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3.4 基本不等式1



3.4基本不等式:
a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

如图,这是在北 京召开的第22届 国际数学家大会 会标.会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的,颜色的明暗 使它看上去象一 个风车,代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标

欣 赏 体 会 丰 富 自 我

D

>
D

b
G F

a 2 ? b2
a

a
E

C

A

A

H

E(FGH) b

C

B

B

基本不等式1: 一般地,对于任意实数a、b, 我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。 用 a和 b代替a、b 会得到什么?

如何证明?

基本不等式2:

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

当且仅当a=b时,等号成立。
注意: 1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相

同.

a+ b ? 2
算术平均数

ab

几何平均数



剖析公式应用

入 2. 基本不等式可以叙述为: 探 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 究 数. 揭 3.正用、逆用,注意成立的条件 ⑴ a 、 b 是两个正数 示
.



⑵ 当且仅当a=b时“=”号成立

质 4.变形用

a+ b 侈 ab 2

a+ b 2 ( ) 2

ab

基本不等式的几何解释:
D

A

a

C

b

B

E

半弦CD不大于半径

动画

应用一:利用基本不等式判断代数式的大小关系

1 例1.(1) 已知 x ? 0, 求证x ? ? 2, 并指出等号 x 成立的条件. a b (2) 已知 ab ? 0, 寻找 ? 与2的大小关系, b a 并说明理由. a b (3) 已知 ab ? 0, ? 能得到什么结论? b a 请说明理由.

练习1:设a>0,b>0,给出下列不等式

1 1 1 (1) a ? ? 2 (2)( a ? )( b ? ) ? 4 a a b 1 1 1 2 (3)( a ? b)( ? ) ? 4 (4)a ? 2 ? a 2 ? 2 ? 2 a b 其中成立的是 (1)(2)(3)(4)
( 1 )( 2 )( 3 ) 等号能成立的是 。

练习2:若 a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b ,

1 a?b Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则( B ) 2 2 A、R ? P ? Q B、P ? Q ? R C、R ? P ? Q D、P ? Q ? R

应用二:解决最大(小)值问题 例2、已知 x, y 都是正数,求证
(1)如果积 xy 是定值P,那么当 x ? y 时, 和 x ? y有最小值 2 P (2)如果和 x ? y 是定值S,那么当 积

xy

小结:利用 a ? b ? 2 ab(a ? 0, b ? 0) 求最值时要注意下面三条: (1)一正:各项均为正数 (2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。 两个正数和为定值,积有最大值。
(3)三相等:求最值时一定要考虑不等式是否能取“=”,

1 2 有最大值 S 4

x ? y时,

否则会出现错误

1 1、当x>0时, 的最小值为 2 ,此时x= 1 x? x
2、已知 2 x ? 3 y ? 2( x ? 0, y ? 0) 则x y 的最大值是
1 6





x y x ? y ? 5 x , y 3、若实数 ,且 ,则 3 ? 3 的最小

值是( D ) A、10

B、 6 3

C、4 6

D、18 3

4、在下列函数中,最小值为2的是( C)
1 x 5 A、 y ? ? ( x ? R, x ? 0)B、y ? lg x ? lg x (1 ? x ? 10) 5 x

C、y ? 3 ? 3 ( x ? R)
x

?x

1 ? (0 ? x ? ) D、y ? sin x ? sin x 2

例3、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以 相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次, 每次的芯片价格不同,甲公司每次购10000片芯片, 乙公司每次购10000元芯片,两次购芯片,哪家公司 平均成本低?请给出证明过程。
解: 设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元

? 10000 a ? b? a ? b 那 么 甲 公 司 两 次 购 芯的 片平 均 价 格 为 ? , 20000 2
20000 2 乙公司两次购芯片的平均价格为 ? 10000 10000 1 1 ? ? a b a b

构造积为定值,利用基本不等式求最值

1 ? x( x ? 3) 的最小值 例4、 求函数 y ? x?3
思考:求函数 y ?

x ?5
2

x ?4
2

的最小值

构造和为定值,利用基本不等式求最值
1 例5、 已知:0<x< 3 ,求函数y=x(1-3x)的最大值 分析一、 原函数式可化为:y=-3x2+x, 利用二次函数求某一区间的最值

分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值,且0<x<1 则1-3x>0; 3 1 可用均值不等式法 ∵0<x< ,∴1-3x>0 3 1 1 3 x ? 1 ? 3 x 1? 2 ∴y=x(1-3x)= 3x(1-3x)≤ ( ) ? 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y

3

2

6

1 max= 12

上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知:0<x

解: ∵0<x≤1 ∴1-3x>0

?1 8

,求函数y=x(1-3x)的最大值

1 3x ? 1 ? 3x 2 ? 1 1? ) 12 ∴y=x(1-3x)= 3x(1-3x)≤ ( 3 3 2

8

? ymax

1 ? 12

如此解答行吗?

1 1 例6、已知正数x、y满足2x+y=1,求 ? 的最小值 x y

错解:?1 ? 2x ? y ? 2 2xy
1 ? xy ? 即 ?2 2 xy 2 2 1

错因:
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡,而这两次取 “=”号的条件是不同的, 故结果错。

1 1 1 ? ? ?2 ? 2? 2 2 ? 4 2 x y xy
1 1 即 ? 的最小值为 4 x y

2

正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1,求 解: 1 1

1 1 ? 的最小值 x y

? ? ? 2x ? y ? 2x ? y x y x y

y 2x ? 3? ? x y ? 3? 2 2
当且仅当

y 2 x 即: y ? 2 x 时取“=”号 ? x y
即此时

1 ? ? y ? 2x x? ? 而? ? ? 2? 2 ? ?2 x ? y ? 1 2 ?y ? ? 2? 2 ?

ymin ? 3 ? 2 2

本题小结: 用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的 充要条件,特别地,如果多次运用均值不等式求

最值,则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“
成立的诸条件是否相容。

利用基本不等式证明不等式

a b ? 1. 已知 a、b 是正数,且 ? 1(x, y ?R? ), x y 求证:x? y ? ( a ? b)2
2.已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0, 求证: ad ?bc bc? ad ? ?4 bd ac
4 4 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 3.证明: a b c a b b c a c ?abc ( a?b ? c) 4

1、设 a, b ? 且R a+b=3,求2a+2b的最小值___。
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少?

4.互不相等的四个正数a, b, c, d 成等比数列, a?d 则 bc与 的大小关系是 ____________ . 2

x ? 7 x ? 10 3、若 x ? ?1,则函数 y ? 的最小值是____。 x ?1
2

5.求以下问题中的最值 : 9 (1)若a ? 0,则当a ? ____ 时,4a ? 有最小值____; a ( 2)正数x , y满足x ? y ? 20, lg x ? lg y的最大值____;

巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗

小结评价

你会了 吗?

1。本节课主要学习了基本不等式的证明 与初步应用。 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。

3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”, 它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。 4。我们积累了知识,于枯燥中见奇,于 迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐 在成功之中,就能领略到公式平静的美。



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