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安庆一中学霸整理极值点偏移整理笔记



19、 (本题满分 13 分) 设 f ( x) 为定义在 R 上的增函数,令 g ( x) ? f ( x) ? f (2014 ? x) (1)求证: g ( x) ? g (2014 ? x) 是定值. (2)判断 g ( x) 在 R 上的单调性;并证明. (3)若 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0, 求证: x1 ? x2 ? 2014 19、解: (1)

g (2014 ? x) ? f (2014 ? x) ? f ( x) ,故 g ( x) ? g (2014 ? x) ? 0 ……2 分 (2)任取实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (2014 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (2014 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f (2014 ? x2 ) ? f (2014 ? x1 )]

? x1 ? x2 ?2014 ? x2 ? 2014 ? x1
又? f ( x) 是 R 上的增函数,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f (2014 ? x2 ) ? f (2014 ? x1 ) ? 0 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,故 g ( x) 在 R 上是单调递增函数 …………6 分

( 3 ) 由 ( 1 ) 得 g ( x2 ) ? ? g (2014 ? x2 ) ? g ( x x )? g (1 x ? ) 1 ) ? g( 2

g( 2 0? 12 4x ? )

0

? g ( x1 ) ? g (2014 ? x2 )

又 g ( x) 在 R 上是单调递增函数

? x1 ? 2014 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2014
(2016 全国卷) (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (x ? 2)e ? a( x ? 1) 有两个零点.
x 2

(I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 (21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? ( x ?1)e ? 2a( x ?1) ? ( x ?1)(e ? 2a) .
x x x (i)设 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ? 2)e , f ( x ) 只有一个零点.

(ii)设 a ? 0 ,则当 x ? (??,1) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 .所以 f ( x ) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增.

又 f (1) ? ?e , f (2) ? a ,取 b 满足 b ? 0 且 b ? ln

a ,则 2

f (b) ?

a 3 (b ? 2) ? a(b ? 1) 2 ? a(b 2 ? b) ? 0 , 2 2

故 f ( x ) 存在两个零点. (iii)设 a ? 0 ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ln(?2a) . 若a??

e ,则 ln(?2a) ? 1 ,故当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,因此 f ( x ) 在 (1, ??) 上单 2

调递增.又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 不存在两个零点. 若a??

e , 则 ln(?2a) ? 1 , 故当 x ? (1,ln(?2a)) 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? (ln(?2a), ??) 时, 2

f '( x) ? 0 . 因此 f ( x ) 在 (1,ln(?2a)) 单调递减, 在 (ln(?2a), ??) 单调递增. 又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 不存在两个零点.
综上, a 的取值范围为 (0, ??) . (Ⅱ) 不妨设 x1 ? x2 , 由 (Ⅰ) 知 x1 ? (??,1), x2 ? (1, ??) ,2 ? x2 ? (??,1) , f ( x ) 在 (??,1) 上单调递减,所以 x1 ? x2 ? 2 等价于 f ( x 1) ? f (2 ? x2 ) ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 . 由于 f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? a( x2 ?1)2 ,而 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)ex2 ? a( x2 ?1)2 ? 0 ,所以

f (2 ? x2 ) ? ? x2e2? x2 ? ( x2 ? 2)ex2 .
设 g ( x) ? ? xe
2? x

? ( x ? 2)ex ,则 g '( x) ? ( x ?1)(e2? x ? ex ) .

所以当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ,而 g (1) ? 0 ,故当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 从而 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 . (2017 综合模拟 1)21.已知函数 f ( x) ? x ln x ?

k (k ? R) ,其图像与 x 轴交于不同两点 x

A( x1,0), B( x2 ,0) ,且 x1 ? x2 .
(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 证明: x1 ? x2 ?

2 。 e

(3)



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