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第3章§1 .2椭圆的简单性质(理科)


武陟二中导学案

高二数学(选修 2-1)

§1 .2 椭圆的简单性质
设计人:赵军伟
【学习目标】 1.了解用方程的方法研究图形的对称性; 理解椭圆的范围、 对称性及对称轴, 对称中心、 离心率、顶点的概念;

审定:数学备课组

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? ? 椭圆图形越扁 ? ?椭圆越接近于圆
二、应用举例: 例 4 求椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心 率、焦点和顶点的定义即可求相关量.

2.掌握椭圆的标准方程、 会用椭圆的定义解决实际问题; 利用信息技术初步了解椭圆的 第二定义.
【学习重点】理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念; 【学习难点】掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题; 【知识衔接】 1. 把平面内与两个定点



的距离之和等于___(大于

)的点的轨迹叫做椭圆

(ellipse).其中这两个定点叫做_____,两定点间的距离叫做______.即当 动点设为 时,椭圆即为点集 .

2. 写出焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:______________。 3. 写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:______________。 【学习过程】 一、椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得:?a ? x ? a ,同理可得: b2 a2
扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?
2 2

?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里;
②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的 标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做 圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长 轴,较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?
第三章 圆锥曲线

10 ,求 m 的值. 5

c 叫做椭圆的离心率( 0 ? e ? 1 ) , a
-1§1.2 椭圆的简单性质

武陟二中导学案 例 5 ,如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是 椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F 1 F2 , F 1 B ? 2.8cm , 例 6 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ? 求点 M 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

高二数学(选修 2-1)

25 4 的距离的比是常数 , 4 5
线

? x ? 4?

2

? y2 ,到直

F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

l:x ?

25 25 的距离 d ? x ? ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4 4

引申: (用《几何画板》探究)若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到定直线 l : x ? 的距离比是常数 e ? 直线 l : x ?

a2 c

c ? a ? c ? 0? ,则点 M 的轨迹方程是椭圆.其中定点 F ?c,0? 是焦点,定 a

a2 相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : c

a2 x?? . c
【巩固练习】

引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡天飞行,其轨道是以 地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近地点 A 距地面 200 km ,远地点 B 距地面 350 km ,已知地 球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程.

【学习反思】

【作业布置】见教材习题一

第三章 圆锥曲线

-2-

§1.2 椭圆的简单性质



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