9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 三年级数学 >>

3.1.3导数的几何意义


3.1.3导数的
几何意义1
高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一、温故知新
1.导数的定义
函数y=f ? x ? 在x=x 0处的导数,记作:f ? ? x 0 ? 或y?

f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

x=x 0

其中:⑴

? + ? ? x x ?y f 0 ?x-f 0? = 表示“平均变化率” ?x ?x

其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是曲线 的割线)的斜率。
?y 表示函数f ?x ?在x=x 0处的瞬时变化率, ?x ?0 ?x 反映了函数在x=x 0附近的变化情况。

?2?f ??x 0 ?= lim

其几何意义是?

二、探索新知
观 察 如图 1 .1 ? 2 , 当点 Pn ? x n , f ? x n ??

y

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

P1

P2

T P
O

T

?n ? 1, 2, 3, 4?
沿着曲线 P ? x0 , f ? x0 ?? 变 化 趋势 是 什么 ?

x

O

x

?1?
y
y ? f ?x ?

?2?
y
y ? f ?x ?

f ? x ?趋近于点

时, 割线 PPn的
O

P3

T
P4 P

T

P

x

O

x

?3?

?4 ?

图1.1 ? 2

二、探索新知
1 .1 ? 2 , 当点 Pn ? x n , f ? x n ?? 观 察 如图

y=f(x) y Pn

割 线
T 切线

?n ? 1, 2, 3, 4?沿着曲线 f ? x ?趋近于点 P ? x0 , f ? x0 ??
什么 ?

时, 割线 PPn的变 化 趋势 是

P

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时, x 割线PPn一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在 点P处的切线.

o

问1:此处切线定义与以前的定义有何不同?以 前切线(如圆的切线)的定义是什么?

二、探索新知 y

圆的切线定义并不适
l1
A

用于一般的曲线。

通过逼近的方法,将
割线趋于的确定位置的
l2

直线定义为切线(交点
x

B

可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

C

问2:通过逼近的方法,将割线PQ趋于的确定位置的直线定义为 切线PT,那么可否用逼近的方法用割线的斜率求切线的斜率?

k PQ
y=f(x) y

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? = ?x ?x

Q(x1,y1)
△y

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,

P(x0,y0)
△x

M x

o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 所以:k=lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

导数的几何意义
1、几何意义:函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

即: k切线

? f '( x0 )

处的导数f’(x0) ; ②提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法:
求曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

2、这个概念: ①切线斜率的本质——切点横坐标x0

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

二、探索新知
继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
y=f(x) y Q1 Q2 Q3 P o Q4
观察图像,可以发现,在点P附近, PQ 2比PQ 1更贴紧曲线f ?x ?, PQ 3比PQ 2 更贴紧曲线f ?x ?, PQ 4比PQ 3 更贴紧曲线f ?x ?,

T??? 过点P的切线PT 最贴紧点P

曲线f ?x ?就可以用过点P的切线PT

附近的曲线f ?x ?。因此,在点P附近, 近似代替。这是微积分中的重要思

x

想方法--以直代曲!

二、探索新知

数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, ? 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .

三、典例精析

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 ?x Q (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. ?x 【总结】求切线方程的步骤: 1 (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) , j 得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 - O 1 1 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程, 即 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

?y

M

x

1 3 8 练习:已知曲线y = x 上一点P(2, ),求: 3 3 (1) P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程 点
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: ) y ? x ,? y? ? lim (1 ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 ?x ? 0 ?x 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? ( ?x ) 2 ] ? x 2 . 3 ?x ? 0

? y? | x ? 2 ? 2 2 ? 4.

即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

例 2 如图1.1 ? 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h ?t ? ? ?4.9 t ? 6.5 t ? 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ?t ?在t0 , h t1 , t2附近的变化情况 .
2

h

l0

l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图1.1 ? 3

利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近

解 我们用曲线h? x ?在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的变化情况.

的变化情况 .

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线 l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降.

h

l0

l1

l ?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图1.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减. ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降, 即函数h?t ?在t ? t1附近也
O
2

t0

t1

t2

t

单调递减. 从图1.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜 程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t2附近下降得缓慢.

例 3 如图 .1 ? 4, 它 1 表示人体血管中药 物浓度 c ? f ?t ? (单 位 : mg / ml ) 随时间 t ?单位 : min ?变化的 函数图象.根据图象, 估计 t ? 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 ?精确到0.1 ?.

c?mg / ml?
1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.1 t

?min?

图1.1 ? 4

解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是 药物浓度 f ?t ?在此时刻的导数.从图象上看,它表示

曲线 f ?t ?在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 ? 4, 画出曲线上某点处的切线, 利用网格 估计这条切线的斜率, 可以得到此刻药物浓度瞬 时变化率的近似值. 作t ? 0.8处的切线, 它的斜率约为? 1.4, 所以
f ' ?0.8 ? ? ?1.4.

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值, 验证 一下, 这些值是否正确.
药物浓度的瞬时变化率 f ' ?t ? 0.4 0 ? 0.7 ? 1.4 t 0.2 0.4 0.6 0.8

五、归纳总结

小结: 一、导数的几何意义:

1、几何意义:函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 二、求切线方程的步骤: 即: k切线 ? f '( x0 ) (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

六、作业布置

一、交:
1.求函数y ?

1 x

在x ? 1处的导数。

2.求曲线y ? 3 x 2 ? 4 x ? 2在点M (1,1)处的 切线方程。

1 1 3. 求双曲线y= 过点(2,)的切线方程. x 2

一、不交: 书本P80,A4、5,B2、3

作业答案
1 1 3 求双曲线y= 过点(2,)的切线方程. x 2

1 1 ? f( ? ?x) f( ) 2 ? 2 解:因为lim ? lim 2 ? ?x ?x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?1 1 ? lim ?? , ?x ? 0 2 2 ? ?x) ( 4 1 1 所以,这条双曲线过点 2, )的切线斜率为 . ( ? 2 4 1 1 1 故所求切线方程为 ? ? ? ( x ? 2),即y ? ? x ? 1. y 2 4 4

第二课时
? 一、复习

第二课时
? 一、复习

小结: (一)、导数的几何意义:

无限逼近的极限思想 是建立导数概念、用导 数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思 想就无法理解导 数概念。

1、几何意义:函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. (二)、求切线方程的步骤: 即: k切线 ? f '( x0 ) 1、求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ),得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 2、根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

二、函数的导数:

函数在点 x0 处的导数 f ?( x0 )、导函数 f ?( x) 、导数 之 间的区别与联系。 1)函数在一点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是 一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x) 3)函数在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。

思考: 为什么与抛物线对称轴平行的直线不 是抛物线的切线?
y

P M o Q

x

Q

此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 ? 同
y
y=f(x)

Pn

割 线

T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

例2:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解: y ? x , (1) 1 1 3 3 3 ( x ? ?x) ? x ?y 3 ? y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
1 3x 2 ?x ? 3x(?x) 2 ? (?x)3 ? lim 3 ?x ?0 ?x

1 3 8 y ? x 上一点P ( 2, ) 3 3

y 4 3

y?

1 3 x 3

P
2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 x

? | x ? 2 ? 2 2 ? 4. ?y

1 ? lim[3x 2 ? 3x?x ? (?x)2 ] ? x 2 . 3 ?x?0

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

题型三:导数的几何意义的应用
f (1) ? f (1 ? x ) lim ? ?1 , 练:设f(x)为可导函数,且满足条件 x ?0 2x 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

f (1) ? f (1 ? x ) 解: f ( x )是可导函数且 ? lim ? ?1, x ?0 2x 1 f (1) ? f (1 ? x) ? lim ? ?1, 2 x?0 1 ? (1 ? x)

f (1 ? x) ? f (1) ? lim ? ?2, x ?0 (1 ? x) ? 1

? f ?(1) ? ?2.

故所求的斜率为-2.

我们知道, 导数 f

'

? x0 ? 表示函数 f ? x ?

在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函

数 f ? x ? 在 x ? x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' ? x0 ?的几何意义是什么呢 ?

二、探索新知

曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象,
y=f(x)

在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割 线, 当点Q沿着曲线无限接近于点P

y

Q
△y

T P o
△x

即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x

点P处的切线。

问1:此处切线定义与以前的定义有何不同?以 前切线(如圆的切线)的定义是什么?


赞助商链接

更多相关文章:
3.1.3导数的几何意义
3.1.3导数的几何意义 - 3.1.3 导数的几何意义 (1)教学目标 (a)知识与技能:通过动画演示,使学生了解平均变化率与割线斜率之间的关系,理解曲 线的切线的概, ...
3.1.3导数的几何意义
3.1.3导数的几何意义_数学_高中教育_教育专区。3.1.3导数的几何意义3 . 1 . 3 导数的几何意义 (文科) 学习目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2....
3.1.3导数的几何意义
3.1.3导数的几何意义_数学_高中教育_教育专区。3.1.3 导数的几何意义班别:___ 组别:___ 姓名:___ 评价:___【学习目标】 1.理解导数的几何意。 2.会求...
3.1.3导数的几何意义
3.1.3导数的几何意义 - 数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案
3.1.3导数的几何意义
3.1.3导数的几何意义 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案
3.1.3导数的几何意义
阿尔山市一中高二年级数学学科导学案主备人 课题 学习目标 重点 难点 导 代丽艳 课时 1 3.1.3 导数的几何意义 1、 知识与技能:了解平均变化率与割线斜率之间的...
3.1.3 导数的几何意义
§ 3.1.3 导数的几何意义 1 § 3.1.3 导数的几何意义 2 白城实验高中 高二数学 选修 1-1 导学案 第三章 导数及其应用 【巩固练习】 1.已知 P、 Q 是...
高中数学人教版选修1-1习题:第三章3.1-3.1.3导数的几何意义
高中数学人教版选修1-1习题:第三章3.1-3.1.3导数的几何意义 - 第三章 3.1 3.1.3 导数及其应用 变化率与导数 导数的几何意义 A 级 基础巩固 一、选择题 1...
3.1.3导数的几何意义(学、教案)
3.1.3导数的几何意义(学、教案)_数学_高中教育_教育专区。导数的几何意义 课前预习学案 预习目标:导数的几何 意义是什么?(预习教材 P78~ P80,找出疑惑之处) ?...
3.1.3导数的几何意义
课题:3.1.3 导数的几何意义最新 1.理解函数导数的几何意义。 考纲 2.会求函数在 x 0 处的导数与切线方程。 3.会用导数的几何意义解决简单的函数图形问题。...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图