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第二讲圆锥曲线-双曲线


第 2 讲 双曲线 ★知识梳理★
1. 双曲线的定义 (1)第一定义:当 | PF1 ? PF 2 |? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为双曲线; 当 | PF1 ? PF2 |? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹不存在; 当 | PF1 ? PF 2 |? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线 (2) 双曲线的第二义: ; (双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化). 解析: 平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( e ? 1 )的点 的轨迹为双曲线 2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(c,0), (?c,0) ,

y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(0, c), (0,?c)

焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 准线

2c

| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, x ? R
(0,?a ), (0, a)
c ? (1, ??) a

e?

渐近线

a2 c b y?? x a x??

a2 c a y?? x b y??

与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0) ? ? 1 共渐近线的双曲线系方程为: a2 b2 a2 b2 y 2 x2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 共轭的双曲线为 a2 b2 b2 a 2

与双曲线

等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 的渐近线方程为 y ? ? x ,离心率为 e ? 2 .;

1

★重难点突破★
重点:了解双曲线的定义、标准方程,会运用定义和会求双曲线的标准方程,能通过方程研 究双曲线的几何性质 难点: 双曲线的几何元素与参数 a, b, c 之间的转换 重难点:运用数形结合,围绕“焦点三角形” ,用代数方法研究双曲线的性质,把握几何元素 转换成参数 a, b, c 的关系 1.注意定义中“陷阱”

P 到 F1 , F2 距离之差为 6,则双曲线的方 问题 1:已知 F 1 (?5,0), F 2 (5,0) ,一曲线上的动点
程为 点拨:一要注意是否满足 2a ? F 1F 2 ,二要注意是一支还是两支

? PF1 ? PF 2 ? 6 ? 10? P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为
2.注意焦点的位置 问题 2:双曲线的渐近线为 y ? ?

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 9 16

3 x ,则离心率为 2

点拨:当焦点在 x 轴上时,

b 3 a 3 13 13 ? ,e ? ;当焦点在 y 轴上时, ? , e ? a 2 b 2 2 3

★热点考点题型探析★
考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1:运用双曲线的定义 [例 1 ] (2004·广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北 两个观测点同时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测 点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置 .( 假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的. [解析]如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故 P 在 AC 的垂直平分 线 PO 上, PO 的方程为 y=-x, 因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声, 故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线

x2 y2 ? ? 1 上, a2 b2
依题意得 a=680, c=1020,

y P
O

C

A

B

x

2

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 故双曲线方程为 2 ? ?1 680 5 ? 3402
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1. (吉林省长春市 2008 年高中毕业班第一次调研) 设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点 F1、 12
( D.24 )

F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△ PF1F2 的面积为 A. 6 3 B.12 C. 12 3
2 2

2. (2008 广州二模文)如图 2 所示, F 为双曲线 C :

x y ? ? 1 的左 9 16 焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称, x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一 a 2 b2

3. (广州市越秀区 2009 届高三摸底测试) P 是双曲线

点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则 ?PF 1 F2 的内切圆的圆心的横坐标为( ) (A) ? a ( B) ? b (C) ? c (D) a ? b ? c

题型 2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线 的方程.

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 16 4

3

【新题导练】 4.(广州六中 2008-2009 学年度高三期中考试)已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? , 焦点在坐 标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程为 ;
x 2

5. (2008 年上海市高三十校联考)以抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是

x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为___________________.
6. (2008 中山市一中第一次统测) 已知点 M (?3,0) ,N (3, 0) ,B(1, 0) , 动圆 C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、 N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P ,则 P 点的轨迹方程为

y2 ? 1 ( x ? ?1) A. x ? 8
2

y2 ? 1 ( x ? 1) B. x ? 8
2

C. x ?
2

y2 ? 1 (x > 0) 8

D. x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 10

考点 2 双曲线的几何性质 题型 1 求离心率或离心率的范围

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲 a 2 b2 线的右支上,且 | PF . 1 |? 4 | PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
[例 3] 已知双曲线

【新题导练】 7. (山东省济南市 2008 年 2 月高三统一考试) 已知双曲线 为

4 x2 y 2 ? ?1 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y ? x , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 e 3 m n

4

8. (2008 届华南师范大学附属中学、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学四校联考)

x2 y2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐 a b
近线的交点分别为 A、B 两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率 e 是( ) A. 5 ? 1 B.2 C. 5 ? 1 或 2 D.不存在

2

2

题型 2 与渐近线有关的问题

x2 y2 [例 4] (2007· 汕头)若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长, a b
则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 2

【新题导练】 9. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 2 4 A. y ? ? x B. y ? ? x 3 9

(
3 C. y ? ? x 2

)
9 D. y ? ? x 4
x2 ? y 2 ? 1 有相同的 2

10. (湖南师大附中 2009 届第三次月考)焦点为(0,6) ,且与双曲线 渐近线的双曲线方程是 A.
y x ? ?1 12 24
2 2

( ) B.
y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

5

★~~抢分频道★
基础巩固训练 1. 以椭圆 程是 (A) x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 (C) x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0 (B) x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆的方 169 144 9 16

(D) x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0

2. (2008 深圳二模)已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 , 0) 、 F2 ( 10 , 0) , M 是此双曲线上 的一点,且满足 MF1 ? MF2 ? 0 , | MF1 | ? | MF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是 ( A. )

x ? y2 ? 1 9

2

B. x 2 ?

y ?1 9

2

C.

x y ? ?1 3 7

2

2

D.

x y ? ?1 7 3

2

2

3. (2008 揭阳一模)两个正数 a、b 的等差中项是 线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 的离心率为(

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲 2

)

5 41 41 C. D. 4 4 5 4. (2008 珠海一模)设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为
A. B.
2 e12 ? e2 两曲线的一个公共点,且满足 PF 的值为( C ) 1 ? PF 2 ? 0 ,则 (e1e2 ) 2 1 A. B.1 C.2 D.不确定 2 x2 y2 5. (2008 珠海质检)已知 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 a b

5 3

F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离 心率的取值范围是( ) (A). (1 ? 2 ,??) (B). (1,1 ? 2 ) (C). (1, 3) (D). ( 3,2 2 ) 6. (山东省滨州市 2008 年高三第一次复习质量检测) 曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
A.焦距相等 B.焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对





6

综合提高训练

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有公共的焦点, 7. 已知椭圆 (1)求双曲线的渐近 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2 线方程(2)直线 l 过焦点且垂直于 x 轴,若直线 l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 3 ,求双曲线的方程 4

8. ( 执 信 中 学 2008-2009 学 年 度 第 一 学 期 高 三 期 中 考 试 节 选 ) 已 知 F1 , F2 是 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点,点 P?x, y ? 是双曲线右支上的一个动点,且 PF1 的最小值为 8 , a2 b2
双曲线的一条渐近线方程为 y ?

4 x . 求双曲线的方程; 3

7

9. (湖南省湘潭市 2009 届高三第一次模拟考试)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为

? 2, 0 ? ,右顶点为 ?

3, 0 .

?

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围

8

参考例题: 已知双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 , 点 P 是双曲线 C 上的一点, a2 b2

PF 1 ? 2 PF2 . 1 ? PF 2 ? 0 ,且 PF
(1)求双曲线的离心率 e ; ( 2 )过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P 1 ? OP 2 ? ? 1 , P2 两点,若 OP

27 , 4

2PP 1 ? PP 2 ? 0 ,求双曲线 C 的方程.

9


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