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高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之平面向量的坐标表示和计算 新人教A版



二、平面向量的坐标表示和计算:
典型例题: 例 1.在平面直角坐标系中,O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 坐标是【 】

??? ?

???? 3? 后,得向量 OQ ,则点 Q 的 4

( A) (?7 2, ? 2)
【答案】 A 。 【考点】向量的计算。 【解析】∵

O(0,0), P(6,8)

( B ) (?7 2, 2)

(C ) (?4 6, ?2)

( D) (?4 6, 2)

3 4 ,sin ? ? 。 5 5 ??? ? ???? 3? 又∵向量 OP 按逆时针旋转 后,得向量 OQ , 4 ???? 3? 3? ),10sin(? ? )) ? (?7 2, ? 2) 。故选 A 。 ∴ OQ ? (10 cos(? ? 4 4 ??? ? ??? ? ??? ? 例 2.若向量 BA =(2,3) , CA =(4,7) ,则 BC =【 】
∴设 OP ? (10cos? ,10sin ? ) ,得 cos ? ? A. (-2,-4) 【答案】A。 【考点】平面向量的坐标运算。 【解析】 BC = BA + AC = BA - CA = (2 - 4,3- 7) = (- 2, - 4) 。故选 A。 例 2.若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? 【 A. (4, 6) 【答案】A。 【考点】平面向量的坐标运算。 【解析】 AC ? AB + BC = (1+ 3, 2 + 4) = (4,6) 。故选 A。 B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10)

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

】 D. (2, 2)

??? ?

??? ?

??? ?

(x ? 1, 2 ),b ? ( 2,1 ) 例 3.已知向量 a ? ,则 a ? b 的充要条件是【
1 A.x=- 2 【答案】D。 【考点】向量数量积的运算和性质。 B.x=-1 C.x=5 D.x=0



1

(x ? 1 ) ? 2 ? 0 所以 x =0 。故选 D。 【解析】由向量垂直的充要条件得 2

?? ? ? ?? ? ? 例 4.已知向量 a ? ?1, ?1? , b ? ? 2, x ? 若 a ? b ? 1 则 x =【
(A) —1 【答案】D。 【考点】向量的数量积。 【解析】∵ a ? b ? 2 ? x ? 1 ,∴ x ? 1 。故选 D。 (B) —



1 2

(C)

1 2

(D)1

? ?

例 5.设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b ∥ c ,则 a ? b ? 【 (A) 5 【答案】B。 【考点】平面向量的基本运算及向量共线、垂直的性质。 (B) 10 (C) 2 5 (D)10



? ? 【分析】∵ a ? ( x,1), c ? (2, ?4) 且 a ? c ,∴ a ? c ? 2 x ? 4 ? 0, x ? 2 。
又∵ b ? (1, y), c ? (2, ?4) ,∴ 1? (?4) ? 2 y, y ? 2 。

? ? ? ? 2 ∴ a ? b ? (3, ?1) 。∴ a ? b ? 32 + ? ?1? ? 10 。故选 B。
例 6.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? 【 (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10

?

?

?

?

? ?



【答案】 10 。 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。 【分析】通过向量的垂直,求出向量 a ,求出 a ? b ,然后求出模: ∵ x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b , ∴ x ? 2=0 ,即 x =2 。∴ a ? (2,1) 。

?

? ? ?

?

?

?

?

3, ?1) ∴ a ? b=( 。∴ | a ? b |? 3 + ? ?1? = 10 。故选 B。
2 2

? ?

? ?

例 7.设向量 a =(1, cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 【

?

?



A.

2 2

B.

1 2

C .0

D.-1

2

【答案】C。 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系,二倍角的余弦。 【解析】∵ a ? b ,∴ a ? b ? 0 。

?

?

? ?

1 ? 0 。 又∵ a =(1, cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? ) ,∴ ?1 ? 2cos ? ? 0 ,即 cos2 ? ?2cos ? ?
2 2

?

?

故选 C。 例 8.若 n ? (?2, 1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 【答案】 arctan 2 。 【考点】直线的方向向量,直线的倾斜角与斜率的关系,反三角函数的表示角。 【解析】设直线的倾斜角为 ? ,则 tan? ? 2, ? ? arctan2 。 例 9.若 d ? (2,1) 是直线 l 的一个方向向量,则 l 的倾斜角的大小为 【答案】 arctan ▲ (结果用反三角函数值表示).

? ?



(结果用反三角函数值表示)

1 。 2

【考点】直线的方向向量,直线的倾斜角与斜率的关系,反三角函数的表示角。

1 1 , ? ? arctan 。 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 例 10.设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 (a ? c) ⊥ b ,则 a ?
【解析】设直线的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 【答案】 2 。 【考点】向量的计算。 【解析】∵ a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) , ∴ a ? c ? (3,3m), (a ? c)? b ? 3(m ? 1) ? 3m 。



?

?

?

? ?

? ? ?

又∵ (a ? c) ⊥ b ,∴ (a ? c)? b ? 0 ,即 3(m ? 1) ? 3m ? 0 ,解得 m ? ? ∴ a ? (1, ?1) 。∴ a ?

? ?

?

? ? ?
2。

?

?

1 。 2

例 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在

??? ? (0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为
▲ 。

3

【答案】 (2 ? sin 2, 1 ? cos 2) 。 【考点】圆的弧长,锐角三角函数,向量的坐标。 【解析】根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转了

2 ? 2 弧度,此时点 P 的坐标为: 1

x P ? 2 ? cos(2 ? ) ? 2 ? sin 2 , yP ? 1 ? sin(2 ? ) ? 1 ? cos2 。 2 2 ??? ? ∴ OP ? (2 ? sin 2, 1 ? cos2) 。
例 12.已知向量 a = ?1,0? , b = ?1,1? ,则 (Ⅰ)与 2a ? b 同向的单位向量的坐标表 示为 (Ⅱ)向量 b ? 3a 与向量 a 夹角的余弦值为 【答案】 (Ⅰ) ? ▲ ▲ 。 ;

?

?

? 3 10 10 ? 2 5 (Ⅱ) ? 。 ? 10 , 10 ? ?; 5 ? ?

【考点】向量的数量积,向量同向的条件,单位向量,向量间的夹角。 【解析】 (Ⅰ)由 a = ?1,0? , b = ?1,1? ,得 2a ? b = ? 3,1? 。

? 3 10 x? ? ?x ? y ? 1 ? 10 。 设与 2a ? b 同向的单位向量为 c = ? x, y ? ,则 ? ,且 x, y ? 0 ,解得 ? ?3 y ? x ? 0 ? y ? 10 ? 10 ?
2 2

∴c = ?

? 3 10 10 ? ? 3 10 10 ? , ,即与 2a ? b 同向的单位向量的坐标为 ? ? ? 10 ? 10 , 10 ? ?。 10 ? ? ? ? ?

(Ⅱ)由 a = ?1,0 ? , b = ?1,1? ,得 b ? 3a = ? ?2,1? 。 设向量 b ? 3a 与向量 a 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

? b ? 3a ??a ? ? ?2,1???1, 0 ? ? ? 2
b ? 3a a 5 ?1

5 5



4



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