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2017《教与学》中考全程复习导练第24课 与圆有关的计算



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年 杭州T2,3分 杭州T16,4分 绍兴T7,4分 宁波T5,4分 宁波T26,14分 衢州、丽水T19,6分 金华、义乌T10,3分 金华、义乌T23,10分 嘉兴、舟山T8,4分

1. 正多边形的 有关计算 2.弧长 3.扇形的面积 4.圆柱、圆锥 的侧面积和 全面积

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宁波T9,4分 宁波T17,4分 湖州T20,8分 台州T13,5分 衢州T24,12分 金华T22,8分 丽水T22,10分

温州T13,4分 宁波T9,4分 湖州T4,3分 湖州T14,4分 台州T16,5分 金华T21,8分 丽水T21,8分 绍兴、义乌T8,4分

考点一 正多边形的有关计算
考点清单
1.任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,两 个圆是同心圆,圆心叫正多边形的中心. 2.正多边形外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的 半径叫正多边形的边心距.正多边形各边所对外接圆 的圆心角都相等,这个角叫正多边形的中心角,正多 360° 边形的每一个中心角都等于 n .

要点点拨
1.任何正多边形都是轴对称图形,轴对称的条数恰好是 边数. 2.任何一个正偶数边形都是中心对称图形,其对称中心 是它的外接圆的圆心.
特别关注 正 n 边形的每个外角都等于中心角, 已知正 n

边形的边心距、中心角、半径、边长中的任意两个元素, 就可以求出其他三个元素.

【典例 1】 (2016· 山东威海)如图 241,正方形 ABCD 内 接于⊙O,其边长为 4,则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为____.

图 241

【点评】 本题主要考查正多边形的有关计算,添加适当 的辅助线是解题的关键. 【解析】 如解图, 连结 AC, OE, OF, 过点 O 作 OM⊥EF 于点 M. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC=4, ∠ABC=90° , ∴AC 是⊙O 的直径,AC=4 2, ∴OE=OF=2 2. ∵OM⊥EF,∴EM=MF. ∵△EFG 是等边三角形, ∴∠GEF=60° . 在 Rt△ OME 中,∵OE=2 2,∠OEM 1 = ∠GEF=30° , 2 ∴OM= 2,∴EM= 6,∴EF=2 6. 【答案】 2 6

考点二 弧长
考点清单
n πR 弧长公式:l= (式中 n 为该弧所对的圆心角,R 为圆 180 的半径).

要点点拨
2πR 1.理解弧长公式的推导过程,公式可写作 l=n· ,以 360 180l 180l 加深记忆. 弧长公式还可以变形得到 R= , n= . nπ πR 2.在计算弧长时,实际上是根据弧所对的圆心角占整个 圆周的比来计算相应的弧长的.

特别关注 的度数有关.

弧长不仅与圆的半径有关,还与所对圆心角

【典例 2】 (2016·浙江湖州)如图 24-2, 已知四边形 ABCD 内接于⊙O,连结 BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°. (1)求证:BD=CD. ︵ (2)若⊙O 的半径为 3,求BC的长.

【点评】 本题主要考查弧长的有关计算,熟记弧长的计 算公式是解题的关键. 【解析】 (1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠DCB+∠BAD=180° . ∵∠BAD=105° ,∴∠DCB=180° -105° =75° . ∵∠DBC=75° ,∴∠DCB=∠DBC=75° ,∴BD=CD.

(2)∵∠DCB=∠DBC=75° ,∴∠BDC=30° . ︵ 由圆周角定理,得BC的度数为 60° , nπR 60×π×3 ︵ 故 lBC= = =π. 180 180

考点三 扇形的面积
考点清单
nπR2 1 扇形的面积公式:S= = lR(式中 n 为该弧所对 360 2 的圆心角,R 为扇形的半径,l 为扇形的弧长).

要点点拨
1.求阴影部分或不规则图形面积的几种常用方法: (1)直接利用面积公式. (2)割补法: 把不规则图形的面积转化为规则图形 (如三 角形、平行四边形、圆、梯形、扇形等)面积的和或 差. (3)拼凑法:把分散的图形集中拼成大块来求. (4)等积变形法: 利用同(等)底或同(等)高将面积比转化 为高或底的比. (5)构造方程法. (6)去重法.

2.求弓形的面积常利用扇形与三角形来转化,大于半圆 的弓形面积 S 弓=S 扇+S△ ,小于半圆的弓形面积 S 弓 =S 扇-S△ .
特别关注

360S 由扇形的面积公式, 可以变形得到 n= 2 或 πR

R=

360S . nπ

【典例 3】 (2016· 江苏泰州)如图 24-3,⊙O 的半径为 2, 点 A,C 在⊙O 上,线段 BD 经过圆心 O,∠ABD= ∠CDB=90° ,AB=1,CD= 3,则图中阴影部分的 面积为____.

图 243

【点评】 本题主要考查扇形的面积公式,解题的关键是 得出 S 阴影=S 扇形 OAC.

【解析】 在 Rt△ABO 中,∠ABO=90° ,OA=2,AB AB 1 2 2 =1,∴OB= OA -AB = 3,sin∠AOB=OA= , 2 ∠AOB=30° . 同理, OD=1, ∠COD=60° , ∴∠AOC=∠AOB+∠BOD -∠COD=30° +180° -60° =150° . ?AO=OC, ? 在△ AOB 和△OCD 中,∵?AB=OD, ? ?BO=DC, ∴△ AOB≌△OCD(SSS),∴S 阴影=S 扇形 OAC, 150 2 150 5 2 ∴S 扇形 OAC= πR = × π× 2 = π. 360 360 3 5 【答案】 π 3

考点四 圆柱、圆锥的侧面积和全面积
考点清单
1.圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长和宽分别是 底面圆的周长和圆柱的高; 圆锥的侧面展开图是扇形, 这个扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底 面圆的周长. 2.圆锥的底面半径 r,母线 l,高 h 满足 l2=h2+r2. 3.圆柱侧面积公式:S 圆柱侧=2πrh;圆柱全面积公式: S 圆柱全=2πrh+2πr2(其中圆柱的底面半径为 r, 高为 h). 4.圆锥侧面积公式:S 圆锥侧=πrl;圆锥全面积公式:S 圆锥全 =πrl+πr2(其中圆锥的母线长为 l,底面半径为 r).

要点点拨
1.已知圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则其展开后的扇形 r 圆心角 n= l · 360° ,利用此公式,可以简化一些计算. 2.在求圆锥的侧面积或全面积时, 常需要借助它的展开图进行分 析,因此理清圆锥与它的展开图 中各量之间的关系非常重要,如 图 244 可以帮助我们进一步理解 它们之间的关系. 3.在圆锥的有关计算中,要掌握圆锥侧面展开后是一个扇形, 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,圆锥的母线是扇形的 半径,跟底面圆的半径有着本质的区别,需要具备一定的 空间思维能力,只有熟练掌握相关概念之间的区别和联系 才不会犯错.

特别关注

1.注意:不要混淆圆锥的母线长 l 与扇形的

弧长 l.
2.圆柱有两个底面,计算全面积时不要漏掉.

【典例 4】 (2016·浙江宁波)如图 24?5,圆锥的底面半径 r 为 6 cm ,高 h 为 8 cm ,则圆锥的侧面积为 ( ) A. 30π cm 2 B. 48π cm 2 C. 60π cm 2 D. 80π cm 2

图 24?5

【点评】 本题主要考查圆锥侧面积的计算公式,解题 的关键是利用底面半径及高求出母线长.

【解析】 设圆锥的母线长为 l(cm), 由勾股定理,得 l= 82+62=10(cm), ∴圆锥的侧面积为 S 侧=π× 6× 10=60π(cm2).

【答案】 C

本课考点的考查一般以稍难题为主,常与三角形、四 边形等结合考查,求不规则图形的面积是难点,解决这类 问题常用到转化思想,把不规则图形转化为规则图形,再 利用规则图形的面积公式求解.

【例 1】 (2016· 湖北荆门)如图 246, 从一块直径为 24 cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90° 的扇形 ABC,使 点 A,B,C 在圆周上.将剪下的扇形作为一个圆锥的 侧面,则这个圆锥的底面圆的半径是 ( ) A. 12 cm B. 6 cm C. 3 2 cm D. 2 3 cm

图 246

【解析】 ∵∠BAC=90° ,∴BC 是⊙O 的直径,

2 ∴AC= BC=12 2(cm), 2 90×π×12 2 ︵ ∴lBC= =6 2π(cm), 180 ∴圆锥的底面圆的半径=6 2π÷(2π)=3 2(cm).
【答案】 C

【例 2】 (2016· 山东潍坊)如图 247,在 Rt△ ABC 中,∠A=30° ,BC=2 3, 以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于 点 D,则图中阴影部分的面积是 ( ) 15 3 3 15 3 3 A. - π B. - π 4 2 2 2 7 3 π 7 3 π C. - D. - 4 6 2 6

【解析】 如解图,连结 OD,CD. ∵AC 为直径,∴∠ADC=90° . ∵∠A=30° ,∴∠ACD=90° -∠A=60° . ∵OC=OD,∴△OCD 是等边三角形. ∵△ABC 为直角三角形,∴∠ACB=90° . ∵BC=2 3,∴AC=6, 1 ∴CD=OC= AC=3, 2 ∴S 阴影=S△ ABC-S△ ACD-(S 扇形 OCD-S△ OCD) 2 ?60× 1 1 π × 3 3 2? ? ? 15 3 3 = × 6× 2 3- × 3× 3 3-? - × 3 ?= 4 -2π. 2 2 4 ? 360 ?

【答案】 A

【例 3】 (2015· 浙江台州)如图 248,正方形 ABCD 的边 长为 1,中心为点 O,有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转,在旋转过程中,这个正 六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边).当 这个正六边形的边长最大时,AE 的最小值为____.

图 248
提 示

注意转化思想和分类讨论思想的运用.

【解析】 如解图. 当这个正六边形的中心与点 O 重合,两个顶点刚好在正 方形两边中点时,这个正六边形的边长最 1 大,此时,这个正六边形的边长为 . 2 当顶点 E 刚好在正方形对角线 AC 的 AO 一侧时,AE 的值最小,最小值为 OA-OE 2-1 2 1 = - = . 2 2 2

【答案】

2-1 2

【例 4】 (2014· 浙江金华)如图 249,等边三角形 ABC 的边长为 6,在 AC,BC 边上各取一点 E,F,连结 AF,BE 相交于点 P. (1)若 AE=CF. ①求证:AF=BE,并求∠APB 的度数. ②若 AE=2,试求 AP· AF 的值. (2)若 AF=BE,当点 E 从点 A 运动到点 C 时,试求点 P 经过的路径长.

图 249

【解析】 (1)①∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=CA,∠BAE=∠ACF=60° . 又∵AE=CF,∴△ABE≌△CAF(SAS), ∴AF=BE,∠ABE=∠CAF, ∴∠APE=∠ABE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=∠BAC =60° , ∴∠APB=180° -∠APE=120° . ②∵∠C=∠APE=60° ,∠PAE=∠CAF, ∴△APE∽△ACF, AP AE AP 2 ∴AC=AF,即 =AF,∴AP· AF=12. 6

(2)若 AF=BE,则有 AE=CF 或 AE=BF 两种情况: ①当 AE=CF 时,由(1)可得∠APB=120° , ∴点 P 经过的路径是以 A,B 为端点的一段弧, ∴圆心角∠AOB=2× (180° -∠APB)=120° . 如解图,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G. 在 Rt△ AOG 中,∵∠AOG=60° , 1 AB 2 AG ∴OA= = =2 3, sin 60° sin 60° ∴点 P 经过的路径长 nπr 120×π×2 3 4 3 l= = = π. 180 180 3

②当 AE=BF 时,点 P 从点 G 运动到点 C,点 P 经过的 路径长就是过点 C 向 AB 作的垂线段的长度. ∵等边三角形 ABC 的边长为 6, ∴点 P 经过的路径长为 62-32=3 3.

4 3 综上所述,点 P 经过的路径长为 π 或 3 3. 3

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