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1.1.1正弦定理


1.1.1正弦定理

在数学发展史上,受到天文测量、航海测量和 地理测量等方面实践活动的推动,解三角形的理论 得到不断发展,并被用于解决许多测量问题。 在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解 决有关直角三角形的一些测量问题。在实际工作中 我们还会遇到许多其他的测量问题,这些问题仅用 锐角三角函数就不够了,如:

1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离? 2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?

3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海 拔高度 ? 4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?
这些问题的解决需要我们进一步学习三角形中 边与角关系的有关知识。 在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理,并 学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中 的一些问题。

我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小 边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边、角 关系准确量化的表示呢? 思考:在直角三角形中,“边”与“角”的关系如何

Rt

?ABC



a 2 ? b2 ? c 2

a ? c sin A, b ? c sin B a b ? sin C ? 1 sin A sin B
a b c ? ? ? sin A sin B sin C

思考:对于一般三角形,上述结论是否成立?

探 究 一

若三角形是锐角三角形, 如图1,
过点C作CD⊥AB于D,
CD a
a B
图1

C b A

此时有 sin B ?

, sin A ? CD b

D

所以CD=asinB=bsinA, 即

a b ? , sin A sin B

同理可得

b c ? , sin B sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

探 究 二

若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? 过点A作AD⊥BC, 此时也有 交BC延长线于D,
AD c

A c

sin B ?



sin (? ? C) ?

AD ? sin C b

b
B 图2 C D

仿上可得

a b c ? ? sin A sin B sin C

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.



a b c ? ? sin A sin B sin C

思考
是否可以用其他方法证明正弦定理?

法一: 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,

B
a

? ?BAC? ? 90?, ?C ? ?C
'

'

c

c ? sin C ? sin C ? A 2R c ? ? 2R sin C a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

O
b

C

C/

法二:
A ∵

S ?ABC

c
B

ha

b

1 ? aha 2

而 h ? AD ? c ? sin B ? b sin C a
C∴

Da 同理

S ?ABC

1 ∴ S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 abc a b c ? ? ? ? 2S?ABC sin A sin B sin C

1 1 S?ABC ? ac sin B ? ab sin C 2 2 1 ? bc sin A 2 1 1

剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
1,已知两边和其中一边的对角,求另一边
的对角,进而可求其他的边和角. 2,已知两角和一边,求其他角和边.

一般地,把三角形的三角A,B,C和他们 所对的边a,b,c叫做三角形的元素。已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形。

例题讲解

已知两角和任意边,求其他两边和一角
? ?

例1、在?ABC中,已知A ? 15 , B ? 45 , a ? 10cm, 解三角形
解:根据三角形内角和 定理, C ? 180 ? ( A ? B) ? 180 ? (15 ? 45 ) ? 120
? ? ? ? ?

a sin B 10sin 45? 根据正弦定理, b? ? ? 10(1 ? 3 )(cm) ? sin A sin 15
a sin C 10sin 120? 根据正弦定理, c? ? ? 5 6 (1 ? 3 )(cm) ? sin A sin 15

试一试

已知两角和任意边,求其他两边和一角
。 。

练1 在△ABC中,已知c=10cm,A=45 ,C=30 求
a , b .
a c 解: ? ∵ sin A sin C
b
A c a B C

c ? sin A 10 ? sin 45? ? 10 2 ∴a = = sin C sin 30?
b c ? ∵ sin B sin C

(cm)

且 B ? 180? ? (A ? C) ? 105?
(cm)

c ? sin B 10 ? sin 105 ? ? 5( 6 ? 2 ) ∴ b= = sin C sin 30 ?

例题讲解

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角

例2.在?ABC 中,已知 a ? 20 cm , b ? 28cm , A ? 40 ? , 解三角形。 (角度精确到 1?,边长精确到 1cm )
b sin A 28sin 40? 解:根据正弦定理, sin B ? ? ? 0.8999. a 20

因为0 ? B ? 180 , 所以B ? 64 , 或B ? 116
? ? ?
?

?

(1)当B ? 64?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64? ) ? 76? , a sin C 20 sin 76 c? ? ? 30(cm). ? sin A sin 40
(2)当B ? 116?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116? ) ? 24? , a sin C 20 sin 24 c? ? ? 13(cm). ? sin A sin 40
?

例2 已知a=16, b= 16 3, A=30° .求角B,C和 边c a b 解:由正弦定理 sin A ? sin B 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角 ? b sin A 16 3 sin 30 3 C ? ? 得 sin B ?
a 16 2

0 ? B ? 180 ,? B ? 60 , 或B ? 120
A
300

?

?

?

?

16 3

16

16

B

B

(1)当 B=60° 时,
,

C=90°,

c ? 32 .

a sin C (2)当B=120°时 C=30°, c ? sin A ? 16 .

变式1: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c(参 13 ? sin 26 ? 考值: ) 30
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 ? ? 得 sin B ? a 30 30 A
C
26
300

30

B

0? ? B ? 180? ,? B ? 26? , 或B ? 154?

b ? a,? B ? A,
故 B=26°, C=1240,
a sin C c? ? 49 sin A

变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解:由正弦定理 得
a b ? sin A sin B

b sin A 40sin 45? sin B ? ? ? 2 a 20

? 2 ? 1,?无解。

判断 ?ABC 解的个数:

?1? a ? 5, b ? 4, A ? 120 ,求B; ? 2? a ? 5, b ? 4, A ? 90 ,求B;
10 3 , A ? 90 ,求B; ? 3? a ? 5, b ? 3

一解

一解
无解 两解

? 4? a ? 20, b ? 28, A ? 30 ,求B;

课堂小结
(1)三角形常用公式: A? B ?C

??


a b c ? ? 正弦定理: sin A sin B sin C
(2)正弦定理应用范围:
① ②

2R

已知两角和任意边,求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况)

一、选择题 1 .已知△ ABC 外接圆的半径为 1 ,那么 sinA∶BC=( C ) 1 A.1 B.2 C. D.无法确定 2

2.在△ABC 中,a=bsinA,则△ABC 一定 是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

3. 在△ABC 中, A=60° , a= 4 3, b=4 2, 则( C ) A.B=45° 或 135° B.B=135° C.B=45° D.以上答案都不对

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,A∶B∶C=3∶1∶2,则 a∶b∶ c= ( D ) A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶ 3∶2 D . 2∶ 1∶ 3

二、填空题 5.在△ABC 中,b=8,A=30° ,B=120° , 8 3 则 a=__________. 3 a+ b sinA 3 6 .在△ ABC 中, = ,则 b 的值为 sinB 2 5 ______________ . 2 7.已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30° , 则∠B 等于___________ . 90

三、解答题 8.在△ABC 中,已知 A=45° ,AB= 6, BC=2,解三角形.

1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sinA∶sinB 的值是( A ) 5 3 3 5 A. B. C. D. 3 5 7 7

2.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分 5 别为 a、b、c,若 a= 2 b,A=2B,则 cosB =( B ) 5 5 5 5 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3.在△ABC 中,若 sinA>sinB,则有( C ) A.a<b B.a≥b C.a>b D.a、b 的大小关系无法确定

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,若 A=2B,则 a 等于( D ) A.2bsinA B.2BcosA C.2bsinB D.2bcosB

5.△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 c = 2, b= 6, B=120° , 则 a 等于( D ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2

6.在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b=2 2, 2 则 c=________.

7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 15 为 a、b、c,bc=30,S△ABC= 2 3,则∠A 60 °或120° =________.

8.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 30° . 2,则角 A 的大小为_________

9. 已知 a、 b、 c 分别是△ABC 的三个内角 A、 B、C 所对的边,若 a = 1 , b = 3 , A + C = 1 2B,则 sinA=________.

2

10.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a、b、c,若 A=30° ,a=8,b=8 3, 则 S△ABC 等于( C ) A.32 3 B. 16 3 C. 32 3或 16 3 D. 12 3
11.在△ABC 中,已知 a=2 3,b=6,A =30° .求角 B、C 和边 c 以及 S△ABC.


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