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2016届文科人教版数学教案 平面向量高考总复习 (3)



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2016 届文科人教版数学教案 平面向量高考总复习



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 11 月 1 日

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全方位教学辅导教案









知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算 针 1 向量的概念: 对 ? ? ? ①向量: 既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ??来表示, 或用有向线段的起点与终点 ??? ? ??? ? ? ? 性 的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y) 向量的大 ??? ? ? 小即向量的模(长度),记作| AB | 即向量的大小,记作| a | 授 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ? ? ? ? ②零向量: 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的, 0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | 课? ? ? a |=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的 问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ? ? 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1 ? ④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直 ? ? 线上 方向相同或相反的向量, 称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ? 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在 必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中 的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ? ? ⑤相等向量: 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合, 记为 a ? b 大小 ? x1 ? x 2 相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? ? y1 ? y 2
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2 向量加法
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求两个向量和的运算叫做向量的加法 ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC ? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的 终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”. 3 向量的减法
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? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量 ? ? ? ? ? ? ? 关于相反向量有: (i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 ? ? ? ? ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, ? ? ? ? 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ? ? ? ? ? ? ③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 4 实数与向量的积:
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? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下: ? ? (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; ? ? ? ? (Ⅱ) 当 ? ? 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 6 平面向量的基本定理: ? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 ? ? ? ? ? 有一对实数 ?1 , ? 2 使:a ? ?1e1 ? ?2 e2 , 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底
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7 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共 线(重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理 几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理, 计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具, 它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
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二. 平面向量的坐标表示

? ? 1 平面向量的坐标表示: 在直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j ? ? ? ? ? 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与 ? ? ? 数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位 置有关
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2 平面向量的坐标运算: ? ? ? ? (1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ??? ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ? ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) ? ? ? ? (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? ? ? ? (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ? 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
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3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表 示和性质
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运 算 类 型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 乘 法 几何方法 坐标方法 运算性质

1 平行四边形法则 2 三角形法则
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? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

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? ? ? ? a ?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC

三角形法则

? ? a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b ) ??? ? ??? ? AB ? ? BA ??? ? ??? ? ??? ? OB ? OA ? AB

向 量 的 数 量 积

? a 是一个向量, 满足: ? ? ? >0 时 , ? a 与 a 同 向; ? ? ? <0 时 , ? a 与 a 异 向; ? ? ? =0 时, ? a = 0 ? ? a ? b 是一个数 ? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0 ? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时, ? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?
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?a ? (?x, ?y)

? (?a ) ? (?? )a ? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b ? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b

?

?

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2 ? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

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三.平面向量的数量积 1 两个向量的数量积: ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ? b =︱ a ︱· ? ? ? ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0 ? ? ? ? ? a ?b 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射 |a| 影 ? ? ? ? ? 3 数量积的几何意义: a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 ? ? ? ? 4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 5 乘法公式成立: ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? a2 ? b 2 ? a ? b ; ? ? 2 ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 a ? b ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b
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6 平面向量数量积的运算律: ? ? ? ? ①交换律成立: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b ? ? ? ? ? ? 特别注意:(1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ; ? ? ? ? ? ? (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算: ? ? ? ? b = x1 x2 ? y1 y2 已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · ? ??? ? ? ??? ? ? ? 8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 0 ? ? ? 1800 ) ? ? 叫做向量 a 与 b 的夹角 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? ? ? ? ? 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时, θ =00, 当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800, 同时 0 与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ? ? ? ? ? ? 0 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 10 两个非零向量垂直的充要条件: ? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
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课 堂 检

巩固练习

例 1 给出下列命题: ? ? ? ? ① 若| a |=| b |,则 a = b ; ??? ? ???? ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; 测 ? ? ? ? ? ? ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c , ? ? ? ? ? ? ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ;

m
? ? ? ? ? ? ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ③ ?OA ? OC ? OB ? CO
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 设非零向量 a 、 b 不共线, c =k a + b , d = a +k b (k?R),若 c ∥ d ,试求 k

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 4 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值

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例 5 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐标
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 6 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角

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? ? ? ? ? ? ? ? 例 7 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值 ? ? ? ? ? ? (1) m ? n ;(2) m // n ; (3) m ? n

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例 8 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求
⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

m

例 9 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。
⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?

例 10 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点
⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

例 11 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2
求: OA ? (OB ? OC) 的最小值。

m

课 平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任 一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。如 ? ? ? ? 后 (1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______ 作 1? 3? (答: a ? b ); 业
2 2

(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
?? ?? ?

D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B);

??

?? ?

1 2

3 4

???? ??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ( 3) 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线, 且 AD ? a, BE ? b , 则 BC 可用向量

? ? a, b 表示为_____

(答: a ? b ); (4) 已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的 值是___ (答:0) 2 . 平面向量的数量积 :如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ? ? ? ? | a || b | cos? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积),记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。规 定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如 (1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (答:-9); ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____
2 2 4
? ? ? ? ? ? (3)已知 a ? 2, b ? 5, a?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____
? ?? ? ?? ? ??
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

2? 3

4? 3

(答:1);

(答: 23 ); ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____

? 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos? ,它是一个实数,但不一定大于 0。如
已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______
? ?
? ? ? ?

(答: 30? )

(答:

12 ) 5

5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? 0; ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ?2 ②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 b 反向时,

m

? ? ? ? ? ? b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充 a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 ? ? ? ? 分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; ? ? ? ? ? ? a?b ③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ | a ? b |?| a || b | 。如 a b
(1) 已知 a ? (? ,2? ) ,b ? (3? ,2) , 如果 a 与 b 的夹角为锐角, 则 ? 的取值范围是______ 4 1 (答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ); 3 3 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 3 (2) 已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 ? S ? ,则 OF , FQ 夹角 ? 的取 2 2 值范围是_________ ? ? (答: ( , ) ); 4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos y,sin y), a 与 b 之间有关系式 k a ? b ? 3 a ? kb , 其中k ? 0 , ①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的大小 ? ? k2 ?1 1 ( k ? 0) ;②最小值为 , ? ? 60? ) (答:① a ? b ? 4k 2 12、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 反向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;当 a、 b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;当 a、 ? ? ? ? ? ? ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (这些和实数比较类似). ( 3 ) 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?

? x ? x ? x y ? y ? y3 ? G? 1 2 3 , 1 2 ? 。如 3 3 ? ? 若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1) 、 (-3,4) 、 的坐标为_______

(-1,-1) ,则⊿ABC 的重心

2 4 (答: (? , ) ) ; 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心, 特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 3 的重心; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ???? ??? ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心 ( 是 ?BAC 的角平分线所在直 AB ? ? ???? ④向量 ? ( ??? | AB | | AC | 线); ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ⑤ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (4) 向量 PA、 PB、 PC 中三终点 A、B、C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB ? ? PC 且 ? ? ? ? 1 .如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足

m

OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______

? ??

? ??

? ??

(答:直线 AB)

高中复习知识梳理之八

平面向量
一、重点知识
(一)基本概念:向量的有关概念有:向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向
量、相反向量、平行向量(共线向量)、数乘向量; 基线、单位向量、基向量、基底、正交基底: 向量的模(或向量的长度): ; ; ;

? ? 向量 a 在轴 l 上的正射影、向量 a 在轴 l 方向上的数量:
(二)向量的基本运算:
1. 向量的线性运算:加法、减法及数乘向量的综合运算: (1)向量求和的三角形法则: (2)向量求和的平行四边形法则: (3)向量求和的多边形法则: (4)向量减法法则: 结论1 ; ; ; ;

在 ?ABC 中 AB ? BC ? AC (加)或 AC ? AB ? BC (减)称 ?ABC 为向量三角形;推

广可有 A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An A1 ? 0 ,称

A1 A2 ? An A1 为封闭折线.
?
;其方向

( 5 )数乘向量的定义:实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 ;其长为 为: ; 数乘向量的几何意义是: ; 向量加法满足下列运算律:(1)加法交换律: ;(2)加法结合律: 数乘向量满足下列运算律:(1) (2) (3) 如:①在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? a , AD ? b , DM ?

; 。

1 1 DO , ON ? OC ,试用 a, b 表示 3 3

m

???? ? MN ?

.

②如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交 直线 AB , AC 于不同的两点 M ,N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN , 则 m ? n 的值为 2. 向量共线的条件: 结论 2 (平行向量基本定理)向量 a 与 b(? 0) 平行(即共线)的充要条件是存在唯一实数 ? 使 .

??? ?

???? ?

??? ?

????

a ? ? b .特别地,三点 A、B、C 共线 ? AB ? ? AC . ? ? 3. 轴上向量的坐标及其运算:已知轴 l ,取单位向量 e ,对于轴 l 上任意向量 a 总是存在唯一实数 x ? ? ? 使得 a ? xe ,我们称 x 为向量 a 在轴 l 上的坐标(或数量)。 ? ??? ? ? ??? ? 设 e 是轴 l 的一个基向量,向量 AB 的坐标为 AB,则 AB ? ABe ; ??? ? 若轴 l 为 x 轴,可设点 A、B 的坐标分别为 x1,x2,则向量 AB 的坐标 AB= x2 ? x1 。
4. 向量的分解: 结论 3(平面向量基本定理) 设 a ,b 是平面上两个不共线向量(称为一组基底),则对平面上任 一向量 c ,存在唯一实数 ? , ? 使 c ? ? a ? ? b . 称为向量 c 关于基底 的分解式。 1 t AC ? ? OA ? OB? t ? ? 称为定比分点向量式, 特别地若 ? ? ? ? 1 , 则有① OC ? 也称为直线 AB 1? t 1? t CB ? ? 这里 的向量参数方程式;② OC ?
1 OA ? OB 称为中点向量式( C 为 AB 中点). 2 上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法,如: ①证明三角形的三条中线交于一点,且这点把三条中线都分成 2 ∶ 1 的两条线段。

?

?

②求证 ?ABC 三条高 AD、BE、CF 相交于一点.

5.平面向量的坐标运算:

? c ? (?, ? ) 。

对于结论 3 ,若 {a, b} 是一组单位正交基底,则称 (? , ? ) 是向量 c 在基底 {a, b} 下的坐标,记作

? ?

? ?

(在平面直角坐标系下)用坐标表示下列结论:设 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,则有:

?

?

? ? ? ? a?b ? ;a ?b ? ? ? ? ? ? a ? b(? 0) ? b ? ? a ?

; ?a ? ;

?



6.向量的数量积: 结论 4 为 两个向量的数量积为 a ? b .数量积有如下性质:

? a b cos? ,其中 ? ? a ,b

为两个向量的夹角,其范围



? ?? b ? ? ? ? ? ? a ? e ? a cos ? e ? ? 为b方向的单位向量 ? ;是点到直线(甚至到平面)距离公 ? ? b ? ?

式推导的根据;

m

? ? a ?b ② 夹角公式 cos ? ? ? ? ? a b
③ a ? a?a ? a 即 ④ ⑤
2 2

;(坐标形式)

? ? ? ? a ?b ? 0 ? a ? b ?

? ? ? a ? a?a ?

(用于求模); ;(坐标形式)

? ? ? ? a ? b ? a b . (某些不等式放缩证明的根据)
? ? ? ? ? ?

数量积的运算律:(1)交换律: (3)分配律:

;(2)数乘律: 。(请给出证明)



注意:不满足消去律: a ? c ? b ? c 推不出结论 a ? b ,举例: 。 4 3 如:①已知平面上直线 l 的方向向量 e =(- , ),点 O(0,0)和点 A(1, -2)在 l 上的射影分别为 O' 和 A' , 5 5 且 O ' A' ? λ e ,其中 λ=(
11 A. 5
2

) C. 2
2

11 B.5

D.-2

②模公式 a ? a ? a ? a 的应用举例: (1)求证: | a ? b |2 ? | a ? b |2 ? 2(| a |2 ? | b |2 ) ,其几何意义是 。

(2)若 | a |?| b |?| a ? b |? 3 ,则 a ? b ? (3)已知 | a |? 2 , | b |? 3 , | a ? b |?

7 ,则 a 与 b 的夹角为
?

(4)已知 a, b, c 中每两个向量夹角都为 120 且 | a |? 4 , | b |? 6 , | c |? 2 ,求 | a ? b ? c | 值. 7. 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的方向向量 v ?

?

?? ? P( x0 , y0 ) , 而 且 点 M ( x, y) ? l , n0 是 单 位 法 向 量 , 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离 公 式
为: 8. 结论5: 。(向量形式)

,法向量 u ?

?

,若再已知定点

a ? b ? a ? b ? a ? b ,称为向量三角形不等式.

(三)三角形的“四心”与向量 1. 关于重心 G,有重心公式: OG ? 坐标 G (

????

? ??? ? ???? 1 ??? (OA ? OB ? OC ) 3

x A ? x B ? xC y A ? y B ? y C , ) ,并有性质 GA ? GB ? GC ? 0 ; 3 3

2. 关于垂心 H,有性质 HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ; 3. 关于外心 O,有性质 | OA |?| OB |?| OC | ; 结论:O、H、G 三点共线且 OH ? 3OG ;此线称为欧拉( Euler )线。(如何证明?) 4. 关于内心 I,经常涉及内角平分线的研究,如 AI ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

)。

m

如: ①已知 O , N , P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
(A)重心 外心 垂心 (C)外心 重心 垂心 (B)重心 外心 内心 (D)外心 重心 内心

??? ? ???? ? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ②在四边形 ABCD 中, AB = DC =(1,1), ??? ? BA ? ??? ? BC ? ??? ? BD ,则四边形 ABCD 的面 BA BC BD
积是 ③设斜 △ ABC 的外接圆圆心为 O ,两条边上的高的交点为 H , OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则实 数m= 。

④ O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? ??? ? ??? ? OP ? OA ? ? ? ? ?

??? ? ???? AB AC ? ??? ? ? ???? ? , ? ??0, ??? ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( AB AC ? ?



A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 (四)向量与解析几何 在解析几何中,熟练掌握下列结论,有助于更好地运用向量:

(1)A、B、C 三点共线等价于存在实数 ? ? ,使得 OC ? ? OA ? ? OB ( ? ? ? ? 1 );

??? ?

??? ?

??? ?

这也就是方向向量,横坐标单位化,得: ?1, tan ? ? ,也就是说:直线 Ax ? By ? C ? 0 的方向向量是

? ??? ? ???? 1 ??? OA ? OB ? OC . 3 ???? ? (3)直线的方向向量是什么? 给定两点: P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? ,那么 PP 1 2 ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ,
(2) ?ABC 的重心 G 的坐标公式为 OG ?

????

?

?

? B, ? A? ,直线的法向量是 ? A, B? .
例 如 : 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 点 E、F 的 坐 标 分 别 为 (?1,0)和(1,0) , 点 A、P、Q 运 动 时 , 满 足

AE ? 2 EF , AQ ? QF, PQ ? AF ? 0, AP // EP ,
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程. ???? ? ???? ??? ? (2)设 M 、 N 是轨迹 C 上的两点,若 OM ? 2ON ? 3OE ,求直线 MN 的方程 体验练习题一: 一、选择题

(x,1 ) ,b= 1.已知平面向量 a= , 则向量 a ? b ( (-x, x )
2

)

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线
0

2.一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角, 且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A. 6 B. 2 C. 2 5 )
(

D. 2 7 )

3.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则(

??? ? ??? ? ? A. PA ? PB ? 0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

?

m

4.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角形,则它的 边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 B. 4 C. 5 )
.

5.已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为( (A) ? 1
7

D. 6



(B) 1
7

(C) ? 1

6

(D) 1

6

6. 8.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交 于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( ) 1 1 A. a ? b B. 2 a ? 1 b C. 1 a ? 1 b 4 2 3 3 2 4

??? ?

??? ?

??? ?

7. 3.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A、 (?5, ?10)

?

?

? ?

?

1 2 D. a ? b 3 3

?

) ) )

B、 (?4, ?8) C、 (?3, ?6) D、 (?2, ?4) ? ? ? ? ? 8. 5.已知平面向量 a ? (1, ?3) , b ? (4, ?2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A. ? 1 B. 1 C. ? 2 D. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9. 4.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? a ? a ? b ? ( 1 3 A. B. C. 1 ? 3 D.2 2 2 2 1 3 ,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 a ? b ? ( 10.已知平面向量 a ? (11) ) 2 2 ? 1) 1) , 2) A. (?2, B. (?2, C. (?1 D. (?1 , 0) 11.在直角 ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不 成立的是( ) .

??? ? 2 ??? ? ??? ? (A) AC ? AC ? AB

??? ? 2 ??? ? ??? ? (B) BC ? BA ? BC

??? ? 2 ???? ??? ? (C) AB ? AC ? CD

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ( AC ? AB) ? ( BA ? BC ) (D) CD ? ??? ?2 AB
)

12.已知向量 a ? (1,n),b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( A. 1 二、填空题 B. 2 C. 2 D.4

1.若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) ,则 a ? 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b =
o



? ?

?

?

?

?

?

? ?

3.已知向量 a 和 b 的夹角为 120 , | a |? 1,| b |? 3 ,则 | 5a ? b |?
0

?

?

?

? ?

? ? ? ? 4.已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1,0) , | ? a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? = . ??? ? ??? ? ??? ? a? b ? b? c ? c? a ? ?1 , OA = a , OB = b , OC = c , 5. 设 O、 A、 B、 C 为平面上四个点, 且a ? b ? c ? 0, 则 a ? b ? c =_______.
6.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点



??? ? ??? ? ??? ? F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ______.(用 a,b 表示) ? ? ? ? ? ? 7. 设 向 量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) ( 1 ) 若 a 与 b ? 2c 垂 直 , 求 , ? ? ? ? tan(? ? ? ) 值;(2)求 | b ? c | 的最大值;(3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . .

m

8. 已知向量 m ? (cos? ,sin? ) 和 n ? 的值.

??

?

?

?? ? 8 2 ? ?? 2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? , 且 m?n ? , 求 cos ? ? ? ? 5 ?2 8?

?

体验练习题二: 一、选择题: 1.若向量 a =(1,2),b =(1,-3),则向量 a 与 b 的夹角等于( ) A 45
?

B 60

?

C 120

?

D

135?

2.在平面直角坐标系 xOy 中作矩形 OABC ,已知 OA ? 4 , AB ? 3 ,则AC ·OB 的值为( ) A 0 B7 C 25 D? 7 )





→ → → → → → → 3.向量 a , b 的夹角为 120°,│ a │=│ a │=2,则 a ·( a - b )等于(
A 4?2 3 B2 C 4?2 3 D6

4.已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意实数 t,恒有| a -t e | ? | a - e |,则( ) A. a ⊥ e B. a ⊥( a - e ) C . e ⊥( a - e ) D.( a + e )⊥( a - e ) 5.已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为() (A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6
)

6.已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 7.已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么( ) A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 k ? ? 1 C. 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 二.填空题: 4? b = ?11 , ? .若向量 b ? (? a + b) ,则实数 ? 的值是 8.已知向量 a = ? 2,, ;

? 9. 设 O 为坐标原点, 向量 OA ? (1, 2) . 将 OA 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90 得到向量 OB , 则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 2OA ? OB 的坐标为____________. 10.设集合 D ? { 平面向量 } ,定义在 D 上的映射 f ,满足对任意 x ? D ,均有 f (x) = ? x( ? ? R 且

? ? 0 ).若︱a︱= ︱b︱ 且 a、b 不共线,则〔 f ( a) ? f (b)〕 ? (a+b)=________;若
A(1,2), B(3,6),C (4,8) ,且 f ( BC) ? AB ,则 ? _______. 11. 若把函数 y ? log2 ( x ? 2) ? 3 的图象按向量 a 平移, 得到函数 y ? log2 ( x ? 1) ? 1 的图象, 则向量 a
的坐标为 . 12.设向量 a ? (1,0),b ? (sin? , cos? ),0 ? ? ? ? , 则 a ? b 的最大值为 _________. 13.已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 14.已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么( ) A. k ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 )
?? ??

m

C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 三、解答题:

D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

15.四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。

16. 在直角坐标平面中,已知点 P 1,2?, P2 2,22 , P3 3,23 ,?, Pn n,2n ,其中 n 是正整数,对平面上任 1? 一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P 1 的对称点, A2 为 A 1 关于点 P 2 的对称点,..., An 为 An?1 关于点 P n的 对称点.(1)求向量 A0 A2 的坐标;(2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y ? f ( x) 的图 象, 其中 f ( x) 是以 3 为周期的周期函数, 且当 x ? ?0,3? 时,f ( x) ? lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 ?1,4? 上的解析式;(3)对任意偶数 n ,用 n 表示向量 A0 An 的坐标.

?

? ? ?

?

?

解析:因为 AB = DC =(1,1),所以四边形 ABCD 为平行四边形,所以 ? ? ? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? 3 ??? ??? ? BA ? ??? ? BC ? ??? ? BD ? ??? ? ( BA ? BC ) BA BC BD BD

??? ? ????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BD ? 3 BA ? 3 BC ,即 BA ? BC ? 2, BD ? 6
则四边形 ABCD 的面积为 S ? 2 ?

解法一: m ? n ? cos? ? sin ? ? 2,cos? ? sin ?

?? ?

?

1 6 ? 6? 2? ? 3 2 4

?

?? ? ? (cos ? ? sin ? ) 2 = 4 ? 2 2(cos? ? sin ? ) = 4 ? 4 cos ? ? ? ? 4? ? ?? ? 8 2 ?? ?? 7 ? ? , ,得 cos ? ? ? ? ? 又 = 2 1 ? cos ? ? ? ? 由已知 m ? n ? 4? 5 4 ? 25 ? ? ? ? 16 ?? ? ? ? ,∴ ? ? ?? ,2? ? , cos ? ? ? ? ? 2cos2 ( ? ) ? 1? cos 2 ( ? ) ? 2 8 25 4? 2 8 ? 5? ? ? 9? 4 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ∴ ,∴ cos ? ? ? ? 0 ,∴ cos ? ? ? ? ? 。 8 2 8 8 5 ?2 8? ?2 8?
?? ? m?n ?

? cos? ? sin ? ? 2 ?

2

m

解法二: m ? n ? m ? n

?? ? 2

?

?? ?
2

?

2

?? 2 ?? ? ? 2 ?? 2 ?? ? ? 2 ? m ? 2m ? n ? n ? m ? 2m ? n ? n

? ? cos ? ? sin ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 ?cos ? 2 ? sin ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 4 ? 2 2 ? cos ? ? sin ? ? ? 4 ?1 ? cos ? ? ? ? ? ? 8cos 2 ? ? ? 4 ?? ? ?2 8? ? ?? ? 8 2 ?? ? ? 4 由已知 m ? n ? ,得 cos ? ? ? ? 。 5 ?2 8? 5 5? ? ? 9? 4 ?? ? ? ?? ? ? ∵ ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? , ? cos ? ? ? ? 0 , ? cos ? ? ? ? ? 8 2 8 8 5 ?2 8? ?2 8? [解](1)设点 A0 ( x, y) ,A0 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1 (2 ? x,4 ? y),
2 2

?

?

? ?? ?

?

?

2

2

2

?

?

A1 关于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2 (2 ? x,4 ? y) ,所以, A0 A2 ? {2,4}. (2)[解法一]? A0 A2 ? {2,4},? f ( x) 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得到. 因此,基线 C 是函数 y ? g ( x) 的图象,其中 g ( x) 是以 3 为周期的周期函数,且当

x ? (?2,1]时, g ( x) ? lg( x ? 2) ? 4, 于是,当x ? (1,4]时, g ( x) ? lg( x ? 1) ? 4.
[解法二]设 A0 ( x, y ), A2 ( x 2 , y 2 ),于是?

? x2 ? x ? 2 ? y2 ? y ? 4
?当x ?{1,4]时, g ( x) ? lg( x ? 1) ? 4.

若 3 ? x2 ? 6, 则0 ? x2 ? 3 ? 3, 于是f ( x2 ) ? f ( x2 ? 3) ? lg( x2 ? 3). 当 1 ? x ? 4时, 则3 ? x2 ? 6. y ? 4 ? lg( x ? 1), (3) A0 An ? A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An?2 An 由于 A2k ?2 A2k ? 2P2 k ?1 P2 k , 得 A0 An ? 2( P 1P 2 ?P 3P 4 ??? P n ?1 P n),

n 2(2 n ? 1) 4(2 n ? 1) ? 2({1,2} ? {1,2 3 } ? ? ? {1,2 n?1}) ? 2{ , } ? {n, }. 2 3 3

签 教研组长: 字 下节课的计划:

教学主任:

学生:

教务老师:

家长:

m

老 学生的状况、接受情况和配合程度: 师 课 给家长的建议: 后 评 价
TA-65



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