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1.1命题及其关系



1.1.1命题

下列语句的表述形式有什么特点?你能判 断它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.

以上均为陈述句,(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.

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命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符 号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题.

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; 真命题 (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; 假命题 (5)
假命题

?? 2?2

?2 ;

真命题

(6)x>15.

上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式. p——命题的条件,q——命题的结论.

例2

指出下列命题中的条件p和结论q;

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断真假; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等; (4)等腰三角形两腰的中线相等; (5)偶函数的图像关于y轴对称; (6)垂直于同一个平面的两个平面平行.

1.1.2四种命题

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条 件 和结论之间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;

说出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题,并判断真假
(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的, 下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论
是 都是 大于 小于

反设词
不是 不都是

原结论
至少有一个 至多有一个

反设词
一个也没有 至少有两个

至少有n个 至多有(n-1)个 不大于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 不成立



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