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单元检测1(函数及三角函数)



单元检测一(函数及三角函数) 第 I 卷(50 分)
一、 选择题(5’*10)
1、 函数 f(x)= log2x+ (A)O 个

1 —1 的零点的个数为 ( x
(B)1 个

) (C)2 个 (D)3 个

2、命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan

A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 3、已知点 O(0,0), A(1, 2), B(4,5) ,若 OA ? 2 AB ? OP ,则点 P 的坐标为( (A) (5, 4) (B) (4,5) (C) (?5, 4) (D) (?4,5)

uuu v

uuu v

uuu v



4、在直角坐标系内,角 ? 的始边在 x 轴的正半轴上,顶点在坐标原点,其终边过点

A(?3a, 4a)(a ? 0) ,则 cos 2? 的值等于(



7 (A) 25

7 (B) 25 ?

24 (C) 25

24 (D) 25 ?

5、偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在 x ?[0,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,则关于 x 的方 程 f ( x) ? ( (A)1

1 x ) ,在 x ?[0,3] 上解的个数是 ( 10
(B)2

) (C)3 (D)4

6、 在 ?ABC 中,?BAC ? 60 °,AB ? 2, AC ? 1, E、F 为边 BC 的三等分点, 则 AE ? AF 等 于( )

(A)

5 3

(B)
2

5 4
2 2

(C)

10 9

(D)

15 8

7、在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? 5sin C ,则 cos C 的最小值等于( ) (A)

4 5

(B) ?

4 5

(C)

2 5

(D) ?

2 5

8、在ΔABC 中,角 A,B,C 所对的边的长分别为 a,b,c,若 asinA+bsinB<csinC,则 Δ ABC 的形状是 ( )

(A) 锐角三角形 (C) 钝角三角形

(B) 直角三角形 (D) 正三角形

9、设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,且

x f ( x) ? f ( ) ? f ( y ) , f (3) ? 1 ,若不等式 y

f (ax) ? f (
(A)

x2 ? 4 )?2 对任意的正数 x 恒成立,则 a 的取值范围是( a
(B)



[6, ??)

(0, 6]

(C)

[?6, 6]

(D)

(??, ?6]

10、定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零
2

点,则 a 的取值范围是( (A) (0,



2 ) 2

(B) (0,

3 ) 3

(C) (0,

5 ) 5

(D) (0,

6 ) 6

第 II 卷(100 分)
二、填空题(5’*5)
11、已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ?

3 ,那么 cos 2? 的值为____ 5

12、 若 ? , ? ? (0, ? ) , 且a n t

则求 ? ? ? 的值______ tan ? 是方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根, ?、

13、 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C =_______

14、已知函数 f(x)= ? ? 2

? 1 x ( ) ? f ( x ? 1) ?

( x ? 4) ( x ? 4)

则 f(log23)的值为

15. 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足: ① f ( x) 在 [a, b] 内是单调函数; ② f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ,则称区间 [a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间”.

下列函数中存在“倍值区间”的有_______ ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ? R ) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a ? )(a ? 0, a ? 1)
x

1 8

三、解答题
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos x sin (
2

?

x ? ) ? 3 cos 2 x ?2cos x . 4 2
? ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)若 x ? ? 0,

?? ? ,求 f ( x) 的单调区间及值域.
2?

17、 (本小题 12 分) 在锐角?ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边依次为 a, b, c, 设→ m =(sin(4 ?A),1), 3 ? → → n =(2sin(4+1),?1),a=2 3,且→ m· n =?2. (1)若 b=2 2,求?ABC 的面积; (2)求 b+c 的最大值.

?

18. (本小题 12 分)在 ?ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , A、B 为锐角,
且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

19. (本小题 12 分) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a, b ? R, 都 满 足 :

f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .

(1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论;

20.(本小题 13 分)己知函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足以下三条件: ①当 x1 , x 2 是定义域中的数时,有 f ( x1 ? x 2 ) ? ② f (a) ? ?1(a ? 0, a 是定义域中的一个数); ③当 0 ? x ? 2a 时, f ( x) ? 0 。 试问:(1) f ( x) 的奇偶性如何?说明理由。 (2)在 (0,4a) 上, f ( x) 的单调性如何?说明理由。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ; f ( x2 ) ? f ( x1 )

21.(本题 14 分)函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x) >0;② 对任意 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)] ;③ f ( ) ? 1 .
y

1 3

(1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x) 在 R 上是单调减函数; (3)若 a ? b ? c ? 0 且 b ? ac ,求证: f (a) ? f (c) ? 2 f (b) .
2

(提示:会用到重要不等式m + n ≥ 2√mn ,试着将某一个函数整体看成 m 或 n) 。



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