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高中数学《2.2.1综合法和分析法》评估训练1 新人教A版选修1-2


2.2

直接证明与间接证明 综合法和分析法 综合法及其应用

2.2.1 第 1 课时

双基达标 ? 1.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么

限时20分钟?

( A.x< C.x<

).

x+y
2 2

<y<2xy <2xy<y

B.2xy<x< D.x<2xy<

x+y
2 2

<y <y

x+y

x+y

3 1 解析 ∵y>x>0,且 x+y=1,∴设 y= ,x= , 4 4 则

x+y 1
2

3 x+y = ,2xy= ,∴x<2xy< <y,故选 D. 2 8 2

答案 D 1-x 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于 1+x ( 1 A.b B.-b C. ).

b

1 D.-

b

1+x 解析 ∵f(-x)=lg =-f(x),∴函数 f(x)是奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-b. 1-x 答案 B 3.已知角 A、B 为△ABC 的内角,则 A>B 是 sin A>sin B 的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 由正弦定理 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 = ,又 A、B 为三角形的内角,∴sin A>0,sin B>0,∴ sin A sin B ).

a

b

sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B. 答案 C → → 4.设 e1、e2 是两个不共线的向量,AB=2e1+ke2,C B =e1+3e2,若 A、B、C 三点共线,则

k=________.
1

→ → 解析 A、B、C 三点共线,则AB=λ CB, 即 2e1+ke2=λ (e1+3e2). ∴λ =2,k=6. 答案 6 5.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b、2 ab,a +b 2ab 中最大的是________. 解析 由 0<a<1,0<b<1, 且 a≠b,得 a+b>2 ab,a +b >2ab. 又 a>a ,b>b , 知 a+b>a +b ,从而 a+b 最大. 答案 a+b 6.已知 a>b>c,求证: 1
2 2 2 2 2 2 2 2,

a-b b-c a-c



1



4

.

证明 a>b>c? a-b>0,b-c>0,a-c>0?

?a-c=? a-b? +? b-c? ≥2 ? a-b? ? b-c? >0 ? ? 1 1 1 >0 ?a-b+b-c≥2 ? a-b? ? b-c? ?
? (a-c)? 2 ? ?

? 1 + 1 ?≥2 ? ?a-b b-c?
? 1 =4

a-b? ? b-c? ·

a-b? ? b-c?

1 1 4 + ≥ .当且仅当 a-b=b-c,即 a+c=2b 时,取“=”. a-b b-c a-c 综合提高 ?
3

限时25分钟?
2

7.已知 a>0,且 a≠1,P=loga(a +1),Q=loga(a +1),则 P,Q 的大小关系是 ( A.P>Q C.P<Q
3 2

).

B.P=Q D.与 a 的值有关
3 2

解析 当 a>1 时,a +1>a +1,所以 P>Q;当 0<a<1 时,a +1<a +1,所以 P>Q. 答案 A 8. 若定义在 R 上的二次函数 f(x)=ax -4ax+b 在区间[0,2]上是递增函数, f(m)≥f(0), 且 则实数 m 的取值范围是 ( A.0≤m≤4 C.m≤0 B.0≤m≤2 D.m≤0 或 m≥4 ).
2

2

解析 ∵二次函数 f(x)=ax -4ax+b 的对称轴为 x=2, f(x)在[0,2]上是递增函数, 又 ∴a<0,∵f(m)≥f(0),∴0≤m≤4. 答案 A 9.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件________时,有 A1C ⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).

2

解析 本题答案不唯一,要证 A1C⊥B1D1, 只需证 B1D1 垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1, 因为该四棱柱为直四棱柱,所以 B1D1⊥CC1, 故只需证 B1D1⊥A1C1 即可. 答案 对角线互相垂直 → → → → → → 10. 若平面内有OP1+OP2+OP3=0, OP1|=|OP2|=|OP3|, 且| 则△P1P2P3 一定是________(形状) 三角形. 解析 可结合图形,利用向量的几何意义加以解决. 答案 等边 11.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、

b、c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.
证明 由 A、B、C 成等差数列,有 2B=A+C. 因为 A、B、C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π . π 由①②,得 B= . 3 由 a、b、c 成等比数列,有 b =ac. 由余弦定理及③, 可得 b =a +c -2accos B=a +c -ac. 再由④,得 a +c -ac=ac, 即(a-c) =0,因此 a=c, 从而有 A=C. π 由②③⑤,得 A=B=C= ,所以△ABC 为等边三角形. 3 ⑤
2 2 2 2 2 2 2 2 2

① ② ③ ④

3

12.(创新拓展)已知数列{an}为等比数列,a2=6,a5=162. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,证明:

Sn·Sn+2 ≤1. S2+1 n
4

(1)解 设等比数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q,a5=a1q , 依题意,得方程组?
? ?a1q=6, ? ?a1q =162,
n-1
4

解得 a1=2,q=3,∴an=2·3 2? (2)证明 ∵Sn=
n

1-3 ? n =3 -1, 1-3

Sn·Sn+2 32n+2-? 3n+3n+2? +1 ∴ 2 = 2n+2 n+1 Sn+1 3 -2·3 +1
≤ 即 3
2n+2

-2 3 ·3 +1 =1, n+1 3 -2·3 +1
2n+2

n

n+2

Sn·Sn+2 ≤1. S2+1 n

4


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