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函数的单调性及最大(小)值教案


课题
教材目次

函数的单调性与最 大(小)值

课型

新授

课时

1 课时

人教版普通高中课程标准版教科书 数学 1(必修)第一章第 3 节第一课时 【知识和技能】 1、 会根据函数图象描述图象的变化规律,掌握函数单调性的判断; 2、 理解最大(小)值得概念,并能准确求出函数的最大(小)值。 【过程与方法】 1、 能根据函数的单调性画出函数的大致图形;

教 学 目 标

2、在一个区间内找出函数的最大(小)值。
【情感、态度与价值观】 函数单调性和最大(小)值的研究经历了从直观到抽象,以图识 数的过程,在这个过程中,通过自主探究活动,体验数学概念的形成 过程。培养探究能力和创新精神,体验到思考与探索的乐趣,培养勇 于探索,善于研究的精神,挖掘其非智力因素的资源,培养良好的思 维品质。 判断函数的单调性,求函数的最大(小)值 在指定的区间内判断函数的单调性,并准确找出最大(小)值 情境创设法、多媒体演示法、讲述法 多媒体、直尺

教学重点 教学难点 教学方法 教学媒体

教 学 过 程 设 计
一、创设情境、引入新知 创设情境、 1、 你能画出 f ( x) = x 2 的图象吗?根据画出的函数图像分析函数的变化规律。

-3 -2 -1 0 1 2 3

2、对于二次函数 f ( x) = x 2 ,我们可以这样描述, “在区间[ 0,+∞) 上随着 x 的增大,相 应 的 f ( x ) 也 随 着 增 大 ” 在 区 间 0,+∞) 上 , 任 取 两 个 x1 , x 2 , 得 到 相 应 的 :

f ( x1 ) = x1 , f ( x 2 ) = x 2 ,当 x1 < x 2 时,有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ,这时,我们就说 f ( x) = x 2
2 2

在( 0,+∞) 上是增函数。
1

9 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1

二、新课概念梳理 【单调性的概念】 一般设函数 F(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意的两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 < x 2 时,有

f ( x1 ) < f ( x 2 ) ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数;
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意的两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 < x 2 时,有

f ( x1 ) > f ( x 2 ) ,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数;
【最大(小)值的概念】 一般的,设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ∈ I ,都有 f ( x ) ≤ M ; (2)存在 x0 ∈ I ,使得 f ( x0 ) = M . 那么,我们称 M 是函数 y = f ( x) 的最大值 最大值. 最大值 思考: 最小值的定义吗? 思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数 y = f ( x) 的最小值 最小值 三、练习巩固、形成技能 练习巩固、 【学以致用】 例 1:图示是定义在[-5,5]上的函数 y = f ( x) ,根据图像说出函数的单调区间,以及在 每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1 1

0

1

2

3

4

5

解:函数 y = f ( x) 的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中 y = f ( x) 在区间 [-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。 例 2:已知函数 f ( x) = 2 /( x ? 1), ( x ∈ [ 2,6]), 求函数的最大值和最小值。 解:设 x1 , x 2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1 < x 2 ,则:

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = 2 /( x1 ? 1) ? 2 /( x 2 ? 1) = 2[( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] /( x1 ? 1)( x 2 ? 1) = 2( x 2 ? x 2 ) /( x1 ? 1)( x 2 ? 1) 由 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 6 ,得 x1 ? x 2 < 0, ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) > 0, 于是: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0,
2

2 3



f ( x1 ) > f ( x 2 ) 所以,函数 f ( x ) = 2 /( x ? 1) 在区间 [ 2,6] 上是减函数。

因此,函数 f ( x ) = 2 /( x ? 1), ( x ∈ [ 2,6]), 在区间 [ 2,6] 的两个端点上分别取得最大值和最小 值,级在 x=2 时取得最大值,最大值为 2,在 x=6 时,取得最小值,最小值是 0.4. 四、反思评价、归纳小结 反思评价、 1、本节我们学到了哪些知识? 2、在一个指定的区间我们怎样去判断函数的单调性?主要的步骤是什么? 3、最大(小)值是怎样定义的?怎样根据函数的单调性判断在一个区间内的最大(小)值? 五、分层照顾、布置作业 分层照顾、 【必做题】 1、物理中的波伊尔定律 p =

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积 v

V 减小时,压强 v 将增大,试用函数的单调性证明之。 2、已知函数 f ( x) = x 2 ? 2 x, g ( x) = x 2 ? 2 x( x ∈ [ 2,4]). (1)求 f ( x), g ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x), g ( x) 的最小值;

【选做题】 1、 “菊花”烟花是烟花之中最壮观的烟花之一,制造时一般是期望它在达到最高点时爆 炸, 如果烟花距地面 h 米, 与时间 t 秒之间的关系为 h(t ) = ?4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲 出后什么时间是它爆炸的最佳时刻?这时距地面的高度是多少?(精确到 1 米) 六、板书设计

七、注记

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