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1-3 古典、几何概率



1.3 古典概型和几何概型
一、古典概型 二、几何概型

三、小结

一、古典概型(等可能概型)
1.古典概型定 义
如果一个随机试验E具有以下特征

1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点;
2、每个样本点出现的可能性相同。

则称该随机试验为古典概型(等可

能概型)。

2. 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事 件 A 出现的概率记为:

m A中样本点的个数 P(A)? ? . n ?中样本点总数
称此为概率的古典定义.

3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白 球,n个黑球的概率? 解

设A=“所取球恰好含m个白球,n个黑球”
样本点总数为
?M ? N? ? ?, ? m?n ?

A 所包含的样本点个数为
? M ?? N ? ? M ? N ? 故 P ( A) ? ? ?? ? ? ? m ?? n ? ? m ? n ? ?

? M ?? N ? ? ?? ?, ? m ?? n ? ? ?? ?

(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A ? {前2次摸到黑球, 第三次摸到红球 }

第3次摸到红球 4种

第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球

第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球

10种

样本点总数为

10 ? 10 ? 10 ? 103 ,

A 所包含样本点的个数为 6 ? 6 ? 4, 6? 6? 4 ? 0.144 . 故 P ( A) ? 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位 数字互不相同的概率. 7 7

(答案: p ? P10 10 )

2o 骰子问题 概率.

掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p ? 3 63 )

4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.

3

3

3

3

4个球放到3个杯子的所有放法 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 34 种,

????? ???? ? ?

? 4? ? ?种 ? 2?

? 2? ? ?种 ? 2?

2个

2个

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

? 4 ?? 2 ? 4 2 p ? ? ?? ? 3 ? . 27 ? 2 ?? 2 ?

(2) 每个杯子只能放一个球

问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 p4 4 ? 3 ? 2 ?1 p? 4 ? p10 10 ? 9 ? 8 ? 7

1 ? . 210

四、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 (1) 设事件 A1 为" 恰有一 .
次出现正面" , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 "至少有一 次出现正面" , 求 P ( A2 ).

解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 ? ? { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 ? { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) ? 3 8 ,

( 2) A 2 ? { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.

因此 P ( A 2 ) ? 7 8 .

例 2 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品的概率是多少 ?

解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
?N? ? ?种, ?n ? ? ? 在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法

共有

? D ?? N ? D ? ? ?? ?种, ? k ?? n ? k ?

? D ?? N ? D ? ? N ? ? ? ?. 于是所求的概率为 p ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? n ?

例 3(分房问题) 有 n 个人,每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在 N (n ? N ) 间房中的每一间中,试求 下列各事件的概率: (1)某指定 n 间房中各有一人 ; (2)恰有

n 间房,其中各有一人;
m(m ? n) 人。

(3) 某指定一间房中恰有

解 先求样本空间中所含样本点的个数。

首先,把 n 个人分到N间房中去共有 N n种分法,其 次,求每种情形下事件所含的样本点个数。

(a)某指定n间房中各有一人,所含样本点的个数, 即可能的的分法为

n!;
(b)恰有n间房中各有一人,所有可能的分法为
n C N n!;

(c)某指定一间房中恰有m人,可能的分法为
m Cn ( N ? 1) n?m .

进而我们可以得到三种情形下事件的概率,其分别为 :
n m (2) N ? n! N (3) Cn ( N ? 1) n?m N n . Cn (1)n! N
n

上述分房问题中,若令 N ? 365, n ? 30, m ? 2 则可演 化为生日问题.全班学生30人,
(1) (2) (3) 某指定30天,每位学生生日各占一天的概率; 全班学生生日各不相同的概率; 全年某天,恰有二人在这一天同生日的概率。

利用上述结论可得到概率分别为 :
30 ; (1) 30! 36530 ; (2) C365 ? 30!/ 36530 ? 0.294

2 ) (3)C 30 ( 3 6 4

(365)30

由(2)立刻得出,全班30人至少有2人生日相同 的概率等于1-0.294=0.706, 这个值大于70%。

例4 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? 64 ? 1) p1 ? 36564

故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? 64 ? 1) ? 0.997. p ? 1? 64 365

说明

随机选取n(? 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为

365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? n ? 1) p? 365n

而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? n ? 1) p ? 1? 365n

备份题
例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. ? 10 ? 解 (1)总的选法种数为 n ? ? ?, ?3 ?

? 5? 最小号码为5的选法种数为 m ? ? ?, ? 2?

故最小号码为5的概率为

? 5 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 12 ? 4? (2)最大号码为5的选法种数为 ? ?, ? 2? 故最大号码为5的概率为 ? 4 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 20

例2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.
将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有64 种 解 放法. 每个盒子中至多放一只球共有6 ? 5 ? 4 ? 3 种不同放

法. 因而所求的概率为
6? 5? 4? 3 p? 64 ? 0.2778.

例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:

? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 15! . ? ?? ?? ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? 5! 5! 5!
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有

? 3 ? ? 2 ? ? 1 ?? 12? ? 8 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (3!?12! ) (4! 4! 4! ) 种. ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

因此所求概率为
25 3!?12! 15! ? . p1 ? 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91

(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有

(3?12! ) (2! 5! 5! ) 种, 因此所求概率为
6 3 ? 12! 15! ? . p2 ? 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91

例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四

?
周五

7 12 周六 周日

故一周内接待 12 次来访共有 712 种.

2 1

2

2 3

2 4

?

2 12

周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为

212 p ? 12 ? 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.

例5 从5双不同的鞋子中任取4只, 求4只鞋子中至 少有2只鞋子配成一双的概率是多少?
解 设A ? 4只鞋子中至少有两只配 成一双

A1 ? 4只鞋子中恰有两只配成 一双

A2 ? 4只鞋子恰好配成 2双
于是 A1A2 ? ?, 且 A ? A1 ? A2 则 P( A) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 )
1 2 2 C5 [C4 22 ] C5 13 ? ? 4 ? 4 21 C10 C10

另解 设A ? 4只鞋子都不能配成双
C 2 8 P( A) ? 4 ? 21 C10
则 P( A) ? 1 ? P( A )
8 13 ? 1? ? 21 21
4 5 4

例6 在1~100的整数中随机地取一个数,问取到的 整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多 少? 解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件

P “取到的数能被8整除”则所求概率为 ( A B ). P ( AB ) ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B )
? 1 ? { P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )}.

16 100 , 因为 16 ? ? 17, 所以 P( A) ? 100 6

100 12 由于 12 ? ? 13, 故得 P ( B ) ? . 8 100 4 100 . 由于 4 ? ? 5, 则 P( AB) ? 100 24
于是所求概率为

P ( AB ) ? 1 ? { P ( A) ? P ( B ) ? P ( AB )}

4 ? 19 ? 16 12 ? 1? ? ? ? ? ? . ? 100 100 100 ? 25

概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样 本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义 就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.

二、几何概率
定义1
若 对 于 一 随 机 试 验 个 样 本 点 出 现 是 等 能 的, 样 ,每 可 本 空 间 所 含 的 样 本 点 个 数 为穷 多 个且 具 有 非 零 ? 无 , 的, 有 限 的 几 何 度 量 0 ? m(?) ? ?, 则 称 这 一 随 机 试 ,即 验是一几何概型的 .

定义2 当随机试验的样本空间是某个区域,并且 任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区 域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为

m( A) P ( A) ? m(? )
(其 中m( ?) 是 样 本 空 间 的 度 量 ( A) 是 构 成 事 件 ,m A 的 子 区 域 的 度 量这 样 借 助 于 几 何 上 的 量 来 合 理 ) 度 规定的概率称为 何概率 几 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.

几何概型的概率的性质
(1) 对任一事件A ,有 0 ? p( A) ? 1;

( 2) P (?) ? 1, P (?) ? 0;
(3) 对于两两互斥的可列多 个事件 1 , A2 ,?, A P ( A1 ? A2 ? ?) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ?

会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预

定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 ? x ? T , 0 ? y ? T .

两人会面的充要条件为 x ? y ? t ,

若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为

T?

y

y? x?t

x? y?t

阴影部分面积 p? 正方形面积

o

?

?

t

T

x

T 2 ? (T ? t )2 ? T2 t 2 ? 1 ? (1 ? ) . T

蒲丰投针试验

蒲丰资料

例2 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解   以x表示针投到平面上时 ,

a

针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, ?表示针与该平行直线的 夹角.

M ? x

那么针落在平面上的位 置可由( x ,? )完全确定.

投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a ? ? {( x , ? ) | 0 ? x ? ,0 ? ? ? ? } 2 中的所有点一一对应 .

a

M ? x

由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件 A ? {针与任一平行直线相交 } 发生的充分必要条件为 ?中的点满足 b 0 ? x ? sin ? ,0 ? ? ? π 2

m(G ) G的面积 P ( A) ? ? m(? ) ?的面积

?

?0

π

b sin?d? 2 a ?π 2
2b ? . aπ

?

b a ?π 2

蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) ? aπ   根据频率的稳定性当投针试验次数 很大时, , n m 算出针与平行直线相交 的次数m , 则频率值 即可 n 作为P ( A)的近似值代入上式 那么 , m 2b 2bn ? , ?π? . n aπ am
利用上式可计算圆周率π 的近似值.

历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554

De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925

1.0
0.75 0.83 0.5419

600
1030 3408 2520

382
489 1808 859

3.137
3.1595 3.1415929 3.1795

利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟 取a ? 1, b ? 0.85. 单击图形播放/暂停 ESC键退出

备用题 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到 某站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车 它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00. 如果它们约定 见车就乘; 求甲、乙同乘一车 的概率.假定甲、乙两人到达 车站的时刻是互相不牵连的, 且每人在1时到2 时的任何时 刻到达车站是等可能的.


设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有

y 2?
1 : 45 ?

? ? ?
?

1 : 30 ?
1 : 15 ?

1 ? x ? 2,
1 ? y ? 2.

1?

o

?

?

?

1 1 : 15 1 : 30 1 : 45 2

?

x

见车就乘 4 ? (1 4)2 1 阴影部分面积 ? p? 2 ? . 的概率为 ( 2 ? 1) 4 正方形面积

柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 April 1903 in Tambov,Tambov province,Russia Died: 20 Oct 1987 in Moscow,Russia



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