:顶点 C 到两个定点 A,B 的距离之和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此顶 点 C 的轨迹为椭圆,并且 2a=10,所以 a=5,2c=8,所以 c=4,所以 b2=a2-c2=9,故顶 x2 y2 点 C 的轨迹方程为 + =1,又 A、B、C 三点构成三角形,所以 y≠0,所以顶点 C 的轨迹 25 9 方程为 + =1(y≠0)答案: + =1(y≠0)19.解:由 PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得 25 9 25 9 y2 x2 2 2a=4,又 c=1,所以 b =3,所以椭圆的标准方程是 + =1。 4 3 20.如图所示,连结 PF2,由于 Q 是 PF1 的中点,所以 OQ 是△PF12 的中位线,所以 PF2=2OQ =2,根据椭圆的定义知,PF1+PF2=2a=8,所以 PF1=6.

x2

y2

x2

y2

21. D;22.B;23.把椭圆的方程写成标准方程:

x2 y2 ? =1,知 a=5,b=3,c=4.∴2a=10, 9 25

2b=6,

c c 1 =0.8。24.∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,∴a=2c, = . a a 2

x2 y 2 y2 x2 25.解: (1)设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 . a b a b
由已知 a ? 2b . ①又过点 ?2, 6? ,因此有 ?
2 2 2

?? 6? ? 22 ? 1. ② 22 ?? 6? ? 2 ?1或 2 a2 b a b2
2 2
2

由①、②,得 a ? 148, b ? 37 或 a ? 52 , b ? 13.故所求的方程为

x2 y2 y2 x2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1. (2)设方程为 2 ? 2 ? 1 .由已知 c ? 3 , b ? c ? 3 ,所以 148 37 52 13 a b x2 y2 ?1. a ? 18 .故所求方程为 ? 18 9
2

11

(3)解: (1)当 A?2,? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 ,椭圆的标准方程为: 0

x2 y2 ? ?1; 4 1

(2)当 A?2,? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 ,椭圆的标准方程为: 0 (4)解析

x2 y2 ? ?1; 4 16

1 2 2 由题意知 a=3,2c= ×6=2,∴c=1,∴b= a -c = 9-1=2 2,故椭圆 3

的方程为 + =1.26.解: (1)把已知方程化成标准方程: 2 ? 2 ? 1 9 8 5 4

x2 y2

x2

y2



所以 a ? 5, b ? 4, c ? 52 ? 4 2 ? 3 ,因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为
2a ? 10,2b ? 8 ,离心率 e ?
c 3 ? ,两个焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,椭圆的四个顶点 a 5
王新敞
奎屯 新疆

是 A (?5,0), A2 (5,0) , B (0,?4), B2 (0,4)

?b=c, ? x2 y2 y2 x2 (2)解:设所求的椭圆方程为 2+ 2=1 或 2+ 2=1(a>b>0),则?a-c=4( 2-1), a b a b ?a2=b2+c2, ? ?a=4 2, ? 解得?b=4, ?c=4. ?
x2 y2 y2 x2 c 2 + =1,或 + =1,离心率 e= = , 32 16 32 16 a 2

所以所求的椭圆方程为

当焦点在 x 轴上时,焦点为(-4,0),(4,0),顶点(-4 2,0),(4 2,0),(0,-4),(0,4), 当焦点在 y 轴上时,焦点为(0,-4),(0,4),顶点(-4,0),(4,0),(0,-4 2),(0,4 2). m(m+2) x2 y2 m m (3)解 椭圆方程可化为 + =1,∴m>0.又 m- = >0,∴m> ,∴a2 m m m+3 m+3 m+3 m+3 m =m,b2= ,c= a2-b2= m+3 m(m+2) c 3 ,∵e= = ,∴ a 2 m+3 m+2 3 = m+3 2 ∴m=1

∴椭圆的长轴长为 2, 短轴长为 1, 焦点坐标为(±

1 3 , 顶点坐标为(1,0)(-1,0), 0), (0, )(0, 2 2

1 1 - ).27.∵2a=18,2c= ×2a=6,∴a=9,c=3,b2=81-9=72. 2 3

x2 y2 28. 因为 c =9-4=5, 所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 =1.由点(-3,2)在椭圆上知 a a -5 9 4 x2 y2 2 + =1,所以 a =15.所以所求椭圆的标准方程为 + =1. a2 a2-5 15 10
2

29. ∵25-k-(9-k)=16,∴焦距相等.

12

《椭圆》 (二)答案
30.∵椭圆

x2 y2 y2 x2 + =1 的长轴长为 10,焦点在 x 轴上,椭圆 + =1 的短轴长为 6,∴ 21 9 25 16

c 3 x 2 y2 a2=25,b2=9.31.由题意得 2a=12, = ,所以 a=6,c=3 3,b=3.故椭圆方程为 + a 2 36 9
=1。32.方程变形为

x2 y2 ? ? 1 .因为焦点在 y 轴上,所以 2m ? 6 ,解得 m ? 3 . 6 2m
2

又 c ? 2 ,所以 2m ? 6 ? 2 , m ? 5 适合.故 m ? 5 .33. 由题意,a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25 -9=16,∴椭圆的标准方程为

y2 y2 x2 x2 + =1 或 + =1; 16 25 25 16

1 x2 34.由题意知 a=3,2c= ×6=2,∴c=1,∴b= a2-c2= 9-1=2 2,故椭圆的方程为 3 9

x y y2 + =1; 原方程可化为 2+ 2=1(a>0), c= 35. ∴ 8 a a 2
2 ? ? ?- a-2? ? 2 ? 2
2

2

2

a2 2 2 ? ? a2- = a, 即左焦点 F1?- a,0?.
2 2

?

2

?

由已知得
2 2

=2 2,解得 a=2 2或 a=-6 2(舍去),即 a =8.

2

∴b =a -c =8-4=4.故所求椭圆的标准方程为 + =1. 8 4
2 2 36.设所求椭圆方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ).由 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点

x2 y2

?m ? ( 3 ) 2 ? n ? (?2) 2 ? 1, ?3m ? 4n ? 1, 1 1 ? 在椭圆上可得 ? 即? 所以 m ? ,n ? . 故所求的椭 2 2 15 5 ?m ? (?2 3 ) ? n ?1 ? 1, ?12m ? n ? 1, ?
圆方程为

x2 y2 ? ?1. 15 5

37.解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为 F2 ,由椭圆第一定义得 MF ? MF2 ? 2a ? 10 , 1 所 以 MF2 ? 10 ? MF ? 10 ? 2 ? 8 , 又 因 为 ON 为 ?MF F2 的 中 位 线 , 所 以 1 1

ON ?

1 MF2 ? 4 . 2

c 2 1 38.∵ AF1 · F 1F 2 =0∴AF2⊥F1F2,因为椭圆的离心率 e= = ,则 b2= a2, a 2 2 设 A(x, y)(x>0, y>0), AF2⊥F1F2 知 x=c, 由 ∴A(c, 代入椭圆方程得 y),

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 ,∴ y ? 2 a a2 b

∵△AOF2 的面积为 2 2,∴S△AOF2=

1 1 b2 x×y=2 2,即 c· = 2 2, 2 2 a
13

c x2 y 2 2 2 2 2 ? ? 1; ∵ = ,∴b =8,∴a =2b =16,故椭圆的方程为 a 16 8 2
39.

40.解析:∵∠ABC=90°,∴|BC|2+|AB|2=|AC|2,∴c2+b2+a2+b2=(a+c)2,又 b2=a2- c2,∴e +e-1=0,e=
2

5-1 。 2

2 41. ?F1 PF2 ? ? ? 90?, b 2 ? 24 ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? 24 tan 45? ? 24 .

2 42. 设 ?F1 PF2 ? ? ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? tan

?
2

? 1,

?

?
2

? 45?, ? ? 90? , PF ? PF2 ? 0 ; 1

43.解: 连接 AC,? AB ? 2c, BC ? 2c,? AC ? 2 2c , (1

c ? 2 ?1 a b2 3b 2 c 3 ? ? 2a, 从而可得 e ? ? (2)因为 P(?c, ? ) ,再由 ?F PF2 ? 60 有 ,故选 B 1 a a a 3 7 (3) 如图所示,设 AB=BC=x,由 cosB= 及余弦定理得 18
又由椭圆的定义有: AC ? BC ? 2a ,即: 2 2c ? 2c ? 2a ,? e ?

AC2=AB2+BC2 - 2AB· BCcosB= x2+x2+2x2×

7 25 5 ,∴AC2= x2,∴AC = x. 18 9 3 5 x=2a, ∴ 3

∵椭圆以 A、B 为焦点,∴焦距为 2c = AB = x.又椭圆经过点 C,∴AC+BC=x + 2a=

8 c 3 x,∴e= = .(4)由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 3 a 8

a2 b2 b2 ?c ? 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|= , |PF|∈[a-c,a+c], 于是 ∈[a c c c

?c ?1 ? ac ? c 2 ? a 2 ? c 2 ? a ? ? 2 2 2 -c,a+c],即 ac-c ≤b ≤ac+c ,∴ ? 2 ?? 2 2 ? a ? c ? ac ? c ? ? c ? ?1或 c ? 1 ?a a 2 ?
又 e∈(0,1),故 e∈ ? ,1? 。
14

?1 ? ?2 ?

44. (1)在椭圆

x2 y2 ? ? 1 中, a ? 10, b ? 8, c ? 6, 而 ? ? 60?. 记 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 . 100 64

? 点 P 在椭圆上,? 由椭圆的第一定义得: r1 ? r2 ? 2a ? 20. 在△ F1 PF2 中,由余弦定理
得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 . 配方得 (r1 ? r2 ) 2 ? 3r1r2 ? 144. ? 400 ? 3r1r2 ? 144.
2 2

从而 S ?F1PF2 ?

1 1 256 3 64 3 r1r2 sin ? ? ? ? ? . 2 2 3 2 3

(3) F1 或 F2 是直角顶点, 若 则点 P 到 x 轴的距离为半通径的长
2 设点 P 到 x 轴的距离为 h,则 S ?F1PF2 ? b tan

b2 9 ? ; P 是直角顶点, 若 a 4

?
2

? 9 tan 45? ? 9 ,

1 9 7 ? ( 2c ) ? h ? 7 h, ? 7 h ? 9 , h ? . 2 7 ???? ???? ? ? ? 90? 2 ? 24 . 45.解:∵ MF ? MF2 ? 0 ,∴ MF ? MF2 ,∴ S?MF1F2 ? b tan ? 24 tan 1 1 2 2
又 S ?F1PF2 ? 46. 解: ?F1 PF2 ? ? ? 60? , b ? 1 , S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

? tan30? ?

3 , 3

又? S ?F1PF2 ?

1 3 | PF1 | ? | PF2 | sin ? ? | PF1 | ? | PF2 | , 2 4

?

4 3 3 ,从而 | PF1 | ? | PF2 |? . | PF1 | ? | PF2 |? 3 4 3

47.解:只需取椭圆的另一焦点与 P , P ,…… P 七个点分别连接,由结论 1 和对称性可知 1 2 7

1 P F ? P2 F ? ...... ? P7 F ? ? ?14 ? 5 ? ? 35 1 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 15 ? 3 2 2 , 2a ? 5b 即 25 5 a2 a2 2 x2 ? y ? 1 2 2 ②解①②得 a ? 5 , b ? 2 ,所以所求椭圆方程为 . 5 2
48. 由题意, 2ab ? 2 10 , ab ? 10 ①又 e ? 得 即
2

| 1 49.解:由椭圆定义 | PF ? | PF2 |? 8, | PF | ? | PF2 |? 2. ? PF |? 5, | PF2 |? 3 . 1 1
又? F1 F2 |? 4 ,故满足: | PF2 | ? | F1 F2 | ?| PF | , 故 ?PF F2 为直角三角形. | 1 1
2 2 2

15

50.解? ? POF 是面积为 3 的正三角形,∴其边长为 2,即半焦距 c =2 在 ? POE 中,可得 PE = 2 3 即 a ? 3 ?1 ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? ∴ 2a ? PE ? PF ? 2 3 ? 2

?

3 ? 1 ? 22 ? 2 3 ;

?

2

51.解:已知△F1PF2 为等腰直角三角形? FF21 ? 2c, PF2 ? 2c,? PF ? 2 2c , 1 又由椭圆的定义有: PF1 ? PF2 ? 2a ,即: 2 2c ? 2c ? 2a ,? e ? 52.对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ?

??? ?

??? ?

c ? 2 ?1; a

1 ; 2

53.解析 由 PF1 ·? PF 2 = 0,知 PF1⊥PF2,△PF1F2 是 Rt△. |PF2| 1 tan∠PF1F2= = ,得|PF1|=2|PF2|,|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a,在 Rt△PF1F2 中,|PF1|2 |PF1| 2 2a c2 5 5 +|PF2|2=|F1F2|2,5|PF2|2=(2c)2,∴5· )2=4c2,∴e2= 2= ,∴e= 。答案 ( 3 a 9 3 → 54.∵ MF 1 ·MF2 = 0,∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径, 由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部,设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长,∴b>c,∴c2<b2=a2-c2,∴a2>2c2, 2 ?c?2 1 ∴ c 2 ∴? ? < , e= < .又∵0<e<1, ∴0<e< 。 55. 解: ? 2, b ? 1, c ? 3 , ?F1 PF2 ? ? , 设 a a? 2 a 2 2 ? 5 3

? S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

? tan

?
2

,? 当△ F1 PF2 的面积最大时,? 为最大,这时点 P 为椭圆

短轴的端点, ? ? 120 ? ,? PF ? PF2 ?| PF | ? | PF2 | cos? ? a 2 cos120 ? ?2 . ? 1 1 56.解:圆(x+5) +y =4 和(x-5) +y =1 的圆心 ? ?5,0? , ?5,0? 为双曲线的左右焦点,
2 2 2 2

分别设为点 F1 , F2 ,对于双曲线

x 2 y2 - =1 的右支上一点 P , M 是圆(x+5)2+y2=4 上 9 16
2 2

的动点, PM 的最大值为 PF ? 2 , N 是圆(x-5) +y =1 上的动点, PN 的最小值为 1

PF2 ?1 ? |PM|-|PN|的最大值为 PF1 ? PF2 ? 3 ? 6 ? 3 ? 9 ;
57.由题意 PF ? PF2 ? 6 , F1 F2 ? 2 5 若 ?PF2 F 为直角,则 PF1 ? PF2 ? F1 F2 , 1 1
2 2 2

即 PF1 ? 6 ? PF1
2

?

?

2

? 20 ,得 PF1 ?

PF1 7 14 4 , PF2 ? ,故 ? 若 ?F1PF2 为直角, 3 3 PF2 2
2 2

F1 F2 ? PF1 ? PF2 , 20 ? ? 6 ? PF1 ? ? PF1 , PF1 ? 4 ,PF2 ? 2 , 即 得 故
2 2 2

PF1 PF2

?2

16

17



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