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高中数学立体几何 知识点和练习



立体几何
知识规律: (一)三视图 1、主视图(正视图)、左视图(侧视图)、俯视图。 2、三视图的画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的画虚线。 3、三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图画在正视图的下方,侧视图画在正视图的右边。 (二)平面图形的直观图 1、斜坐标系 x ' O ' y ' 中 ?x ' O ' y

' ? 450 或 135 。
0 ' 2、平行于 x 轴的线段,在直观图中仍平行于 x 轴,且其长度不变,平行于 y 轴的线段仍

平行于 y ' 轴且其长度变为原来的一半。 3、

S 平面图 S 直观图

?2 2。

(三)几何体的表面积 1、对于旋转体如圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是侧面展开图的面积,弄清侧面展开图中 个线段与原几何体的关系。球的表面积 S 球面 ? 4?R 。
2

2、对于多面体,要具体研究各面的性质,进而分别计算。 3、对于组合体不要忘记“内表面”,即所有“暴露在空气中”的面积。 (四)几何体的体积 1、熟悉掌握各类体积公式,如球体为 V球 ?

4 3 ?R 3

2、组合体的体积常采用“割”与“补”的方法化归为简单几何体计算。 (五)空间中平行问题的知识点 1、线线、线面、面面平行的定义 (1)直线和直线平行:两条直线在同一平面内,没有公共点,那么这两条直线互相平行。 (2)直线和平面平行:一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行。 (3)平面与平面平行:如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行。 2、平行关系的判定定理和性质定理 (1)直线和平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:平面外一条直线,如果和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平
1

行。 判定定理:两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线就和交线平行。 (2)平面和平面平行的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 判定定理:垂直于同一条直线的两个平面平行。 性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 性质定理:两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 3、三线平行公理和空间中等角定理 平行公理:平行于同一条直线的两条直线相互平行。 空间中等角定理:一个角两边和另一个角两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 (六)空间中垂直问题的知识点 1、线线、线面、面面垂直的定义 (1)两条异面直线的互相垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线 互相垂直。 (2)直线和平面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线 和这个平面垂直。 (3)平面和平面的相互垂直:如果两个平面相交,所成的二面角是直二面角,就说这两个 平面互相垂直。 2、垂直关系的判定定理和性质定理 (1)线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 判定定理:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 判定定理:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线都平行。 (2)面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平 面。
2

推论:如果两个平面互相垂直,那么经过第一平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在 第一个平面内。 3、三垂线定理和它的逆定理 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和 这条斜线垂直。 逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在 该平面上的射影垂直。 (七)空间角的知识点 1、直线与直线所成的角 (1)两平行直线所成的角:规定为 0 。 (2)两条相交直线所成的角:两条直线相交得到四个角,其中不大于直角(锐角或直角) 的角,叫做这两条直线所成的角。 (3)两条异面直线所成的角:作平行线。 2、直线与平面所成的角 (1)平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 (2)平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 (3)平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做 这条直线和这个平面所成的角。 3、二面角和二面角的平面角 (1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫 做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 (2)求二面角的方法: 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角。 三垂线法:已知二面角一个面内一点到另一个面的垂线时,利用三垂线定理或它的逆定理 可得到平面角。 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个平面的交线所成的 角为二面角的平面角。 由射影关系式 S ? S cos? ,可以不作出平面角 ? 而求得 ? 。
1 0

0

0

3

(八)空间距离的知识点 1、距离的定义 (1)点到直线距离:从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这点到 这条直线的距离。 (2)点到平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个 点到这个平面的距离。 (3)两平行直线间的距离:两条平行线间的公垂线的长,叫做两条平行线间的距离。 (4)两条异面直线间的距离:和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做两条异面直线的 公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的 距离。 (5)直线与平面的距离:如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离 相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。 (6)两平行平面间的距离:和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线, 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离。 2、求距离的步骤 (1)找出或作出有关距离的图形;(2)证明它们符合定义;(3)在平面图形内进行计算。 注意:等体积就高度。

经典例题 1.已知高为3的直棱锥 ABC ? A?B ?C ? 的底面是边长为1的正三角形 (如图1所示),则三棱锥 B ? ? ABC 的体积为 A. ( ) B' A' C'

1 4

B.

1 2

C.

3 6

D.

3 4
A B
图1

C

1.D.解:∵ BB? ? 平面ABC,

∴ VB?? ABC

1 1 1 3 3 ? S ?ABC ? h ? S ?ABC ? BB? ? ? ?3 ? .故选 D. 3 3 3 4 4

2、若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 2、 d ? 3 3 ? R ?

3 3 ? S ? 4?R 2 ? 27? 2
4

3.如图 1,△ ABC 为三角形, AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面 ABC 且 3 AA? =

3 BB? = 2

CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是

D. 4、如某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形, 则几何体的体积为( )

A、6 B、9 C、12 D、18 解:由已知中三视图该几何体为四棱柱, 其底面底边长为 3,底边上的高为: 故底面积 S=3× =3 , 又因为棱柱的高为 3, 故 V=3×3 =9 , 故选 B. = ,

5.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何 体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

5

H B I

A C

G 侧视 D E B

A C B

B

B

B

E F 图1

D F 图2

E A.

E B.

E C.

E D.

6. 给定下列四个命题: ① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行;
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

④ 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ① 和② 【解析】选 D. 7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( A. 12? B. 45? C. 57? D. 81? 解析:C.该几何体下部分是半径为 3,高为 5 的圆柱,体积为 )
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

B. ② 和③

C. ③ 和④

D. ② 和④

V ? ? ? 32 ? 5 ? 45? ,上部分是半径为 3,高为 4 的圆锥,体积为

1 V ? ? ? ? 32 ? 4 ? 12? ,所以体积为 57? . 3
8、如图,在锥体 P﹣ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD= E,F 分别是 BC,PC 的中点 (1)证明:AD⊥平面 DEF (2)求二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值. ,PB=2,

6

考点:与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法。 专题:常规题型;综合题。 分析:(1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面 DEF 中找两条 相交直线与 AD 垂直,利用 60°角菱形的特征可以发现 AD⊥DE,通过取出 AD 的中点构造一 个平面可以证明 AD⊥EF; (2)利用(1)中的结论找到二面角 P﹣AD﹣B 的平面角是解决本题的关键,求角往往要 利用三角形中的余弦定理. 12 解答:解:(1)取 AD 的中点 G,连接 PG,BG,在△ABG 中,根据余弦定理可以算出 BG=
2 2 2



发现 AG +BG =AB ,可以得出 AD⊥BG,又 DE∥BG ∴DE⊥AD, 又 PA=PD,可以得出 AD⊥PG,而 PG∩BG=G, ∴AD⊥平面 PBG,而 PB?平面 PBG, ∴AD⊥PB,又 PB∥EF, ∴AD⊥EF.又 EF∩DE=E,∴AD⊥平面 DEF. (2)由(1)知,AD⊥平面 PBG,所以∠PGB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角,在△PBG 中, PG= ,BG= ,PB=2,由余弦定理得

cos∠PGB=

,因此二面角 P﹣AD﹣B 的余弦值为



点评:本题考查立体几何中基本的线面关系,考查线面垂直的判定方法,考查二面角的求 法,训练了学生基本的空间想象能力,考查学生的转化与化归思想,解三角形的基本知识 和学生的运算能力,属于基本的立体几何题.

9.如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE . (1)证明: BD ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.
7

13、解:(1)∵ PA ? 平面ABCD ∴ PA ? BD ∵ PC ? 平面BDE ∴ PC ? BD ∴ BD ? 平面PAC (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连结 OE ∵ PC ? 平面BDE ∴ PC ? OE 又∵ BO ? 平面PAC ∴ PC ? BO ∴ PC ? 平面BOE ∴ PC ? BE ∴ ?BEO 为二面角 B ? PC ? A 的平面角 ∵ BD ? 平面PAC ∴ BD ? AC ∴四边形 ABCD 是正方形 ∴ BO ?

2
OE PA OE 1 2 ? ? ? ? OE ? OC AC 3 2 3

在 ?PAC中 ,

BO ?3 OE ∴ 二面角 B ? PC ? A 的平面角的正切值为 3
∴ tan ?BEO ? 10.如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O ,

PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA ? AB ? 4 , NC ? 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ? 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时, 求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.
19.(本题满分 14 分) 解:法 1:(Ⅰ)连结 BD ,
8 第 19 题图

PA ∵ PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴ ? BD ,
又∵ BD ? AC , AC ? PA ? A ,

BD ∴ ? 平面 PAC ,

EF 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴ // BD ,
EF ∴ ? 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF ,
∴ 平面 PAC ? 平面 NEF ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ )连结 OM , ∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC ? 平面 MEF ? OM ,

PC ∴ // OM ,


PM OC 1 ? ? ,故 PM : MA ? 1: 3 PA AC 4

-------------------------------8 分

EF (Ⅲ )∵ EF ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴ ? OM ,

NO ? EF , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴ ? ∴ MON 为所求二面角 M ? EF ? N 的平面角, ------10 分 AM ? NC ? 2 , ∵点 M 是 PA 的中点,∴

---------------------------------

所以在矩形 MNCA 中,可求得 MN ? AC ? 4 2 , NO ? 6 , MO ? 22 , -----------12 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ?MON ?

---------

MO2 ? ON 2 ? MN 2 33 , ?? 2 ? MO ? ON 33
--------------------------------

∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ? -------14 分 法 2:(Ⅰ)同法 1;

33 . 33

(Ⅱ )建立如图所示的直角坐标系,则 P(0, 0, 4) , C (4, 4,0) , E (4, 2,0) , F (2, 4,0) , ∴ ? (4, 4, ?4) , EF ? (?2,2,0) , PC 设点 M 的坐标为 (0,0, m) ,平面 MEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ME ? (4, 2, ?m) ,

??? ?

??? ?

?

????

? ???? ?n ? ME ? 0 ?4 x ? 2 y ? mz ? 0 6 ? 所以 ? ? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 y ? 1 , z ? , ? m ??2 x ? 2 y ? 0 ?n ? EF ? 0 ? 6 ? 故 n ? (1,1, ) , m
9

24 ? 0 ,解得 m ? 3 , m 故 AM ? 3 ,即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点;故 PM : MA ? 1: 3
PC ∵ // 平面 MEF ,∴ ? n ? 0 ,即 4 ? 4 ? PC
--------------8 分 (Ⅲ N (4, 4, 2) ,则 EN ? (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m ? ( x, y, z) , )

??? ? ?

------------

??? ?

??

?? ???? ?m ? EN ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 x ? 1 , ? ?2 x ? 2 y ? 0 m ? EF ? 0 ? ? ? ?? 则 y ? 1 , z ? ?1 ,即 m ? (1,1, ?1) ,
当 M 是 PA 中点时, m ? 2 ,则 n ? (1,1,3) , ∴ ? m, n ?? cos

?

?? ?

1?1? 3 33 , ?? 33 3 ? 11
33 .-------14 分 33

∴ 二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

11.如图 5,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中 1 点,

A1 A ? AB ? 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1D ; (2) 若四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 , 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值. 1
A1 A

(1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ?? 2 分
10
C1 C B1

D

B

A1

A

E
D

B1

B

G
O C1 C

F
∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面

BC1D ,
∴ AB1 // 平面 BC1D . (2)解: 依题意知, AB ? BB1 ? 2 , ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA C1C , 1 ∴ 平面 ABC ? 平面 AA C1C ,且平面 ABC ? 平面 AA C1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AA C1C , 1 设 BC ? a , 在 Rt△ ABC 中, AC ? ??6 分 ?? 4 分

AB2 ? BC2 ? 4 ? a2 , BE ?

AB?BC 2a , ? AC 4 ? a2

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 3 2
?? 8 分

1 3 2a ? ? 4 ? a2 ? 2 ? ? a. 6 2 4 ? a2
依题意得, a ? 3 ,即 BC ? 3 . (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法)

?? 9 分

解法 1:∵ AB ? BC, AB ? BB1 , BC ? BB1 ? B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面

BB1C1C ,
∴ AB ? 平面 BB1C1C .
11

取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF ? ∴ DF ? 平面 BB1C1C . 作 FG ? BC1 ,垂足为 G ,连接 DG , 由于 DF ? BC1 ,且 DF ? FG ? F , ∴ BC1 ? 平面 DFG . ∵ DG ? 平面 DFG , ∴ BC1 ? DG . ∴ ?DGF 为二面角 C ? BC1 ? D 的平面角. 由 Rt△ BGF ~Rt△ BCC1 ,得

1 AB ? 1 . 2

?? 12 分

GF BF , ? CC1 BC1

3 ?2 BF ? 1 2 CC 3 13 ? ? 得 GF ? , BC1 13 13
在 Rt△ DFG 中, tan ?DGF ?

DF 13 ? . GF 3

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

13 . 3

12. 如图 5,AB 是圆柱 ABFG 的母线,C 是点 A 关于点 B 对称的点,O 是圆 柱上底面的圆心,BF 过 O 点,DE 是过 O 点的动直径,且 AB=2,BF=2AB. (1)求证:BE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 D—BCE 的体积最大时,求二面角 C—DE—A 的平面角 的余弦值. (1)证明: AB 是圆柱 ABFG 的母线, C 是点 A 关于点 B 对称的点, ∴ AC 垂直圆柱的底面,即 AC ? 平面 BDF , (1 分) ∵ BE ? 平面 BDF ,∴ BE ? AC (2 分) ∵ DE 是圆柱上底面的直径,∴ BE ? BD (3 分) AC ? BD ? B ∵ AC ? 平面 ACD , BD ? 平面 ACD ,且 (4 分) ∴BE⊥平面 ACD (5 分) (2)解: DE 是圆 O 的直径,∴ ?DBE 是直角, DE ? BF ? 2AB ? 4 设 BD ? x, (0 ? x ? 4) ,在直角三角形 BDE 中, BE ? DE 2 ? BD2 ? 16 ? x2 ? 0 ,(6 分)

12

S?DBE

1 1 x 2 ? 16 ? x 2 ? BD ? BE ? x 16 ? x 2 ? ? 4, 2 2 4

2

(8 分)

当且仅当 x ? 16 ? x 2 ,即 x ? 2 2 时“ ? ”成立,

(9 分)

∵三棱锥 D ? BCE 的体积等于三棱锥 C ? DBE 的体积,而三棱锥 C ? DBE 的高 BC ? 2 , ∴三角形 BDE 的面积最大时,三棱锥的体积也最大, 此时, BD ? BE ? 2 2 ,即三角形 BDE 是等腰直角三角形 ∴ BO ? DE ∵ AC ? DE ,∴ DE ? 平面 AOC 连结 CO,AO, 从而有 CO ? DE , AO ? DE ,∴ ?AOC 是二面角 C ? DE ? A 的平面角 在三角形 AOC 中, ?AOC ? ?BOC ??AOB 又 tan ?BOC ? (10 分) (11 分) (12 分)

? ? BC 2 ? ? 1 , 0 ? ?BOC ? ,∴ ?BOC ? 2 4 BO 2
?
4

同理可得 ?AOB ?
cos ?AOC ? cos

,∴ ?AOC ?

?
2

(13 分) (14 分)

?
2

? 0 ,即二面角 C ? DE ? A 的平面角的余弦值为 0 .

13.如图 5,已知正方形 ABCD 在水平面上的正 投影(投影线垂直于投影面)是四边形 . A 与 A ' 重合,且 BB '? DD '? CC ' . A 'B 'C ' D ' ,其中 (1)证明 AD '// 平面 BB 'C 'C ,并指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状; (2)如果四边形 AB 'C ' D ' 中, AD'? 2 , AB'? 5 ,正方形 ABCD 的边长为 6 , 求平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D ' 所成的锐二面角 ? 的余弦值. 证明:(1)依题意, BB '? 平面 AB 'C ' D ' ,
C

CC '? 平面 AB 'C ' D ' ,
DD '? 平面 AB 'C ' D ' ,
所以 BB '// CC '// DD ' . ?????2 分

D
E

(法 1)在 CC ' 上取点 E ,使得 CE ? DD ' , 连结 BE , D ' E ,如图 5-1. 因为 CE // DD ' ,且 CE ? DD ' , 所以 CDD ' E 是平行四边形, D ' E // DC ,且 D 'E ? DC . 又 ABCD 是正方形, DC // AB ,且 DC ? AB , 所 形, 以

B

C'
D'

B'

A(A ')

图5 ?1
ABED '
是 平 行 四 边

D 'E // AB





D ' E ? AB





????????????4 分

从而 AD '// BE ,又 BE ? 平面 BB 'C 'C , AD '? 平面 BB 'C 'C ,
13





AD '//





BB 'C 'C .

????????????????????????6 分

四边形 AB 'C ' D ' 是平行四边形(注:只需指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状,不必证 明).??7 分 (法 2)因为 DD '// CC ' , CC '? 平面 BB 'C 'C , DD '? 平面 BB 'C 'C , 所以 DD '// 平面 BB 'C 'C . 因 为 A B C D是 正 方 形 , 所 以 AD // BC , 又 BC ? 平 面 BB 'C 'C , AD ? 平 面

BB 'C 'C ,
所 以

AD //





BB 'C 'C .

????????????????????????4 分

而 DD '? 平面 ADD ' , AD ? 平面 ADD ' , DD ' ? AD ? D ,

' 所 以 平 面 ADD '// 平 面 BB 'C 'C , 又 AD '? 平 面 A D D , 所 以 AD '// 平 面

BB 'C 'C . ????6 分
四边形 AB 'C ' D ' 是平行四边形(注:只需指出四边形 AB 'C ' D ' 的形状,不必证 明).??7 分 解:(2)依题意,在 Rt△ ABB ' 中, BB '? 在 Rt△ ADD ' 中, DD '?

AB 2 ? AB '2 ? ( 6 ) 2 ? ( 5 ) 2 ? 1 ,

AD 2 ? AD '2 ? ( 6 ) 2 ? ( 2 )2 ? 2 ,

所以 CC '? BB '? DD '? AA '? 1 ? 2 ? 0 ? 3 . ( 注 : ???????????????8 分 C 或

CC '? CE ? EC '? DD '? BB '? 2 ? 1 ? 3 )
连结 AC , AC ' ,如图 5-2, 在 Rt△ ACC ' 中, AC '?

AC 2 ? CC '2 ? (2 3 ) 2 ? 32 ? 3 .

2 2 2 所以 AC ' ? B 'C ' ? AB ' ,故 AC '? B 'C ' .??10 分

(法 1)延长 CB , C 'B ' 相交于点 F , 则

D
B

FB ' BB ' 1 3 ? ? ,而 B 'C '? 2 ,所以 FC '? 2. FC ' CC ' 3 2
连结 AF ,则 AF 是平面 ABCD 与平面 AB 'C ' D '

C'
D'

B'

F

的交线. 在平面 AB 'C ' D ' 内作 C 'G ? AF ,垂足为 G , 连结 CG .

G

A(A ')

图5 ? 2

因为 CC '? 平面 AB 'C ' D ' , AF ? 平面 AB 'C ' D ' ,所以 CC '? AF .
14

从而 AF ? 平面 CC 'G , CG ? AF .

D 所 以 ?C G ' C是 平 面 A B C 与 平 面 AB 'C ' D ' 所 成 的 一 个 锐 二 面
角. ??????????12 分

C ' A ? C 'F 在 Rt△ AC ' F 中, C 'G ? ? AF

3 2 3 5 2 , ? 2 5 ?3 ? ( 3)2 ? ? 2? ?2 ? 3?
2 2

?3 5 ? 3 30 ? ? 在 Rt△ CC 'G 中, CG ? CC ' ?C 'G ? 3 ? ? . ? 5 ? 5 ? ?
2 2

C 'G 6 , ? CG 6 即 平 面 ABCD 与 平 面 AB 'C ' D ' 所 成 的 锐 二 面 角 ? 的 余 弦 值 为
所以 cos? ? cos?CGC '?

6 .????????14 分 6
(法 2)以 C ' 为原点, C ' A 为 x 轴, C 'B ' 为 y 轴, C 'C 为 z 轴, 建立空间直角坐标系(如图 5-3), 则平面 AB 'C ' D ' 的一个法向量 n ? (0 , 0 , 1) . 设平面 ABCD 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) , 因为 A( 3 , 0 , 0) , B(0 , 所以 AB ? (? 3 ,
C

z

2 , 1) , C (0 , 0 , 3) ,

D
B

2 , 1) , BC ? (0 , ? 2 , 2) ,
C'
D'


而 m ? AB , m ? BC , 所以 m ? AB ? 0 且 m ? BC ? 0 , 即?

B'

y

?? 3x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? ? 2 y ? 2z ? 0

A(A ') x 图5 ? 3

取 z ? 1 ,则 y ?

2 , x ? 3 ,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m ? ( 3 , 2 , 1) . 2 , 1) 共 线 的 任 一 非 零 向

( 注 : 法 向 量 不 唯 一 , 可 以 是 与 m?( 3, 量)????????12 分

|m ? n| | 3 ? 0 ? 2 ? 0 ? 1? 1 | 6 ? ? . 2 2 2 2 2 2 | m || n | 6 ( 3) ? ( 2 ) ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 所 以 平 面 A B C D 平 面 AB 'C ' D ' 所 成 的 锐 二 面 角 ? 的 余 弦 值 为 与 cos? ?| cos ? m, n ?|?

6 . ???????14 分 6
D 所 以 平 面 A B C 与 平 面 AB 'C ' D ' 所 成 的 锐 二 面 角 ? 的 余 弦 值
15

(法 3)由题意,正方形 ABCD 在水平面上的正投影是四边形 A ' B 'C ' D ' , .

?

S AB'C ' D ' . ???????12 分 S ABCD
而 S ABCD ? ( 6 )2 ? 6 , S AB'C ' D' ? B 'C ' ? AC '? 2 ? 3 ? 6 ,所以 cos? ?

所 以 平 面 A B C D 平 面 AB 'C ' D ' 所 成 的 锐 二 面 角 ? 的 余 弦 值 为 与

6 , 6

6 . ???????14 分 6

16



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