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【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 热点专题突破二 三角函数与平面向量的综合问题习题 理



热点专题突破二

三角函数与平面向量的综合问题

1. (2016·黑龙江牡丹江一中月考) 在△ABC 中,m=(2a-c,cos C),n=(b,cos B)且 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=1,当△ABC 面积取最大时,求△ABC 内切圆的半径. 1.【解析】(1)由已知得(2sin A-sin C)cos B=si

n Bcos C,即 2sin Acos B=sin(B+C),

∴cos B= ,B= .

(2)由(1)得 B= ,又 b=1,在△ABC 中,

b2=a2+c2-2accos B 得 b2=a2+c2-ac,
即 1+3ac=(a+c) . 又∵(a+c) ≥4ac,得 1+3ac≥4ac,即 ac≤1,
2 2

∴S△ABC= acsin B=

ac≤

.

当且仅当 a=c=1 时,S△ABC 最大值为

,

此时由 S△ABC=

(a+b+c)r,r=

.

2. (2016·福建大田一中月考) 如图,以 Ox 正半轴为始边作角 α (0<α <π ),终边与单位圆相 交于点 P,已知点 P 的坐标为

.角 α 终边逆时针旋转 β

0<β < π 后,与单位圆交

于点 Q,函数 f(β )=

.

(1)求

的值;

1

(2)若关于 β 的方程 f(β )+sin β +2k=0 在 0<β < π 上有两个不同的解,求 k 的取值范围.

2.【解析】(1)由三角函数定义得 cos α =- ,sin α = ,

∴原式=

=2cos2α =2×

.

(2)由三角函数定义得 Q(cos(α +β ),sin(α +β )),

∴f(β )=

=- cos(α +β )+

sin(α +β )=-

(cos α cos β -sin α sin β )+

(sin α cos β +cos α sin β )=cos β .

∴原方程可转化为-2k=sin β +cos β =

sin

,即 k=-

sin

,

由图象知-

<k<-

<k<

.

∴k 的取值范围是

.

3. (2015·四川雅安中学模拟) 已知向量

= 2cos

,-1 ,

,定义函数 f(x)=

.

(1)求函数 f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)=1,bc=8,求△ABC 的面积 S. 3.【解析】(1)∵f(x)=

=(-2sin x,-1)·(-cos x,cos 2x)=sin 2x-cos

2x=

sin

,

∴f(x)的最大值和最小值分别是

和-

.

2

(2)∵f(A)=1,∴sin

.

∴2A-

或 2A-

,

即 A= 或 A= .

又∵△ABC 为锐角三角形,∴A= .

∵bc=8,∴△ABC 的面积 S= bcsin A= ×8×

=2

.

4.平面内有三个点 A(2,0),B(0,2),C(cos α ,sin α )(其中 α ∈(0,π )),点 O 为坐标原点, 且| (1)求 a 的值; (2)求向量 的夹角.

|=

.

4.【解析】(1)由题可知向量

的坐标为(2+cos α ,sin α ),

∴由|

|=

可知

,解得 cos α = ,

又∵α ∈(0,π ),∴α = .

(2)由(1)可知 C(cos α ,sin α ),即为 C

,



,|

|=

,

∴cos<

>=

=-

,

又<

>∈(0,π ),∴<

>=

.
3

∴向量

的夹角为

.

5. (2015·山东师大附中一模) 已知 m= 2cos 函数 f(x)=m·n+1.

,cos x ,n=

,且

(1)设方程 f(x)-1=0 在(0,π )内有两个零点 x1,x2,求 x1+x2 的值; (2)若把函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再向下平移 2 个单位,得函数 g(x)图象,求函

数 g(x)在

上的单调增区间.

5.【解析】(1)由题设知 f(x)=-sin 2x+1+cos 2x+1=

cos

+2,

∵f(x)-1=0,∴

cos

+2=1,

∴cos

=-

,

∴2x+ =2kπ +

或 2x+ =2kπ +

,k∈Z,

得 x=kπ + 或 x=kπ + ,

∵x∈(0,π ),得 x1= ,x2= ,∴x1+x2=

.

(2)y=f(x)图象向左平移 个单位,得

y=

cos

+2=

cos 2x+

+2=-

sin

+2,

再向下平移 2 个单位得 g(x)=-

sin

.

令 2kπ + ≤2x+

≤2kπ + π ,则 kπ +

π ≤x≤kπ +

π ,k∈Z. 4

当 k=-1 时,-

π ≤x≤-

;

当 k=0 时,

π ≤x≤

π.

∵x∈

,

∴g(x)在

的增区间为 - ,-

,

.

5



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