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高中数学竞赛辅导01 (一)集合


竞赛辅导(一)集合
引入 知识要点

思考1

思考2

思考 3

课外思考
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 1

竞赛辅导(一)集合
关于竞赛学习的三个可操作性方向 1.在原有知识的基础上抬高一点; 2.尽量在现有学习的内容中去寻找思维训练点; 3.以配套竞赛用书的知识结构为框架来拓展

2012-8-28

高中数学竞赛辅导

2

集合 1.反演律:
痧( A ? B ) ? ( U 痧( A ? B ) ? ( U
U

A) ? ( A) ? (

U

B) B)

U

U

2.容斥原理:设 C ard ( X ) 表示集合 X 所含元素的个数, ⑴ C ard ( A ? B ) ? C ard ( A ) ? C ard ( B ) ? C ard ( A ? B ) , ⑵ C ard ( A ? B ? C ) ? C ard ( A ) ? C ard ( B ) ? C ard ( C ) -
Card ( A ? B ) ? Card ( A ? C ) ? Card ( B ? C ) ? Card ( A ? B ? C )

3. 一个 n 阶集合(即由 n 个元素组成的集合)有 2 n 个 不同的子集,其中有 2 n -1 个非空子集,有 2 n -1 个 真子集.
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 3

思考 1: 设 A ={ a | a = x 2 ? y 2 , x , y ? Z }, 求证:⑴ 2 k ? 1 ∈ A ( k ? Z ); ⑵ 4k ? 2 ? A (k ? Z ) . 解:⑴∵ k , k ? 1 ∈ Z 且 2 k ? 1 = k 2 ? ( k ? 1) 2 , ∴ 2k ? 1 ∈ A ;
⑵假设 4 k ? 2 ? A ( k ? Z ) ,则存在 x , y ? Z ,使 4 k ? 2 = x 2 ? y 2 即 ( x ? y )( x ? y ) ? 2( 2 k ? 1) (*) 由于 x ? y 与 x ? y 具有相同的奇偶性,所以(*) 式左边有且仅有两种可能: 奇数或 4 的倍数, 另一 方面, (*)式右边只能被 4 除余 2 的数,故(*) 式不能成立.由此, 4 k ? 2 ? A ( k ? Z ) .
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 4

练习

练习: 1. x ?
1 lo g 1
2

1 3

?

1 lo g 1
5

1 3

的值属于区间( D )

(A) ( ? 2, ? 1) (B) (1, 2 )

(C) ( ? 3, ? 2)

(D) ( 2, 3)

2.(教程 P27 3)若 x ? ? x log 2 x ? 2 ? x ? ,则有( A ) (A) x 2 ? x ? 1 (B) x 2 ? 1 ? x (C) 1 ? x ? x 2 (D) x ? 1 ? x 2

2012-8-28

高中数学竞赛辅导

5

思考 2.(教程 P16 6 )设 A={n|100≤n≤600,n∈N}, 则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的 70 个数为______________.

解:被 7 除余 2 的数可写为 7k+2. 由 100≤7k+2≤600.知 14≤k≤85. 又若某个 k 使 7k+2 能被 57 整除, 则可设 7k+2=57n. 即 k ? 57 n ? 2 ? 56 n ? n ? 2 ? 8 n ? n ? 2 . 7 7 7 即 n-2 应为 7 的倍数. 设 n=7m+2 代入,得 k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,1.于是所求的个数为 85-(14-1)-2=70
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 6

练习

练习 1.(教程 P34 )平面点集 M= ? ( x , y ) x 2 ? 2 x ? 2 ≤ y ≤ 6 x ? x 2 ? 3, 且 x , y ? Z ? 中 元

8 素的个数是______.
2. (教程 P35

? ? 1 1 ? ? )集合 ? n ? ? lo g 1 2 ? ? , n ? N ? 2 3 ? ? n ? ?

的真子集

7 的个数为___. 3. (教程 P1 7 )集合 M=? x cos x ? lg sin x ? 1? 中元素的个数 0 为______. 4. (教程 P8 )设集合 M ? ? ? 1, 0, 1? , N ? ? 2, 3, 4, 5, 6? ,映射
,则对任意的 x ? M , x ? f ( x ) ? xf ( x ) 恒为奇 50 数的映射 f 的个数为_______. (A)122 (B)15 (C)50 (D)27
f :M ? N
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 7

思考 3:集合 A={(x,y) x ? m x ? y ? 2 ? 0 },
2

集合 B={(x,y) x ? y ? 1 ? 0 ,且 0 ≤ x ≤ 2 }, 又 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.
? x2 ? mx ? y ? 2 ? 0 解:由 ? ?x? y?1? 0

得 x 2 ? ( m ? 1) x ? 1 ? 0

设 f ( x ) ? x 2 ? ( m ? 1) x ? 1
? 0 ? ? m 2? 1 ≤ 2 ? 或 f (2) ≤ 0 由数形结合得: ? 2 ? ? ? (m ? 1) ? 4 ≥ 0 ?

解得: m ≤ ? 1

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高中数学竞赛辅导

8

练习

练习 1.设全集 I ? {( x , y ) x , y ? R } ,集合 M
? {( x , y ) y?3 x?2 ? 1}

,

N ? {( x , y ) y ? x ? 1} ,那么 C I M ? C I N

等于(B ) (D) {( x , y ) y ? x ? 1}

(A) ?
B ? {x 2
1? x

(B){(2,3)}
2

(C)(2,3)

2.(教程 P9 )已知 A ? { x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R } , 若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 ? 4 ≤ a. ≤ 3.( 教程 P9 )已知集合 M= ( x , y ) y ?
? a ≤ 0, 且 x ? 2( a ? 7 ) x ? 5 ≤ 0, x ? R } .

-1
2

?

2x ? x

?,

N= ? ( x , y ) y ? k ( x ? 1)? ,当 M ? N ? ? 时, k 的取值范围是_____.

? 3? ?0, ? 3 ? ?

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高中数学竞赛辅导 2详细答案

9

1. B M 表示直线 y ? x ? 1 上除去点(2,3)的部分, C I M 表示点(2,3)和除去直线 y ? x ? 1 的部分, C I N 表示直线 y ? x ? 1 上的点集, 所以, C I M ? C I N 表示的点集仅有点(2,3),即 {( 2, 3 )} . 2. ? 4 ≤ a ≤ ? 1 . 依题意可得 A ? { x 1 ? x ? 3} , 设 f ( x ) ? 2 1 ? x ? a , g ( x ) ? x 2 ? 2( a ? 7 ) x ? 5 要使 A ? B ,只需 f ( x ) , g ( x ) 在(1,3)上的图象均在 x 轴的下方,则 f (1) ≤ 0 , f ( 3 ) ≤ 0 , g (1) ≤ 0 , g ( 3 ) ≤ 0 ,由此可解得结果. 3.数形结合
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 10


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