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高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教学过程(一) 新人教A版必修1



3.2.2 函数模型的应用举例 第一课时 已知函数模型解实际问题 例 1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。 (1) 求略中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程 前的读数为 2004 km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图象。 解: (1)阴影部分的 面积为 50×1 + 80×1 + 90×1 + 75×1 + 65×1 = 360,阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的 路程为 360km。 ?50t ? 2004, 0 ? t ? 1 ?80(t ? 1) ? 2054,1 ? t ? 2 ? ? (2)根据上图,有 s ? ?90(t ? 2) ? 2134, 2 ? t ? 3 , ?75(t ? 3) ? 2224,3 ? t ? 4 ? ? ?65(t ? 4) ? 2299, 4 ? t ? 5 这个函数的图象如右图所示。 小结: 由函数图象, 可以形象直观地研究推断函数关系, 可以定性地研究变量之间的变化趋势, 是近年来常见的应用题的一种题型, 其出发点是函数 的图象,处理问题的基本方法就是数形结合。 练习 1:向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶的形状是( ) H h V (A) (B) (C) (D) 练习 2:某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西 红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关 系用图二的抛物线段表示。 (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p ? f (t ) ; 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时 上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天) 2 例 2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有 效控制人口增长提供依据。早在 17 98 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人 口增长模型: y ? y0 ? e rt ,其中 t 表示经过的时间,y 0 表示 t = 0 时的人口数,r 表示人口 的年平均增长率。 下表是 1950 ~ 1959 年我国的人口数据资料: 年份 人数/万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64562 1958 65994 1959 67207 ( 1 )如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得 模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按上表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿? 解: (1) 设 1951~1959 年的人口增长率分别为 r1, r2, …, r9。 由5 5 1 9 6 ( 1 可得 1951 年的人口增长率 r 1 ? 0.0200 。 同 理 可 得 r2 ? 0.0210 , r3 ? 0.0229 , r4 ? 0.0250 , r5 ? 0.0197 , r6 ? 0.0223 , ) ? r1 5 6 3 0 ? 0 , r7


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