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2015—2016年北京丰台高三上学期期末理科数学试题及答案



2015-2016 年北京丰台高三上学期理科数学试题及答案

丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习

高三数学(理科)2016.01
第一部分 (选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 1. 复数 (1 ? i)(1 ?

ai) 是实数,则实数 a 等于 (A)2 (B)1 (C)0 (D)-1

2.“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必 要条件

3.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?

1 ,若利用下面程序框图,计算该数 1 ? an

开始 n=1,A=1 n=n+1 A= ? 否 输出A 结束 是 1 A+1

列的第 2016 项,则判断框内的条件是 (A) n ? 2014 (B) n ? 2016 (C) n ? 2015 (D) n ? 2017

? x ? 1 ? cos ? 4.若点 P 为曲线 ? ( ? 为参数)上一点,则点 P 与坐标原点的 ? y ? 1 ? sin ?
最短距离为 (A) 2 ? 1 (B) 2+1 (C) 2 (D)2

5.函数 (A)

f ( x)=sin 2x+ 3 cos 2x 在区间 [0, ? ] 上的零点之和是
7? 2? 7? 4? (B) (C) (D) 12 3 6 3

6. 若 a ?

?

2

1

2x dx , b ? ? xdx , c ? ? log 2 xdx ,则 a, b, c 的大小关系是
1 1

2

2

(A) c ? b ? a (B) b ? c ? a (C) c ? a ? b (D) a ? b ? c

7. 若 F(c,0)为椭圆 C:

x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,椭圆 C 与直线 ? ? 1交于 2 a b a b

A,B 两点,线段 AB 的中点在直线 x ? c 上,则椭圆的离心率为
(A)

1 3 2 3 (B) (C) (D) 2 2 3 2

8.在下列命题中:①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等;②存在一个平面与 正方体的 6 个面所成较小的二面角都相等;③存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都 相等;④存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等.其中真命题的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.在 (2x ? 1)7 的展开式中, x 的系数等于_____.(用数字作答)
2

? x ? y ? 3 ? 0, ? 10.若 x, y 的满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为. ? x ? 1. ?
11.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S7 =42 ,则 a2 ? a3 ? a7 =.

12.在 ?ABC 中, AC ? 1, BC ? 3 ,点 M , N 是线段 AB 上的动点,则 CM ? CN 的最大值 为_______.

???? ? ????

13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
2

2

2

?e x ? a ( x ? 1), 14.设函数 f ( x ) ? ? 其中 a ? ?1 . ?ln( x ? a )( x ? 1).
①当 a ? 0 时,若 f ( x ) ? 0 ,则 x ? __________;

主视图

侧视图

( - ?, ? ?) ②若 f ( x) 在 上是单调递增函数,则 a 的取值范围________.

俯视图

二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13 分)如图,在 ?ABC 中, AB=12 , AC=3 6 , BC=5 6 ,点 D 在边 BC 上,且 ?ADC ? 60 .(Ⅰ)求 cos C ; (Ⅱ)求线段 AD 的长.
O

16. (本小题 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AD∥BC, AB⊥AD, E 是 AB 的中点, AB=AD=PA=PB=2,

BC=1,PC= 5 .
(Ⅰ)求证:CF∥平面 PAB; (Ⅱ)求证:PE⊥平面 ABCD; (Ⅲ)求二面角 B-PA-C 的余弦值.

17.(本小题 14 分)随着人们社会责任感与公众意识的不断提高,越来越多的人成为了志愿 者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查,在随机抽取的 10 位员工中, 有 3 人是志愿者. (Ⅰ) 在这 10 人中随机抽取 4 人填写调查问卷, 求这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率 P1 ; (Ⅱ)已知该创业园区有 1 万多名员工,从中随机调查 1 人是志愿者的概率为

3 , 10

那么在该创业园区随机调查 4 人,求其中恰有 1 人是志愿者的概率 P2 ; (Ⅲ)该创业园区的 A 团队有 100 位员工,其中有 30 人是志愿者. 若在 A 团队随机调查 4 人, 则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为 P3 . 试根据 (Ⅰ) 、 (Ⅱ) 中的 P1 和 P2 的值, 写出 P1 , P2 , P3 的大小关系(只写结果,不用说明理由).

18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的极值; (Ⅱ)若存在实数 x0 ? (?1,0) 围. ,

1 3 ax ? x 2 (a ? 0) . 3

且 x0 ? ?

1 1 ,使得 f ( x0 ) ? f ( ? ) ,求实数 a 的取值范 2 2

19.(本小题 13 分)已知定点 M (1, 0) 和直线 x ? ?1 上的动点 N (?1, t ) ,线段 MN 的垂直平 分线交直线 y ? t 于点 R ,设点 R 的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? b(k ? 0) 交 x 轴于点 C ,交曲线 E 于不同的两 点 A, B ,点 B 关于 x 轴的对称点为点 P.点 C 关于 y 轴的对称点为 Q ,求证:A,P,Q 三点 共线.

20.(本小题 13 分)

(i ? k , k ? 1, 2, 3,?, n ? 1) ak ?1 ? ak ? ai . 已知数列 {an } 的各项均为正数, 满足 a1 ? 1 ,
(Ⅰ)求证: ak ?1 ? ak ? 1 (k ? 1, 2,3,?, n ?1) ; (Ⅱ)若 { an } 是等比数列,求数列 { an } 的通项公式; (Ⅲ)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:

1 n(n ? 1) ? S n ? 2 n ? 1 2

丰台区 2015-2016 年第一学期期末练习

高三数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D

B

C

A

C

A

B

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9.-84 10.-2 11. 18 12. 3 13.
16 14.1 , ?e ? 1, ?? ? 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)根据余弦定理: cos C ?
AC 2 ? BC 2 ? AB2 (3 6) 2 ? (5 6) 2 ? 12 2 1 ? ? ???6 分 3 2 AC ? BC 2 ?3 6 ?5 6
1 2 2

(Ⅱ)因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? 3 3

AC ? sin C AD AC AD ? ? 8 ?????13 分 根据正弦定理得: sin C ? sin ?ADC sin ?ADC

16.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)取 AP 的中点 M ,连接 MF , MB , 因为 M 是 AP 中点, F 是 PD 中点, 所以 MF ? AD, MF ?
1 AD , 2
1 AD , 2

又因为 BC ? AD, BC ?

所以四边形 BCFM 是平行四变形
FC ? BM , FC ? 面 ABP , BM ? 面 ABP

所以 FC ? 面 ABP ??????????5 分 (Ⅱ)连接 CE , 因为在 ?ABP 中, AB ? AP ? BP ,点 E 是边 AB 在的中点, 所以 PE ? AB 且 PE ? 22 ? 12 ? 3 , 在 Rt?BEC 中, BE ? EC ? 1, EB ? BC ,所以 EC ? 2 在 ?PEC 中, PE ? 3 , EC ? 2 , PC ? 5 ,所以 PE ? EC

又因为 AB ? EC ? E , AB ? 面 ABCD , EC ? 面 ABCD 所以 PE ? 面 ABCD ????????9 分 (Ⅲ)取 CD 中点 N ,以 EB , EN , EP 分别为轴 x , y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 各点坐标为: B (1, 0, 0) , C (1,1, 0) , B (1, 0, 0) , P(0,0, 3) , A( ?1, 0, 0) 因为: BC ? PE , AB ? BC 所以 BC ? 面 ABP
??? ? 面 ABP 的法向量为 BC ? (0,1,0) ?? ? 设面 ABP 的法向量为 n2 ? ( x0 , y0 , z0 ) ??? ? ??? ? AP ? (1,0, 3) , AC ? (2,1,0)
z P F A D E B x C N y

??? ? ?? ? ? AP ? n2 ? 0 ? ? x ? 3z0 ? 0 ? ?? 0 ? ?? ? ? ??? ? AC ? n2 ? 0 ? ?2 x0 ? y0 ? 0 ?

?? ? 3 n2 ? (1, ?2, ? ) 3

由图可知二面角为锐二面角,设锐二面角为 ? cos? ?|

n1 ? n2 3 |? | n1 | ? | n2 | 2

二面角 B ? PA? C 余弦值为: cos? ?|

n1 ? n2 3 ?????????14 分 |? | n1 | ? | n2 | 2

17.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ) P1 ?
1 3 C3 ? C7 1 1 ? 所以这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率为 ???5 分 4 C10 2 2

1 (Ⅱ) P2 ? C4 (

3 1 7 3 ) ? ( ) ? 0.4116 10 10

1 所以这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率为 ??????????10 分 2

(Ⅲ) P 1 ? P 3 ? P 2 ??????????14 分

/ 2 / 18.(本小题共 13 分)解: (Ⅰ) f ( x) ? ax ? 2x ,令 f ( x) ? 0 得 x2 ? 0 , x3 ? ?

2 . a

x

2 (??, ? ) a
+

?

2 a

2 (? , 0) a
_

0

(0, ??)
+

f / ( x)
f ( x)

0 极大值

0 极小值

?

?

?

∴函数 y ? f ( x) 的极大值为 f (? ) ? ??????????8 分 (Ⅱ) 若存在 x0 ? ( ?1, ? ) ? ( ?

2 a

1 2 2 4 a ? (? )3 ? (? ) 2 ? 2 ; 极小值为 f (0) ? 0 . 3 a a 3a

1 2

1 1 , 0) ,使得 f ( x0 ) ? f (? ) ,则 2 2

1 ? 2 ?? a ? ? 2 ? 3 1 2 ? 2 由(Ⅰ)可知,需要 ?? ? ?1, (如图 1)或 ? ? ? ? ? (如图 2). a 2 a ? a 1 ? ? f (?1) ? f (? 2 ) ?

(图 1) 于是可得 a ? ( 分

(图 2) ?????????? 13

18 , 4) ? (4, 6) . 7

19.(本小题共 13 分) (Ⅰ)有题意可知: RN ? RM ,即点 R 到直线 x ? ?1 和点 M 的距离相等. 根据抛物线的定义可知: R 的轨迹为抛物线,其中 M 为焦点. 设 R 的轨迹方程为: y ? 2 px ,
2 2

p ? 1, 2

p?2
??????????5 分

所以 R 的轨迹方程为: y ? 4 x .

b b (Ⅱ)由条件可知 C ( ? ,0) ,则 Q ( ,0) . k k
? y ? kx ? b 联立 ? 2 ,消去 y 得 k 2 x 2 ? (2bk ? 4) x ? b2 ? 0 , y ? 4 x ?
? ? (2bk ? 4) ? 4b k ? 16(1 ? bk ) ? 0 .
2 2 2

y
B

A

C

Q

x

O

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,则 P ( x2 , ? y2 )
P

x1 ? x2 ?

4 ? 2bk 4 ? 2bk ? 4 1 ? bk 4 ? 2bk ? 4 1 ? bk , x1 ? , x2 ? . k2 2k 2 2k 2
y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2b ?k ? ? , x1 ? x2 ?8 1 ? bk 1 ? bk 2k 2

因为

k AP ?

k AQ ?

y1 ? 0 k (kx1 ? b) 2(1 ? 1 ? bk ) 2k ? ? ? b kx ? b 2[(1 ? bk ) ? 1 ? bk ] ? 1 ? bk 1 x1 ? k 2k
k AP ? k AQ , A, P, Q 三点共线 .

所以 分

??????????13

20. (本小题共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 ak ?1 ? ak ? ai ? 0(i ? k , k ? 1, 2,3,?, n ?1) , 所以数列 { an } 是递增数列,即 1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .

1 i ? k , k ? 1,2,3,?, n ? 1) , 又因为 ak ?1 ? ak ? ai ?( 1 k ? 1,2,3,?, n ? 1) . 所以 ak ?1 ? ak ?(
(Ⅱ)解:因为 a2 ? a1 ? a1 ,所以 a2 ? 2a1 ; 因为 { an } 是等比数列,所以数列 { an } 的公比为 2. ??????????3 分

( 因为 ak ?1 ? ak ? a i i ? k , k ? 1, 2,3,?, n ? 1) ,所以当 i = k 时有 ak ?1 =2ak .
这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列. 所以 an ? 2n?1 . (Ⅲ)证明:因为 1=a1 ? 1 , ??????????8 分

2=a2 ? 2 ,
3 ? a3 ? 22 , 4 ? a4 ? 23
? n ? an ? 2n?1 由上面 n 个式子相加,得到:

1+2+3+?+n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 20 +21 +22 +?+2n?1 ,
化简得

( n n ? 1) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (2n ? 1) 2

所以

1 n(n ? 1) ? S n ? 2 n ? 1 .???13 分 2



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