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浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷(理科)


浙江省绍兴一中 2015 届高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集为 U=R,集合 M={x|x ﹣2x﹣3≤0},N={y|y=x +1},则 M∩(?UN)为() A.{x|﹣1≤x<1} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 2. (5 分)已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则 p 是?q 成立的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.不充分也不必要条件
2 2

3. (5 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

4. (5 分)过双曲线

(a>0,b>0)左焦点 F1,倾斜角为 30°的直线交双曲线右支

于点 P,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则此双曲线的离心率为() A. B.
2

C. 3

D.

5. (5 分)若函数 f(x)=ax +b|x|+c(a≠0)有四个单调区间,则实数 a,b,c 满足() A.b ﹣4ac>0,a>0 B.b ﹣4ac>0
2 2

C. ﹣

>0

D.﹣

<0

6. (5 分)已知函数 点自左向右依次记为 M1,M2,M3,…,则 A.6π B.7π C.12π

与直线 等于()

相交,若在 y 轴右侧的交

D.13π ,

7. (5 分)如图,已知直线 l⊥平面 α,垂足为 O,在△ ABC 中,BC=2,AC=2,AB=2 点 P 是边 AC 的中点.该三角形在空间按以下条件作自由移动: (1)A∈l, (2)C∈α.则| + |的最大值为()

A.2

B. 2

C.1+

D.

8. (5 分)已知数列{an}的通项公式为

,数列{bn}的通项公式为 bn=n+k,设
*

, 若在数列{cn}中, c5≤cn 对任意 n∈N 恒成立, 则实数 k 的取值范围是 () A.﹣5≤k≤﹣4 B.﹣4≤k≤﹣3 C.﹣5≤k≤﹣3 D.k=﹣4

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分. 9. (6 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x,则 f(x)在 时的值域是;若将函数 对称,则实数 a

y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到的图象恰好关于直线 的最小值为.

10. (6 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是,表面积

是.

11. (6 分)已知双曲线与椭圆

有相同的焦点,且以

为其一条渐近线,则

双曲线方程为,过其右焦点且长为 4 的弦有条.

12. (6 分)已知函数 f(x)= 解集为.

,则 f(f(﹣2) )=;不等式 f(f(x) )≤3 的

13. (4 分)△ ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 的值是.

14. (4 分)已知数列{an},{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1,b1,且 a1+b1=5, a1,b1∈N ,设
*

,则数列{cn}的前 10 项和等于.

15. (4 分)设 f 为 R →R 的函数,对任意 x∈R ,f(3x)=3f(x) ,且 f(x)=1﹣|x﹣2|,1≤x≤3, A={a|f(a)=f,a∈R) ,则集合 A 中的最小元素是.

+

+

+

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = (1)求 cosC 的值; (2)求 sinB 的值; (3)若 b=3 ,求△ ABC 的面积. 17. (15 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 AA1=1,底面 ABCD 的周长为 4. (1)当长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B﹣A1C﹣D 的值; (2)线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C⊥平面 BPD,若有,求出 P 点的位置,没有请说 明理由. ,A+3C=π.

18. (15 分)设数列{an}, {bn},已知 a1=3,b1=5,



, (n∈N ) .

*

(1)求数列{bn﹣an}的通项公式; * (2)求证:对任意 n∈N ,an+bn 为定值; * (3)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,若对任意 n∈N ,都有 p?(Sn﹣4n)∈,求实数 p 的取值 范围.

19. (15 分)已知三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆

上,其中 A(0,1) .

(1)若点 B,C 关于原点对称,且直线 AB,AC 的斜率乘积为

,求椭圆方程; ,求实

(2)若三角形 ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形,该三角形的面积的最大值为 数 a 的值.

20. (14 分)已知 f(x)=2x ﹣tx,且|f(x)|=2 有且仅有两个不同的实根 α 和 β(α<β) . (1)求实数 t 的取值范围; (2)若 x1、x2∈且 x1≠x2,求证:4x1x2﹣t(x1+x2)﹣4<0; (3)设 的取值范围. ,对于任意 x1、x2∈上恒有|g(x1)﹣g(x2)|≤λ(2β﹣α)成立,求 λ

2

浙江省绍兴一中 2015 届高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集为 U=R,集合 M={x|x ﹣2x﹣3≤0},N={y|y=x +1},则 M∩(?UN)为() A.{x|﹣1≤x<1} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先化简集合 M,再计算 M∩(CUN) . 解答: 解:∵M={x|(x﹣3) (x+1)≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 2 N={y|y=x +1}={y|y≥1},∴?UN={y|y<1}, ∴M∩(CUN)={x|﹣1≤x<1} 故选:B. 点评: 本题主要考查了集合的交,补运算,属基础题型,较为简单.
2 2

2. (5 分)已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则 p 是?q 成立的( ) A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.不充分也不必要条件

考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 先求出条件 q 和?q 的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:由 <1,得 x<0 或 x>1,即 q:x<0 或 x>1,

∴?q:0≤x≤1. ∴p 是?q 成立必要不充分条件. 故选 B.

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,对于条件 q,要先解出不等式成立的等价 条件,然后再求?q,否则容易出错.

3. (5 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义.

4. (5 分)过双曲线

(a>0,b>0)左焦点 F1,倾斜角为 30°的直线交双曲线右支

于点 P,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则此双曲线的离心率为() A. B. C. 3 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设 F1 (﹣c, 0) , P (x0, y0) , 依题意可求得直线 PF1 的方程为: y= (x+c) , △ MF1O

为直角三角形,经分析知 OM 为直角三角形 PF1F2 的中位线,从而可求得|PF1|与|PF2|,利用双 曲线定义及离心率公式即可求得答案. 解答: 解:设 F1(﹣c,0) ,P(x0,y0) , 依题意,直线 PF1 的方程为:y= ∵M 为线段 PF1 的中点, ∴ ∴x0=c, ∴y0= (x0+c)= c,m= c. =0,m= . (x+c) ,设直线 PF1 与 y 轴的交点为 M(0,m) ,

∵△MF1O 为直角三角形,∠PF1O=30°, ∴|MF1|=2|OM|=2m= c;

又 M 为线段 PF1 的中点,O 为 F1F2 的中点, ∴OM 为直角三角形 PF1F2 的中位线, ∴|PF1|= c,|PF2|= c, . c,

∴2a=|PF1|﹣|PF2|= ∴其离心率 e= = 故选 D.

点评: 本题考查双曲线的简单性质,着重考查双曲线的定义,求得|PF1|与|PF2|是关键,考查 作图、分析、与运算能力,属于中档题. 5. (5 分)若函数 f(x)=ax +b|x|+c(a≠0)有四个单调区间,则实数 a,b,c 满足() A.b ﹣4ac>0,a>0 B.b ﹣4ac>0
2 2 2

C. ﹣

>0

D.﹣

<0

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要使 f(x)在 R 上有四个单调区间,显然在 x>0 时,f(x)有两个单调区间,x<0 时有两个 单调区间,从而可得出 a,b,c 需满足 解答: 解:x>0 时,f(x)=ax +bx+c; 此时,f(x)应该有两个单调区间; ∴对称轴 x= ;
2 2



∴x<0 时,f(x)=ax ﹣bx+c,对称轴 x= ∴此时 f(x)有两个单调区间; ∴当 时,f(x)有四个单调区间.



故选 C. 点评: 考查二次函数的单调性及单调区间,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,二次 函数的对称轴.

6. (5 分)已知函数 点自左向右依次记为 M1,M2,M3,…,则 A.6π B.7π C.12π

与直线 等于()

相交,若在 y 轴右侧的交

D.13π

考点: 函数的零点与方程根的关系;两点间的距离公式. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用.

分析: 利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知,y=sin2x,依题意可求得 M1,M2, M3,…M13 的坐标,从而可求 解答: 解:∵y=2sin(x+ ∴由题意得:sin2x= , ∴2x=2kπ+ ∴x=kπ+ 或 2x=2kπ+ 或 x=kπ+ , 的值. )cos(x﹣ )=2cosxsinx=sin2x,

,k∈Z,

∵正弦曲线 y=sin2x 与直线 y= 在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 M1,M2,M3,…, ∴得 M1( ∴ ∴ 故选 A. 点评: 本题考查函数的零点与方程根的关系,着重考查正弦函数的性质,求得 M1,M13 的 坐标是关键,属于中档题. 7. (5 分)如图,已知直线 l⊥平面 α,垂足为 O,在△ ABC 中,BC=2,AC=2,AB=2 点 P 是边 AC 的中点.该三角形在空间按以下条件作自由移动: (1)A∈l, (2)C∈α.则| + |的最大值为() , ,0) ,M2( ,0) ,M3(π+ ) ,M4(π+ ) ,…M13(6π+ ,0) ,

=(6π,0) , =6π.

A.2

B. 2

C.1+

D.

考点: 向量的模. 专题: 转化思想;平面向量及应用. 分析: 将问题转化为求平面内两点间的距离最大问题:以 O 为原点,OA 为 y 轴,OC 为 x 轴建立直角坐标系,设∠ACO=θ,B(x,y) ,求出 O、C 两点间的最大距离即可. 解答: 解:以 O 为原点,OA 为 y 轴,OC 为 x 轴建立直角坐标系,如图所示; ∵ + = ,

∴|

+

|=|

|,

又∵AC=BC=2,AB=2 , ∴△ABC 是 Rt△ ; 设∠ACO=θ,B(x,y) ,则: x=ACcosθ+CBsinθ=2cosθ+2sinθ, y=BCcosθ=2cosθ; ∴x +y =4cos θ+8sinθcosθ+4sin θ+4cos θ =2cos2θ+4sin2θ+6 =2 sin(2θ+φ)+6, 2 2 当 sin(2θ+φ)=1 时,x +y 最大,为 2 此时| |的值最大,为 1+ . +6,
2 2 2 2 2

故选:C.

点评: 本题考查了平面向量的应用问题,也考查了转化思想的应用问题,解题时应根据题 意,建立适当的坐标系,利用两点间的距离公式进行计算,是综合性题目. 8. (5 分)已知数列{an}的通项公式为 ,数列{bn}的通项公式为 bn=n+k,设
*

, 若在数列{cn}中, c5≤cn 对任意 n∈N 恒成立, 则实数 k 的取值范围是 () A.﹣5≤k≤﹣4 B.﹣4≤k≤﹣3 C.﹣5≤k≤﹣3 D.k=﹣4

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 若 c5=a5, 则 b6≥a5, a5>b5, b6≥a5, 由此推导出﹣5≤k<﹣4; 若 c5=b5, 则 b5≥a5, b5≥a5, a4≥b5,由此推导出﹣5≤k≤﹣3.由此能求出实数 k 的取值范围 解答: 解:若 c5=a5,则 a5>b5,则前面不会有 bn 的项, ∵{bn}递增,{an}递减,∴bi(i=1,2,3,4)<b5<a5<ai(i=1,2,3,4) , ∵an 递减,∴当 n≥6 时,必有 cn≠an,即 cn=bn, 0 此时应有 b6≥a5,∴a5>b5,即 2 >5+k,得 k<﹣4, b6≥a5,即 6+k≥1,得 k≥﹣5,

∴﹣5≤k<﹣4. 若 c5=b5,则 b5≥a5,同理,前面不能有 bn 项, 即 a4≥b5>b4,当 n≥6 时,∵{bn}递增,{an}递减, ∴bn>b5≥a5>an(n≥6) , ∴当 n≥6 时,cn=bn.由 b5≥a5,即 5+k≥1,得,k≥﹣4, 由 a4≥b5,得 2≥5+k,得 k≤﹣3,即﹣4≤k≤﹣3. 综上得,﹣5≤k≤﹣3. ∴实数 k 的取值范围是. 故选:C 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,综合性强,难度大,解题时要熟练掌握等差数列 和等比数列的性质的灵活运用 二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分. 9. (6 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x,则 f(x)在 时的值域是;若将函数 对称,则实数 a

y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到的图象恰好关于直线 的最小值为 .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式将函数进行化简结合三角函数的性质进行求解即可. 解答: 解:f(x)=sin2x﹣cos2x= ∵ ∴2x∈,2x﹣ sin(2x﹣ , ∈, sin(2x﹣ ) ,

)∈, )∈,

sin(2x﹣

故函数 f(x)的值域为, 若将函数 y=f(x)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度得到: y= sin= sin(2x+2a﹣ ) , 对称,

若此时函数恰好关于直线 则 2× 即 2a= +2a﹣ +kπ, = +kπ,

a=

+

,k∈Z, ,

故当 k=0 时,实数 a 的最小值为 故答案为: ;

点评: 本题主要考查三角函数值域以及三角函数图象平移的判断,根据三角函数的图象和 性质是解决本题的关键. 10. (6 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 100cm ,表
3

面积是(

)cm .

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体为长方体砍去一个三棱锥,根据三视图的数据求出长方体的棱长、 三棱锥的高和底面上的边长,代入体积公式和面积公式计算即可. 解答: 解:由三视图可得,原几何体为:一个长宽高分别为 6cm、3cm、6cm 的长方体砍去 一个三棱锥, 且三棱锥的底面为直角边分别为 3cm、4cm 直角三角形,高为 4cm,如图: ∴该几何体的体积 V=3×6×6﹣ 表面积 S=2(6×3×2+6×6)﹣ (3×4×2+4×4)+ = (cm ) . 3 故答案为:100cm ; (
2 2

=108﹣8=100(cm ) ,

3

)cm .

点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及相关数据 所对应的几何量,考查空间想象能力.

11. (6 分)已知双曲线与椭圆

有相同的 焦点,且以

为其一条渐近线,则

双曲线 方程为

,过其右焦点且长为 4 的弦有 3 条.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用已知条件求得双曲线方程,求弦长为 4 时可先寻找临界的直线,一条平行 x 轴, 一条垂直 x 轴. 解答: 解: 由双曲线与椭圆 有相同的焦点, 可设双曲线的方程为
2 2





为其一条渐近线,所以
2 2

,①6=a +b ②,

由①②解得:a =4,b =2. 所以双曲线的方程为 ; ,即弦长

右焦点坐标为( ) ,当过右焦点的直系垂直 x 轴时,代入双曲线方程得 y= 为 2 <4,故过右焦点的在右支上有 2 条弦长为 4 的直线, 加上过右焦点的 x 轴的弦长为 2+2=4.故一共有 3 条. 故答案为: ;3

点评: 本题主要考查双曲线方程得求解方法和求定长的弦长的个数,属于中档题,在选择 题填空题中常涉及.

12. (6 分)已知函数 f(x)= 的解集为(﹣∞, ].

,则 f(f(﹣2) )=0;不等式 f(f(x) )≤3

考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据分段函数的表达式进行求解即可. 解答: 解:由分段函数得 f(﹣2)=4﹣4=0,则 f(f(﹣2) )=f(0)=﹣0=0, 设 t=f(x) , 则不等式 f(f(x) )≤3 等价为 f(t)≤3, 由图象知 t≥﹣3, 即 f(x)≥﹣3, 2 2 若 x≥0,由﹣x ≥﹣3 得 x ≤3,解得 0≤x≤ , 2 2 若 x<0,2x+x ≥3,得 x +2x﹣3≥0,

解得 x≥1 或 x≤﹣3,此时 x<0, 综上 x≤ , 即不等式的解集为(﹣∞, ], 故答案为:0;

点评: 本题主要考查分段函数的应用,利用换元法是解决本题的关键. 13. (4 分)△ ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 的值是 1.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得三角形是以角 A 为直角的直角三角形, 解直角三角形求出相应的边和角, 代入数量积公式得答案. 解答: 解:∵ ,∴O 为 BC 的中点,

又 O 为三角形的外心,∴三角形是以角 A 为直角的直角三角形, ∴OA=1,AB= ,可得 CA=1,CB=2,∠BCA=60°, ∴ = = =1.

故答案为:1. 点评: 本题考查平面向量的数量积运算,考查直角三角形中的边角关系,是基础题. 14. (4 分)已知数列{an},{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1,b1,且 a1+b1=5, a1,b1∈N ,设
*

,则数列{cn}的前 10 项和等于 85.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. * 分析: 根据 a1+b1=5,a1,b1∈N ,故可知 a1,b1 有 1 和 4,2 和 3,3 和 2,4 和 1 四种可能, 又知数列{an},{bn}都是公差为 1 的等差数列,即可求出 c1,再根据等差数列的求和公式即可 求出数列{cn}的前 10 项和. * 解答: 解:∵a1+b1=5,a1,b1∈N , ∴a1,b1 有 1 和 4,2 和 3,3 和 2,4 和 1 四种可能,

当 a1,b1 为 1 和 4 的时,c1= 当 a1,b1 为 2 和 3 的时,c1= 当 a1,b1 为 4 和 1 的时,c1= 当 a1,b1 为 3 和 2 的时,c1=

=4,前 10 项和为 4+5+…+12+13=85; =4,前 10 项和为 4+5+…+12+13=85; =4,前 10 项和为 4+5+…+12+13=85; =4,前 10 项和为 4+5+…+12+13=85;

故数列{cn}的前 10 项和等于 85, 故答案为 85. 点评: 本题主要考查数列求和和等差数列的性质的知识点, 解答本题的关键是对 a1+b1=5 进 行四种可能分类,本题比较简单. 15. (4 分)设 f 为 R →R 的函数,对任意 x∈R ,f(3x)=3f(x) ,且 f(x)=1﹣ |x﹣2|,1≤x≤3, A={a|f(a)=f,a∈R) ,则集合 A 中的最小元素是 406. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: 依条件得 f(x)= ,讨论当 3≤x≤6 时,令 t= ,则 1≤t≤2,由条件
+ + +

可得 f(x) (2<x≤6)的解析式,依此类推可得 6<x≤18,…,1458<x≤4374 的解析式,求得 f 的值,推理判断即可得到所求 a 的最小值. 解答: 解:依条件得 f(x)=

当 3≤x≤6 时,令 t= ,则 1≤t≤2, 此时 f(x)=f(3t)=3f(t)=3(t﹣1)=x﹣3, 即得 f(x)=|x﹣3|,2<x≤6. 当 6<x≤18 时,令 t= ,则 2<t≤6, 于是 f(x)=f(3t)=3f(t)=3|t﹣3|=|x﹣9|, 依此类推可得 f(x)=|x﹣1|,1≤x≤2, f(x)=|x﹣3|,2<x≤6, f(x)=|x﹣9|,6<x≤18, f(x)=|x﹣27|,18<x≤54, f(x)=|x﹣81|,54<x≤162, f(x)=|x﹣243|,162<x≤486, f(x)=|x﹣729|,486<x≤58, f(x)=|x﹣2187|,1458<x≤4374, ∴f=2178﹣2015=163, 由于 162﹣81<163,486﹣243>163,而 243﹣162<163,

∴最小的满足 f(a)=f 的实数 a=243+163=406. 故答案为:406. 点评: 本题考查函数的解析式及运用,同时考查集合的元素的性质,考查化简整理的运算 能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (15 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = (1)求 cosC 的值; (2)求 sinB 的值; (3)若 b=3 ,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由题意可得 B=2C.又由正弦定理及已知得 (2)由 C∈(0,π) ,可得 sinC,根据 sinB=sin2C 即可求值. (3)由 B=2C,可得 cosB,又 A+B+C=π,可求 sinA=sin(B+C) ,由 得 C,由面积公式即可得解. 解答: 解: (1)因为 A+B+C=π,A+3C=π, 所以 B=2C. 又由正弦定理,得 化简得, . , , , ,可 ,即可得解. ,A+3C=π.

…(2 分) , …(5 分) . . …(8 分)

(2)因为 C∈(0,π) ,所以 所以 (3)因为 B=2C, 所以 因为 A+B+C=π, 所以 …(12 分) 因为 , ,所以 . .

…(10 分)



所以△ ABC 的面积

. …(14 分)

点评: 本题主要考查了正弦定理,二倍角公式,同角三角函数关系式,三角形面积公式的 应用,属于基础题.

17. (15 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 AA1=1,底面 ABCD 的周长为 4. (1)当长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B﹣A1C﹣D 的值; (2)线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C⊥平面 BPD,若有,求出 P 点的位置,没有请说 明理由.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)当长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边形 ABCD 为正方形,作 BM⊥A1C 于 M,连接 DM,BD,确定∠BMD 即为所求二面角的平面角,△ BMD 中,根据 余弦定理求二面角 B﹣A1C﹣D 的值; (2)底面四边形 ABCD 为正方形,即只有 ABCD 为正方形时,线段 A1C 上存在点 P 满足要 求,否则不存在. 解答: 解: (1)根据题意,长方体体积为 V=t(2﹣t)≤( 当且仅当 t=2﹣t,即 t=1 时,体积 V 有最大值为 1 所以当长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,底面四边形 ABCD 为正方形 …4 分 作 BM⊥A1C 于 M,连接 DM,BD …5 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以△ A1BC 与△ A1DC 全等,故 DM⊥A1C, 所以∠BMD 即为所求二面角的平面角 …6 分 因为 BC⊥平面 AA1B1B,所以△ A1BC 为直角三角形 又 A1B= ,A1C= ,所以 BM= ,同理可得,DM= . ) =1 …2 分
2

在△ BMD 中,根据余弦定理有:cos∠BMD=

=﹣

…8 分

所以∠BMD=120° 即此时二面角 B﹣A1C﹣D 的值是 120°.…9 分 (2)若线段 A1C 上存在一点 P,使得 A1C⊥平面 BPD,则 A1C⊥BD …10 分 又 A1A⊥平面 ABCD,所以 A1A⊥BD,所以 BD⊥平面 A1AC 所以 BD⊥AC …12 分 底面四边形 ABCD 为正方形,即只有 ABCD 为正方形时,线段 A1C 上存在点 P 满足要求,否 则不存在 由(1)知,所求点 P 即为 BM⊥A1C 的垂足 M

此时,A1P=

=

. …15 分

点评: 本题考查线面垂直,考查二面角的平面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.
*

18. (15 分)设数列{an},{bn},已知 a1=3,b1=5,



, (n∈N ) .

(1)求数列{bn﹣an}的通项公式; * (2)求证:对任意 n∈N ,an+bn 为定值; * (3)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,若对任意 n∈N ,都有 p?(Sn﹣4n)∈,求实数 p 的取值 范围. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过变形易得数列{bn﹣an}是以 2 为首项、 结论; (2)通过变形可得 (3)通过 an+bn=8 与 ∈, 化简可得 ≤ ≤ ,取 n=1 即得结论; 两式相加可得 Sn=4n+ ,通过 p?(Sn﹣4n) , 对 n 分奇偶数讨论, 可得 的 为公比的等比数列,进而可得

最大值为 ,

的最小值为 2,进而可得结论.

解答: 解: (1) 又 b1﹣a1=2,∴{bn﹣an}是以 2 为首项, ∴ ; 为公比的等比数列,



(2)∵ ∴ ,



又 a1+b1﹣8=0,∴an+bn﹣8=0 恒成立, 即 an+bn=8 为定值; (3)由(1) (2)得:an+bn=8, 两式相加即得: , ,

∴Sn=4n+

=4n+ ,

∴p?(Sn﹣4n)=

?, ?≤3, ≤ ≤ ,

∵p?(Sn﹣4n)∈,∴1≤ ∵1﹣(﹣ ) >0,∴
n

当 n 为奇数时,

=

随 n 的增大而递增,且 0<

<1;

当 n 为偶数时,

=

随 n 的增大而递增,且

>1;



的最大值为 ,

的最小值为 2,









∴ ≤

≤2,解得:2≤p≤3,

∴实数 p 的取值范围为: . 点评: 本题考查求数列的通项,考查分类讨论的思想,考查运算求解能力,注意解题方法 的积累,属于中档题.

19. (15 分)已知三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆

上,其中 A(0,1) .

(1)若点 B,C 关于原点对称,且直线 AB,AC 的斜率乘积为

,求椭圆方程;

(2)若三角形 ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形,该三角形的面积的最大值为 数 a 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由直线 AB,AC 的斜率乘积为

,求实

,分别表示出 AB,AC 的斜率,计算即可.

(2)设 AB 的方程为:y=kx+1(k>0) ,则 AC 的方程为:
2 2 2 2

,由



(1+a k )x +2a kx=0,利用弦长公式求弦长,按题意计算. 解答: 解: (1)设 B(x0,y0) ,则 C(﹣x0,﹣y0)

所以椭圆方程为 (2)显然直线 AB 斜率存在. 设 AB 的方程为:y=kx+1(k>0) ,则 AC 的方程为: ,





(1+a k )x +2a kx=0,解得

2 2

2

2



用“

”替换“k”得







所以





,则

(当且仅当

时等号成

立) , 由 得(a﹣3) (8a ﹣3a﹣9)=0
2

解得 a=3,或

(因为

时,

,故舍去) ,所以 a=3.

点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查考生计算能力,属于中档题型,2015 届高考常考题型. 20. (14 分)已知 f(x)=2x ﹣tx,且|f(x)|=2 有且仅有两个不同的实根 α 和 β(α<β) . (1)求实数 t 的取值范围; (2)若 x1、x2∈且 x1≠x2,求证:4x1x2﹣t(x1+x2)﹣4<0; (3)设 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)|f(x)|的图象可把 f(x)在 x 轴以下的图象翻折到 x 轴上方得到,从而需翻折 后定点值 ,从而得出﹣4<t<4;
2 2

,对于任意 x1、x2∈上恒有|g(x1)﹣g(x2)|≤λ(2β﹣α)成立,求 λ

(2)由题意可知,α,β 为方程 2x ﹣tx﹣2=0 的两个不同实根,从而根据韦达定理, ,可设 α<x1<x2<β,从而得到(x1﹣α) (x2﹣β)≤0,进一步得到, x1x2﹣(αx2+βx1)﹣1≤0,从而 4x1x2﹣t(x1+x2)﹣4≤4(αx2+βx1)﹣t(x1﹣x2) ,并且可得 到 4(αx2+βx1)﹣t(x1﹣x2)=2(x2﹣x1) (α﹣β)<0,从而得出结论; (3)由求根公式求出 α,β,进一步可求出 g(α) ,g(β) ,而根据单调性的定义可说明函数 g (x)在上单调递增,从而可得到 g(β)﹣g(α)= 到 ,可判断出函数 ,从而可得

在(﹣4,4)上的单调性,从而可以得到

,这样便最后得出



解答: 解: (1)根据题意,f(x)=2x ﹣tx 图象翻折后,顶点值 解得﹣4<t<4; ∴t 的取值范围为(﹣4,4) ; 2 (2)证明:根据题意知,α,β 是方程 2x ﹣tx﹣2=0 的两实根; 由韦达定理知 ,不妨设 α<x1<x2<β;

2



由于 x1、x2∈,故(x1﹣α) (x2﹣β)≤0,x1x2﹣(αx2+βx1)+αβ≤0 即 4x1x2﹣4(αx2+βx1)﹣4≤0; ∴4x1x2﹣( t x1+x2) ﹣4≤4 (αx2+βx1) ﹣( t x1+x2) =4 (αx2+βx1) ﹣2 (α+β) (x1+x2) =2 (αx2+βx1) ﹣2(αx1+βx2)=2(x2﹣x1) (α﹣β)<0;

∴4x1x2﹣t(x1+x2)﹣4<0; (3) ,所以

; 任取 x1、x2∈,x1<x2,则 ; 所以 g(x)在区间上是增函数,故|g(x1)﹣g(x2)|≤λ(2β﹣α)等价于 g(β)﹣g(α) = ;

又因为



所以

,设

在﹣4<t<4 时奇函数

且递增所以



所以

,所以



∴λ 的取值范围为[

,+∞) .

点评: 考查函数|f(x)|和函数 f(x)的关系,二次函数顶点纵坐标的计算公式,解一元二 次不等式,韦达定理,并熟悉二次函数的图象,以及一元二次方程的求根公式,根据函数单调 性定义判断函数的单调性,函数单调性定义的运用.


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