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2015.1海淀区高一第一学期期末数学试题及答案



海淀区高一年级第一学期期末练习



学 2015.1

一.选择题:本大题共 12 小题,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | x ? 2? ,则集合 A ? B ? A. ? B. R C. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} 2. sin
7? = 6

1 3 3 1 B. ? C. D. ? 2 2 2 2 3.若向量 a ? (0,1) , b ? (2, ?1) , c ? (1,1) ,则
A. A. (a ? b) / / c B. (a ? b) ? c C. (a ? b) ? c ? 0 D. | a ? b |?| c | 4.下列函数中,既是奇函数又是 ( ?1,1) 上的增函数的是 A. y ? 2 x B. y ? tan x C. y ? x?1 D. y ? cos x
? x ? 1, x ? 0, 5.函数 y ? ? 的值域是 ? 1 ? x, x ? 0

A. R B. [0, ??) C. [?1, ??) D. (?1, ??) 6.若直线 x ? a 是函数 f ( x) ? sin x 的一条对称轴,则 f (a ) ? A.0B.1C. ?1 D.1 或 ?1 7.设 a ? 2 , b ? e , c ? 0.5
0.5 ?1 1 2

,其中 e ? 2.71828 ,则 a, b, c 的大小顺序为

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a 8. 已知集合 M ? {a | a ? ? (m ? n ),? ? R }, N ? {b | b ? m ? ? n, ? ? R} ,其中 m, n 是一组不共线的向量,则 M ? N 中元素的个数为 A.0B.1C.大于 1 但有限 D.无穷多 9.已知函数 f ( x) ? ax ? b 的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象 可能是
y f(x)

O -1
y 1 O -1 1 x y 1 O -1 1 x y 1 O -1 1 x

1

x

y 1 O -1 1 x

A.

B.

C.
1/5

D.

10.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? sin 2 x 的图象 2

?

? ? 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 4 4 ? ? C.向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 2 2 ? 11.已知 ? ? (?? , ? ) ,且 sin ? ? ? cos ,则 ? = 7 5? 9? 9? 9? 5? 5? 5? 9? A. ? 或? B. ? 或 C. 或? D. 或 14 14 14 14 14 14 14 14
A.向右平移 12.右图中有五个函数的图象,依据图象用“<”表示出以
a , b, c, d ,1 的大小关系,正确的是
y=a x y y=b
x

y=x y=c x y=log 2x

下 五 个 量

A. a ? c ? 1 ? b ? d B. a ? 1 ? d ? c ? b C. a ? 1 ? c ? b ? d D. a ? 1 ? c ? d ? b
1 O 1

y= log dx x

二.填空题:本大题共 5 小题,每空 3 分,共 27 分.把 中横线上. 13. 函数 y ? x 2 ? 2x 在区间 [ ?1, 2) 上的值域为_____________.

第12题图

答案填写在题

14. 方程 x 3 ? 2 x ? 21的解的个数为 _____ ,若有解,则将其解按四舍五入精确到个位,得到的近似解为 ___________. 15.如图,正方形 ABCD 的边长为 2, P 是线段 DC 上的动点(含端点) , 取值范围是____________.
A
第15题图
y

D

P

C

??? ? ??? ? 则 BP ? AC 的

B

16.已知函数: y ? x2 , y ? log 2 x , y ? 2 x ,
y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x .从中选出两个

函数记为 f ( x) 和 g ( x) ,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的 图象如图所示,则 F ( x) ? _____________.
1 O
第16题图

x

17.已知函数 y ? A sin(?t ? ?) (其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

)的图象

y 2 (米)

如右图所示, 线 l 的位置值

它刻画了质点 P 做匀速圆周运动(如图 2)时,质点相对水平直
2/5 O -1
2 3

t
(秒)

第17题(图1)

,质点在直线 l 上方时, y 为正,反之 y 为负)随时间 t (秒)的变化过 y ( | y | 是质点与直线 l 的距离(米) 程. 则 (1)质点 P 运动的圆形轨道的半径为________米; (2)质点 P 旋转一圈所需的时间 T ? _________秒; (3)函数 f (t ) 的解析式为:__________________; (4)图 2 中,质点 P 首次出现在直线 l 上的时刻
t ? _______秒.

l P
第17题(图2)

三.解答题:本大题共 2 小题,共 25 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.本题满分 13 分 已知函数 f ( x) ? 2sin(
2? ? x? ). 3 6
y

(Ⅰ)请用“五点法”画出函数 f ( x) 在一个 周期上的图象(先列表,再画图) ; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调增区间;
1 3 (Ⅲ)求 f ( x) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 4

1

O

1

x

19.本题满分 12 分 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足:“对于区间 (0, ??) 上的任意 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (b) 成立”. (Ⅰ)求 f (0) 的值,并指出 f ( x) 在区间 (0, ??) 上的单调性; (Ⅱ)用增函数的定义证明:函数 f ( x) 是 (??,0) 上的增函数; (Ⅲ)判断 f ( x) 是否为 R 上的增函数,如果是,请给出证明;如果不是,请举出反例.

参考答案及评分标准 2015.1
3/5

一.选择题:本大题共 12 小题,共 48 分. BDBBC DDBBA AC

二.填空题:本大题共 5 小题,每空 3 分,共 27 分. 13. [ ?1, 3] 14. 1 , 3 15. [0, 4] 16. 2 x ? sin x

π 1 17.(1)2; (2)2; (3) f (t ) = 2sin(πt ? ) ; (4) . 6 6

三.解答题:本大题共 2 小题,共 25 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.本题满分 13 分
y

1

O

1

x

解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? 2sin( 列表如下: 2π π x? 3 6
x
f ( x)

2? ? x ? ) 的周期 T ? 3 ,-----------------------------------1 分 3 6

0

π 2 1 2

π

3π 2



?

1 4

5 4

2

11 4

--------------------3 分

0

2

0

?2

0

描点画图如图所示.

--------------------------------------------------5 分 π π (Ⅱ)函数 y ? sin x 的单调增区间为 [2kπ ? ,2kπ ? ](k ? Z) .-----------------------6 分 2 2 由 2kπ ?
π 2? ? π ? x ? ? 2kπ ? (k ? Z) , 2 3 6 2

1 得 3k ? 1 ? x ? 3k ? (k ? Z) . 2 1 所以 f ( x ) 单调增区间为 [3k ? 1,3k ? ](k ? Z) .----------------------------------------------9 分 2 1 3 (Ⅲ)因为 x ?[? , ] , 2 4
4/5

所以

2π π π 2π x ? ? [? , ] , 3 6 6 3 2π π 1 x ? ) ?[? ,1] 3 6 2 2π π 1 3 x ? ) ?[?1,2] ,即 f ( x ) 在 [? , ] 上的取值范围是 [ ?1, 2] .-------------13 分 3 6 2 4

所以 sin(

所以 2sin(

说明: (Ⅱ) (Ⅲ)问,如果最终结果错误,可细化解题步骤给过程分;如果仅有最终正确结果,无步骤每 问各扣 1 分。 19.本题满分 12 分 解: (Ⅰ)因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 f (0) ? ? f ( ?0) ,即 f (0) ? 0 .----------------------------------------------------2 分
f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ)法 1: 任取 x1 , x2 ? (??,0) ,且 ?x ? x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? 0, ? x2 ? 0 ,----------------5 分 因为对于区间 (0, ??) 上的任意 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (b) 成立, 所以 f ( ? x2 ) ? f ( ? x1 ? ?x ) ? f (? x1 ) ,即 f ( ? x2 ) ? f (? x1 ) ? 0 .-------------------7 分 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 ?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( ? x2 ) ? f ( ? x1 ) ? 0 ---------------------------------------8 分 所以函数 f ( x) 是 (??,0) 上的增函数.--------------------------------------------------9 分 法 2: 任取 x1 , x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ,且 x2 ? x1 ? 0 ,------5 分 因为对于区间 (0, ??) 上的任意 a , b ,都有 f (a ? b) ? f (b) 成立, 所以 f [? x2 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( ? x2 ) ,即 f ( ? x1 ) ? f ( ? x2 ) .-----------------------------7 分 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 所以 ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,--------------------------------------------8 分 所以函数 f ( x) 是 (??,0) 上的增函数.--------------------------------------------------9 分 (Ⅲ) f ( x) 不一定是 R 上的增函数. 反例如下:
? x ? 1, x ? 0, ? 1 ? ?? , x ? 0, 令 f ( x) ? ? x 或者 f ( x ) ? ? 0 , x ? 0, -----------------------------------------12 分 ? x ? 1, x ? 0. ? ? 0, x ? 0. ?

---------------------------------------------10 分

学生用画图方式举反例也可以.

5/5



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