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2014年华约自主招生答案(最全面)



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2014 年华约自主招生试题解答
1. 设 xi (i ? 1,2,3,4,5) 为 5 个正整数, 任取四个其和组成的集合{44, 45, 46, 47},求 xi (i ? 1,2,3,4,5) 。

2. 甲乙两人进行乒乓球比赛,若比赛一场甲胜的概率是 p( p ? 0.5) 。现进行

五局三胜制, 甲最终获胜的概率为 q , 求 p 为多少时,p ? q 取得最大值。

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2 ? (cos x ? sin x)sin( x ? ) ? 2a sin x ? b(a ? 0) 的最大值为 1, 最小 2 4 值为-4,求 a , b 的值。
3.函数 f ( x ) ?

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( f g )( x ) 是关于函数 f 和 4.对于函数 f ( x ) , 记 f ?1 ( x ) 是它的反函数。 定义: g 的复合函数,即 ( f g )( x) ? f ( g ( x)) ,证明:
(1) ( f g )?1 ( x) ? ( g ?1 f ?1 )( x) ; (2) 设 F ( x) ? f (? x), G( x) ? f ?1( x) ,若 F ( x) ? G ?1 ( x) ,则 f ( x ) 为奇函数。

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 过椭圆上一点 M 作圆 x 2 ? y 2 ? b2 的两条切 a 2 b2 线,切点为 P.Q ,直线 PQ 与 x 轴, y 轴分别交于点 E , F ,求 ?EOF 面积的 最小值。

5.已知椭圆

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6.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ? npn ? qan 。 (1)若 q ? 1 ,求 an 。 (2)若 | p |? 1,| q |? 1 ,求证:数列 {an } 有界。

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x 7.已知 n ? N * ,实数 x 满足 x ? n ,求证: n ? n(1 ? )n e x ? x 2 。 n

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