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江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试理科数学试题



江西省南昌市 2013 届高三第二次模拟测试 理科数学试题

第I卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。 1.已知复数 z ? A.第一象限 【解析】 z ? :

1? i (其中 i 是虚数单位) ,则复数 z 在坐标平面内对应的点在

( 2?i
B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限



1 ? i 1 ? 3i ? ,在第一象限,故选 A。 2-i 5
?1 ?1

3 3 2.已知 a ? 0.7 , b ? 0.6 , c ? log2.1 1.5 ,则 a , b, c 的大小关系是(



A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c 【解析】 :容易得出 a<b,又知 a>1>c,故选 A。 3.将函数 y ? sin( x ?

?
6 )

)( x ? R ) 图像上所有的点向左平行移动 x ? ? ) 2 3

? 个单位长度,再把图像上各点的横 6


坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图像的解析式为( A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin

?
3

B. y ? sin( D. y ? cos

x 2

x ?? ? 【解析】 :向左平移π /6,得到 y ? sin ? x ? ? ,扩大为 2 3? ?

原来的 2 倍,得 y ? sin ?

?? ?1 x ? ? 故选 B。 3? ?2


4. m ? 0”是“函数 ( x) ? m ? log2 x( x ? 1)存在零点”的( “ f A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【解析】 :函数 f ?x ? 存在零点,则 m ? 0 ,是充分不必要条件,故选 A。 5.若空间几何体的三视图如图所示,则该几何体体积为( A. ) D.8
·1·

4 3

B.

4 3 3

C.

8 3

2

2

2 主视图 【解析】 2 ? 2 ? 2 ? : 6.下列四个判断: ①某校高三(1)班的人和高三(2)班的人数分别是 m和n ,某次测试数学平均分分别是 a, b ,则 左视图 俯视图

1 8 ? ,故选 C。 3 3

这两个班的数学平均分为 归 直 线

a?b ②从总体中抽取的样本 (1,2.5), (2,3.1), (3,3.6), (4,3.9), (5,4.4), 则回 2 ;
已 知

y ? bx ? a必过点( ,3.6); ③ 3

?













N (1,22 ),且p(?1 ? ? ? 1) ? 0.3, 则p(? ? 3) ? 0.2
其中正确的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 【解析】 :①错;②必过(3,3.5) ;?对,故选 B D.3 个

7.将 5 名学生分到 A,B,C 三个宿舍,每个宿舍至少 1 人至多 2 人,其中学生甲不到 A 宿舍的不同分 法有( ) A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 【 解 析 】 当 甲 一 人 住 一 个 寝 室 时 有 : C2 ? C4 ? 12 种 , 当 甲 和 另 一 人 住 一 起 时 有 : :
1 2

2 2 C1 ? C1 ? C3 ? A2 ? 48 ,所以有 12+48=60 种,故选 D。 2 4

8.已知点 M (a, b)(a ? 0, b ? 0)是圆C:x ? y ? 1 内任意一点,点 P ( x, y ) 是圆上任意一点,则实
2 2

数 ax ? by ? 1 ( A.一定是负数 C.一定是正数

) B.一定等于 0 D.可能为正数也可能为负数

【解析】 :令 x ? sin?,y ? cos? , ax ? by -1 ? acos? ? bsin? ? 1 ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ? 1 ,又因为 a 2 ? b 2 小于 1,所以必定是负数,故选 A。
·2·

9.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,公差为 d,已知 ?a8 ? 1? ? 2013 a8 ? 1) ? 1, (
3

?a2006 ?1?3 ? 2013a2006 ?1? ? ?1 ,则下列结论正确的是( ?
A. d ? 0, S2013 ? 2013 C. d ? 0, S2013 ? ?2013



B. d ? 0, S2013 ? 2013 D. d ? 0, S2013 ? ?2013 d < 0 ;

【 解 析 】 : 通 过 求 导 易 知 a 8 ? 1 > 0 , a 2006 ? 1 < 0. 所 以

?a8 ?1?3 ? ?a 2006 ?1?3 ? 2003a8 ? a2006 ? 2? ? 0 ,可求出 a 8 ? a 2006 ? ?2 ,得出 S2013 ? ?2013,故选 ?
C。

? ?? ?DAB ? ? ,? ? ? 0, ? 10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB//CD,且 AB=2CD,设 ? 2 ? ,以 A,B 为焦点且过点
D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e 2 ,设 e1 = f ?? ?, e1e2 ? g ?? ?, 则

f ?? ?, g ?? ? 的大致图像是(



【解析】 :用特殊值法,当 ? ? 0 时, e1 ? 2 , e1e2 ? 1 ,易知 D 选项正确,故选 D。 第 II 卷 二填空题:本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分。 1. 曲线

y = cos x (0 ? x ?

3? )与坐标轴所围成的图形面积是 ________________. 2

【解析】 S ? 3 :

?

?
2 0

cosx ? 3
2 2

已知集合 A= {y|y= x +2x,-2≤x≤2}, B={x| x +2 x -3≤0},在集合中任意取一个元素 a,则 a ? B 的 概率是 ____
·3·

【解析】 A ? ?y | -1 ? y ? 8?, B ? ?x | ?3 ? x ? 1? , P ? : 2.

2 . 9

执行如图所示的程序框图,若输入 a 的值为 2,则输出的 p 值是 ______________. 是 开始 输入

p ?1 S ?1

S?a

p ? p ?1
输出 p

S?S?
结束

1 P

【解析】 :

P1 ? 1 ? 1 ? 2,S1 ? 1 ?

1 3 3 1 11 11 1 25 ? ,P2 ? 2 ? 1 ? 3,S2 ? ? ? , p3 ? 3 ? 1 ? 4,S4 ? ? ? 2 2 2 3 6 6 4 12 ,

因此答案是 4. 3. 观察下面两个推理过程及结论: (1)若锐角 A,B,C 满足 A+B+C= ? ,以角 A,B,C 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余
2 2 2 弦定理可得到等式: sin A= sin B+ sin C ? 2 sin B sin C cos A ,

(2)若锐角 A,B,C 满足 A+B+C= ? ,则(

? B ? C ? , ? 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式: 2 2 2 2 A B C B C A ? 2 cos cos sin . cos2 = cos2 ? cos2 2 2 2 2 2 2 则:若锐角 A,B,C 满足 A+B+C= ? ,类比上面推理方法,可以得到的一个等式是______________.【解
析】 :根据提示,容易得出 sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C ? 2sin 2B sin 2C cos 2 A 。
2 2 2

? A ? B ? C ? A ? )+( ? )+( ? )= ? ,以角 ? , 2 2 2 2 2 2 2 2

三.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分,本 题共 5 分。

(1)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系下 xoy 中,直线 l 的参数方程是

x ? 2 cos? ?x ? t ? 3 ?参数t ? R? .圆 C 的参数方程为 ? ?参数? ? R? ? ? ?y ? 3? t ? y ? 2 sin ? ? 2
则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_______________
·4·

【解析】 :直线 L: x ? y ? 6 ;圆 C: x 2 ? ?y ? 2? ? 4 . d ?
2

| 0? 2-6| ?2 2 2

(2) (不等式选做题)设 f ( x) ?| 2 x ? 1 |, 若不等式 f (x ) ≥ 立,则 x 的取值集合是________________. 【解析】 :

| a ? 1 | ? | 2a ? 1 | 对任意实数 a ? 0 恒成 |a|

| a ? 1 | - | 2a - 1 | 1 1 ?| 1 ? | - | 2 - | 的最大值为 3,从而 | 2x - 1 |? 3 ,解出 x ? ?1,x ? 3 |a| a a

四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 南昌市为增强市民的交通安全意识,面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维 持交通, 把符合条件的 1000 名志愿者按年龄分组: 1 组 ?20,25? 、 2 组 ?25,30? 、 3 组 ?30,35? 、 第 第 第 第 4 组 ?35,40? 、第 5 组 ?40,45? ,得到的频率分布直方图如图所示:

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

20 25 30 35 40 45 年龄

⑴若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持交通, 应从第 3、4、5 组各抽取多少名志愿者? ⑵在⑴的条件下, 南昌市决定在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者到学校宣讲交通安
·5·

全知识,若 ? 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 【 解 析 】 ( 1 ) 由 题 意 可 知 , 第 3 组 的 人 数 为 0.06 ? 5 ?1000 ? 300 , 第 4 组 的 人 数 为 : 0.04 ? 5 ?1000 ? 200 ,第 5 组的人数为 0.02 ? 5 ?1000 ? 100 。???????3 分 所以利用分层抽样在 600 名志愿者中抽取 12 名志愿者,每组抽取的人数为: 第3组

12 12 12 ? 300 ? 6 ,第 4 组 ? 200 ? 4 ,第 5 组 ? 100 ? 2 ?????6 分 600 600 600 (2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,
0 3 C6 C6 1 C1C 2 9 C 2 C1 9 , P(? ? 2) ? 6 3 6 ? , ? , P(? ? 1) ? 6 3 6 ? 3 C12 11 C12 22 C12 22

P(? ? 0) ?

P(? ? 3) ?

所以, ? 的分布列为:

3 C6 1 ? ,??????????????????????????10 分 3 C12 11

?

0

1

2

3

p

所以 ? 的数学期望 E? ? 1.5 ????????????????????????12 分 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,?1), n ? (cos x, ) , f ( x) ? (m ? n) ? m.

1 11

9 22

9 22

1 11

3 2

? ?? x ? ?0, ? (1)当 ? 2 ? 时,求函数 f (x) 的值域:
(2)锐角 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若,求边 a, c 【解析】(1) m ? n ? (sin x ? cos x, ) ,所以 :

?? ?

1 2

f ( x) ? (sin x ? cos x) sin x ?
即 f ( x) ?

1 1 1 1 ? sin 2 x ? sin x cos x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ,?3 分 2 2 2 2

2 ? sin(2 x ? ) ,????????????????????????4 分 2 4 ? ? ?3 ? ?[ ? , , ] 当 x ? [0, ] 时 , 2 x ? a1,1 a1, 2 a1, 3 a1, 4 2 4 4 4 ? 2 sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 4 2 ? 1 2 ] ;???????????6 分 所以当 x ? [0, ] 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 [? , 2 2 2

?

·6·

(2)由 f( )?

? 3 B 2 2 ( ? ,又 ) , 得 s i nB ? 4 5 2 5 ? ? ? B ? ?( ? , ), 4 4 4




c

4 B? ? ,?????????????? o 4 5

?

?????????????8 分 因此” cos B ? cos[( B ?

? a a a a ? a a a a ? ?????
a2 ,1 a 2 , 2 a2 , 3 a 2 , 4
3,1 3, 2 3, 3 3, 4

4 ,1

4, 2

4,3

4, 4

s

? ? ? ? ? 2 , ??9 分 ) ? ] ? cos( B ? ) cos ? sin( B ? )sin ? 4 4 4 4 4 4 10 32 2 2 4 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 98 ? , ??11 分 c ? c ? 2? c ? 25 5 10 所以: c ? 5 2, a ? 8 。??????????????????????????12 分
18、(本小题满分 12 分) 右表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等, 已知 a1,1 ? 1, a2,3 ? 6, a3, 2 ? 8. ⑴求数列 an , 2 的通项公式; ⑵设 bn ?

?

? ?
a1,n an, 2

? ?? 1? a1,n , n ? 1,2,3,?, 求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 。
n

【解析】(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是 d ,等比数列的公比是 q (q ? 0) , : 则 a2,3 ? qa1,3 ? q(1 ? 2d ) ? q(1 ? 2d ) ? 6 , ?????????????????2 分
2 2 , a3 , 2? q a 1 ,? q 1 ? d ? 2 ( 1? d) ? 8 ?????????????????4 分 ( ) q 2 n?1 n 解得: d ? 1, q ? 2 ,所以: a1,2 ? 2 ? an,2 ? 2 ? 2 ? 2 ;???????????6 分

n ? (?1) n n , 2n 1 2 3 n Sn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1) n n) ,???????????8 分 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 记 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 Tn ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 1 1 1 1 1 n n?2 两式相减得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ,所以 Tn ? 2 ? n ,??10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 n n?2 n ?1 n?2 ? 2 ? n 。??12 分 所以 n 为偶数时, S n ? ? 2 ? n , n 为奇数时, S n ? ? 2 2 2 2
(2) bn ?

·7·

19、 (本小题满分 12 分)如图已知:菱形 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AB=2AD=2CD=4 , ?ABE ? 60? , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 点 H,G 分 别 是 线 段 EF,BC 的 中 点 .

B. 求证:平面 AHC ? 平面 BCE; C. 点 M 在直线 EF 上,且 EF//平面 AFD,求平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值。 【解析】(1)证明:在菱形 ABEF 中,因为 ?ABE ? 60? ,所以△ AEF 是等边三角形, : 又 H 是线段 EF 的中点,所以 AH ? EF ? AH ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,所以 AH ? 平面 ABCD ,所以 AH ? BC ;??2 分 在直角梯形 ABCD 中,AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 ,?BAD ? ?CDA ? 90? , 得到:AC ? BC ? 2 2 , 从而 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? CB ,????????4 分 所以 CB ? 平面 AHC ,又 BC ? 平面 BCE ,所以平面 AHC ? 平面 BCE ;???6 分
2 2 2

(2)由(1) AH ? 平面 ABCD ,如图,分别 以 AD, AB, AH 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 4,0), C (2, 2,0), D(2,0,0) ,

E(0, 2, 3), F (0, ?2, 3), H (0,0, 3), G(1,3,0) ???7 分 ???? ??? ???? ? ? 设点 M 的坐标是 (0, m, 3) ,则 GM , AF , AD 共面, 所以存在实数 ? , ? 使得: ???? ? ??? ? ??? ? GM ? ? AD ? ? AF ? (?1, m ? 3, 3) ? (2?,0,0) ? (0, ?2?, 3?) ,
得到: 2? ? ?1, m ? 3 ? ?2?, 3 ? 3? ? m ? 1.即点 M 的坐标是: (0,1, 3) , ???8 分 由(1)知道:平面 AHC 的法向量是 BC ? (2, ?2,0) , 设平面 ACM 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

?

? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y ?? ?? 则: ? ? ???? ,?????????9 分 ? ?n ? AM ? 0 ?( x, y, z ) ? (0,1, 3) ? 0 ? y ? ? 3z ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) , ? ??? ? 12 42 所以 cos ? n, BC ?? ,??????????????????11 分 ? 7 2 2 ? 21
即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是

42 。?????????????12 分 7

20.(本小题 13 分) 已知椭圆 C: ⑴求椭圆 C 的方程;

3 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率等于 ,点 P 2, 3 在椭圆上。 2 2 a b

?

?

·8·

⑵设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,是否存在定 直线 l :x ? t , 使得 l 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在, 求出一个满足条件的 t 值; 若不存在, 说明理由。
' '

3 c2 3 ? 2 ? ? a 2 ? 4b 2 ,???????????????2 分 2 a 4 4 3 2 又点 P(2, 3) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1 ? b ? 4 , ??????????????4 分 4b b 2 2 x y ? ? 1 ;???????????????????????5 分 所以椭圆方程是: 16 4 y x?4 ? (2)当 l 垂直 x 轴时, M (2, 3), N (2, ? 3) ,则 AN 的方程是: , 6 ? 3 y x?4 BM 的方程是: ? ,交点 G 的坐标是: (8, ?2 3) ,猜测:存在常数 t ? 8 , ?2 3 即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, ????????6 分 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , G(8, yG )
【解析】(1)由 e ? : 将 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到: x2 ? 4k 2 ( x ? 2)2 ? 16 , 即: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?16 ? 0 ,??????????????????7 分

16k 2 16k 2 ? 16 , x1 x2 ? ,?????????????????8 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ???? 因为: AG ? (12, yG ) , AN ? ( x2 ? 4, y2 ) A, N , G 共线 12 y2 所以: 12 y2 ? ( x2 ? 4) yG , yG ? ,??????????????????9 分 x2 ? 4 ??? ? ???? ? 又 BG ? (4, yG ) , BM ? ( x1 ? 4, y1 ) 12 y2 要证明 B, M , G 共线,即要证明 4 y1 ? ( x1 ? 4) ,????????????10 分 x2 ? 4 即证明: k ( x1 ? 2)( x2 ? 4) ? 3k ( x2 ? 2)( x1 ? 4) ,
从而: x1 ? x2 ? 即: x1 x2 ? 2x2 ? 4x1 ? 8 ? 3x1 x2 ? 6x1 ?12x2 ? 24 , 即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0

16k 2 ? 16 80k 2 ? ? 16 ? 0 成立,???????12 分 因为: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 所以点 G 在直线 BM 上。 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, t 的值是 8 。??13 分
21.(本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ? 2a ln(x ? 1) ? x ? 2 x
2

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 g (x) 的单调性: (2)若函数 f (x ) 的图像上存在不同两点 A,B,设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,使得 f (x ) 在点
·9·

,切线 l 叫做函数 Q( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与直线 AB 平行或重合,则说函数 f (x) 是“中值平衡函数”

f (x) 的“中值平衡切线” 。试判断函数 g (x) 是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数 g (x) 的“中
值平衡切线”的条数;若不是,说明理由。

2a 2( x 2 ? 1 ? a) ? 2x ? 2 ? ??????????????1 分 x ?1 x ?1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 在定义域 (?1, ??) 上是增函数;??2 分 ? g '( x) ? 0 当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1 时,由 ? 得到 ?1 ? x ? ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a ,??4 分 ?x ?1 ? 0
【解析】(1) g '( x) ? : 所 以 : 当 a ? 0 时 , 函 数 g ( x) 的 递 增 区 间 是 (? 1,?

1? ) ( 1 ? a , ??) , 递 减 区 间 是 a 和

(? 1? a , 1 a ;????????????????????????????5 分 ? ) ? g '( x) ? 0 当 1 ? a ? 1 即 a ? 0 时,由 ? 得到: x ? 1 ? a , ?x ?1 ? 0
所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是 (?1, 1 ? a ) ;??7 分 (2)若函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,则存在 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) ( ?1 ? x1 ? x2 )使得

2a ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 1? 2 1 ? x1 2a( x1 ? x2 ) 即 a ln , (*)?????????????????????4 分 ? 1 ? x2 1 ? x1 ? 1 ? x2 当 a ? 0 时, (*)对任意的 ?1 ? x1 ? x2 都成立,所以函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,且函数 g ( x) 的
g '( x0 ) ?
“中值平衡切线”有无数条; ???????????????????8 分 当 a ? 0 时,设

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 x1 ? x2

2a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2

2(t ? 1) 1 ? x1 ? t ,则方程 ln t ? 在区间 (0,1) 上有解,??????10 分 t ?1 1 ? x2

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1)2 ,则 h '(t ) ? ? ? ? 0 ,???????12 分 t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 2(t ? 1) 所以当 0 ? t ? 1 时, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即方程 ln t ? 在区间 (0,1) 上无解, t ?1 即函数 g ( x) 不是“中值平衡函数”.?????????????????????14 分
记函数 h(t ) ? ln t ?

·10·



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