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2017《教与学》中考全程复习导练第24课 与圆有关的计算



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年 杭州T2,3分 杭州T16,4分 绍兴T7,4分 宁波T5,4分 宁波T26,14分 衢州、丽水T19,6分 金华、义乌T10,3分 金华、义乌T23,10分 嘉兴、舟山T8,4分

1. 正多边形的 有关计算 2.弧长 3.扇形的面积 4.圆柱、圆锥 的侧面积和 全面积

宁波T9,4分 宁波T17,4分 湖州T20,8分 台州T13,5分 衢州T24,12分 金华T22,8分 丽水T22,10分

温州T13,4分 宁波T9,4分 湖州T4,3分 湖州T14,4分 台州T16,5分 金华T21,8分 丽水T21,8分 绍兴、义乌T8,4分

考点一 正多边形的有关计算
考点清单
1.任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,两 个圆是同心圆,圆心叫正多边形的中心. 2.正多边形外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的 半径叫正多边形的边心距.正多边形各边所对外接圆 的圆心角都相等,这个角叫正多边形的中心角,正多 360° 边形的每一个中心角都等于 n .

要点点拨
1.任何正多边形都是轴对称图形,轴对称的条数恰好是 边数. 2.任何一个正偶数边形都是中心对称图形,其对称中心 是它的外接圆的圆心.
特别关注 正 n 边形的每个外角都等于中心角, 已知正 n

边形的边心距、中心角、半径、边长中的任意两个元素, 就可以求出其他三个元素.

【典例 1】 (2016· 山东威海)如图 241,正方形 ABCD 内 接于⊙O,其边长为 4,则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为____.

图 241

【点评】 本题主要考查正多边形的有关计算,添加适当 的辅助线是解题的关键. 【解析】 如解图, 连结 AC, OE, OF, 过点 O 作 OM⊥EF 于点 M. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC=4, ∠ABC=90° , ∴AC 是⊙O 的直径,AC=4 2, ∴OE=OF=2 2. ∵OM⊥EF,∴EM=MF. ∵△EFG 是等边三角形, ∴∠GEF=60° . 在 Rt△ OME 中,∵OE=2 2,∠OEM 1 = ∠GEF=30° , 2 ∴OM= 2,∴EM= 6,∴EF=2 6. 【答案】 2 6

考点二 弧长
考点清单
n πR 弧长公式:l= (式中 n 为该弧所对的圆心角,R 为圆 180 的半径).

要点点拨
2πR 1.理解弧长公式的推导过程,公式可写作 l=n· ,以 360 180l 180l 加深记忆. 弧长公式还可以变形得到 R= , n= . nπ πR 2.在计算弧长时,实际上是根据弧所对的圆心角占整个 圆周的比来计算相应的弧长的.

特别关注 的度数有关.

弧长不仅与圆的半径有关,还与所对圆心角

【典例 2】 (2016·浙江湖州)如图 24-2, 已知四边形 ABCD 内接于⊙O,连结 BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°. (1)求证:BD=CD. ︵ (2)若⊙O 的半径为 3,求BC的长.

【点评】 本题主要考查弧长的有关计算,熟记弧长的计 算公式是解题的关键. 【解析】 (1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠DCB+∠BAD=180° . ∵∠BAD=105° ,∴∠DCB=180° -105° =75° . ∵∠DBC=75° ,∴∠DCB=∠DBC=75° ,∴BD=CD.

(2)∵∠DCB=∠DBC=75° ,∴∠BDC=30° . ︵ 由圆周角定理,得BC的度数为 60° , nπR 60×π×3 ︵ 故 lBC= = =π. 180 180

考点三 扇形的面积
考点清单
nπR2 1 扇形的面积公式:S= = lR(式中 n 为该弧所对 360 2 的圆心角,R 为扇形的半径,l 为扇形的弧长).

要点点拨
1.求阴影部分或不规则图形面积的几种常用方法: (1)直接利用面积公式. (2)割补法: 把不规则图形的面积转化为规则图形 (如三 角形、平行四边形、圆、梯形、扇形等)面积的和或 差. (3)拼凑法:把分散的图形集中拼成大块来求. (4)等积变形法: 利用同(等)底或同(等)高将面积比转化 为高或底的比. (5)构造方程法. (6)去重法.

2.求弓形的面积常利用扇形与三角形来转化,大于半圆 的弓形面积 S 弓=S 扇+S△ ,小于半圆的弓形面积 S 弓 =S 扇-S△ .
特别关注

360S 由扇形的面积公式, 可以变形得到 n= 2 或 πR

R=

360S . nπ

【典例 3】 (2016· 江苏泰州)如图 24-3,⊙O 的半径为 2, 点 A,C 在⊙O 上,线段 BD 经过圆心 O,∠ABD= ∠CDB=90° ,AB=1,CD= 3,则图中阴影部分的 面积为____.

图 243

【点评】 本题主要考查扇形的面积公式,解题的关键是 得出 S 阴影=S 扇形 OAC.

【解析】 在 Rt△ABO 中,∠ABO=90° ,OA=2,AB AB 1 2 2 =1,∴OB= OA -AB = 3,sin∠AOB=OA= , 2 ∠AOB=30° . 同理, OD=1, ∠COD=60° , ∴∠AOC=∠AOB+∠BOD -∠COD=30° +180° -60° =150° . ?AO=OC, ? 在△ AOB 和△OCD 中,∵?AB=OD, ? ?BO=DC, ∴△ AOB≌△OCD(SSS),∴S 阴影=S 扇形 OAC, 150 2 150 5 2 ∴S 扇形 OAC= πR = × π× 2 = π. 360 360 3 5 【答案】 π 3

考点四 圆柱、圆锥的侧面积和全面积
考点清单
1.圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长和宽分别是 底面圆的周长和圆柱的高; 圆锥的侧面展开图是扇形, 这个扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底 面圆的周长. 2.圆锥的底面半径 r,母线 l,高 h 满足 l2=h2+r2. 3.圆柱侧面积公式:S 圆柱侧=2πrh;圆柱全面积公式: S 圆柱全=2πrh+2πr2(其中圆柱的底面半径为 r, 高为 h). 4.圆锥侧面积公式:S 圆锥侧=πrl;圆锥全面积公式:S 圆锥全 =πrl+πr2(其中圆锥的母线长为 l,底面半径为 r).

要点点拨
1.已知圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则其展开后的扇形 r 圆心角 n= l · 360° ,利用此公式,可以简化一些计算. 2.在求圆锥的侧面积或全面积时, 常需要借助它的展开图进行分 析,因此理清圆锥与它的展开图 中各量之间的关系非常重要,如 图 244 可以帮助我们进一步理解 它们之间的关系. 3.在圆锥的有关计算中,要掌握圆锥侧面展开后是一个扇形, 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,圆锥的母线是扇形的 半径,跟底面圆的半径有着本质的区别,需要具备一定的 空间思维能力,只有熟练掌握相关概念之间的区别和联系 才不会犯错.

特别关注

1.注意:不要混淆圆锥的母线长 l 与扇形的

弧长 l.
2.圆柱有两个底面,计算全面积时不要漏掉.

【典例 4】 (2016·浙江宁波)如图 24?5,圆锥的底面半径 r 为 6 cm ,高 h 为 8 cm ,则圆锥的侧面积为 ( ) A. 30π cm 2 B. 48π cm 2 C. 60π cm 2 D. 80π cm 2

图 24?5

【点评】 本题主要考查圆锥侧面积的计算公式,解题 的关键是利用底面半径及高求出母线长.

【解析】 设圆锥的母线长为 l(cm), 由勾股定理,得 l= 82+62=10(cm), ∴圆锥的侧面积为 S 侧=π× 6× 10=60π(cm2).

【答案】 C

本课考点的考查一般以稍难题为主,常与三角形、四 边形等结合考查,求不规则图形的面积是难点,解决这类 问题常用到转化思想,把不规则图形转化为规则图形,再 利用规则图形的面积公式求解.

【例 1】 (2016· 湖北荆门)如图 246, 从一块直径为 24 cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90° 的扇形 ABC,使 点 A,B,C 在圆周上.将剪下的扇形作为一个圆锥的 侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是 ( ) A. 12 cm B. 6 cm C. 3 2 cm D. 2 3 cm

图 246

【解析】 ∵∠BAC=90° ,∴BC 是⊙O 的直径,

2 ∴AC= BC=12 2(cm), 2 90×π×12 2 ︵ ∴lBC= =6 2π(cm), 180 ∴圆锥的底面圆的半径=6 2π÷(2π)=3 2(cm).
【答案】 C

【例 2】 (2016· 山东潍坊)如图 247,在 Rt△ ABC 中,∠A=30° ,BC=2 3, 以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于 点 D,则图中阴影部分的面积是 ( ) 15 3 3 15 3 3 A. - π B. - π 4 2 2 2 7 3 π 7 3 π C. - D. - 4 6 2 6

【解析】 如解图,连结 OD,CD. ∵AC 为直径,∴∠ADC=90° . ∵∠A=30° ,∴∠ACD=90° -∠A=60° . ∵OC=OD,∴△OCD 是等边三角形. ∵△ABC 为直角三角形,∴∠ACB=90° . ∵BC=2 3,∴AC=6, 1 ∴CD=OC= AC=3, 2 ∴S 阴影=S△ ABC-S△ ACD-(S 扇形 OCD-S△ OCD) 2 ?60× 1 1 π × 3 3 2? ? ? 15 3 3 = × 6× 2 3- × 3× 3 3-? - × 3 ?= 4 -2π. 2 2 4 ? 360 ?

【答案】 A

【例 3】 (2015· 浙江台州)如图 248,正方形 ABCD 的边 长为 1,中心为点 O,有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转,在旋转过程中,这个正 六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边).当 这个正六边形的边长最大时,AE 的最小值为____.

图 248
提 示

注意转化思想和分类讨论思想的运用.

【解析】 如解图. 当这个正六边形的中心与点 O 重合,两个顶点刚好在正 方形两边中点时,这个正六边形的边长最 1 大,此时,这个正六边形的边长为 . 2 当顶点 E 刚好在正方形对角线 AC 的 AO 一侧时,AE 的值最小,最小值为 OA-OE 2-1 2 1 = - = . 2 2 2

【答案】

2-1 2

【例 4】 (2014· 浙江金华)如图 249,等边三角形 ABC 的边长为 6,在 AC,BC 边上各取一点 E,F,连结 AF,BE 相交于点 P. (1)若 AE=CF. ①求证:AF=BE,并求∠APB 的度数. ②若 AE=2,试求 AP· AF 的值. (2)若 AF=BE,当点 E 从点 A 运动到点 C 时,试求点 P 经过的路径长.

图 249

【解析】 (1)①∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=CA,∠BAE=∠ACF=60° . 又∵AE=CF,∴△ABE≌△CAF(SAS), ∴AF=BE,∠ABE=∠CAF, ∴∠APE=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC =60° , ∴∠APB=180° -∠APE=120° . ②∵∠C=∠APE=60° ,∠PAE=∠CAF, ∴△APE∽△ACF, AP AE AP 2 ∴AC=AF,即 =AF,∴AP· AF=12. 6

(2)若 AF=BE,则有 AE=CF 或 AE=BF 两种情况: ①当 AE=CF 时,由(1)可得∠APB=120° , ∴点 P 经过的路径是以 A,B 为端点的一段弧, ∴圆心角∠AOB=2× (180° -∠APB)=120° . 如解图,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G. 在 Rt△ AOG 中,∵∠AOG=60° , 1 AB 2 AG ∴OA= = =2 3, sin 60° sin 60° ∴点 P 经过的路径长 nπr 120×π×2 3 4 3 l= = = π. 180 180 3

②当 AE=BF 时,点 P 从点 G 运动到点 C,点 P 经过的 路径长就是过点 C 向 AB 作的垂线段的长度. ∵等边三角形 ABC 的边长为 6, ∴点 P 经过的路径长为 62-32=3 3.

4 3 综上所述,点 P 经过的路径长为 π 或 3 3. 3

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