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内蒙古包头市第三十三中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题(Ⅱ)理



包三十三中学 2015~2016 学年度高二(下)学期期中 II 数学(理)试卷
(满分 150,时间 120 分钟) 第Ⅰ卷(共 80 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案 的序号填涂在答题卡上) 1. 若集合 A ? ?x || x ? 2 |? 3, x ? R? , B ? ?y | y ? lg(

x ? 1)?, 则 A ? B =( ) A

?? 1,1?

B. ?? ?,1?
2

C.

?? 1,5?

D. ?1,5?

2. 已知“命题 p: ?x ∈R,使得 ax ? 2x ? 1 ? 0 成立”为真命题,则实数 a 满足( ) A.[0,1) B. (??,1) C.[1,+∞) D. (??,1]

3.复数

1 ? 2i 的虚部是 i
B. ?1 C. i D. ? i





A. 1

4.下面使用类比推理正确的是 A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”





a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“
C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 5.设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f 2 ( x) ? f1' ( x),?, fn?1 ( x) ? f n' ( x) ,n∈N,则 f 2012 ( x) ?
'

A. sin x

B.- sin x C.

cos x

D.- cos x )

6.设函数 y ? f ( x) 可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 图像可能为( y y y y y

O
图1

x

O A

x

O

x

O C

x

O D

x

B

1

7.若直线 l 的参数方程为 ? A. ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) ,则直线 l 倾斜角的余弦值为 ? y ? 2 ? 4t

( )

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5
)

8. 已知函数 f ( x) ? log0.5 ( x 2 ? ax ? 3a) 在 [2,??) 单调递减,则 a 的取值范围( A. (??,4] B.[4,??) C. [?4,4] D. (?4,4]

9.设函数 f ( x) ?| lg x | ,若 f (a) ? f (b)(0 ? a ? b) ,则 A.有最小值 3 B.无最小值

1 2 ? a b

( )

C. 有最 小值 2 2 )

D. 有最大值

10. 有下 面四个判断:其中正确的个数是(

①命题: “设 a 、 b ? R ,若 a ? b ? 6 ,则 a ? 3或b ? 3 ”是一个真命题 ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 ③命题“ ? a 、 b ? R, a2 ? b2 ? 2(a ? b ? 1) ”的否定是: “ ?a 、 b ? R, a2 ? b2 ? 2(a ? b ? 1) ” A.0 11.不等式组 ? B.1 C.2 的解集为 D.3

?| x ? 2 |? 2,
2 ?log 2 ( x ? 1) ? 1

A. ( 3 ,4) B. ( 3 ,2) 12. 已知 f (x ) ? x ? 6x
3 2

C (0, 3 )

D. (2,4)

? 9x ? abc, a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b ) ? f (c ) ? 0 .

现给出如下结论: ① f (0)f (1) ? 0 ; ② f (0)f (1) ? 0 ; ③ f (0)f (3) ? 0 ; ④. f (0)f (3) ? 0 ; ⑤ abc ? 4 ; ⑥ abc ? 4 A.①③⑤ B.①④⑥ 其中正确结论的序号是( C.②③⑤ D.②④⑥ )

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)
3 13. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 3x 对 任 意 的 m ? [?2,2], f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则

x?

.
2

14.已知函数 f (x ) ? x ?n

?2 n ?3

(n ? 2k , k ? N ) 的图像在 [0,??) 上单调递增, n ?

.
2

15.若函数 f ( x) ? 围是 16 .曲线 y ? .

1 3 a | x | ? x 2 ? (3 ? a) | x | ?b 有六个不同的单调区间,则实数 a 的取值范 3 2

1 ? 2x ? 2e 2 x ,直线 x ? 1, x ? e 和 x 轴所围成的区域的面积是 x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17.(本题 12 分)已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a

(1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)当 3 ? M且5 ? M 时,求实数 a 的范围. 18. .(本题 12 分)已知函数 f ( x ) 对一切实数 x , y 均有 f (x ? y ) ? f ( y ) ? x (x ? 2 y ? 1) 成 立,且 f (1) ? 0 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 g (x ) ? (a ? 1)f (x ) ? a[f (x ? 1) ? x ] 在区间(-1,2)上是单调函数,求实数 a 的 取值范围.

? x? ? ? 19.(本题满分 12 分)已知椭圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
程为 ?

3 cos? 2 ,直线 L 的参数方 (?为参数) 1 sin ? 2

?x ? 1 ? t (t为参数) ?y ? 1? t

(1)求椭圆 C 的焦点坐标; (2)若参数 ? ? ? , ? ,试求椭圆 C 上的点到直线 L 的距离的最大值和最小值. ?2 3 ?

? ? 2? ?

20. (本题 12 分)将函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的图像向左平移 1 个单位,再将图像上的所有点 的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图像.

3

(1 )求函数 y ? g ( x) 的解析式和定义域; (2)求函数 y ? F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) 的最大值.

21. (本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) ? x ? x ,若不等式 f (? x) ? f ( x) ? 2 x 的解集为 C.
2

(1)求集合 C; (2)记 f ( x) 在 C 上的值域为 A,若 g ( x) ? x 3 ? 3tx ? , x ?[0,1] 的值域为 B,且 A ? B ,求实 数 t 的取值范围.

t 2

22、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 设 g ( x)? x ? 2 x? 2 , 若 对 任 意 x1 ? (0, ??) , 均 存 在 x2 ??0,1? , 使 得
2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

包三十三中学 2015~2016 学年度高二(下)学期期中 II 数学(理)试卷 参考答案 (满分 150,时间 120 分钟)
4

一、CBBCA 二 13. ( ?2, )

DBDCB AC

2 3

14. 0 或 2

15.(2,3)

16. e

2e

17. 解: (1)当 a ? 1 时,

x?5 x?5 ?0? ? 0 ? M ? (??,?1) ? (1,5) ??4 分 2 ( x ? 1)(x ? 1) x ?1

5 a? 3a ? 5 3 ? 0 ? a ? 5 或a ? 9 (2) 3 ? M ? ????????6 分 ?0? 9?a a ?9 3 5a ? 5 5a ? 5 a ?1 5? M ? ? 0 不成立.又 ?0? ? 0 ? a ? 1或a ? 25 ??8 分 25 ? a 25 ? a a ? 25
5 ? M ? a ? 1或a ? 25 不成立 ? 1 ? a ? 25
综上可得, 1 ? a ?
2

??10 分 ????????12 分

5 或9 ? a ? 25 3

18.解: (1) f ( x ) = x ? x ? 2 (2) g (x ) ? x 2 ? (1 ? a)x ? 2(a ? 1) ,由于 g ( x ) 在区间(-1,2)上是单调函数 所以

a ?1 a ?1 ? 2或 ? ?1 ,即 a ? 5 或 a ? ?1 故实数 a 的取值范围为 (??, ?1] ? [5, ??) 2 2

19.答案: (1)消去参数 ? 得椭圆的普通方程为

x2 y2 ? ? 1, 3 1 4 4

2分

所以 a ?
2

3 2 1 1 2 , b ? ,? c 2 ? ? c ? 4 4 2 2
2 2 ,0)与( ,0) 2 2
5分

所以椭圆 C 的焦点坐标为 (?

( 2)直线 L 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 所以椭圆 C 上的点到直线 L 的距离为

7分

|

? ? 3 1 cos? ? sin ? ? 2 | | sin(? ? ) ? 2 | 2 ? sin(? ? ) 3 3 ---------9 分 2 2 ? ? 2 2 2

5

因为 ? ? ? , ? ,所以 6 ? ? ? 3 ? ? ?2 3 ? 所以其最大值和最小值分别为 2 ,

? ? 2? ?

5?

?

------------10 分

3 2 4

12 分

20. 解析: (1) y ? g ( x) ? 2 log2 ( x ? 2), x ? ?2 (2) y ? F (x ) ? log2

?????4 分

x ,x ? 0 (x ? 2) 2

?????6 分

令 u (x ) ?

x -3 分 , x ? 0 (过程略) ---10 分当 x ? 2 时, y ? F ( x)的最大值 ? f (x ?1 ) ?? g12 ( x) (x ? 2) 2

21. [解](1) f ( x) ? f (? x) ? 2x 2
2 2 当 x ? 0 时, 2 x ? 2 x ? 0 ? x ? 1 ;当 x ? 0 时, 2 x ? ?2 x ? ? 1 ? x ? 0

所以集合 C ? [?1,1] (3) A ? [? ,2]

-----4 分

1 4

g ?( x) ? 3( x 2 ? t )

①当 t ? 0 时,函数 g ( x) ? x 3 ? 3tx ?

t 在 x ? [0,1] 单调递增,所以函数 g ( x) 的值域 2 1 1 ? ? t ?t ? ? 2 ? 2??4 t 5 2 ,解得 ? ,即 t ? ? ---7 分 B ? [ ,1 ? t ] , ∵ A ? B , ∴ ? 2 5 2 2 5 ?2 ? 1 ? t ?t ? ? 5 2 ? ?

② 若 t ? 1,

g ?( x) ? 3( x 2 ? t )

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,函数 g ( x) 在区间 [0,1] 单调递减,

5 t B ? [1 ? t , ] 2 2 1 ? 5 ?1 ? 2 t ? ? 4 ∴? :又 t ? 1 ,所以 t ? 4 。-------------------------------------9 分 t ? ?2 ? 2
③ 若 0 ? t ? 1 ,此函数 g ( x) 在 [ t ,1] 单调递增;在 [0, t ] 单调递减. g ( x) 在 x ? t 达到最 小值。

2 ? ? g (0) ? 2或g (1) ? 2 t ? 4或t ? ? ? ? 要使 A ? B ,则 ? , 1 ?? 5 g( t ) ? ? 3 2 ? ? 8 ( t ) ? 2 ( t ) ? 1 ? 0 4 ? ?
6

因为 0 ? t ? 1 ,所以使得 A ? B 的 t 无解。--------------------------------------11 分 综 上 所 述 :

t















2 (??,? ] ? [4,??) 5

-------------------------------------- --12 分 1 f ?( x) ? 2 ? ( x ? 0) x 22 解:(Ⅰ)由已知 ,

??????2 分

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 . (Ⅱ) f '( x) ? a ? ??????4 分

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . x x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . ??????6 分

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) . a a
??????8 分 (Ⅲ)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .

g ( x)max ? 2

??????10 分

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意.) ??????10 分

1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a
故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) ,解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) , ?a
-------12

1 . e3

7



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