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函数的奇偶性与周期性



函数的奇偶性与周期性 一、奇函数、偶函数 对于函数,其定义域关于原点对称: 1、对于函数的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 〔或 f(x)+ f(-x)=0〕 ,则称 为奇函数. 2、对于函数的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 〔或 f(x)-f(-x)=0〕 ,则称 为偶函数. 二、判断函数的奇偶性 1、定义法 ①判断有解析式的函数的奇偶性 例

、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1) · ; (3) ; (4) 剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断. 解: (1)函数的定义域 x∈(-∞,+∞) ,对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) , ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. 先确定函数的定义域.由≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以既不是奇函数也 不是偶函数。 变式:判断函数(-1<x<1)的奇偶性. 解:∵= ∴ ∴是偶函数 (3)去掉绝对值符号,根据定义判断. 由得 故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1] ,关于原点对称,且有 x+2>0.从而有 f(x)= =, 这时有 f(-x)==-=-f(x) ,故 f(x)为奇函数. (4)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) (x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) (x<0). 故函数 f(x)为奇函数. 评述: (1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数 解析式. ②证明抽象函数的奇偶性 例、 (02 年北京)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R 都 满足:f(a·b)=af(b)+bf(a) . 求 f(0) ,f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 分析:应用公式 f(a·b)=af(b)+bf(a) ,取 a、b 的一些特殊的值进行计算. 解: (1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0; 由 f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1) , 得 f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数. 证明:因为 f(1)=f[ (-1) 2 ]=-f(-1)-f(-1)=0, 所以 f(-1)=0, f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x) . 因此,f(x)为奇函数. 点评:研究抽象函数的奇偶性,应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究.如果 觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数(如二次函数等)的性质,可以用已知函数替代 抽象函数进行思考,探索求解思路。 例、定义在区间上的函数满足:对任意的,都有. 求证:为奇函数; [思路点拨]欲证明为奇函数,就要证明,但这是抽象函数,应设法充分利用条件“对任 意的,都有”中的进行合理“赋值” [解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0 令 x∈(-1, 1) ∴-x∈(-1, 1) ∴ + f (-x) = f () = f (0) = 0 ∴ f (-x) =- ∴ 在(-1,1)上为奇函数 点评:对于抽象函数的奇偶性问题,解决的关键是巧妙进行“赋值” ,而抽象函数的不等式 问题,要灵活利用已知条件,尤其是 f (x1) -f (x2) = f (x1) + f (-x2) 奇偶函数的性质及其应用 1、奇偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称。 (2)若是偶函数的图象关于直线对称; 若是奇函数的图象关于点中心对称; 例、若函数在上为减函数,且对任意的,有,则 A、 B、 C、 D、 2、 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数。 (2)奇函数的和、差仍为奇函数,奇数(偶数)个奇函数的积、商(分母不为 0)为奇 (偶)函数。 (4)奇函数与偶函数的积为奇函数。 (5) 定义在 (-∞, +∞) 上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。 (1)若是奇函数且在处有定义,则。 (逆否命题可判断一个函数不是奇函数) (2)奇函数的反函数也为奇函数。 (3)若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数。 函数的周期性 1、定义:对于函数,如果存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函 数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期。 周期性不仅仅是三角函数的专利, 抽象函数的周期性是高考热点, 主要难点是抽象函数 周期的发现,主要有几种情况: 2、抽象函数的周期 (1)若函数满足 ,则的周期是

(2)若函数满足 ,则的周期是 (3)若函数满足 ,则的周期是 (4)函数图象有,两条对称轴型,即, ,则的周期是 (5)函数满足,则的周期是 证明: (1) (2)对于定义域中任意满足,则有,故函数的周期是 (3)若,则得,所以函数的周期是;同理若,则的周期是 (4)函数图象有,两条对称轴,即, ,从而得,故函数的周期是 (5)由得,进而得,由前面的结论得的周期是 例、已知定义在上的偶函数满足对于恒成立,且,则 [解析]由得到,从而得,可见是以 4 为周期的函数,从而,又由已知等式得又由是上的偶函 数得,又在已知等式中令得,即,所以 例、 ( 06 年山东)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( ) . A.-1 B. 0 C. 1 D. 2



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