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赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题



? 4 8?   中学教研 ( 数 学)   赏 析 几 道 以 斐 波 那 契 数 列 为 背 景 的 高 考 题 和 竞 赛 题  ●周 湖平  李 阳华  ( 吉水中学 江西吉水 3 3 1 6 0 0 )   l 3 世 纪初 意大利数 学家斐 波那契 在《 算 盘  书》 中提出了一个有趣的数列 , 人们称之为斐波那  契数列 . 斐 波那 契 数列源 于兔 子

的繁 殖 问题 :   故  厂 ( 1 0 ) =  8 ) 十  9 ) = 1 2 3 ,   a   。 +6 加=1 2 3 .   点评 本 题考 查 了归纳 推理 的有 关 知识 , 在归  兔子出生后 2个月就能每月生小兔 , 若每月不  多不少 恰 好 生 一 对 ( 一雌 一雄 ) , 假 如 养 了初 生 的  小兔子 一对 , 试 问 一年后 共有 多少对 兔 子?   纳 方法 中考 查 了斐 波 那 契 数 列 通 项 的特 点 ( 即从  第 2项起 , 每 一项 都是前 两 项之 和 ) .   依此类推 , 该问题产生的数列为: l , 1 , 2 , 3 , 5 ,   8 , 1 3 , 2 1 ……这 个 数 列 有个 十分 明显 的特 点 : 前 面  例 2  已 知 厂 (   )  『 {   , 各 项 均 为 正 数 的 数 列   { a   } 满足 a 1 =1 , a   + 2- _ f ( a   ) . 若 a 2 ㈣ =a 2   o 1 2 , 则  02 0 + al l: — — —   相邻两项之和, 构成了后一项. 用F   表示经过 / 7 , 个  月后的兔子总对数 , 那么数列满足如下递推关 系:   Fo= l, F1= 1, F = F  1+ F  2 ( n ≥2 ) ,   一 一 ( 2 0 1 2年上 海 市数 学 高考 文科 试题 )   解 设a 2   O l O  f ? 由a 2   O l O  。 z 叭 得  , 于是  , 解  这就是 著 名 的斐波 那 契数列 . 可 以证 明  (   ”   ] ,   这个公式又称 比内公式. 由于其规律简单 、 内涵丰  富, 因而在高考与竞赛 中颇受青 睐. 下面 以几道高  考题和竞赛题为例 , 阐述其应用.   例 1 观察 下列 各式 :   a+b=1:   a  +6  =3:   a  +6  =4:   a  +b  =7:   a  +6  =1 1:   得 正数 £ :   : 犁 .   又 因 为   a 1   ̄ a n + 2   去 ,   ( F  是 斐 波 那  所 以  。   = -  = 丢 , 口   =   , n   =   .   利用 数学 归纳 法 可证 明 a 2 k - 1 :   契 数列通 项 公 式 ) , 其 中F 。=F 2=1 , F   + :=F  +   F   +   ( n∈N  ) . 于是  F6   8   ,   则 a m+ 6 m=   A. 2 8   B. 7 6   C. 1 2 3   D. 1 0   (   )   故 a 2 o   01 1   ( 2 0 1 2年江西省数学高考理科试题 )   解 记a  +6  = I 厂 ( n ) , 则  =   +   =   .   点评 本 题 设计 巧妙 , 以 函数 不 动 点 、 斐 波 那 


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