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高中数列求和公式



数列求和的基本方法和技巧
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ?

1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1) 自然数列
k ?1 n

n

1

4、 S n ?

?k
k ?1

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

自然数平方组成的数列

[例 1] 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

解:由 log3 x ?

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2
n

(利用常用公式)

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ? 解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1
1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2
(利用常用公式)

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、 { bn } 分别是等差数列和等比数列.错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘

构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法).
1

[例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
n ?1

}的通项之积

(设制错位) (错位相减)

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) Sn ? (1 ? x) 2

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2

练习:*提示:不要觉得重复和无聊,乘公比错位相减的关键就是熟练! 通项为{an· bn}, 1、an 是自然数列,bn 是首项为 1,q 为 2 的等比数列 2、an 是正偶数数列,bn 是首项为 1,q 为 2 的等比数列 3、an 是正奇数数列,bn 是首项为 1,q 为 2 的等比数列 4、an 是正偶数数列,bn 是首项为 3,q 为 3 的等比数列 5、an 是正奇数数列,bn 是首项为 3,q 为 3 的等比数列 6、an 是自然数列,bn 是首项为 3,q 为 3 的等比数列 三、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分 别求和,再将其合并即可. [例 5] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a
2

(分组)

(3n ? 1)n (3n ? 1)n = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a
当 a=1 时, S n ? n ? [例 6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

(分组求和)

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)
2 2

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
3 3 3 2



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2 n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2

(分组求和)



四、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消 去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2) a n ?

1 1 1 ? ? ====》升级分母是 n(n+2)呢?---重点掌握这个型 n(n ? 1) n n ? 1

裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法 求和.常用裂项形式有: 1 ① 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ? ? ④ ; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1
[例 7] 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

3

解:设 a n ?

1 n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 [例 8] 在数列{an}中, an ? ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2
数列{bn}的前 n 项和

(裂项)



1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1

(裂项求和)

4



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