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福建省2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(理科)(圆锥曲线——厦门市数学组供稿)



2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(理科)
圆锥曲线 厦门市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 x2 y2 (1)方程 - =1 表示双曲线,则 m 的取值范围 ( ) 2+m 2-m (A)-2<m<2 (B)m>0 (C)m≥0 (D)|m|≥2 x2 y2 (2)双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( ) 4 12 (A)2 (B) 3 (C)2 2 (D)2 3 2 2 2 ( 3 ) 已 知 mn≠0 , 则 方 程 mx +ny =1 与 mx+ny =0 在 同 一 坐 标 系 下 的 图 形 可 能 是 ( )21 世纪教育网版权所有 y y y y
O A x O B x O C x O D x

(4)已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,P 点在 C 上,∠F1PF2=60° , 则 P 到 x 轴的距离为 ( ) 3 6 (A) (B) (C) 3 (D) 6 2 2 2 2 x y (5)已知双曲线 2- 2=(a>0,b>0),F1 是左焦点,O 是坐标原点,若双曲线上存在点 P, a b 使|PO|=|PF1|,则此双曲线的离心率的取值范围是( )21 教育网 (A)(1,2] (B)(1,+∞) (C)(1,3) (D)[2,+∞) (6)已知圆 O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 16 和圆 O2 : x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) ,动圆 M 与圆 O1 ,圆 O2 都相 切,动圆的圆心 M 的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为 e1 , e2 ( e1 ? e2 ), 则 e1 ? 2e2 的最小值是 ( (A)
3? 2 2 4

) (B)

3 2

(C) 2

(D)

3 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。 (7)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,m 为等比中项, x2 则圆锥曲线 +y2=1 的离心率为__________. m x2 (8)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 2-y2=1(a>0)交于 A、B 两点,点 F 为抛物线的焦 a 点,若△FAB 为直角三角形,则双曲线的方程为___________________. x2 y2 (9)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为 F1,若椭圆上存在一个点 P, 满足以椭圆短轴为 a b
直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为__________.

1

(10)己知抛物线 y =4x 的焦点为 F,若点 A,B 是该抛物线上的点, 线段 AB 的中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则

2



的最大值为__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11)(本小题满分 10 分)
如图所示,设抛物线 C1 : y 2 ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F2 ,且其准线与 x 轴交于 F 1,
1 以F 1 , F2 为焦点,离心率 e ? 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的一个交点为 P. 2

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得 ?PF 1F 2 的三条边的边长是连续的自然数? 若存在,求出这样的实数 m ;若不存在,请说明理由.
F1

y

P

O

F2

x

(12)(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 双曲线

1 ,它的两个顶点恰好是 2

y2 x2 ? ? 1 的焦点. 15 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P(2,3), Q(2,?3) ,在椭圆上, A, B 是椭圆上位于直线 PQ 两恻的动点,

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2 ②当 A, B 运动时,满足于 ?APQ ? ?BPQ ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,
①若直线 AB 的斜率为 请说明理由.

(13)(本小题满分 15 分) 如图示,椭圆 C:

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F(1,0),且过点 ( 2, 6 ) 。 2 a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 A、B 为椭圆上的点,且直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l : x ? 4 与 x 轴交于点 N, 直线 AF 与 BN 交于点 M。 (ⅰ) 试探究:点 M 是否恒在椭圆 C 上.,并加于证明; A (ⅱ) 求△ AMN 面积的最大值.
F N M B x

第20题图

2

2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(理科)
圆锥曲线 厦门市数学组
一、选择题。 1. 解析:∵已知方程表示双曲线,∴(2+m)(2-m)>0.∴-2<m<2. 选 A x2 y2 2. 解析:由双曲线 - =1,知 a=2,b=2 3,c=4,∴焦点 F1(-4,0),F2(4,0), 4 12 渐近线方程 y=± 3x. 由双曲线对称性,任一焦点到任一渐近线的距离都相等, |4 3+0| ∴d= =2 3. 选 D 3+1 3. 解析:方程 mx+ny2=0 即 y2= 双曲线. 当 m 和 n 同号时,抛物线开口向左,方程 mx2+ny2=1(mn≠0)表示椭圆,无符合条件的 选项. 当 m 和 n 异号时,抛物线 y2= m x 开口向右,方程 mx2+ny2=1 表示双曲线,故选(A) n m x,表示抛物线,方程 mx2+ny2=1(mn≠0)表示椭圆或 n

4.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设 m>n,P(x,y),|PF1|-|PF2|=m-n=2. 在△F1PF2 中,由余弦定理得(2 2)2=m2+n2-2mncos60° , ∴8=(m-n)2+mn.∴mn=4.由△F1PF2 的面积相等, 1 1 1 3 6 得 × 2 2× |y|= mnsin60° ,即 2|y|= × 4× ,∴|y|= ,选 B 2 2 2 2 2 c 5.解析:由|PO|=|PF1|得点 P 的横坐标 x1=- , 2 c c 由题知点 P 既在 OP 的中垂线上,又在双曲线的左支上,故- ≤-a,即 e= ≥2.选(D) 2 a
?| MO1 |? 4 ? R 2 ?| MO1 | ? | MO2 |? 4 ? r ,所以 e ? 6.解析:①动圆与两定圆都内切时: ? 4?r ?| MO2 |? R ? r ?| MO1 |? 4 ? R 2 ?| MO1 | ? | MO2 |? 4 ? r , ②动圆与两定圆分别内切, 外切时:? 所以 e ? | MO | ? R ? r 4?r ? 2

? 0 ? r ? 2,?e1 ?
处理 1:

2 2 ? e2 ? 4?r 4?r

1 1 ? ? 4 ,再用均值求 e1 ? 2e2 的最小值 ? ; e1 e2

3

处理 2: e1 ? 2e2 ?

2 4 ? ? ? 选 A. 4?r 4?r

二、填空题。 7.解析:∵4,m,9 成等比数列,∴m2=36,∴m=± 6. x2 2 30 当 m=6 时,圆锥曲线方程为 +y =1,其离心率为 ; 6 6 2 x 当 m=-6 时,圆锥曲线方程为 y2- =1,其离心率为 7. 6 30 故圆锥曲线的离心率 或 7 6 8.解析:准线方程为 x=-1,焦点为 F(1,0),直线 x=-1 与双曲线交点为?-1,± 若△FAB 为直角三角形,则只能∠AFB 为直角,△FAB 为等腰直角三角形, 1-a2 5 所以 =2?a= ,故双曲线的方程为 5x2-y2=1. a 5 9.解析:如图,设切点为 M,由条件知,OM⊥PF1 且 OM=b, ∵M 为 PF1 的中点,∴PF2=2b,且 PF1⊥PF2,
2 2 2 2 2 从而 PF1=2a-2b.∴PF2 1+PF2=F1F2,即(2a-2b) +(2b) =(2c) ,

? ?

1-a2? ?, a ?

c 5 整理得 3b=2a,∴5a2=9c2,解得 e= = . a 3 10.解析:设|AF|=a,|BF|=b,A、B 在准线上的射影点分别为 Q、P,连接 AQ、BQ 由抛物线定义,得 AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形 ABPQ 中根据中位线定理, 得 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2﹣2ab, 又∵ab≤( 得到|AB|≥ ) 2,∴(a+b)2﹣2ab≥(a+b)2﹣2×( (a+b) . ) 2= (a+b)2

所以



=

,即

的最大值为



三、解答题。
2 2 11.解:(Ⅰ)设椭圆为 x ? y ? 1 ,当 m ? 1 时, c ? 1 ,又 e ? 2 2

a

b

c 1 ? , a 2
y

? a ? 2 ,故椭圆为

x y ? ? 1 .………………………………4 分 4 3
F1

2

2

P

? x2 y2 ? ?1 1 ? (Ⅱ)? c ? m, e ? ,? a ? 2m, b ? 3m ,由 ? 4m 2 3m 2 2 ? y 2 ? 4mx ?
得: 3x ? 16mx ? 12m ? 0 .? x ?
2 2

O

F2

x

2 2 m(其中x ? ?6m舍) ,即 x p ? m .…………7 分 3 3

4

6 7 5 ? PF2 ? x p ? m ? m , PF1 ? 4m ? PF2 ? m , F1 F2 ? 2m ? m .…………9 分 3 3 3 7 6 若 ?PF m ? m ? 1 ,即 m ? 3 .…………10 分 1F 2 的三条边的边长是连续的自然数,则 3 3 2 2 c 1 2 x y 2 2 12.解:(Ⅰ)设 C 方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 b ? 2 3 .由 ? , a ? b ? c ,得 a 2 a b
a=4. ∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .…………………………………………4 分 16 12
1 x?t, 2

(Ⅱ)①设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? 代入

x2 y 2 2 2 ? ? 1 ,得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 16 12

由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 ,故 x1 ? x2 ? ?t , x1 x2 ? t 2 ? 12. 四边形 APBQ 的面积 S ?

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 ,∴当 t ? 0 , Smax ? 12 3 .…9 分 2

②解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k

? y ? 3 ? k ( x ? 2)??? (1) 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,由 ? ? x2 y 2 ? 1?? (2) ? ? ?16 12
(1)代入(2)整理得 (3 ? 4k ∴ x1 ? 2 ?
2

) x2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k )2 ? 48 ? 0 ,

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2
? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

同理直线 PB 方程为 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,得 x 2 ? 2 ?

∴ x1 ? x2 ?

16k 2 ? 12 ?48k , , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

∴ k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k 1 ? ? ? , x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2
1 . …………………………………………15 分 2

∴ AB 的斜率为定值

5

13.解:(Ⅰ)由题

c ? 1,

2 3 ? 2 ?1 b 2 ? 3, a 2 ? 4 , b ? 1 2b ,从而
2

A

x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .………………4 分 4 3
(Ⅱ)(i)证明:由题得 F(1,0)、N(4,0).设 A(m, n) ,则 B(m, ?n)(n ? 0) ,
B

F N M x

第20题图

AF 与 BN 的方程分别为: n( x ? 1) ? (m ? 1) y ? 0, n( x ? 4) ? (m ? 4) y ? 0 .

?n( x0 ? 1) ? (m ? 1) y0 ? 0, 5m ? 8 3n ? x0 ? , y0 ? . n ( x ? 4) ? ( m ? 4) y ? 0 M ( x , y ) 2m ? 5 2m ? 5 0 0 0 0 ,则有 ? 设 由上得
2 2 (5m ? 8) ? 36 ? 9m (5m ? 8)2 (3n)2 (5m ? 8)2 ? 12n2 x0 y0 ? ? ? ? 2 2 2 4(2m ? 5)2 4(2m ? 5) 3(2m ? 5) 4(2m ? 5) 3 由于 4 = =1.

2

2

所以点 M 恒在椭圆 C 上.…………………………………………………………9 分

(ⅱ)解:设 AM 的方程为

x

x2 y 2 ? ty ? 1 ,代入 4 ? 3 ? 1 ,得 (3t 2 ? 4) y2 ? 6ty ? 9 ? 0.
?6t

A( x1 , y1 ) 、 M ( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? 3t 2 ? 4 , y1 y2 ? 3t 2 ? 4 . 设
12 ? t 2 ? 1 | y1 ? y2 | = ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 3t 2 ? 4 .
2

?9

2 | y ? y2 | = ? 令 t ? 1 ? ? (? ? 1) ,则 1 1 y ? 3? ? ? 因为函数 在 [1, ??) 为增函数,所以当 ? ? 1 即 t ? 0 时,

12? 12 ? 2 3? ? 1 3? ? 1

函数

y ? 3? ?

? 有最小值 4.即 t ? 0 时, | y1 ? y2 | 有最大值 3,

1

1 | NF | | y ? y2 | 有最大值 9.………………………15 分 △AMN 的面积 S△AMN= 2 · 1
2

6

7



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