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第08章第07节 立体几何初步(空间的角)第一课时



高三数学(理科)复习训练
第八章 立体几何初步 第七节 空间的角
第一课时 一、选择题 1. 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是底面 ABCD 的中心, E、 F 分别是 CC1、AD 的中点.那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值为( )

A.

10 5

B.

15 5

C.

4 5

D.

2 3

2.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 , 底面是边长为 3 的正三角 4
)

形.若点 P 为底面 A1 B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A.

5? 12

B.

? 3

C.

? 4
C. 45 ?

D.

? 6
) D. 30 ?

3.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( A. 75 ? B. 60 ?

4.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中 心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A. 30 ? B. 45 ? ) D. 90 ? )

C. 60 ?

5.四棱锥 S ? ABCD 的底面为正方形, SD ? 底面 ABCD, 则下列结论中不正确的是( A. AC ? SB B. AB // 平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

6. 如图所示, 已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,PA ? 平面 ABC, PA ? 2 AB, 则下列结论正确的是( A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC / / 平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° )

1

二、填空题 7.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线 A 1 B 与 B1C 所成角的大小为_______. 8.已知下列命题:①垂直于两条异面直线的直线有且只有一条;②在三棱锥 A ? BCD 中,

AC ? AD, BC ? BD, 则 AB ? CD; ③在正方体中, 相邻两侧面的一对异面的对角线所
成的角为 60° .其中真命题有___________. (填写真命题的序号) 9.已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 AA 1 ? 2 AB, 则 CD 与平面 BDC 1 所成角的正弦值等 于_______. 三、解答题 10.如图所示,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, 且 ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60?, 求异面直线 AB 1 所成角的余弦值. 1 与 BC

11.如图所示,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E 是棱 A 1 D1 的中点,点 H 为平面 EDB 内一点,且 HC1 ? (2m,?2m,?m)(m ? 0). (1)求证: HC1 ? 平面 EDB; (2)求 BC1 与平面 EDB 所成的角.

12.如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 底面 ABCD, AE ? PD,

EF // CD, AM ? EF .
(1)求证: MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; (2)若 PA ? 3 AB, 求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值.

2

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 7. 1 B 2 B 3 C 4 C 5 D 6 D

? 2

8.②③

9.

2 3

三、解答题 10.如图所示,设该三棱柱的棱长为 1, 依题意有 AB 1 ? AB ? AA 1 , BC 1 ? AC ? AA 1 ? AB,
2 2 ? AB ? 2 AB ? AA1 ? AA1 ? 2 ? 2 cos 60? ? 3. 则 | AB 1 | ? ( AB ? AA 1)
2 ?2 ? AC ? AA1 ? AB ? 2 AC ? AA1 ? 2 AC ? AB ? 2 AA | BC1 |2 ? ( AC ? AA 1 ? AB) 1 ? AB
2 2 2
2 2

而 AB 1 ? BC 1 ? ( AB ? AA 1 ) ? ( AC ? AA 1 ? AB)

? AB ? AC ? AB ? AA 1 ? AB ? AB ? AA 1 ? AC ? AA 1 ? AA 1 ? AA 1 ? AB
? 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1. 2 2 2 2

所以 cos ? AB 1 , BC 1 ??

AB1 ? BC1 ? |AB1||BC1|
a 2

1 6 ? ? 6 2? 3

11.(1)设正方体的棱长为 a, 则 DE ? ( ,0, a), DB ? (a, a,0), 因 HC1 ? DE ? 0, HC1 ? DB ? 0 , 故 HC1 ? DE, HC1 ? DB, 又 DE ? DB ? D, 故 HC1 ? 平面 EDB . (2) BC1 ? (?a,0, a), 由(1)知 HC1 是平面 EDB 的一个法向量, 设 BC1 与平面 EDB 所成的角为 ? , 则 sin ? ?

| BC1 ? HC1 | | 2m a ? m a | 2 ? ? , 故 ? ? 45?, 2 2a ? 3 | m | | BC1 | ? | HC1 |

即 BC1 与平面 EDB 所成的角为 45?. 12.(1)因 PA ? 底面 ABCD, 有 PA ? AB, 又知 AB ? AD, 故 AB ? 面 PAD, 推得 BA ? AE, 又 AM // CD // EF, 且 AM ? EF, 证得 AEFM 是矩形,故 AM ? MF , 即 AB ? MF . 又因 AE ? PD, AE ? CD, 故 AE ? 面 PCD. 而 MF // AE, 得 MF ? 面 PCD, 故 MF ? PC . 因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线.

3

(2)建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz. 设 AB ? 1, 则 PA ? 3.

AD ? PA 3 10 ? , 10 PD 9 3 , )? 则 A(0,0,0), B(1,0, 0), C (1,1,0), E (0, 10 10 由于 AC 与平面 EAM 所成的角即为 AC 与平面 ABE 所成的角 ?.
由于 AE ? PD, 可得 AE ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 ABE 的法向量,由 ? 可求得 x ? 0, z ? ?3 y, 故平面 ABE 的一个法向量为 n ? (0,1,?3) 由 sin ? ?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? AE ? 0

,

| n ? AC | 5 ? ? 10 | n | ? | AC |
5 10 .

故直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值为

4



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