9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 其它课程 >>

辅导讲义模板(圆与圆的位置关系、圆中的计算)


个性化辅导讲义
学生: 科目: 数 学 教师: 谭 前 富
课 题

直线与圆的位置关系:圆中的位置关系、圆的计算问题 教学内容

知识框架

一、

圆与直线、圆与圆的位置关系 【知识点拨】

1、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 2、圆与圆的位置关系 两圆位 置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共点 个数 0 1 2 1 0 圆心距 d 与两圆半径 R、r(R>r)的关系 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 外分切线 条数 2 2 2 1 0 内公切线 条数 2 1 0 0 0 公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 d>r d=r d<r

3、弦切角(弦切角就是切线与弦所夹的角)的性质 (1)弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的(圆心角的)度数的一半。 (2)弦切角定理的推论:若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等。 (3)弦切角的度数定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 4、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线, 平分两条切线的夹角。 5、两圆公切线的性质 (1)两圆的外公切线长(或内公切线长)相等; (2)两圆的外公切线与连心线或者相交于一点或者平行。 6、公切线的作法及长度计算 本节的两种位置关系和性质是研究直线与圆、圆与圆的基础。要求会用运动变化的方法去考虑 两种位置关系,能了解它们之间的区别与联系。 在处理有关相切(或相交)的几何问题时,其基本思路是由位置关系确定线段或角的数量关系, 反之由数量关系确定相关的位置关系。在解决解决这样的问题过程中,经常转化为直角三角形、相 似三角形,利用勾股定理,以及相似三角形的若干性质来解决问题。

杭州龙文教育科技有限公司

1

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义
二、 圆的计算题 【知识点拨】

三角形的求解方法要点:
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。

杭州龙文教育科技有限公司

2

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义
(1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 2 2 a sin B sin C b sin C sin A c 2 sin A sin B (3)△= = = ; 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B )
(1)△= (4)△=2R2sinAsinBsinC。 为外接圆半径) (R (5)△=

abc ; 4R
? ? 1 ? (a ? b ? c) ? ; 2 ?

(6)△= s( s ? a)( s ? b)( s ? c) ; ? s ? (7)△=r·s。

4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是 边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括 三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角 形的问题一般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直 角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: a b c 正弦定理 ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin sin sin A B C 余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换(不要求) 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换 因为在△ ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

sin A a b2 ? c2 ? a2 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

杭州龙文教育科技有限公司

3

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义
r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°; △ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列。

【例题精讲】

【例题精选】 一.圆中位置关系:
例 1、AB 为半圆 O 的直径,AP⊥AB,C 为半圆 O 上一点,CD⊥AB 于 D,E 是 CD 的中点,BE 交 AP 于 P。 求证:PC 是半圆 O 的切线。

【说明】证明切线的方法一般有: (1)直线与圆有唯一的公共点; (2)圆心到直线的距离等于 半径; (3)过半径外端的直线和半径垂直; (4)垂直半径的直线过半径外端。 本例采用的是(3) 。 例 2、过 P 作⊙O 的切线 PA、PB,A、B 为切点,又 PC 满足 AB·PB-AB·PC-AC·PB,且 AP⊥ PC,∠PAB=2∠BPC。 求∠ACB。

【说明】方程的思想在几何中的计算问题中是相当有用的。 例 3、PA 切⊙O 于 A,PEF 交⊙O 于 F、E,AC 平分∠EAF,交 PE 于 C,PB∠平分 APE 交 AE、 AF 分别于 B、D。 求证:ABCD 为菱形。

【说明】 (1)要判断一个图形的形状不仅要对判定方法熟悉,还要能结合题中条件选择较易的 方法证明之。 (2)本例可以推广为:如图,PE、PH 分别是圆的割线且与圆分别交于 F、E、G、H。∠HPE 的 平分线交 QF、QE 于 D、B,∠FQE 的平分线交 PH、PE 于 A、C。 求证:ABCD 为菱形。

杭州龙文教育科技有限公司

4

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义
例 4、AB 是半⊙O 的直径,AC⊥AB,AC=AB,在半圆上任取一点 D,作 DE⊥CD 交 AB 于 E, BF⊥AB 交线段 AD 的延长线于点 F。 (1)设弧 AD 是 X0 的弧,若要使点 E 在线段 BA 的延长线上,求 X 的聚 会范围。 (2)不论点 D 取在半圆的什么位置,图中除 AB=AC 外,还有两条线段 一定相等,指出它们,并加以证明。

【说明】 (1)要学会用运动变化的观点和极端原理考虑问题; (2)在圆中要探寻线段相等,要 充分利用相似三角形。 例 5、已知两圆的半径分别是 R、r,圆心距为 3,且 R、r、R+r 恰为方程 x3-6x2+11x-6=0 的三 根,问这两个圆的位置关系如何?

【说明】判断两圆位置除了本例的方法,还用到公切线的条数。但要注意,不能仅由内公切线 或外公切线的条数来判定,还要添加其他附加条件;同样也不能用两个圆的交点的个数来判定。 例 6、两圆内切于点 P,大圆的弦 AD 与小圆相离,PA、PD 与小圆交于点 E、F,直线 EF 交大 圆于 B、C。 求证:∠APB=∠CPD。

【说明】 (1)要能针对直线和圆、圆和圆的各种位置关系灵活地添上常用而且是适用的辅助线。 如本例是添加的过两圆的切点的公切线。 (2)本例还可以变形为: 变题 1:如图,⊙O1 与⊙O2 外离,一直线与⊙O1 交于 A、D,与⊙O2 交于 B、 C,O1O2 分别交⊙O1、⊙O2 于 E、F,AE、BF 的延长线交于 P,DE、CF 的延长线 交于 Q。 求证:∠APB+∠CQD=1800。

杭州龙文教育科技有限公司

5

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义
变题 2、⊙O1 内含⊙O2,⊙O1 的弦 AB 切⊙O2 于点 C,O1O2 分别交⊙O1、⊙O2 于 E、F,AE、BE 与 FC 分别交于 P、Q。 求证:∠APC 与∠BQC 相等或互补。

例 7、⊙O1 与⊙O2 外切于 P,射线 AP 分别交两圆于 N、M, 分别切⊙O1 与⊙O2 于 B,且

AB、 AC

AB AC 。 ? AO1 AO2

求证: (1)AP 平分∠BAC; (2)AP2=AM·AN。

【说明】本例中的相切条件不变, (1)若 AP 平分∠O1AO2,则 (2)能否由 AP =AM*AN 证明 AP 平分∠OAO?读者自己考虑。
2

AB O1 P ? ; AC O2 P

例 8、在等边△ABC 所在的平面内,问有多少点 P 使△PAB、△PBC、△PCA 为等腰三角形。

杭州龙文教育科技有限公司

6

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

【针对训练】

杭州龙文教育科技有限公司

7

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

杭州龙文教育科技有限公司

8

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

二.

圆的计算题:

例 1、如图,七根圆形筷子的横截面的圆半径均不 r,则捆扎这七根筷子一周的绳子的长度为多 少?

【说明】计算曲线段的长度(包括封闭的和不封闭的)时,先要研究曲线的形状与特征,看其 是否对称、规则,对称、规则时,有没有现在的公式可求,如果规则或规则但无现成的公式可求时,

杭州龙文教育科技有限公司

9

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义
可用割补的思想方法来分析研究。 例 2、AD、AM、AE 分别是△ABC 的高、中线、角平分线,且∠1=∠2。 求∠BAC 的度数。

【说明】本例是一道传统几何题的逆命题,也可变成∠1=∠2←→∠BAC=90°。 例 3、在平行四边形 ABCD 中,∠B=60°,AB=4,BC=6,以 B 为圆心、BA 为半径画弧交 BC 于 E,再以点 D 为圆心、DA 为半径画弧交 DC 的延长线于点 F。 求阴影部分的面积 S。

【说明】对于求曲线长、面积、体积的问题通常采用割补的方法,但对于较难用此法的图形可 以考虑使用集合的思想(或图形覆盖的方法)来处理,在运用图形覆盖时,要注意图形中哪些部分 重复覆盖,哪些部分没有被覆盖,哪些部分覆盖到有关图形之外,各部分之间的大小关系如何。 例 4、大、中、小三圆两两相切,它们又都与直线 L 相切,若大、中两圆的半径分别是 R、r, 求小圆的半径。

例 5、已知⊙O 与⊙O 外切与点 P,外色切线 AB 与连心线⊙OOO 相交于 C,A、B 是切点,D 是延 长线上的点,满足

AP AC 4 (2)S⊙O1; (3)S⊙O2 ? ? ,求(1)cosD; AB AD 5

杭州龙文教育科技有限公司

10

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

【说明】 在初中阶段, 求三角函数值, 都是建立在直角三角形的基础上的, 因此, 证∠APB=90° 是解决本题的关键; (2)几何计算常建立在几何证明的基础上,通过证明,知道有关图形的位置关 系和数量关系,从而使问题获得解决。 例 6、已知△ABC 中,BC=21,AC=28,AAB=35,从中挖去两个最大的等圆,则它们的半 径是多少?

例 7、锐角△ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM ⊥AB 于 M,作 FN⊥AC 于 N,延长 AE 交△ABC 的外接圆于点 D。 求证:SAMDN=S△ABC。

【分析】求面积的基本方法有三种。 (1)直接法。就是根据面积公式和性质(或推理)实现解题的方法。 (2)等积法。就是根据面积的等积性质进行转化而获得解题的方法。常见的有同底等高的三角 形面积相等、全等三角形面积相等。 (30 割补法。通过分割或补形,把不规则图形或不易求解的图形转化为规则图形或易于求解的 图形,从本题条件,可用等积法求解。 【说明】仔细体会本例,从中悟出如何用分析中所提到的三种方法来研究面积问题。 例 8、已知,⊙O 与⊙O 内切于点 P,过 P 的直线交⊙O 于 A,交⊙O 于 B,AC 切⊙O 于 C,交⊙O 于 D,且 PB、PD 的长恰好是关于 x 的方程 x ? m ? 16 x ? 4 ? 0 的两根。
2

求(1)PC 的长; 2 (2)若弧 BP=弧 BC,且 S△PBC:S△APC=1:k,求代数式 m(k -k)的值。

杭州龙文教育科技有限公司

11

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

例 9、边长为 26 的正三角形内接于圆,弦 DE∥BC,交 AB、AC 于 F、G,如果 AF 的长 x 和 DF 的长 y 都是整数,求 y 的值。

【针对训练】

杭州龙文教育科技有限公司

12

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

杭州龙文教育科技有限公司

13

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

杭州龙文教育科技有限公司

14

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)

个性化辅导讲义

杭州龙文教育科技有限公司

15

湖墅校区 : 谭前富 (13870122533)


赞助商链接

更多相关文章:
第10讲.直线和圆的位置关系圆中的计算
第10讲.直线和圆的位置关系圆中的计算 冲刺班十讲冲刺班十讲隐藏>> 关于圆的切线与计算 板块一、切线的判定 【例1】 (2008海淀一模)已知:如图, AC 是⊙...
...圆第二节 与圆有关的位置关系第三节 圆的有关计算
知识要点 1.点和圆的位置关系圆的半径是r,点到圆心的距离是d,那么点在圆外 第二节 与圆有关的位置关系第三节 圆的有关计算 课标解读考 试要求 考试内容...
21题直线与圆的位置关系圆中有关计算分析(何平)
与圆的位置关系圆中相关计算是每年北京中考的必考题型,题目位置为第 20 题 (特别值得注意是今年中考说明中要求, 统计题目 21 题将与 20 题圆题目互换位置, ...

的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ;②直线与半径的关系是 互相...各科精品辅导 名师名校 不只是涨分 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理...
2018人教版中考与圆有关的位置关系及切线的证明与计算...
2018人教版中考与圆有关的位置关系及切线的证明与计算中考真题回顾_数学_初中教育_教育专区。第六单元 第 2 课时 圆 与圆有关的位置关系及切线的证明与计算 ...
中考数学解题方法代数式变形与求值讲义 (2)_图文
代数式变形与求值讲义板块一:绝对值和二次根式的...在圆中做题有一些基本的原则, 注意圆的对称性 (如...(圆 心角、圆周角、弧、弦之间的关系用来转移线段...
2013年湖南省湘西州中考数学试卷及答案(Word解析版)
圆与圆的位置关系. 3718684 分析: 由两圆的半径分别为 3cm 和 5cm,圆心距为...是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关 键是熟记特殊角的三角函数值,...
2013年福建省泉州市中考数学试卷及答案(Word解析版)
圆与圆的位置关系 分析: 本题直接告诉了两圆的...计算题. 分析: (1)求出四张卡片中抽出一张为 3...
南宁市武鸣县2014年中考数学三模试卷(含答案)
组数中最大值与最小值的差以及平均数的计算公式,...查了圆与圆的位置关系与数量关系, 注意两圆相切时...等腰三角形的性质,圆 周角定理,三角形的中位线,...
2013年江苏省宿迁市中考数学试卷及答案(word解析版)
圆与圆的位置关系. 分析: 根据两圆相切,则有外切和内切.当两圆外切时,圆心...则图中阴影部分的面积是 . (结果保留 π) 2 考点: 扇形面积的计算 分析: ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图