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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.3.1 课时作业]



§ 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【课时目标】 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.会利用柱体、 锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题.

1.旋转体的表面积 名称 圆柱

图形

公式 底面积:S 底=________ 侧面积:S

侧=________ 表面积:S=2πr(r+l) 底面积:S 底=________ 侧面积:S 侧=________ 表面积:S=________ 上底面面积: S 上底=____________ 下底面面积: S 下底=____________ 侧面积:S 侧=__________ 表面积: S=________________

圆锥

圆台

2.体积公式 (1)柱体:柱体的底面面积为 S,高为 h,则 V=______. (2)锥体:锥体的底面面积为 S,高为 h,则 V=______. 1 (3)台体:台体的上、下底面面积分别为 S′、S,高为 h,则 V= (S′+ S′S+S)h. 3

一、选择题 1.用长为 4、宽为 2 的矩形做侧面围成一个高为 2 的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( ) 8 4 2 A.8 B. C. D. π π π 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) 1+2π 1+4π 1+2π 1+4π A. B. C. D. 2π 4π π 2π 3. 中心角为 135° , 面积为 B 的扇形围成一个圆锥, 若圆锥的全面积为 A, 则 A∶B 等于( ) A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 D.13∶8 4.已知直角三角形的两直角边长为 a、b,分别以这两条直角边所在直线为轴,旋转所形 成的几何体的体积之比为( ) A.a∶b B.b∶a C.a2∶b2 D.b2∶a2 5.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积和体积分别为 ( )

A.24π cm2,12π cm3 B.15π cm2,12π cm3 2, 3 C.24π cm 36π cm D.以上都不正确 6.三视图如图所示的几何体的全面积是( )

A.7+ 2

11 B. + 2 2

C.7+ 3

3 D. 2

二、填空题 7.一个长方体的长、宽、 高分别为 9,8,3, 若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化, 则孔的半径为________. 8. 圆柱的侧面展开图是长 12 cm, 宽 8 cm 的矩形, 则这个圆柱的体积为________________ cm3. 9.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体 的体积是________.

三、解答题 10. 圆台的上、 下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm. 它的侧面展开图扇环的圆心角为 180° , 那么圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留 π)

11.已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底 面边长为 6,高和下底面边长都是 12,求它的侧面积.

能力提升 12.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.2π+2 3 B.4π+2 3 2 3 2 3 C.2π+ D.4π+ 3 3 13.有一塔形几何体由 3 个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2,求该塔形的表面积(含 最底层正方体的底面面积).

1.在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三 角形中求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 2.有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归结 到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解. 3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 1 S′=S S′=0 V 柱体=Sh― ― →V 台体= h(S+ SS′+S′)― ― →V 锥体= Sh. 3 3 4.“补形”是求体积的一种常用策略,运用时,要注意弄清补形前后几何体体积之间的 数量关系.

§ 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 答案
知识梳理 1.πr2 2πrl πr2 πrl πr(r+l) πr′2 πr2 π(r′+r)l π(r′2+r2+r′l+rl) 1 2.(1)Sh (2) Sh 3 作业设计 4 1.B [易知 2πr=4,则 2r= , π 4 8 所以轴截面面积= ×2= .] π π 1+2π [设底面半径为 r,侧面积=4π2r2,全面积为=2πr2+4π2r2,其比为: .] 2π 3.A [设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 3 8 则 2πr= πl,则 l= r,所以 4 3 8 2 11 8 A= πr +πr2= πr2,B= πr2,得 A∶B=11∶8.] 3 3 3 1 4.B [以长为 a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积 V= πb2a,以长为 b 的直角边所在 3 1 2 直线旋转得到圆锥体积 V= πa b.] 3 5.A [该几何体是底面半径为 3,母线长为 5 的圆锥,易得高为 4,表面积和体积分别 为 24π cm2,12π cm3.] 6.A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱.直角梯形的上底为 1,下 底为 2,高为 1,棱柱的高为 1.可求得直角梯形的四条边的长度为 1,1,2, 2,表面积 S 表面 1 =2S 底+S 侧面= (1+2)×1×2+(1+1+2+ 2)×1=7+ 2.] 2 7.3 解析 由题意知, 圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和, 即 2πr×3=2πr2,所以 r=3. 288 192 8. 或 π π 6 解析 (1)12 为底面圆周长,则 2πr=12,所以 r= , π 6 288 3 ? ? 2· 所以 V=π· ?π? 8= π (cm ). 4 (2)8 为底面圆周长,则 2πr=8,所以 r= , π 192 3 ?4?2· 所以 V=π· ?π? 12= π (cm ). 8 000 9. cm3 3 解析 由三视图知该几何体为四棱锥.由俯视图知,底面积 S=400,高 h=20, 1 8 000 V= Sh= cm3. 3 3 10.解 2.A

如图所示,设圆台的上底面周长为 c,因为扇环的圆心角是 180° , 故 c=π· SA=2π×10, 所以 SA=20,同理可得 SB=40, 所以 AB=SB-SA=20, ∴S 表面积=S 侧+S 上+S 下 2 =π(r1+r2)· AB+πr2 1+πr2 =π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 故圆台的表面积为 1 100π cm2. h= AB2-?OB-O1A?2= 202-102=10 3, 1 2 V= πh(r2 1+r1r2+r2) 3 1 7 000 3 = π×10 3×(102+10×20+202)= π (cm3). 3 3 7 000 3 即圆台的表面积为 1 100π cm2,体积为 π cm3. 3 11.

解 如图,E、E1 分别是 BC、B1C1 的中点,O、O1 分别是下、上底面正方形的中心,则 O1O 为正四棱台的高,则 O1O=12. 1 连接 OE、O1E1,则 OE= AB 2 1 1 = ×12=6,O1E1= A1B1=3. 2 2 过 E1 作 E1H⊥OE,垂足为 H, 则 E1H=O1O=12,OH=O1E1=3, HE=OE-O1E1=6-3=3. 在 Rt△E1HE 中,E1E2=E1H2+HE2=122+32 =32×42+32=32×17, 所以 E1E=3 17. 1 所以 S 侧=4× ×(B1C1+BC)×E1E 2 =2×(12+6)×3 17=108 17. 12.C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 1 2 3 2π,四棱锥的底面边长为 2,高为 3,所以体积为 ×( 2)2× 3= ,所以该几何体的体 3 3 2 3 积为 2π+ .] 3 13.解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2, 2,1. 考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面 面积的二倍.

∴S 表=2S 下+S 侧 =2×22+4×[22+( 2)2+12]=36. ∴该几何体的表面积为 36.



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