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专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直



专题二:立体几何---线面垂直、面面垂直
一、知识点
(1)线面垂直性质定理

(2)线面垂直判定定理

(3)面面垂直性质定理

(2)面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
M 为 CC1 的中点, 1. 如图

1, 在正方体 ABCD ? A AC 交 BD 于点 O, 求证:AO ? 1B 1C1D 1 中, 1
平面 MBD. 证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A 1 A ,DB⊥AC, A 1A

AC ? A ,

∴DB⊥平面 A ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 ACC1 ,而 AO 1 . 1
2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4 9 2 2 2 在 Rt △ A1C1M 中 , A1M ? a . ∵ AO ? MO 2 ? A1M 2 , ∴ 1 4

A1 O ? OM. ∵OM∩DB=O,∴ AO 1 ⊥平面 MBD.
评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.

利用面面垂直寻求线面垂直
2. 如图 2,P 是△ABC 所在平面外的一点, 且 PA⊥平面 ABC, 平面 PAC⊥平面 PBC. 求 证:BC⊥平面 PAC. 证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. 因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC, AD ? 平面 PAC, 且 AD⊥PC, 由面面垂直的性质, 得 AD⊥平面 PBC. 又 ∵ BC ? 平面 PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC, BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直 线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在 空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直 ?线面垂直 ?线线垂直. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直
判定 判定 ??? ? 线面垂直 ??? ??? ? 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面 ??? ? ? 性质 性质

推出后面是判定定理, 而从后面推出前面是性质定理. 同学们应当学会灵活应用这些定理证 明问题.下面举例说明.

3 .如图1所示, ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD .

证明:∵ SA ? 平面 ABCD, B ? B C , C ? A E . ∴ SA ? BC . ∵A ∴ BC ? 平面 SAB. 又∵ AE ? 平面 SAB, ∴B ∵ SC ? 平面 AEFG,∴ SC ? AE .∴ AE ? 平面 SBC.∴ AE ? SB .同理可证 AG ? SD . 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平 面起到了关键作用, 同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征, 从而顺利实现证明所需要 的转化.

4.如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线 垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.

5.如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E为垂足, F是 PB 上任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC. 证明:∵AB 是圆O的直径,∴ AC ? BC . ∵ PA ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC, ∴ PA ? BC .∴ BC ? 平面 APC. ∵ BC ? 平面 PBC, ∴平面 APC⊥平面 PBC. ∵AE⊥PC,平面 APC∩平面 PBC=PC, ∴AE⊥平面 PBC. ∵ AE ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PBC. 评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平 面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻 找线线垂直的关系.

10.如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 分析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC 又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A ∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM

[例 2]如图 9—40,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.

图 9—40 (1)求证:AB⊥BC; (1) 【证明】作 AH⊥SB 于 H,∵平面 SAB⊥平面 SBC.平面 SAB∩平面 SBC=SB, ∴AH⊥平面 SBC, 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB,∴BC⊥SB,又 SA ∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB.

[例 3]如图 9—41,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分 别是 AB、PC 的中点.

求证:平面 MND⊥平面 PCD 【证明】取 PD 中点 E,连结 EN,EA,则 EN AM,∴四边形 ENMA 是 平行四边形,∴EA∥MN. ∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面 PCD,从而 MN⊥平面 PCD,∵MN ? 平面 MND, ∴平面 MND⊥平面 PCD. 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证 MN⊥平面 PCD 较困难,转 化为证明 AE⊥平面 PCD 就较简单了.另外,在本题中,当 AB 的长度变化时,可求异面直 线 PC 与 AD 所成角的范围.

1 2 CD

[例 4]如图 9—42,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、 C1D1、B1C1 的中点.

图 9—42 求证:平面 MNF⊥平面 ENF. 【证明】∵M、N、E 是中点,∴ EB1 ? B1 N ? NC1 ? C1M ∴ ?ENB1 ? ?MNC1 ? 45? ∴ ?MNE ? 90? 即 MN⊥EN,又 NF⊥平面 A1C1, MN ? 平面A1C1 ∴MN⊥NF,从而

MN⊥平面 ENF.∵MN ? 平面 MNF, ∴平面 MNF⊥平面 ENF.

4.如图 9—45,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点,且 PA=AB.

图 9—45 (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (2)求点 A 到平面 PCE 的距离. (1) 【证明】PA⊥平面 ABCD,AD 是 PD 在底面上的射影, 又∵四边形 ABCD 为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面 PAD, ∴∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角, ∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°,取 Rt△PAD 斜边 PD 的中点 F,则 AF⊥PD, ∵AF ? 面 PAD ∴CD⊥AF, 又 PD∩CD=D∴AF⊥平面 PCD,取 PC 的中点 G,连 GF、AG、EG,则 GF 又 AE

1 2 CD

1 2 CD,

∴GF AE∴四边形 AGEF 为平行四边形∴AF∥EG,∴EG⊥平面 PDC 又 EG ? 平 面 PEC, ∴平面 PEC⊥平面 PCD.

(2) 【解】由(1)知 AF∥平面 PEC,平面 PCD⊥平面 PEC,过 F 作 FH⊥PC 于 H, 则 FH⊥平面 PEC ∴FH 为 F 到平面 PEC 的距离,即为 A 到平面 PEC 的距离.在△PFH 与 △PCD 中, ∠P 为公共角,

FH PF ? PC ,设 AD=2,∴PF= 2 , 而∠FHP=∠CDP=90°,∴△PFH∽△PCD.∴ CD
PC= PD ? CD ? 8 ? 4 ? 2 3 ,
2 2

2 6 6 ?2 ? 3 ∴A 到平面 PEC 的距离为 3 . ∴FH= 2 3
【拓展练习】 一、备选题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的 各对平面.

(1) 【证明】∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径 ∴BC⊥AC; 又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2) 【解】平面 PAC⊥平面 ABCD;平面 PAC⊥平面 PBC;平面 PAD⊥平面 PBD;平 面 PAB⊥平面 ABCD;平面 PAD⊥平面 ABCD.

2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D,E 分别是 BB′,CC′上的一点,

1 BD= 2 a,EC=a.
(1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

(1) 【证明】分别取 A′C′、AC 的中点 M、N,连结 MN, 则 MN∥A′A∥B′B, ∴B′、M、N、B 共面,∵M 为 A′C′中点,B′C′=B′A′,∴B′M⊥A′C′, 又 B′M⊥AA′且 AA′∩A′C′=A′ ∴B′M⊥平面 A′ACC′. 设 MN 交 AE 于 P,

a ∵CE=AC,∴PN=NA= 2 . 1 又 DB= 2 a,∴PN=BD.
∵PN∥BD, ∴PNBD 是矩形,于是 PD∥BN,BN∥B′M, ∴PD∥B′M. ∵B′M⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥平面 ACC′A′,而 PD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2) 【解】∵PD⊥平面 ACC′A′,

3 ∴PD⊥AE,而 PD=B′M= 2 a,
AE= 2 a.

1 ∴S△ADE= 2 ×AE×PD 1 3 6 2 2a ? a? a 2 4 =2× .

二、练习题



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