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华师大二附中2013届高三数学周测16


华师大二附中 2013 届高三数学周测 16 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? x z ? ? x ? 2 ? ? 4i, x ? R, i是虚数单位, z ? 5 ,

?

?

? ?3 x 2 ? ? ? 集合 B ? ? x 2 x x ? 3, x ? R ? , a ? A ? B , ? 1 0 0 ? ? ? 则实数 a 的取值范围为__________
2.设函数 f ( x) ? ?

? x ? 2 x ,  x ? 0, ?? 2 sin 2 x, x ? 0.

则方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解的个数为
2

3.已知集合 A ? {a, b, c, d , e}, B ? {c, d , e, f } ,全集 U ? A ? B ,则集合 ? ( A ? B) 中元素 U 的个数为__________________. 4.以下四个命题中,真命题的个数为 ①集合 ?a1 , a 2 , a3 , a 4 ?的真子集的个数为 15 ; ②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角; ④设无穷数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 ?S n ? 是等差数列,则 ?a n ?一定是常数列 5.已知函数 y ? g ( x) 的图像与函数 y ? 3 ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (10) 的值 为 .
x





③设 z1 , z 2 ? C ,若 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? 0 且 z 2 ? 0 ;
2 2

? 2 3? 6.若二项式 ? x ? ? 展开式的各项系数的和为 64 ,则其展开式的所有二项式系数中最大 x? ?
的是 . (用数字作答)
开始

n

4 7.无穷等比数列 {a n } 的各项和为 3 ,第 2 项为 ? ,则该数列的公 i ?1 S ? 0 , 3 比q ? . i ? i ?1 8.某算法的程 序框图如右图,若输出的 S 的值为 62 ,则正整数 n 的
值为 . i≤n
否 输出 S 结束

S ?S ?2i


9.从集合 ?1,2,3,4,5? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成 等差数列的概率为____________.

8 10.已知定义在 (0, ) 上的函数 y ? 2(sin x ? 1) 与 y ? 的图像的交 2 3 点为 P ,过 P 作 PP ? x 轴于 P ,直线 PP 与 y ? tan x 的图像交于点 1 1 1
P2 ,则线段 PP2 的长为 1
.

?

11.已知不等式 2 x ? a ? x ? 1 对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则实数 a 的取值范围是



12 . 已 知 △ ABC 的 面 积 为 1 , 在 △ ABC 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P、Q , 满 足

1/6

??? ??? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? PA ? PC ? 0, QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为


*

13.如下图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”(其中 m、 ? N ): n 2 3 例如 7 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的数是 13 ;若 m 的“分裂”中最小的数是 211 ,则 . m?

22
32

1 3 1 3 5

23
33

3

5 9 11
7

24
34

7

9 25 27 29

72

1 3 5 7 9 11 13

14 . 已 知 函 数

f ( x) ?| x ?

1 1 ? | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x)? a f ( x)? b 0 x x
.

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则 a 的取值范围是

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知 A, B, C, D 是空间四点, 命题甲: A, B, C, D 四点不共面, 命题乙: 直线 AC 和 BD 不相交,则甲是乙成立的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 [答]( )

0 16.若向量 m , n 满足 m ? n ? 1 , m 与 n 的夹角为 60 ,则 m ? m ? n ? [答](

?? ?

??

?

??

?

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?? ?? ?

?

?



(A)

1 2

(B)

3 2

(C) 2

(D) 1 ?

3 2

17. 已知函数 f ( x) ?| arctan( x ? 1) | , 若存在 x1 , x2 ? [a, b] , x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 且 使 立,则以下对实数 a 、 b 的描述正确的是 (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) b ? 1 18. 数列 ? an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 和为 S n ,则 S 2012 的值为 (A) ?672 (B) ?671 (C) 2012 三. 解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 设点 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 任意一点,且 PF1 ? PF2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设定点 D(m,0) ,已知过点 F2 且与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 交于 A 、 B 两点, 满足 AD ? BD ,求 m 的取值范围.
2/6

2n? 若数列 ? an ? 的前 n 项 (n ? N ? ) , 3
[答] ( (D) 672 )

[答]( (D) b ? 1



x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上 2 a

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 科学研究表明:一般情况下,在一节 40 分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间 变化而变化。开始上课时,学生的注意力逐步增强,随后学生的注意力开始分散。经过实验 分析,得出学生的注意力指数 y 随时间 x (分钟)的变化规律为:

0? x?8 ?2 x ? 68, ? y ? f ( x) ? ? 1 2 ?? 8 ( x ? 32 x ? 480),8 ? x ? 40 ?
(1)如果学生的注意力指数不低于 80,称为“ 理想听课状态” ,则在一节 40 分钟的课中学 生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长?(精确到 1 分钟) (2)现有一道数学压轴题,教师必须持续讲解 24 分钟,为了使效果更好,要求学生的注意 力指数在这 24 分钟内的最低值达到最大,那么,教师上课后从第几分钟开始讲解这道题? (精确到 1 分钟) 21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满 分 7 分,第(2)小题满分 7 分. .

x2 y2 已知椭圆 E 的方程为 ? ? 1 ,右焦点为 F ,直 4 3
线 l 与圆 x ? y ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的右侧,
2 2

y

O F B Q A

l

x

设直线 l 交椭圆 E 于不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? (1)若直线 l 的倾斜角为 ,求直线 l 的方程; 4
(2)求证: | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | .

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x

(1)求函数 f ( x) 的定义域 D ,并判断 f ( x) 的奇偶性; (2)如果当 x ? (t , a) 时, f ( x) 的值域是 ? ??,1? ,求 a 与 t 的值; (3)对任意的 x1 , x2 ? D ,是否存在 x3 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,若存在,求出

x3 ;若不存在,请说明理由.
3/6

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 设数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,已知 4Sn ? an ? 2an ? 1(n ? N ) .
2 *

(1)证明数列 {an } 是等差数列,并求其通项公式;

k p m (2)证明:对任意 m、、 ? N , ? p ? 2k ,都有
*

1 1 2 ? ? ; Sm S p Sk

(3)对于(2)中的命题,对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗?如果成立,请证明你的 结论,如果不成立,请说明理由.

4/6

答案
一、 (第 1 题至第 14 题) 1.?a ? 1 或 a ? ?1 5.2 ; 6.20 ; 12. 7.? ; 2. 3 ; 10. 3.3 ; 4.1; 11.a ? 2

1 , 3

8.5 ;

2 9. , 5

2 ; 4

或a ?5,

2 , 3

13. 15 , 15.A;

14. (?4, ?2) , 16.B; 17.A; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解]

解: (1)设 P( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y )

(1 分) (3 分) (2 分) (1 分) (1 分) (2 分)

a2 ?1 2 x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a ? a2 2 2 由题意, 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 , x2 ? y2 ? 1. 所以,椭圆 C 的方程为 2 (2)由(1)得 F (1, 0) ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ?
代入

x ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , 2k 2 ? 1 2k ? 1

2

?2k 2k 2 ? 1 2k 2 k ,? 2 ) , 设 AB 的中点为 M ,则 M ( 2 2k ? 1 2k ? 1 ? AD ? BD ,? DM ? AB ,即 kCM ? k AB ? ?1 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?
4k 2 ?2k ? 2m ? 2 k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m 2 2k ? 1 2k ? 1 m 2 因为直线 l 不与坐标轴垂直的,所以 k ? . 1 ? 2m m 1 ?0?0?m? . ? 1 ? 2m 2 ?
20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ;

(2 分)

(2 分)

????2 分

2 当 8 ? x ? 40 时,由 ? ( x ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分

1 8
?

所以 x ? ? 6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20

?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24

5/6

所以 t ? ? 0, 6 ?

??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f (t ) ? f (t ? 24) 即 2t ? 68 ? ? [(t ? 24) 2 ? 32(t ? 24) ? 480] ???????????2 分 解得 t ? 8 6 ? 16 ? 4 ???????????????2 分

1 8

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右 侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 ?????????????2 分

(2)因为 ?AOQ 为直角三角形,所以 | AQ |?

OA2 ? OQ 2 ? x12 ? y12 ? 3

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]



x12 y12 1 ? ? 1 得 | AQ |? x1 4 3 2


?????????????????2 分

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y12

x12 y12 1 ? ? 1 得 | AF |? 2 ? x1 ?????2 分 4 3 2
?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2

所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | ?????????????????1 分 22. [解](理) (1)令

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? ?????2 分 1? x
?1

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? ? log a ? 对任意 x ? D, f (? x) ? log a ? ? ? log a ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
所以函数 f ( x) 是奇函数. ?????????????????????2 分 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a 所以函数 f ( x) 是奇函数.

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?
?????????????2 分

6/6

(2)由

1? x 2 1? x 知,函数 g ( x) ? 在 ? ?1,1? 上单调递减, ? ?1 ? 1? x x ?1 1? x

因为 0 ? a ? 1,所以 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x) 的值域是 ? ??,1? ,所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x 1? a 故 g (a) ? ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 )?????2 分 1? a
. a2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1 ( ? 2 ? 1 舍去) 所以 a ? 2 ? 1 , t ? ?1 ?????????????2 分

(3)假设存在 x3 ? (?1,1) 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 即 log a

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 ? log a ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 log a ( ? ) ? log a ? ? ? , 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
解得 x3 ?

x1 ? x2 , 1 ? x1 x2

????? ????????3 分
2

? x ?x ? x ? x2 ? (?1,1), 即证: 1 2 ? ? 1 . 下证: x3 ? 1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x1 x2 ?
2 2 2 ? x1 ? x2 ? ( x ? x ) 2 ? (1 ? x1 x2 ) 2 x12 ? x2 ? 1 ? x12 x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ?1 ? 1 2 ? ?? 证明: ? ? (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 ? 1 ? x1 x2 ? 2

1 ? x1,x2 ? (?1, ,∴ 1 ? x12 ? 0, ? x2 2 ? 0 , (1 ? x1 x2 ) 2 ? 0 1)
? x ?x ? ? x ?x ? (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) ? 0 ,即 ? 1 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 2 ? ? 1 ∴ 2 (1 ? x1 x2 ) ? 1 ? x1 x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2 2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x1 x2 ) ,也即 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 . ? 1 ? x1 x2 ?

? x1 , x2 ? (?1,1) ,∴ 1 ? x12 ? 0,1 ? x2 2 ? 0, ∴ (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) ? 0 ,

7/6

? x ? x2 ? ∴? 1 ? ?1. ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?

2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
2 2 2

?????3 分
2

23. [解](理) (1)∵ 4S n ? an ? 2an ? 1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn ?1 ? an ?1 ? 2an ?1 ? 1 . 两式相减得 4an ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 , ∴ (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 2 , 又 4S1 ? a1 ? 2a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1
2

??????????2 分

∴ {an } 是以 a1 ? 1 为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴ an ? 2n ?1 ???????????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2 2 2 2 S S ∴ Sm ? m , k ? k , p ? p
(2)由(1)知 Sn ? 于是

??????????2 分

1 1 2 1 1 2 k 2 ( p 2 ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 ? ? ? 2? 2? 2? Sm S p Sk m p k m2 p 2k 2
??????????2 分

m? p 2 2 ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 , ? m2 p 2 k 2 mp ? 2 pm ? 2m 2 p 2 ? ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ? ? ∴ Sm S p Sk (
(3 )结论成立,证明如下:

??????????2 分 ??????????1 分
[来源:学科网 ZXXK]

n(a1 ? an ) n(n ?1) 设等差 数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 Sn ? na1 ? d? 2 2 m(m ?1) p( p ?1) 于是 Sm ? S p ? 2Sk ? ma1 ? d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ?1)d ] 2 2 m2 ? p 2 ? m ? p ? (m ? p)a1 ? d ? (2ka1 ? k 2 d ? kd ) ?????????2 分 2 (m ? p) 2 d ?0, 将 m ? p ? 2k 代入得, S m ? S p ? 2S k ? 4 ∴ Sm ? S p ? 2Sk ??????????2 分
又 Sm S p ?

mp(a1 ? am )(a1 ? a p ) 4

?

mp[a12 ? (am ? a p )a1 ? am a p ] 4

a ? ap 2 m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1ak ? ( m ) ] 2 2 ? 4 2 2 2 k (a1 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? ak )2 ? ? ? Sk2 4 4 (
8/6

??????????2 分



1 1 Sm ? S p 2Sk 2 ? ? ? 2 ? . Sm S p Sm S p Sk Sk

??????????1 分

9/6


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