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高考数学基础题题库(立体几何201--300)


高考数学基础题题库
上犹中学数学教研组收集整理 立体几何(201—300)
201. .已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=AC=2, 求球的体积。

解析:过 A、B、C 三点截面的小圆的半径就是正△ABC 的外接圆的半径

2 3 , 3

它是Rt△中 60 所对的边,其斜边为

0

256 4 4 ?; ,即球的半径为 ,∴ V ? 3 3 81

202. 正四面体棱长为 a,求其内切球与外接球的表面积。 解析:设正四面体的面 BCD 和面 ACD 的中心分别为 O1 , O2 ,连结 AO2 与 BO1 并延长,必 交于 CD 的中点 E, 又 BE ?

3 3 6 连接 BO2 , 在 Rt△ BO2 E 中, O2 E ? a, a, BO2 ? , 6 2 3

连结 AO1 与 BO2 交于 O3 ,由 Rt△ AO2 O3 ? Rt△ BO1O2 ,∴ O2O3 ? O3O1 , O3 A ? O3 B , 同理可证 O3C ? O3 D ? O3 A, O3 到另二面的距离也等 O3 O1 ,

∴ O3 为四面体外接球与内接球的球心,由△ BO1O3 ∽△ BO2 E ,∴ O1O3 ?

6 a, 12

∴ R外 ?

6 3 6 1 a, S 外 ? ?a 2 , r内 ? a, S内 ? ?a 2 4 2 12 6

203. 在 RtΔ ABC 中,AB=BC,E、F 分别是 AC 和 AB 的中点,以 EF 为棱把它折成大小为β 的二面角 A—EF—B 后,设∠AEC=α , 求证:2cosα -cosβ =-1. 解析:∠AFB=β .可证:BC⊥AB,然后利用 AC2=BC2+AB2 即可证得. 204. 如图:D、E 是是等腰直角三角形 ABC 中斜边 BC 的两个三等分点,沿 AD 和 AE 将△ABD

和△ACE 折起,使 AB 和 AC 重合,求证:平面 ABD⊥平面 ABE. A A









D B



解析:过 D 作 DF⊥AB 交 AB 于 F,连结 EF,计算 DF、EF 的长,又 DE 为已知,三边长满足勾 股定理,∴∠DFE= 90 ;
0

205. 已知正三棱柱 ABC— A1 B1C1 的底面边长为8,侧棱长为6,D 为 AC 中点, (1)求证:AB1∥平面 C1DB; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值. (1) 解析:连B1C交 BC1于 E,连结 ED,则 AB1∥DE,由线面平行定理得 AB1∥平面 BDC1; (2)∵AB1∥DE,∴DE 与 BC1所成锐角就是异面直线 AB1与 BC1所成的角,又 BD⊥DC, 在 Rt△BDC1中,

1 1 BC1=5,DE=5,BD= 4 3 ,在△BDE 中, cos ∠BED= ,∴异面直线 AB 2 25 1 1与 BC1所成角的余弦值为 25
易知 BE= 206. 已知(如图) :三棱锥 P—ABC 中,异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90 ,二面角 P—BC —A 为 60 ,△PBC 和△ABC 的面积分别为 16 和 10,BC=4.
0 0



求: (1)PA 的长; (2)三棱柱 P—ABC 的体积 VP ? ABC







解析:

(1)作 AD⊥BC 于 D,连 PD,由已知 PA⊥BC,∴BC⊥面 PAD,∴BC⊥PD,∴∠PDA 为二面角的 平面角,∴∠PDF= 60 ,
0

可算出 PD=8,AD=5,∴PA=7;(2)V=

40 3 3

207. 如图 2-33:线段 PQ 分别交两个平行平面α 、β 于 A、B 两点,线段 PD 分别交α 、β 于 C、D 两点,线段 QF 分别交α 、β 于 F、E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12, ? ACF 的面 积为 72,求 ? BDE 的面积。 解析: 求 ? BDE 的面积, 看起来似乎与本节内容无关, 事实上, 已知 ? ACF 的面积, 若 ? BDE 与 ? ACF 的对应边有联系的话,可以利用 ? ACF 的面积求出 ? BDE 的面积。 (提示:① ? ABC 的两条邻边分别长为 a、b,夹角为θ ,则 ? ABC 的面积 S= ②sinα =sin(180°-α ) 解答:∵平面 QAF∩α =AF,平面 QAF∩β =BE,又∵α ∥β ,∴AF∥BE 同理可证:AC//BD,∴∠FAC 与∠EBD 相等或互补,即 sin∠FAC= sin∠EBD. 由 AF∥BE,得

1 absinθ , 2

BE QB 12 1 1 ? ? ? ,∴BE= AF 2 AF QA 24 2

P F A C α

AC PA 9 3 7 ? ? ? ,∴BD= AC 3 BD PB 21 7 1 又∵ ? ACF 的面积为 72,即 AF·AC·sin∠FAC=72, 2
由 BD//AC,得: ∴ S?DBE =

E B Q 图 2-33

D

β

1 BE·BD·sin∠EBD 2 1 1 7 = · AF· AC·sin∠FAC 2 2 3 7 1 7 = · AF·AC·sin∠FAC= ×72=84 6 2 6

∴ ? BDE 的面积为 84 平方单位。 208. a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 为三个不重合平面,现给出六个命题, ①

a // c ? ? ? a // b b // c? ? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?



a // ? ? ? ? a // b b // ? ? ? // c? ? ? ? // a a // c ?



? // c? ? ? ? // ? ? // c ? a // ? ? ? ? ? // a ? // ? ?



⑤ )



其中正确的命题是(

A. ①②③

B. ①④⑤

C. ①④

D. ①④⑤⑥

解析: 首先要判断每个命题的真假,错误的命题只需给出一个反例。 解答: ①三线平行公理, ②两直线同时平行于一平面,这二直线可相交,平行或异面 ③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行 ④面面平行传递性, ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面可平行或直线在平面内, ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这直线和平面可平行也可能直线在平面内, 故①④正确 ∴应选 C。 209. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB1 与 A1D 所成的角为α ,AC 与 BC1 所成的角为β ,A1C1 与 CD1 所成的角为γ 。 求证:α +β +γ =π 解析:作如图的辅助线 则∠AB1C 为 AB1 与 A1D 所成的角∠AB1C=α ∵AB ? // A1B1 ? // C1D1 ∴BC1//AD1,故∠D1AC 为 AC 与 BC1 所成的角∠D1AC=β ∵AA1 ? // DD1 ? // CC1,∴A1C1//AC ∴∠D1CA 即为 A1C1 与 CD1 所成的角∠D1CA=γ 在△ACD1 和△ACB1 中,AB1=CD1,B1C=D1A,AC=CA ∴△ACD1≌△CAB1,故∠AB1C=∠AD1C,故∠AD1C=α 在△AD1C 中,∠AD1C+∠D1CA+∠D1AC=π 即:α +β +γ =π A1 B A 图 2- D B1 D1 C1

C

210. 如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行。 (已知α ∥β ,γ ∥β ,求证:α ∥γ 。 ) 解析:如图 2- ,作两个相交平面分别与α 、β 、γ 交于 a、c、 α e 和 b、d、f

a

b

? // ? ? ?

?a // c ? ? ?b // d ? ?a // e ? a // ? ? ??? ? ? ? // ? ?c // e ? ?b // f ? b // ? ? ? // ? ? ? ?d // f ? ?

c β

d

e γ f

211. 下列说法中正确的是( ) : A. 直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l//α B. 若直线 a 在平面α 外,则 a//α C. 若直线 a//b,直线 b ? α ,则 a//α D. 若直线 a//b,b ? α ,那么 a 就平行于平面α 内的无数条直线 解析:画出图形,根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。 解答: 由直线 l 虽与平面α 内无数条直线平行,但 l 有可能在平面α 内,知 l 不一定平 行于α ,从而排除 A 直线 a 在平面α 外,包括两种情况:a//α 或 a 与α 相交,故 a 与α 不一定平行,从而 排除 B 直线 a//b ,b ? α 只能说明 a 和 b 无公共点,但 a 可能在平面α 内,故 a 不一定平行 于α ,从而排除 C a//b,b ? α ,那么 a ? α 或 a//α ,故 a 可能与平面α 内的无数条直线平行,从而选择 D 点评: 判定直线与平面平行时,要注意直线与平面平行的判定 定理中的三个条件,缺一不可。 。 212.如图 2-20,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相 交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证:MN//平面 BCE。

A D C M B N E

F

G

图 2-20

解析: 要证 MN//平面 BCE,就是要在平面 BCE 上找一条直线,证明它与 MN 平行即可。 证明: 连结 AN 并延长,交 BE 延长张于 G,连结 CG。 由 AF//BG,知

AN FN AM ? ? ,故 MN//CG,MN ? 平面 BCE,CG ? 平面 BCE,于是 NG NB MC

MN//平面 BCE。 点评:证线面平行,通常转化为证线线平行,关键是在平面内找到所需 的线。 213. 如图 2-21, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, E 为 DD1 的中点, (1)判断 BD1 和过 A、C、E 三点的平面的位置关系, 并证明你的结论。 (2)求 ? ACE 的面积。 证明(1) :连结 BD,令 BD∩AC=F。 ∵BD1 和过 A、C、E 三点的平面平行, 则 F 是 DB 的中点,又 E 是 DD1 的中点, ∴EF∥BD1 又 EF ? 平面 ACE,BD1 ? 平面 ACE, ∴BD1∥平面 ACE (2)在正方形 ABCD 中,AB=2,AC=2 2 ,∴AF= 2 D1 A1 A E D B B1 C C1

D1 A1 A E D F B1

C1

C B

图 2-

在直角△ADE 中,AD=2,DE=1,∴AE= 5

在 Rt△EAF 中,EF= EA2 ? AF 2 = 5 ? 2 = 3 ∴ s?ACE ?

1 ?2 2? 3 ? 6 2

214. 直线 a//直线 b,直线 a 与平面α 相交,判定直线 b 与平面α 的位置关系,并证明你的 结论 证明:假设直线 b 与α 不相交,则 b ? α 或 b//α (1)若 b ? α ,由 a//b,b ? α ,a ? α ? a//α ,与 a 与平面α 相交矛盾,故 b ? α 不可能。 (2)若 b//α ,又 a// b,a,b 可以确定平面β ,设α ∩β =c,由 c ? α ,知 b 与 c 没有公共点, 又 b、c 同在平面β 内,故 b//c,又 a//b,故 a//c,c ? α ,a ? α ? a//α ,这与 a 与平面 α 相交矛盾。故 b 不平行α 。 综上所述,b 与α 必相交。 215. 如图 2-22:在长方体 AC1 中, (1)求证:BC1//平行平面 AB1D1 (2)若 E、F 分别是 D1C,BD 的中点,则 EF//ADD1A1

// DC ? // AB 解析: (1)∵D1C1 ?
∴ABC1D1 是平行四边形 BC1//AD1 又 BC1 ? 平面 AB1D1,又 AD1 ? 平面 AB1D1 BC1//平面 AB1D1 (2)证明:连结 AF、CF、AD1, ∵ABCD 是正方形,且 F 是 BD 的中点,知 A、F、C 三点共线, 且 F 是 AC 的中点,又 E 是 CD1 的中点 ∴EF//AD,又 EF ? 平面 ADD1A1,AD ? 平面 ADD1A1, ∴EF//平面 ADD1A1

D1 A1 D E B1

C1

F A B 图 2-22

C

216.在正方体木块 ABCD-A1B1C1D1 的表面上有一动点 P 由顶点 A 出发按下列规则向点 C1 移 动; ⑴点 P 只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动; ⑵点 P 每一变化位置,都使 P 点到 C1 点的距离缩短。 动点 P 共有_________种不同的运行路线。 解析:通过画图逐一计数,共得 12 种不同路线(从 B 到 C1,就有 3 种不同路线) 经过一条边,一条对角线的情况有 6 种,

A ? B ? C1 , A ? A1 ? C1 , A ? D ? C1

A ? B1 ? C1 , A ? C ? C1 , A ? D1 ? C1
经过三条边的情况有 6 种:

A ? B ? B1 ? C1 , A ? B ? C ? C1 , A ? D ? C ? C1
A ? D ? D1 ? C1 , A ? A1 ? B1 ? C1 , A ? A1 ? D1 ? C1
217. 判定下列命题的真假 (1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线,必垂直于另 一个平面; (2)两个平面垂直,分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面 垂直; (3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相垂直。 解析: (1)若该点在两个平面的交线上,则命题是错误的, D1 C1 如图 2-55,正方体 AC1 中,平面 AC⊥平面 AD1,平面 AC∩平面 B1 A1 AD1=AD, D C 在 AD 上取点 A,连结 AB1,则 AB1⊥AD,即过棱上一点 A 的直线 AB1 A B 与棱垂直,但 AB1 与平面 ABCD 不垂直,其错误的原因是 AB1 没有 图 2-55 保证在平面 ADD1A1 内,可以看出:线在面内这一条件的重要性; (2)该命题注意了直线在平面内,但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图 2-56, 在正方体 AC1 中,平面 AD1⊥平面 AC,AD1 ? 平面 ADD1A1,AB ? 平面 ABCD,且 AB⊥AD1, 即 AB 与 AD1 相互垂直,但 AD1 与平面 ABCD 不垂直; D1 C1 (3)如图 2-56:正方体 AC1 中,平面 ADD1A1⊥平面 ABCD,AD1 ? B 1 平面 ADD1A1,AC ? 平面 ABCD,AD1 与 AC 所成的角为 60,即 AD1 A1 与 AC 不垂直 D C 解:由上面的分析知,命题⑴、⑵、⑶都是假命题。 A B

图 2-56 点评:在利用两个平面垂直的性质定理时,要注意下列的三个条 件缺一不可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们的交 线。 218.已知平面α ⊥平面β ,平面α ⊥平面γ ,且β ∩γ =a,求证:a⊥α 。 解析: 此题需要作出辅助线,可有多种证明方法。 证法 1:如图 2-57:在α 内取一点 P,作 PA⊥β 于 A,PB⊥γ 于 B, 则 PA⊥a,PB⊥a,又 PA ? α ,PB ? α ,PA∩PB=P,∴ a⊥α 。

证法 2:如图 2-58,在 a 上任取一点 Q,作 QC ⊥α 于 C,∵β ∩γ =a,∴Q∈β , 又β ⊥α ,∴QC ? β ,同理可证 QC ? γ ,∴QC 为β 与γ 的交线 a,∴ a⊥α 。 证法 3:如图 2-59,在 a 上取点 R,在β 内作 RD 垂直于α 、β 的交线 l 于 D, ∴RD⊥α ,同法在γ 内,作 RE 垂直于α ,交α 与γ 的交线 m 于 E,则 RE⊥α ,过平面 外一点,作这个平面的垂线是惟一的,∴RD、RE 重合,则它既包含于β ,又包含于γ , ∴ a⊥α 。 证法 4:如图 2-60,在β 、γ 内分别取 M、N 分别作α 、β 的交线 l 和α 、γ 的交线 m 的垂线 c,d,则 c⊥α ,d⊥α ,c//d,c//a,∴ a⊥α 。 点评: 此题是线线,线面,面面垂直转化典型题,多解题,对沟通知识和方法,开拓解 题思路是有益的。

β M β A α P 图 2-57 aγ B α C 图 2-58 α a β Q γ β l a R γ c

a

Nγ d m

D

m E

α

l 图 2-60

图 2-59

219. 下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形的相邻边折 叠围成一个立方体的图形是 ( )

A. 解析:C

B.

C.

D.

220. 如图,将锐角 A 为 60°,边长为 a 的菱形 ABCD 沿 BD 折成 60°的二面角,则 A 与 C 之间的距离为___________。 解析:

3 a 2
B

A

A C B D E D

C

221. 如图 2-63,已知平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ 。α ∩γ =a,β ∩γ =b 且 a∥b, 求证α ∥β 。 α β 证明:在平面γ 内作直线 c⊥a, ∵a∥b,∴c⊥b。 γ ∵α ⊥γ ,∴c⊥α , c 又∵β ⊥γ ,∴c⊥β , b a ∴α ∥β 图 2-63 222. 求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平 行。 已知:如图:a//α ,a//β ,α ∩β =b,求证:a//b 解析: 证明: 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。 如图 2-28,过 a 作平面γ 、δ ,使得γ ∩α =c,δ ∩β =d,那么有

? ?? ? ? d ? ?? c ?? ? ? ? ? ? ? ? a // ? ? ? a // c ? ? c // d ? ? c // ? ? ? c // b ? ? a // b ? ? ? ? a ? ? ? 同理a // d ? c ? ? ? ? ? ? ? b ? 同理a // c ? ?
点评: 本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判 定定理、性质定理及公理 4 的过程。这是证明线线平行的一种典 型的思路。

β d α b α

δ a α c α

γ α α

223. 如图 2-29:四面体 A-BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个 矩形, (1)求证:CD//平面 EFGH; (2)求异面直线 AB、CD 所成的角。 证明: (1)∵截面 EFGH 是一个矩形, ∴EF//GH,又 GH ? 平面 BCD ∴EF//平面 BCD,而 EF ? 平面 ACD,面 ACD∩面 BCD=CD ∴EF// CD,∴CD//平面 EFGH 解: (2)则(1)知 EF// CD,同理 AB//FG, 由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角。 ∴AB、CD 所成的角为 90°

A E B H G C 图 2-29 F D

224. 如图 2-31:设 a、b 是异面直线,A∈a,B∈b,AB⊥a,AB⊥b,过 AB 的中点 O 作平 面α 与 a、b 分别平行,M、N 分别是 a、b 上任意两点,MN 与α 交于点 P, A M 求证:P 是 MN 的中点。 a 证明:连结 AN,交平面α 于点 Q,连结 PQ,OQ。 O B b

α

N

∵ b//α ,b ? 平面 ABN,平面 ABN∩α =OQ, ∴b// OQ,又 O 为 AB 有中点,∴Q 为 AN 的中点。 ∵a//α ,a ? 平面 AMN,平面 AMN∩α =PQ, ∴a// PQ, ∴P 是 MN 的中点。 225.如图 2-32:平面 EFGH 分别平行于 CD、AB,E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上, 且 CD=a,AB=b,CD⊥AB (1)求证:EFGH 是矩形 D (2)点 E 在什么位置时,EFGH 的面积最大 H G A 图 2-32 B E F

C

(1)证明:∵CD//平面 EFGH,而平面 EFGH∩平面 BCD=EF ∴CD//EF,同理 HG//CD,∴EF// HG,同理 HE//GF, ∴四边形 EFGH 为平行四边形,由 CD//EF,HE// AB, ∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF ∴四边形 EFGH 为矩形 (2)解:由(1)可知在 ? BCD 中 EF//CD,设 DE=m,EB=n

D H G A 图2 E C F B

EF BE n ? , 又CD ? a , ? EF ? a, CD DB m?n HE DE m 由HE/ / AB, ? ? , 又AB ? b , HE ? b AB DB m?n 又 ?四边形EFGH为矩形 m n mn ? S矩形EFGH ? HE ? EF ? b? a? ab m?n m?n (m ? n ) 2 ? ? m ? n ? 2 mn, ? (m ? n ) 2 ? 4mn mn 1 ? ? ,当且仅当m ? n时取等号, 2 (m ? n ) 4 mn 1 即E为BD的中点时,即S矩形EFGH ? ab ? ab, 2 (m ? n ) 4 1 矩形EFGH的面积最大为 ab 4
226. 如图 2-23:已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,求证:平面 AB1D1//平面 BDC1。 解析:要证明两个平面平行,由面面平行的判定定理知,须在某一 D1 A1 D A B 图 2-23 B1 C C1

平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线

// C1D1,C1D1 ? // A1B1,∴AD1//BC1∴AB ? // A1B1, 证明:∵AB ?
∴四边形 ABC1D1 为平行四边形, 又 AD1 ? 平面 AB1D1, BC1 ? 平面 AB1D1, ∴BC1//平面 AB1D1, 同理,BD//平面 AB1D1,又 BD∩BC1=B, ∴平面 AB1D1//平面 BDC1。 点评:证面面平行,通常转化为证线面平行,而证线面平行又转化为证线线平行,所以 关键是证线线平行。 227.如图 2-24:B 为 ? ACD 所在平面外一点,M、N、G 分别为 ? ABC、 ? ABD、 ? BCD 的重心, (1)求证:平面 MNG//平面 ACD; (2)求 S?MNG : S?ADC B 解析: (1)要证明平面 MNG//平面 ACD,由于 M、N、G 分别 为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,因此可想到利用重心的性 质找出与平面平行的直线。 证明:连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H。 ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心, N G D F H C 图 2-24

A

M P

BM BN BG ? ? ?2 则有: MP NF GH
连结 PF、FH、PH 有 MN∥PF,又 PF ? 平面 ACD,∴MN∥平面 ACD。 同理:MG∥平面 ACD,MG∩MN=M, ∴平面 MNG∥平面 ACD

(2)分析:因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行,因此,求两三角形的 面积之比,实则求这两个三角形的对应边之比。

MG BG 2 ? ? , PH BH 3 2 1 1 ∴MG= PH,又 PH= AD,∴MG= AD 3 2 3 1 1 同理:NG= AC,MN= CD, 3 3
解:由(1)可知 ∴ ? MNG∽ ? ACD,其相似比为 1:3, ∴ S?MNG : S?ADC =1:9 点评:立体几何问题,一般都是化成平面几何问题,所以要重视平面几何。比如重心定理, 三角形的三边中线交点叫做三角形有重心,到顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍。

228. 如图:在正方体 ABCD-EFGH 中,求证:平面 AFH//平面 BDG。 解析:易证 BD//平面 AHF,BG//平面 AHF, ∴平面 BDG//平面 AHF。

H E D F

G

C

229.如图:在正方体 ABCD-EFGH 中,M、N、P、Q、R、S 分别是 AE、EH、 A B EF、CG、BC、CD 的中点,求证:平面 MNP//平面 QRS。 H G N 解析:先证明 SR//BD,BD//HF,HF//NP, F E P Q ∴SR//平面 MNP,再证 RO//平面 MNP, S M 从而证明平面 MNP//平面 QRS C D R A B 230. 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号 图 2-26 1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行 ( ) 2.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 ( ) 3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 ( ) 4. 过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 ( )

5.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 ( ) 解析: 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。 解答: 1.直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行, ②异面,因此应打× 2.该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系,若为平行,则该命题应打“√” 号;若为相交,则该命题应打“×”号,正是因为这两种可能同时具备,因此,不说明 面内这无数条线的位置关系,则该命题应打“×”号 3.垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则 该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打“√” 4.前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且 只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点 A 垂直于直线 a 的平面惟一, 因此, 过点 A 且与直线 a 垂直的直线都在过点 A 且与直线 a 垂直的平面内, ∴该命题应 打“√” 5.三条共点直线两两垂直,设为 a,b,c 且 a,b,c 共点于 O, ∵a⊥b,a⊥c,b∩c=0,且 c 确定一平面,设为α ,则 a⊥α , 同理可知 b 垂直于由 a,c 确定的平面,c 垂直于由 a,b 确定的平面

∴该命题应打“√” 点评:此类问题必须做到:概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。 231.如图 2-35:在空间四边形 ABCD 中,已知 BC=AC,AD=BD,引 BE⊥CD,E 为垂足, 作 AH⊥BE 于 H,求证:AH⊥平面 BCD。 解析: 要证 AH⊥平面 BCD, 只须利用直线和平面垂直的 判定定理,证 AH 垂直于平面 BCD 中两条相交直线即可。 证明:取 AB 中点 F,连结 CF、DF, ∵AC=BC,∴CF⊥AB, 又∵AD=BD,∴DF⊥AB,∴AB⊥平面 CDF, 又 CD ? 平面 CDF,∴CD⊥AB 又 CD⊥BE,∴CD⊥平面 ABE,CD⊥AH 又 AH⊥BE,∴AH⊥平面 BCD。 F C H E D A

B

图 2-35 点评:证明线面垂直,需转化为线线垂直,而线线垂直, 又可通过证线面垂直来实现。在这里,定义可以双向使 用,即直线 a 垂直于平面α 内的任何直线,则 a⊥α ,反之,若 a⊥α ,则 a 垂直于平 P 面α 内的任何直线。 232.如图:已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径, C 是异于 A、B 的⊙O 上任意一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E , 求证:AE⊥平面 PBC。 证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC 而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC 又∵AE ? 平面 PAC,∴BC⊥AE ∵PC⊥AE 且 PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC。

E O A C 图 2-36 B

233. 如图:BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP⊥平面 ABC,连结 PB、PC,作 PD⊥BC 于 D,连结 AD, 则图中共有直角三角形_________个。 P 8 解析:Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证 BC⊥平面 APD,由 BC⊥AD,BC⊥PD A C D 可得 Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC B 共 8 个。 234. 如图:已知 ABCD 是空间四边形,AB=AD,CB=CD 求证:BD⊥AC 证明:设 BD 的中点为 K,连结 AK、CK, ∵AB=AD,K 为 BD 中点 ∴AK⊥BD 同理 CK⊥BD,且 AK∩KC=K A

B C

D

∴BD⊥平面 AKC ∴BD 垂直于平面 AKC 内的所有直线 235. 如图 2-40:P 是△ABC 所在平面外的一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC, H 是垂足。 求证:H 是 ABC 的垂心。

证明:∵PA⊥PB,PB⊥PC, ∴PA⊥平面 PBC,BC ? 平面 PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC ∴BC⊥PH ∴BC⊥平面 PAH,AH ? 平面 PAH ∴AH⊥BC,同理 BH⊥AC,CH⊥AB, 因此 H 是△ABC 的垂心。 236. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 为 DD1 中点, O 为底 面 ABCD 中心, 求证:B1O⊥平面 PAC。 证明:如图:连结 AB1,CB1,设 AB=1 ∵AB1=CB1= 2 ,AO=CO,∴B1O⊥AC, 连结 PB1,∵ OB1 ? OB ? BB1 ?
2 2 2

P

A B D1 A1 P D A O B

C H D

C1 B1

C

3 2

9 4 3 OP 2 ? PD 2 ? DO 2 ? 4
2 2 2 PB1 ? PD1 ? B1D1 ?

∴ OB1 ? OP ? PB1
2 2

2

∴B1O⊥PO, ∴B1O⊥平面 PAC。 237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成 m 个部分,m 应等于 ( ) A. 27 B. 21 C. 18 D.9 解析:A

D' A' B'

C'

D A B

C

如果将正方体各个面延展,可视为将空间 分成三个层面,上面如图标出直角的层面,中间一层,下面一层,而上面一个层面中,又分 成九个部分,共 9 ? 3=27 个部分。 238. 三棱锥 P—ABC 的三条侧棱 PA、 PB、 PC 两两垂直, 底面 ABC 上一点 Q 到侧面 PAB、 侧面 PBC、侧面 PAC 的距离依次为 2,3,6。 求:P、Q 两点间的距离。 解析:如图,作 QE⊥面 PAB, QM⊥面 PBC,QH⊥面 PAC,E、M、N 为垂足。 由 PA、PB、PC 两两垂直,所以 PC⊥面 PAB,PB⊥面 PAC, PA⊥面 PBC,可得三个侧面两两垂直。 设平面 QEM 与 PB 交于 F,平面 QEH 与 PA 交于 G,平面 MQH 与 PC 交于 N,连接 EF、 MF、GH、GQ、NH、NM,可证明 QMNH-EFPG 是长方体。 ∴PQ= = =7。

239.已知:如图,ABCD 是边长为 2 的正方形, PC⊥面 ABCD,PC=2,E、F 是 AB、AD 中点。

求:点 B 到平面 PEF 的距离。 解析:由 BD∥EF 可证 DB∥平面 PEF,则点 B 到平面 PEF 的距离转化为直线与平面 PEF 的 距离。又由平面 PCA 垂直平面 PEF,故 DB 与 AC 的交点到两垂直平面的交线的距离为所 求距离。 方法一:连接 DB,AC 交于 O 点,设 AC 交 EF 于 G,连 PG, 作 OH⊥PG,H 为垂足。 ∵E、F 是 AB、AD 中点,∴EF∥DB,∴DB∥面 PEF, ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∴EF⊥AC, ∵PC⊥面 ABCD,∴EF⊥PC,∴EF⊥面 PCG, ∵EF? 面 PEF,∴面 PEF⊥面 PCG, ∵OH⊥PG,∴OH⊥面 PEF,即 OH 为所求点 B 到平面 PEF 的距离。

由 ABCD 边长为 2,∴AC=2 ∵PC⊥面 ABCD,∴PC⊥AC,

,GO=

,GC=



∴△OHG∽△PCG,∴

,

由 PC=2,PG=

∴OH=

=

即点 B 到平面 PEF 的距离为



方法二:如图,连接 BF、PB,设点 B 到平面 PEF 的距离为 d,

由 VP-BEF= S△BEF·PC

= × ×BE×AF×PC

= ×1×1×2= 连 AC 交 EF 于 G,连 PG,由方法一知

PG=

,EF=

,S△PEF= ×

×

=

∴VB-PEF= ·S△PEF·d=VP-BEF=

,



d=1 d=

即点 B 到平面 PEF 的距离为



240. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H、L、M、N 分别是 A1D1、A1B1、BC、 CD、DA、DE、CL 的中点, (1)求证:EF ? GF; (2)求证:MN//平面 EFGH; (3)若 AB=2, 求 MN 到平面 EFGH 的距离。 解: (1)证:取 B1C1 中点 Q,则 GQ ? 面 A1B1C1D1,且 EF ? FQ,由三垂线定理得 EF ? GF; (2)在三角形 DEG 中,MN//EG,由此可证 MN//平面 EFGH; (3)设所求距离为 h,由 VE-NGH=VN-HEG,得

1 1 1 ? EL ? S ?NHG ? ? h ? S ?HEG ,又 S ?NHG ? , 3 3 4

S ?EHG ? 3 ,EL=2,故 h ?

3 。 6

241. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在的平面外一点,PD ? 面 AC,PD=AD= l ,设点 C 到面 PAB 的距离为 d1,点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则( )

(A) l <d1 <d2(B)d1< d2< l (C)d1< l < d2(D)d2<d1< l

2 3 解析: d1 ? l , d2 ? l ,故 d2<d1< l ,选 D。 2 3
D

C

P M B Q N E

242.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、 ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a (0 ? a ?

2 ). (1)求 MN 的长;
A F

(2)当 a 为何值时,MN 的长最小; (3)当 MN 长最小时, 求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 ? 的大小。 解析: (1)作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得 MP∥NQ, 且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴ AC ? BF ?

2,

CP a BQ a a ? , ? , 即 CP ? BQ ? , 1 2 1 2 2

∴ MN ? PQ ?

(1 ? CP ) 2 ? BQ 2 ? (1 ? a ) 2 ? ( a ) 2 ? (a ? 2 ) 2 ? 1 (0 ? a ? 2 )
2 2 2 2

(2)由(1)知: 当a ?

2 2 , 即M , N分别移动到 时,MN ? AC, BF的中点时, 2 2
2 2

MN的长最小,最小值为

(3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,

∴∠AGB 即为二面角α 的平面角。又 AG ? BG ?

6 ,所以由余弦定理有 4

cos? ?

(

6 2 6 ) ? ( )2 ?1 故所求二面角 ? 1。 4 4 ?? 3 6 6 2? ? 4 4

1 ? arccos( ? ) 。 3
C G B H E N M P F A D

243. 如图,边长均为 a 的正方形 ABCD、ABEF 所在的平面所

成的角为 ? (0 ? ? ? 求证:MN ? AB; (3)求 MN 的最小值.

?
2

) 。点 M 在 AC 上,点 N 在 BF 上,若 AM=FN ,(1)求证:MN//面 BCE ; (2)

解析: (1)如图,作 MG//AB 交 BC 于 G, NH//AB 交 BE 于 H, MP//BC 交 AB 于 P, 连 PN, GH , 易证 MG//NH,且 MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形,所以 MN//GH , 故 MN//面 BCE ; (2)易证 AB ? 面 MNP, 故 MN ? AB ; (3)

?MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即 ?MPN ? ? ,设 AP=x , 则 BP=a-

x , NP=a-x , 所以: MN ?

x 2 ? (a ? x) 2 ? 2 x(a ? x) cos ?

a 1 ? 2(1 ? cos? )(x ? ) 2 ? (1 ? cos? )a 2 , 2 2
D M

C

a 1 故当 x ? 时,MN有最小值 (1 ? cos? )a . 2 2
A 244.如图, 正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、

B P N F

E

ABEF 互相垂直。 点 M 在 AC 上移动, 点 N 在 BF 上移动, 若 CM=x ,BN=y, (0 ? x, y ?

(1) 2 ).

求 MN 的长(用 x,y 表示); (2)求 MN 长的最小值,该最小值是否是异面直线 AC,BF 之间的 距离。

解析: 在面 ABCD 中作 MP ? AB 于 P, 连 PN, 则 MP ? 面 ABEF, 所以 MP ? PN, PB=1-AP=

2 x 2

在 ? PBN 中,由余弦定理得:PN2= (

2 2 x) ? y 2 ? ? 2 xy cos 450 2

?

1 2 x ? y 2 ? xy ,在 Rt ?PMN 中,MN= MP 2 ? PN 2 ? (1 ? 2 x) 2 ? 1 x 2 ? y 2 ? xy 2 2 2

? x 2 ? y 2 ? xy ? 2 x ? 1 (0 ? x, y ? 2 ). ;

(2)MN ?

2 2 x 3 2 2 2 1 x 2 ? y 2 ? xy ? 2 x ? 1 ( y ? ) 2 ? ( x ? , ) ? ,故当 x ? 3 2 4 3 3

y?

2 3 时,MN 有最小值 。且该最小值是异面直线 AC,BF 之间的距离。 3 3

245.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 是 DD1 的中点,且截面 EAC 与底面 ABCD 成 450 角,AA1=2a,AB=a, (1)设 Q 是 BB1 上一点,且 BQ ? (2)判 2 a,求证:DQ ? 面 EAC;

断 BP 与面 EAC 是否平行, 并说明理由? (3) 若点 M 在侧面 BB1C1C 及其边界上运动,并且总保持 AM ? BP,试确定动点 M 所在的位 置。 解析: (1)证:首先易证 AC ? DQ,再证 EO ? DQ(O 为 AC 与 BD 的交点)在矩形 BDD1B1 中,可证 ? EDO 与 ? BDQ 都是直角三角 形,由此易证 EO ? DQ,故 DQ ? 面 EAC 得证; (2)若 BP 与面 EAC 平行,则可得 BP//EO,在三角形 BPD 中,O 是 BD 中点,则 E 也应是 PD 中点,但 PD=

D A
1 1

C B Q 1 N
O 1

P E D

1 DD1=a,而 2

C B

1 1 2 a,故 E 不是 PD 中点,因此 BP 与面 EAC 不平行; ED=DO= BD= 2 2

A

(3)易知,BP ? AC,要使 AM ? BP,则 M 一定在与 BP 垂直的平面上,取 BB1 中点 N,易 证 BP ? 面 NAC,故 M 应在线段 NC 上。 246.如图,已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, 且 ?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD ? 60 , (1)证明: C1C ? BD ;
0

(II)假定 CD=2, CC1 ?

3 ,记面 C1 BD 为α ,面 CBD 为 β,求二面 2

角 α -BD -β 的平面角的余弦值;

(III)当

CD 的值为多少时,能使 A1C ? 平面C1 BD ?请给出证明. 解析: (I)证明:连 CC1

结 A1C1 、AC,AC 和 BD 交于.,连结 C1O , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD,

? ?BCC1 ? ?DCC1 , 可证 ?C1 BC ? ?C1 DC ,? C1 B ? C1 D ,
故 C1O ? BD ,但 AC⊥BD,所以 BD ? 面AC1 ,从而 CC1 ? BD ;

(II)解:由(I)知 AC⊥BD, C1O ? BD ,

?C1OC 是二面角α —BD—β 的平面角,在

?C1 BC 中,BC=2, C1C ?

3 , ?BCC1 ? 600 , 2
∵∠OCB=60°,

? OB ?

1 13 9 3 BC ? 1 , ? C1O 2 ? C1 B 2 ? OB 2 ? ? 1 ? , 故 C1O= , 2 4 4 2

即 C1O=C1C,作 C1 H ? OC ,垂足为 H,∴点 H 是.C 的中点,且

OH ?

3 OH 3 ,所以 cos?C1OC ? ; ? 2 C1O 3
CD ? 1 时,能使 A1C ? 平面C1 BD CC1

(III)当

证明一:∵

CD ? 1 ,所以 BC ? CD ? C1C ,又 ?BCD ? ?C1CB ? ?C1CD ,由此可得 CC1

BD ? C1 B ? C1 D ,∴三棱锥 C ? C1 BD 是正三棱锥.,
247.设 A1C与C1O 相交于 G.,? A1C1 // AC ,且 A1C1:OC ? 2: 1 ,所以 C1O : 如图,已 知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求异面直线 A1C1 与 BD1 的距离.

解析: 本题的关键是画出 A1C1 与 BD1 的公垂线, 连 B1D1 交 A1C1 于 O, 在平面 BB1D1 内作 OM⊥BD1, 则 OM 就是 A1C1 与 BD1 的公垂线,问题得到解决. 解 连 B1D1 交 A1C1 于 O,作 OM⊥BD1 于 M. ∴ A1C1⊥B1D1,BB1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1. ∴ A1C1⊥平面 BB1D1. ∴ A1C1⊥OM,又 OM⊥BD1. ∴ OM 是异面直线 A1C1 与 BD1 的公垂线.

在直角Δ BB1D1 中作 B1N⊥BD1 于 N. ∵ BB1·B1D1=B1N·BD1,a· 2 a=B1N· 3 a,

∴ B1N=

1 6 6 a,OM= B1N= a. 2 6 3

故异面直线 A1C1 与 BD1 的距离为

6 a. 6

评析:作异面直线的公垂线一般是比较困难的,只有熟练地掌握线、线垂直,线、面垂直的 关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求 OM 的长度时, 主要运用中位线和面积的等 量关系. 248. 已知:A1、B1、C1 和 A2、B2、C2 分别是两条异面直线 l1 和 l2 上的任意三点,M、N、R、 T 分别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2 的中点.求证:M、N、R、T 四点共面.

证明 如图,连结 MN、NR,则 MN∥l1,NR∥l2,且 M、N、R 不在同一直线上(否则,根据三线 平行公理,知 l1∥l2 与条件矛盾).∴ MN、NR 可确定平面β ,连结 B1C2,取其中点 S.连 RS、 ST,则 RS∥l2,又 RN∥l2,∴ N、R、S 三点共线.即有 S∈β ,又 ST∥l1,MN∥l1,∴MN∥ ST,又 S∈β ,∴ ST ? β . ∴ M、N、R、T 四点共面. GO =2:1 又 C1O 是正三角形 C1 BD 的 BD 边上的高和中线,∴点 G 是正三角形 C1 BD 的中心.故

CG ? 面C1 BD ,即 A1C ? 面C1 BD 。
证明二:由(I)知, BD ? 面AC1 ,? BD ? A1C ,



CD ? 1 时,平行六面体的六个面是全等的菱形.同 BD ? A1C 的证法可得 BC1 ? A1C , CC1

又 BD ? BC1 ,所以 A1C ? 面C1 BD 。 249. 如果把两条异面直线看成“一对” ,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共 有( ) A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对

解析:本题以六棱锥为依托,考查异面直线的概念及判断,以及空间想象能力. 解法一:如图,任何两条侧棱不成异面直线,任何两条底面上的棱也不成异面直线,所以, 每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱, 每条侧棱, 可以且只有与 4 条底面 上的棱组成 4 对异面直线,又由共 6 条侧棱,所以异面直线共 6×4=24 对. 解法二:六棱锥的棱所在 12 条直线中,能成异面直线对的两条直线,必定一条在底面的平 面内,另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共 6 条,侧棱所在直线也有 6 条,各取一条 配成一对,共 6×6=36 对,因为,每条侧棱所在的直线,与底面内的 6 条直线有公共点的 都是 2 条,所以,在 36 对中不成异面直线的共有 6×2=12 对.所以,六棱锥棱所在的 12 条直线中,异面直线共有 36-12=24 对. 250. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( A.平行 B.异面 C.平行或异面 )

D.相交或异面

解析:本题考查两条直线的位置关系,异面直线的概念,以及空间想象能力.

解法一:设两条异面直线分别为 l1,l2,则与它们分别相交的两条直线有可能相交,如图 1, 也可能异面,如图 2,它们不可能平行,这是由于:假设这两条直线平行,则它们确定一个 平面α ,两条平行线与两条异面直线 l1 与 l2 的四个交点均在α 内,则两异面直线 l1 与 l2 也 在α 内,这是不可能的.∴应选 D.

解法二:利用排除法,容易发现,分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置 关系,由于这点可以排除选择选 A、B、C.故选 D. 251. 已知两平面α ,β 相交于直线 a,直线 b 在β 内与直线 a 相交于 A 点,直线 c 在平面 α 内与直线 a 平行,请用反证法论证 b,c 为异面直线. 解析:这题规定用反证法,提出与结论相反的假定后,要注意分可能的几种情况讨论. 证:用反证法. 假设 b,c 共面,则 b∥c 或 b,c 相交. (1)若 b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b 这与 b∩a=A 的已知条件矛盾; P∈β . P∈α ∩β 而α ∩β =a.

(2)若 b∩c=P,∵ b ? β ,∴ 又∵ c ? α ,∴ P∈α . ∴

∴ P∈a,这样 c,a 有了公共点 P,这与 a∥c 的已知条件矛盾. 综上所述,假设不成立,所以 b、c 为异面直线. 说明 本题如不指明用反证法,也可以考虑用平面直线的判定定理来证明. 252. 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 AA1 和 BD1 的中点分别是 E、 F. (1)证明 EF 是 AA1 与 BD1 的公垂线段; (2)求异面直线 AA1 和 BD1 间的距离.

解析:(1)连接 ED1、EB,

则显然 ED1=EB=

5 a 2

又 F 为 BD1 之中点.

∴ EF⊥BD1; 连接 FA1,FA. ∵ F 为正方体的中心, ∴ FA=FA1,又 E 为 AA1 之中点, ∴ EF⊥A1A. 故 EF 为 AA1 与 BD1 的公垂线段. (2)在 RtΔ EFD1 中

2 2 EF= ED1 ? FD1 =

5 2 3 2 2 a ? a ? a. 4 4 2

故 AA1 到 BD1 间的距离是

2 a. 2

评析:今后学习了线面的位置关系之后,可以利用“转化”的思想求距离. 253. 如图所示,正三棱锥 S—ABC 的侧棱与底面的边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的 中点,求异面直线 EF 与 SA 所成的角.

解析:计算 EF、SA 所成的角,可把 SA 平移,使其角的顶点在 EF 上.为此取 SB 之中点 G, 连 GE、GF、BE、AE,由三角形中位线定理:GE=

1 1 BC,GF= SA,且 GF∥SA,所以∠GFE 2 2
1 3 a,EA=EB= a,EF= 2 2

就是 EF 与 SA 所成的角.若设此正三棱锥棱长为 a,那么 GF=GE=

1 2 a,因为Δ EGF 为等腰直角三角形.∠EFG=45°,所以 EF 与 SA 所 EA2 ? ( AB) 2 = 2 2
成的角为 45°.

说明 异面直线所成角的求法: 利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊 的位置上,通过证明所作的角就是所求的角或者补角,解三角形,可求.

254. 在空间四边形 ABCD 中,M、N、P、Q 分别是四边上的点,且满足

AM CN AQ = = MB NB QD



CP =k. PD

(1)求证:M、N、P、Q 共面. (2)当对角线 AC=a,BD=b, 且 MNPQ 是正方形时, 求 AC、 BD 所成的角及 k 的值(用 a,b 表示)

解析:(1)∵

AM AQ = =k MB QD

∴ MQ∥BD,且

AM k = AM ? MB k ? 1



AM k MQ = = AB k ?1 BD k BD k ?1

∴ MQ=



CN CP = =k NB PD
CN k = CN ? NB k ? 1

∴ PN∥BD,且



NP CN k k = = 从而 NP= BD BD CB k ?1 k ?1

∴ MQ∥NP,MQ,NP 共面,从而 M、N、P、Q 四点共面.

(2)∵

1 BN 1 BM = , = NC k k MA



BN 1 BM BM 1 = = , = NC k BM ? MA k ? 1 MA

∴ MN∥AC,又 NP∥BD.

∴ MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角. ∵ MNPQ 是正方形,∴ ∠MNP=90° ∴ AC 与 BD 所成的角为 90°,

又 AC=a,BD=b,

MN BM 1 = = AC BA k ?1

∴ MN=

1 a k ?1 1 b,且 MQ=MN, k ?1

又 MQ=

k a 1 b= a,即 k= . k ?1 k ?1 b
说明:公理 4 是证明空间两直线平行的基本出发点. 255.已知:直线 a 和直线 b 是异面直线,直线 c∥a,直线 b 与 c 不相交,求证:b、c 是异 面直线. 证:因为 b,c 不相交,b、c 的位置关系有 b∥c 或 b、c 异面两种可能. 假设 b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b,这与已知 a,b 是异面直线矛盾. 所以 b 与 c 不能平行,又 b、c 不相交 所以 b,c 是异面直线. 256.分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线,为什么? 证明:假设 AC、BD 不异面,则它们都在某个平面α 内,这时 A、B、C、D 四点都在α 上,由 公理 1 知 A、B、C、D ? α ,这与已知 AB 与 CD 异面矛盾,所以 AC、BD 一定是异面直线.

257. 如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= ( )

A1 B1 ,则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是 4

A.

15 17

B.

1 2

C.

8 17

D.

3 2

解析:过 A 点在平面 ABB1A1 内作 AF,使 A1F=D1F1,则 ADF1F 是平行四边形,∴FA∥DF1,再 过 E1 在平面 ABB1A1 内作 E1E∥FA, 则∠BE1E 即是 BE1 与 DF1 所成的角, 由已知 BE1=DF1=

A1 B1 , 4

ABCD—A1B1C1D1 是正方体,∴

E1E=

17 A1B1, 4

又 DF1=AF=E1E,DF1=BE1.

∴ E1E=

1 17 A1B1,EB= A1B1 2 4

在Δ BE1E 中,cos∠BE1E=

E1 E 2 ? BE12 ? BE 2 15 = . 17 2 ? E1 E ? BE1

∴ 应选 A. 258. 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( )

A.

3 2

B.

10 10

C.

3 5

D.

2 5

解析:由图所示,AM 与 CN 是异面直线,过 N 作平行于 AM 的平行线 NP,交 AB 于 P,由定义 可知∠PNC 就是 AM 与 CN 所成的角.因Δ PBC,Δ PBN,Δ CBN 皆为直角三角形,且 BP=

1 , 4

BN=

1 1 2 1 2 5 1 2 2 5 1 2 2 17 2 2 2 ,BC=1,故 PN =( ) +( ) = ,CN =( ) +1 = ,PC =( ) +1 = ,在 2 2 2 4 16 4 16 4
2 PN 2 ? CN 2 ? PC 2 ,所以 cos∠PNC= ,因此应选 D. 5 2 PN ? CN

Δ PCN 中 cos∠PNC=

259. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成的 角都是 30°的直线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

解析: 过 P 点分别作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′与 b′的夹角为 50°,由异面直线所成的 角的定义可知,过 P 点与 a′,b′成 30°角的条数,就是所求的条数. 画图可知,过 P 点与 a′、b′成 30°角的直线只有两条. ∴ 应选 B.

260. .若 a、b 为异面直线,P 为空间一点,过 P 且与 a、b 所成角均为

? 的直线有( 3

)

A.二条 C.二条或四条 解析:D

B.二条或三条 D.二条、三条或四条

261. 已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、DC 的三等分 点. 求证:①对角线 AC、BD 是异面直线, ②EF 和 HG 必交于一点,且交点在 AC 上. 解析:①提示:用反证法,或者用判定定理. ②提示:先证 EH∥FG,EH<FG,设 FE∩GH=0 又 0∈GH.GH ? 平面 ADC.∴O∈平面 ADC.同理 O∈平面 ABC. ∴O 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上. 262.如果直线 a 垂直于直线 b,那么直线 a 与平行于直线 b 的任意一条直线 b′互相垂直 解析:在 a 上任取一点 A,过 A 作 b1∥b,则 a 与 b1 垂直.

∵b∥b′,b∥b1 ∴b1∥b′ ∴直线 a 与 b1 和 a 与 b′所成的角相等. ∴a⊥b′ 263. 在一块长方形木块的面上有一点 P,木匠师傅要用锯子从 P 和 CD 将木块分成两块,问 怎样画线. 解析:过 P 作 C1D1 的平行线 EF,连 DE、CF.

264.异面直线 l1、l2,它们之间的距离为 1,所成角是 l2.E∈l1,F∈l2,AE=BF=1,求 EF 的长.

? ,它们的公垂线是 AB,A∈l1,B∈ 3

解析:如图,用异面直线 l1、l2 作为长方体的上、下底面的对角线,公垂线 AB 为高.

①EF 的长即是正方形 PEE′F 的对角线长,为 2 . ②侧面 EE ' F ' G 的对角线 F ' E ,用勾股定理得 F ' E =2,即为所求. 265.试证:两两相交且不全过同一点的四条直线共面. 解析:(1)设 a、b、c、d 四条直线两两相交,且不过同一点,并且无三线共点. 记 a∩b=A,a∩c=C,c∩b=B, ∵ a∩b=A,∴ a、b 确定平面α . ∴ B∈b,C∈a. ∴ B、C∈α .

∴ BC ? α ,即 c ? α ,同理 d ? α 从而 a、b、c、d 共面 (2)若有三线共点,不妨设 b、c、d 相交于 A, a∩b=B,a∩c=C,a∩d=D. ∴ a 与 A 可确定平面α . ∵ B∈a. ∴B∈α ,于是 b ? α . 同理,c ? α ,d ? α . 从而 a、b、c、d 共面. 266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。

2 2 3
解析:易知 A1 D1 / / BC, 故 A1C与BD1 两条体对角线相交,设交点为 O(如图) ,则

?BOC或?AOB 即为所成的角。

设正方体棱长为 1,则 A1 B ?

2,A1C ? 3,

BC ? 1,所以 tg?BA1C ?

2 ,而 ?BOC ? 2?BA1C ,故 2

2 1 1 2 ? 2 2 ,即 cos2 ?BOC ? tg?BOC ? ? , 2 1 ? tg ?BOC 9 2 1 ? ( )2 2 2?
s i 2n ?B O C ? 8 9 ?s i ? nB O C ? 2 2 3

267.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BC ?

2 14 ,CD ? ,DD1 ? 5, 则 2 2

A1C和B1 D1 所成角的大小为______________。

60?
解析:如图所示,将 B1 D1 平移到 A1 F ,则在 ?A1 FC 中

A1 F ? 2 ;A1C ? 3;CF ? 7 ,故 2 2 ? 32 ? ( 7 ) 2 1 ? 2?2?3 2 ? ?FA1C ? 60? cos ?FA1C ?
268. 根据叙述作图,指出二面角??-l-??的平面角,并证明. (1)已知??∩??=l,A∈l(图 9-39) .在??内作 PA⊥l 于 A,在??内作 QA⊥l 于 A.

图 9-39 (2)已知??∩??=l,A∈??, A ? l (图 9-40) .作 AP⊥??于 P,在??内作 AQ⊥l 于 Q, 连结 PQ.

图 9-40 (3)已知??∩??=l, A ? ? , A ? ? ?(图 9-41) .作 AP⊥??于 P,AQ⊥??于 Q,l∩平 面 PAQ=H,连结 PH、QH.

解析: (1)PA

??,QA

??,PA⊥l,QA⊥l,∴ ∠PAQ 为二面角的平面角.

(2)∵ AP⊥??,∴ PQ 为 AQ 在平面??内的射影,∵ AQ⊥l,根据三垂线定理, 有 PQ⊥l,∴ ∠AQP 为二面角的平面角(如图答 9-35) . (3)∵ AP⊥??,∴ AP⊥l,∵ AQ⊥??,∴ AQ⊥l,∴ PH·QH 平面 PAQ,∴ l⊥PH,l⊥QH,∴ l⊥平面 PAQ,∵

∠PHQ 为二面角的平面角(如图答 9-36) .

269. 如图 9-42,立体图形 A-BCD 中,AC=AD,BC=BD.求作二面角 A-CD-B 的平面角, 并说明理由.

解析:取 CD 中点 E,连结 AE、BE,∵ AC=AD,∴ AE⊥CD.∵ BC=BD,∴ BE⊥ CD,∴ ∠AEB 为二面角 A-CD-B 的平面角. 270. 若二面角??-l-??的一个半平面??上有一个点 A,点 A 到棱 l 的距离是它到另一个平面?? 的距离的 2 倍,则这个二面角的大小为( ) . A.90° B.60° C.45° D.30°

解析:D.作 AH⊥??交??于 H,作 HB⊥l 于 B,连结 AB,由三垂线定理,HB⊥l,∴ ∠ABH 为二面角??-l-??的平面角,由已知在 Rt△ABH 中,AB=2AH,∴ ∠ABH=30°. 271. 下列命题中正确的是( ) .

A.平面??和??分别过两条互相垂直的直线,则??⊥?? B.若平面??内的一条直线垂直于平面??内的两条平行直线,则??⊥?? C.若平面??内的一条直线垂直于平面??内的两条相交直线,则??⊥?? D.若平面??内的一条直线垂直于平面??内的无数条直线,则??⊥?? 解析:C.??内的直线 l 垂直??内的相交直线 a、b,则 l⊥??.∵

l

??,∴ ??⊥??.

272. 设两个平面互相垂直,则( ) . A.一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上 C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于另一个平面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直 解析:B.如图答 9-38,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AA 1 D1 D ⊥平面 ABCD,其中

A1D

平面 AA 但 A1D 不垂直平面 ABCD, 故 A 不正确. 点 D 在交线 AD 上, C1D ? AD , 1 D1 D , 平面 AA 1 D1 D ,AC 平面 ABCD,但 AD1 与

但 C1D 不垂直平面 ABCD,故 C 不正确. AD1

AC 不垂直,故 D 不正确.
273. 如图 9-43,∠AOB 是二面角??-CD-??的平面角,AE 是△AOB 的 OB 边上的高,回答下 列问题,并说明理由: (1)CD 与平面 AOB 垂直吗? (2)平面 AOB 与??、??垂直吗? (3)AE 与平面??垂直吗?

解析: (1)∵ ∠AOB 是二面角??-CD-??的平面角,∴ OB⊥CD,OA⊥CD,∴ CD⊥平 面 AOB.

(2)∵ CD⊥平面 AOB,CD

??,∴ ??⊥平面 AOB.同理??⊥平面 AOB.

(3)∵ CD⊥平面 AOB,∵ AE ? 平面 AOB,∴ CO⊥AE,又∵ AE⊥OB,CD∩OB=O, ∴ AE⊥平面 BCD,即 AE⊥??. 274. 如图 9-44,以等腰直角三角形的斜边 BC 上的高 AD 为折痕,使△ABD 和△ACD 折成 相垂直的两个面.求证:BD⊥CD,∠BAC=60°.

图 9-44 解析:∵ AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的高线,∴ AD⊥BD,AD⊥DC,∴ ∠BDC 是二面 角 B-AD-C 的平面角,∵ 平面 ABD⊥平面 ACD,∴ ∠BDC=90°,即 BD⊥DC.连结 BC, 设 AD=a,则 BD=DC=AD=a, AB ? 形,∴ ∠BAC=60° 275. 直线 a、b 是异面直线,a⊥平面α ,b⊥平面β ,a⊥b,求证:α ⊥β . 证明 过 b 上任意一点作直线 a′,使 a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b. 设相交直线 a′、b 确定一个平面 ? , ? ∩β =c.∵b⊥β ,c ? β ,∴b⊥c.

2a , AC ? 2a , BC ? 2a ,∴ △ABC 是正三角

在平面 ? 内,b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α ,∴c⊥α ,c ? β ,∴β ⊥α 276. 在三棱锥 S—ABC 中,∠ASB=∠BSC=60°,∠ASC=90°,且 SA=SB=SC,求证:平 面 ASC⊥平面 ABC. 证明 取 AC 的中点 O,连 SO、BO,由已知,得Δ SAB、Δ SBC 都是正三角形.∴BC=AB=a,SA =SC=a,又 SO⊥AC,BO⊥AC,∴∠SOB 就是二面角 S—AC—B 的平面角.又∵SA=AB=a,SC =BC=a,AC=AC,∴Δ ACS≌Δ ACB.

∴SO=BO=

2 a.在Δ SOB 中,∵SB=a,∴∠SOB=90°. 2

即平面 SAC⊥平面 ABC. 另证: 过 S 作 SO⊥平面 ABC, 垂足是 O.∵SA=SB=SC, ∴S 在平面内的射影是Δ ABC 的外心, 同前面的证明,可知Δ ABC 是直角三角形,∴O 在斜边 AC 上.又∵平面 SAC 经过 SO,∴平面 SAC⊥平面 ABC 说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是 90°,或利用判定定理证明 一个平面经过另一个平面的垂线.

277. 如图,四面体 ABCD 的棱 BD 长为 2,其余各棱的长均是 2 ,求:二面角 A —BD—C、A—BC—D、B—AC—D 的大小.

解析:(1)取 BD 的中点 O,连 AO、OC.在Δ ABD 中,∵AB=AD= 2 ,BD=2, ∴Δ ABD 是等腰直角三角形,AO⊥BD,同理 OC⊥BD. ∴∠AOC 是二面角 A—BD—C 的平面角

又 AO=OC=1,AC= 2 ,∴∠AOC=90°.即二面角 A—BD—C 为直二面角. (2)∵二面角 A—BD—C 是直二面角,AO⊥BD,∴AO⊥平面 BCD. ∴Δ ABC 在平面 BCD 内的射影是Δ BOC.

∵SΔ OCB=

1 3 3 3 ,SΔ ABC= ,∴cosθ = .即二面角 A—BC—D 的大小是 arccos . 2 2 3 3

(3)取 AC 的中点 E,连 BE、DE.∵AB=BC,AD=DC,

∴BD⊥AC,DE⊥AC,∴∠BED 就是二面角的平面角.

在Δ BDE 中,BE=DE=

1 6 ,由余弦定理,得 cosα =3 2 1 . 3

∴二面角 B—AC—D 的大小是π -arccos

评析 本例提供了求二面角大小的方法: 先作出二面角的平面角, 再利用其所在的三角形算 出角的三角函数值,或利用面积的射影公式 S′=S·cosθ 求得.

278. 如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E.又 SA=AB,SB=SC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角 的度数. 解法一:由于 SB=BC,且 E 是 SC 中点,因此 BE 是等腰三角形 SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E, ∴SC⊥平面 BDE,∴SC⊥BD, 又∵SA⊥底面 ABC,BD 在底面 ABC 上,∴SA⊥BD. 而 SA∩SC=S,所以 BD⊥平面 SAC. ∵DE=平面 SAC∩平面 BDE,DC=平面 SAC∩平面 BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面 ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设 SA=a,则 AB=a,BC=SB= 2 a.

又 AB⊥BC,所以 AC= 3 a.在 RtΔ SAC 中 tg∠ACS=

SA 1 = ,所以∠ACS=30°. AC 3

又已知 DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于 60°. 解法二:由于 SB=BC,且 E 是 SC 的中点,因此 BE 是等腰Δ SBC 的底边 SC 的中线,所以 SC ⊥BE.又已知 SC⊥DE,BE∩DE=E.∴SC⊥平面 BDE,SC⊥BD. 由于 SA⊥底面 ABC,且 A 是垂足,所以,AC 是 SC 在平面 ABC 上的射影,由三垂线定理的逆

定理得 BD⊥AC;又 E∈SC,AC 是 SC 在平面内的射影,所以 E 在平面 ABC 内的射影在 AC 上, 由于 D∈AC,所以 DE 在平面 ABC 内的射影在 AC 上,根据三垂线定理得 BD⊥DE. ∵DE ? 平面 BDE,DC ? 平面 BDC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角.以下解法同解法一. 279. 在直三棱柱 ABC—A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直线 B′C 与平面 ABC 成 30°的角.(如图所示) (1)求点 C′到平面 AB′C 的距离;(2)求二面角 B-B′C—A 的余弦值. 解析:(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱,∴A′C′∥AC,AC ? 平面 AB′C,∴A′C′ ∥平面 AB′C,于是 C′到平面 AB′C 的距离等于点 A′到平面 AB′C 的距离,作 A′ M⊥AB′于 M.由 AC⊥平面 AB′A′得平面 AB′C⊥平面 AB′A′, ∴A′M⊥平面 AB′C, A′M 的长是 A′到平面 AB′C 的距离. ∵AB=B′B=1,⊥B′CB=30°,∴B′C=2,BC= 3 ,AB′= 2 ,A′M=

A?B? ? A?A = A?A

2 2 .即 C′到平面 AB′C 的距离为 ; 2 2
(2)作 AN⊥BC 于 N,则 AN⊥平面 B′BCC′,作 NQ⊥B′C 于 Q,则 AQ⊥B′C,∴∠AQN 是所 求二面角的平面角,AN=

AB ? AC AC ? AB ? AN 6 = ,AQ= =1.∴sin∠AQN= = B?C BC AQ 3

6 3 ,cos∠AQN= . 3 3
说明 利用异面直线上两点间的距离公式,也可以求二面角的大小,如图,AB=BB′=1, ∴AB′= 2 ,又∠B′CB=30°,

∴BC= 3 ,B′C=2,AC= 2 .作 AM⊥B′C 于 M,BN⊥B′C 于 N,则 AM=1,BN



3 , 2
3 1 ,CM=1,∴MN= .∵BN⊥B′C,AM⊥B′C,∴BN 与 AM 所成的角等于二面 2 2
2 2 2 2

CN=

角 B—B′C—A 的平面角.设为θ .由 AB =AM +BN +MN -2AM×BN×cosθ 得 cosθ =

1 3 = . 3 3

280 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠A=60°,PC⊥平面 ABCD, PC=a,E 是 PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面角 A—EB—D 的平面角 大小. 解析:(1)设 O 是 AC,BD 的交点,连结 EO. ∵ABCD 是菱形,∴O 是 AC、BD 的中点, ∵E 是 PA 的中点,∴EO∥PC,又 PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,EO ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)EO∥PC,PC ? 平面 PBC, ∴EO∥平面 PBC,于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离. 作 OF⊥BC 于 F, ∵EO⊥平面 ABCD,EO∥PC,PC ? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABCD,于是 OF⊥平面 PBC, OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离.

由条件可知,OB=

a a 3 3 3 ,OF= × = a,则点 E 到平面 PBC 的距离为 a. 2 2 2 4 4
∴AC⊥平面 BDE

(3)过 O 作 OG⊥EB 于 G,连接 AG ∵OE⊥AC,BD⊥AC ∴AG⊥EB(三垂线定理)

∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角

∵OE=

1 1 3 PC= a,OB= a 2 2 2

∴EB=a.∴OG=

OE ? OB 1 3 = a 又 AO= a. EB 2 4

∴tan∠AGO=

AO 2 3 2 3 = ∴∠AGO=arctan . OG 3 3

评析 本题考查了面面垂直判定与性质,以及利用其性质求点到面距离,及二面角的求法, 三垂线定理及逆定理的应用.

281. 如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=2 3 ,以 AC 为轴翻折半平面,使二平面角 B—AC —D 为 120°,求:(1)翻折后,D 到平面 ABC 的距离;(2)BD 和 AC 所成的角.

解析:研究翻折问题,通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形,对应点的字母要 相同. 解 分别过 B、 D 作 AC 的垂线, 垂足是 E、 F, 过 F 作 FB′∥BE, 过 B 作 BB′∥AC, 交点 B′, 则四边形 EFB′B 是矩形. ∵AC⊥DF,AC⊥B′F,∴AC⊥平面 B′FD,即∠DF′B 就是二面角 B—AC—D 的平面角,亦即 ∠DFB′=120°. 过 D 作 DO⊥B′F,垂足为 O.∵DO ? 平面 DFB′,AC⊥平面 DFB′.∴DO⊥AF,DO⊥平面 ABC. 在 RtΔ ADC 中,CD=2,AD=2 3 ,∴DF= 3 ,OD=DF·sin60°=

3 . 2

(2)在Δ DFB′中,DB′= DF 2 ? B?F ? 2 ? DF ? B?F ? cos120 ? =3. 又由(1)可知, AC∥BB′, AC⊥平面 DFB′⊥平面 DFB′.∴BB′⊥平面 DFB′, ∴Δ DB 是直角三角形,又 BB′=EF=2.∴tan∠DBB′= B′

3 . 2 3 . 2

∵AC∥BB′,∴AC 与 BD 所成的角就是∠DBB′,即为 arctan

说明 处理翻折问题, 只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段, 就可以化成基本题型处 2 理,本题也可以这样考虑,即利用异面直线 DF、BE 上两点 B、D 间的距离,先求出 BD = EF +DF +BE -2DF·BE·cos120°=13,从而得出∠DBB′=arccos
2 2 2

2 . 13

282. 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; (2)在一个平面内有三条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行; (3)若两个平面相交,那么分别在这两个平面内的两条直线也相交; (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也平行;

(5)一条直线与两个平行平面所成的角相等; (6)一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么一定平行于另一个平面. 解析: (1)不正确.两个平面还可能相交于一条直线; (2)不正确.两个平面可能相交,这三条直线均与交线平行; (3)不正确.分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行,它们都平行于交线; (4)不正确.两条直线还可能异面; (5)正确.无论直线与两个平面相对位置如何,直线与两个平面所成的角都相等; (6)不正确.直线可能在另一个平面上. 283. 平面??∥平面? ,a A.两条平行直线 C.相交直线

??,b

? ,则 a、b 一定是( ) .
B.异面直线 D.无公共点的两条直线

解析:D.??∥??,则平面??与??无公共点,a、b 一定无公共点. 284. 下列命题中,不正确的是( ) . A.一直线和两个平面? 、??所成的角相等,那么??∥? B.平面??∥平面??,则??内的任意直线平行于平面? C.一个三角形有两条边所在直线平行一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 解析:A.直线与两平面所成的角相等,这两个平面可能相交,故 A 命题不正确.三角形两 边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行,所以 C 命题正确, 分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点, 它们的位置关系是平行或异 面. 285. 若 a∥b,a⊥??,b⊥??,则??、??这两个平面的位置关系是________. 平行. a ? ? ? 解析: ?? b ?? ?

a // b ?

? ? ? // ? . b ? ??

286. 夹在两平行平面??、??间的线段 AB=8,AB 与??所成的角为 45°,那么??、??间的距离 等于________. 解析: 4 2 .如图答 9-27,过 A 作 AH⊥??,交??于 H,AH 为平面??与??间的距离.连结 BH, 则 BH 是 AB 在平面??内的射影, ∴ ∠ABH=45°. ∵ AB=8, ∴

AH ? AB ? sin 45 ?

? 8?

2 ? 4 2. 2

287. .三个不同平面??,??,??满足??∥??,??∩??=l,则??与??的位置关系是________;若 三个平面满足??∥??,??∥??,则??与??的位置关系是________. 解析:相交;平行.作直线 l⊥??,∵ ??∥??,∴ l⊥??,∵ ??∥??,∴ l⊥??.∴ ?? ∥??.当??∥??,??∩??=l,假设??与??不相交,则??∥??,∵ ??∥??,由前面证明可知??∥

??,这与??、??相交矛盾.∴ ??与??相交.
平面??,直线 b 平面??,?? b,a∥??,b∥??.求证:??∥??.

288. 已知直线 a

解析:如图答 9-29,在 b 上任取一点 P,由点 P 和直线 a 确定的平面??与平面??交于直线 c, 则 c 与 b 相交于点 P.

a // ? ? ? a? ? ? a // c ?? ? ? ? ? ? c? ? a ?? c? ??

? ? ? ? ? c // ? ? ? b // ? ? ? a // ? . ? b ? c ? P? ?

图答 9-29 289. .B.A 不正确是因为直线 b 可以在平面??内,也可能与??平行,还可能与??相交但不 成直角, C 中的直线 b 只与??内的直线 a 垂直, 不能得出垂直??的结论. D 中??、 ??可能相交, ??内的两条直线均与交线平行 290. 给出以下命题: ①平行于同一条直线的两条直线平行; ②垂直于同一条直线的两条直线平行; ③平行于同一个平面的两条直线平行; ④垂直于同一个平面的两条直线平行; ⑤平行于同一条直线的两个平面平行; ⑥垂直于同一条直线的两个平面平行; ⑦平行于同一个平面的两个平面平行. 其中正确的命题是________(把你认为正确的命题的序号都写上) . 解析:①、④、⑥、⑦.由公理 4 知①正确.由直线与平面垂直的性质定理知④正确.由两 个平面平行判定定理可以推导出⑥、 ⑦正确. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平 行、相交、或异面;平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面;平行 于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交. 291. 给出下列命题,错误的命题是( ) . 平面??,且??∥平面??,则直线 a 与平面??的距离等于平面??、??间的距

A.若直线 a 离

B.若平面??∥平面??,点 A∈??,则点 A 到平面??的距离等于平面??、??间的距离

C.两条平行直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面 间的距离 D.两条异面直线分别在两个平行平面内,则这两条直线间的距离等于这两个平行平面 间的距离 解析:C.以下按顺序说明,对 A 中,在 a 上任取一点 P,作 PH⊥??,PH 为直线 a 与平面 ??的距离.∵ ??∥??,PH⊥??,∴ PH 又为??、??间的距离.对于 B,作 AH⊥??,AH 的 长为点 A 到??的距离.又∵ ??∥??,∴ AH⊥??,于是 AH 的长是??、??两个平行平面间 的距离.

对于 C,设 a∥b,a

??,b

??,过 a 上任一点 P 作 PQ⊥b 于 Q,则 PQ 的长为 a、

b 两平行直线间的距离.因为 PQ 与??、??不一定垂直,所以 PQ 的长一般不是??、??间的距 离,一般地说,a、b 间的距离不小于??、??间的距离.

? 对于 D.设 AA 1 是异面直线 a、b 的公垂线段,A∈a, A ? b ,a
和 b 的平面与??相交于 b ? , 则 b? // b , 于是 AA? ? b? . ∴ 的长又是??、??两个平面间的距离(如图答 9-30) .

??,b

??,过 A

AA? ? ? . 同理 AA? ? ? ?. 故 AA?

292. 设??、??是两个平面,l 和 m 是两条直线,那么??∥??的一个充分条件是(

) .

A.l

??,m

??,且 l∥??,m∥??

B.l

??,m

??,且 l∥m

C.l⊥??,m⊥??,且 l∥m 解析:C.可参看图答 9-31.

D.l∥??,m∥??,且 l∥m

图答 9-31 293. 平面??∥平面??,过平面??、??外一点 P 引直线 PAB 分别交??、??于 A、B 两点,PA=6, AB=2,引直线 PCD 分别交??、??于 C、D 两点.已知 BD=12,则 AC 的长等于( ) . A.10 B.9 C.8 D.7

解析: B. 如图答 9-32, 平面 PBD∩??=AC, 平面 PBD∩??=BD, ∵ ??∥??, ∴ AC∥BD. 由 平面几何知识知, AC=9.

PA PC AC ? ? .∵ PA=6,AB=2,BD=12,∴ PB PD BD

6 AC ? ,∴ 6 ? 2 12

294. 已知 AC,BD 是夹在两平行平面??、??间的线段,A∈??,B∈??,C∈??,D∈??,且 AC=25cm,BD=30cm,AC、BD 在平面??内的射影的和为 25cm,则 AC、BD 在平面??内的 射影长分别为________,AC 与平面??所成的角的正切值为________,BD 与平面??所成的角 的正切值为________. 解析: 设??、 ??间的距离为 h, AC 在平面??内的射影 A?C ? x , BD 在平面??内的射影 B?D ? y ,

根据已知条件可得

②-①得 y ? x ? 30 ? 25 ,即
2 2 2 2

( x ? y)( y ? x) ? 302 ? 252 ,把③代入得 y-x=11,∴

? x ? y ? 25, ? x ? 7, 解得 ? 即 ? . . ? y ? x ? 11 ? y ? 18

A?C ? 7cm , B?D ? 18cm .又 h=24cm,AC 与平面??所成的角为 ?ACA? , tan ?AC A? ?

h 24 h 24 4 ? ? ? . ,同理 tan ?BD D? ? A ?C 7 B?D 18 3
295. 已知空间不共面的四个点,与此四个点距离都相等的平面有________个. 解析: 与不共面的四个点距离相等的平面分为两类, 一类是四个点中一个点位于平面的一侧, 另外三个点在平面的另一侧, 这样的平面有 4 个; 另一类是四个点中的两个点位于平面一侧, 另外两个点在平面的另一侧,这样的平面有 3 个,故一共 7 个平面到这四个点距离相等. 296. 如图 9-35,平面??∥平面??,△ABC、△ A?B ?C ? 的分别在??、??内,线段 AA? 、 BB? 、 CC ? 相交于点 O,O 在??、??之间.若 AB=2,AC=1,∠ABC=60°,OA∶ OA? =3∶2,则 △ A?B ?C ? 的面积为________.

解析:图 9-35 ∵

AA? ? BB? ? O ,∴

AA? 、 BB? 确定平面 AB A?B? ,平面 AB A?B? ∩??=AB,平面

ABA?B? ? ? ? A?B? ,∵ ? ∥??,∴

AB // A?B? ,同理 BC // B?C ? , CA // C ?A? .由于

方向相反,∴ △ABC 与△ A?B ?C ? 的三内角相等,∴ △ABC∽△ A?B ?C ? .且

A?B? OA? 2 1 3 ? ? . ∵ S ?ABC ? ? 2 ?1? sin 60? ? , ∴ AB OA 3 2 2

3 2 ? 2? S?A?B?C? ? ? ? ? ? 3. ? 3? 2 9

2

297. 如图 9-37,两条异面直线 AB、CD 与三个平行平面??、??、??分别相交于 A、E、B, 及 C、F、D,又 AD、BC 与平面??的交点为 H、G.求证:EHFG 为平行四边形.

解析:
平面 ABC ? ? ? AC ? 平面 ABC ? ? ? EG ? ? AC // EG.同理 AC // HF.

?

?//? ? ?

AC // FG ? 故EHFG是平行四边形. ? ? EG // HF.同理EH // FG. AC // HF ?
298. 如图 9-38,已知平面??∥平面??,A、C∈??,B、D∈??,E、F 分别为 AB、CD 的中 点.求证:EF∥??,EF∥??.

解析:当 AB、CD 共面时,平面 ABCD∩??=AC,平面 ABCD∩??=BD.∵ ??∥??,∴ AC ∥BD.∵ E、F 分别为 AB、CD 的中点,∴ EF∥AC.∵ AC ∥??,同理 EF∥??.当 AB、CD 异面时,∵

??,EF

??,∴ EF

E ? CD ,∴ 可在平面 ECD 内过点 E 作

D? . C ?D? // CD , 与??, ??分别交于 C ? , 平面 AC ?BD? ? ? ? AC ? , 平面 AC?BD? ? ? ? BD? ,
∵ ??∥??,∴

AC ? // BD? .∵ E 是 AB 中点,∴ E 也是 C ?D ? 的中点.平面

CC ?D?D ? ? ? CC ? ,平面 CC?D?D ? ? ? DD? ,∵ ??∥??,∴ CC ? // DD? ,∵ E、F
分别为 C ?D ? 、CD 中点,∴

EF // CC ? , EF // DD? .∵

CC ?

??,EF

??,∴ EF

∥??,同理 EF∥??.

299. 已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E,过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F (1)求证:AF⊥SC (2)若平面 AEF 交 SD 于 G,求证:AG⊥SD

解析: 如图,欲证 AF⊥SC,只需证 SC 垂直于 AF 所在平面,即 SC⊥平面 AEF,由已知,欲 证 SC⊥平面 AEF,只需证 AE 垂直于 SC 所在平面,即 AE⊥平面 ABC,再由已知只需证 AE⊥ BC,而要证 AE⊥BC,只需证 BC⊥平面 SAB,而这可由已知得证 证明 (1)∵SA⊥平面 AC,BC ? 平面 AC,∴SA⊥BC ∵矩形 ABCD,∴AB⊥BC ∴BC⊥平面 SAB ∴BC⊥AE 又 SB⊥AE ∴AE⊥平面 SBC ∴SC⊥平面 AEF ∴AF⊥SC (2)∵SA⊥平面 AC ∴SA⊥DC,又 AD⊥DC ∴DC⊥平面 SAD ∴DC⊥AG

又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG ? 平面 AEF ∴SC⊥AG ∴AG⊥平面 SDC ∴AG⊥SD 300. 已知四面体 A—BCD,AO1⊥平面 BCD,且 O1 为Δ BCD 的垂心.BO2⊥平面 ACD,求证:O2 是Δ ACD 的垂心.

证明 如图所示,连结 BO1,AO2, ∵AO1⊥平面 BCD,O1 为Δ BCD 的垂心, ∴BO1⊥CD,由三垂线定理得 AB⊥CD. 又 BO2⊥平面 ACD,由三垂线逆定理得 AO2⊥CD. 同理连结 DO1,CO2 可证 BC⊥AD,即 CO2⊥AD. ∴O2 是Δ ACD 垂心.


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