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1.1.4《投影与直观图》



观察下列投影现象,它们的投影过程有何不同?

S

投 射 方 向

一、平行投影
1、点的平行投影
点M′叫做点M在平面内关于直线l的平行投影(或象)
M I

M’

一、平行投影
2、图形的平行投影
如果图形F上的所有点

在平面内关于直线l的平行投影构 成图形F′,则F′叫做图形F在平面内关于直线l的平行投影

I 投射线 斜投影 投射面

一、平行投影

正投影

二、平行投影的性质
问题1:直线或线段的平行投影是什么图形? 1.当直线或线段不平 行于投射线时,直线 或线段的平行投影仍 是直线或线段 2.当直线或线段平行 于投射线时,直线或 线段的平行投影是一 个点

二、平行投影的性质
问题2:两条平行直线的平行投影是什么图形?
1.当直线不平行于 投射线时,平行直 线的平行投影是平 行直线或重合为一 条直线 2.当直线平行于投 射线时,两条平行 直线的平行投影是 两个点

二、平行投影的性质
问题3:平行于投射面的线段的平行投影是什么 图形,它与原来的线段有什么关系? 与原线段等长

二、平行投影的性质
问题4:平行于投射面的图形的平行投影是什么 图形,具有什么性质? 与原图全等

二、平行投影的性质
问题5:当图形中的直线或线段不平行于投射线时, 在同一直线(或平行直线)上的两条线段,它们 的平行投影的比还等于原来这两条线段的比吗? 投影比等于原线段比 A B C C’

A’

B’

例1:下列说法正确的是________. ①直线或线段的平行投影仍为直线或线段 ②与投射面平行的平面图形,其投影与这个图 形一定全等 ③平行四边形的平行投影可能是矩形 ④两平行直线的平行投影一定平行 ⑤如果一条长为2米的线段,其平行投影为1米, 则长为10米的线段,其平行投影的长为5米

? 例2. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时, 关于平行投影的性质,下列说法中不正确的是 ( ) ? (A)直线或线段的平行投影仍是直线或线段 ? (B)平行直线的平行投影仍是平行的直线 ? (C)与投射面平行的平面图形,它的投影与这 个图形全等 ? (D)在同一直线或平行直线上,两条线段平行 投影的比等于这两条线段的比

三、中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形 的影子就是它在这个平面上的中心投影.

平行投影与中心投影有什么区别?
平行投影的投射线都互相 平行,中心投影的投射线 是由同一点出发的. B

A

D C

斜二测画法:
①在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观图时,它 们分别对应x’轴和y'轴,两轴交于O′,使∠x’O’y’=45° 它们确定的平面表示水平平面; (让尽量多的点在坐标轴上) ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中 分别画成平行于x′轴和y′轴的线段; ③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持不变; 平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.

四、水平放置平面图形的直观图
应用举例:例3画出水平放置的直角梯形的直 观图

y D C D′ A
O

y′ C′

B x

A′

B′

x′

平面图形的直观图画法
(1)画轴.

y
y’

o

x

o’

( 450或1350 )

x’

(2)确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴

(3)确定线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变.

确定点位置的画法: 在斜坐标系里横坐 标保持不变,纵坐 标变为原来的一半.

平行y轴的线段的长度变为原来的一半. (4) 成图

? 例4.用斜二测画法画出水平放置的正五边 形的直观图
【探究】先画出正五边形的图形,然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图。 【研析】

例5:思考:如何画出正六棱柱的直观图?

F y A B F E F’ A M O x N D A’ B’

Z

E D

C

E’ X’

M’ O’ N’ D’ C’

B

C

空间几何体的直观图画法
1、画轴:增加z轴, ∠xoz=900;

2、画底面;

3、画侧棱.(直棱柱的侧棱和z轴平行,长度保持不变)

4、成图. 注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.

1.已知正?ABC的边长为a,求它的直观图?A?B?C ? 的面积。
2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图 是一个底角为45 ?,腰和上底长均为 1的等腰梯形, 求这个平面图形的面积。
结论: 若一个平面图形的面积为S,它的水平放置的直观图 S? 2 的面积为S ?, 则 ? S 4

课堂小结: 一、平行投影
二、平行投影的性质 三、中心投影 四、水平放置平面图形的直观图



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