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数学竞赛辅导─不等式(二)


竞赛辅导─不等式( 竞赛辅导─不等式(二)
引入

思考1 思考1

思考2 思考

思考3 思考

课外思考 P

1

竞赛辅导─不等式( 竞赛辅导─不等式(二) 不等式的证明 不等式的证明
不等式的证明难度大,灵活性强, 证法因题而异. 不等式的证明难度大,灵活性强, 证法因题而异. 当然也有一些基本 的常用方法 , 要熟练掌握不等式的
证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始 。 证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。

证明不等式的常用方法有:比较法、综合法、分 证明不等式的常用方法有:比较法 、综合法、 析法、放缩法、 变量代换法、反证法、数学归纳法、 析法、放缩法、 变量代换法、反证法、数学归纳法、 构造函数方法等等. 构造函数方法等等.

下面通过典型例题来熟悉这些方法, 下面通过典型例题来熟悉这些方法,重在思维 练习. 练习.
2

思考 1 设 a , b, c ∈ R + , 5 5 5 3 3 3 求证: 求证: a + b + c ≥ a bc + b ac + c ab .

作差尝试试试看! 作差尝试试试看 分析法是经常使用的方法 重要不等式是不等式证明的一个尝试方向 抓不等式的特点考虑适当放缩. 抓不等式的特点考虑适当放缩
3

熟悉一些 重要不等式 许多不等式与此有关: 熟悉 一些重要不等式, 许多不等式与此有关 : 一些 重要不等式, 均值不等式、柯西不等式、排序不等式. 均值不等式、柯西不等式、排序不等式 (见教程第 267 页) 这几个不等式你会证明吗? 这几个不等式你会证明吗?
数学归纳法 构造函数法、构造向量法 构造函数法、 逐步调整法

4

均值不等式的证明

思考2 思考

已知 ai、bi ∈ R + ( i = 1, 2 , n)

a1 + a2 + + an 试证明:(几何平均数 几何平均数) (算术平均数 算术平均数) 算术平均数 试证明 几何平均数 a1 a2 an ≤ n
n

证明: 时不等式成立.(易证) .(易证 证明:⑴先用数学归纳法证明当 n = 2m(m∈ N*) 时不等式成立.(易证) 时不等式成立. ⑵然后再证明当 n = 2m + k(m∈ N*,0 < k < 2m , k ∈ N*) 时不等式成立.
⑵的证明如下: 的证明如下: a1 + a2 + + an 记A= n
k 个

a1 + a2 ++ an + A + A ++ A n+k A= ≥ a1a2 an Ak 则 n+ k
∴ An ≥ a1a2 an 得证
5

思考 2:

z2 x2 x2 y2 y2 z2 求证: 设 x、y、z ∈ R + , 求证: ≥0 + + x+ y y+z z+ x

分析贵在尝试,妙在转化! 分析贵在尝试,妙在转化!

重要不等式联想, 重要不等式联想,变量替换尝试

6

练习

练习: 练习: 1.已知 , 0 求证: b c ≥ a b c . 求证: a 1.已知 a,b, c>0,
2. a , b, c > 0 ,求证: a a bb c c ≥ (abc ) 求证:
a + b+ c 3

2a 2b 2c

b+c c+a a+b

.

2.还可作如下推广: 2.还可作如下推广: 若 ai > 0( i = 1, 2, , n), 则 a a an ≥ (a1a2 an )
a1 a2 1 2 an

a1 + a2 ++ an n

.
7

b + c c + a a + b 为任意正数, 思考 3:已知 a, b, c 为任意正数 ,且 0 ≤λ < min , , , b c a a b c 3 ≥ 求证: + + 求证: b + c λa c + a λb a + b λc 2 λ

8

1答案 答案

2答案 答案

3答案 答案

3 解:

9

3 解:

10

课堂练习: 课堂练习: 练习

11

思考: 课外思考:

答案

12



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