9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

矩阵与变换 坐标系与参数方程答案



江苏省南菁高级中学 高二数学暑假作业

矩阵与变换 坐标系与参数方程

1.二阶矩阵 M 对应的变换将点 (1, ?1) , (?2, 1) 分别变成点 (?1, ?1) 与 (0, ?2) 。
(1)求矩阵 M; ( 2)设直线 l 在变换 M 作用下得 到了直线 m : x ? y ? 4 ,求直线 l 的方程。
<

br />?a b ? ? a b ? ?1 ? ?-1? ?a b ? ?-2? ?0 ? ? ,则有 ?c d ? ?-1? = ?-1? , ?c d ? ?1 ? = ?-2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?c d ? ? a ? b ? ?1 ?a ? 1 ? c ? d ? ?1 ?b ? 2 ?1 2 ? ? ? 所以 ? 解得: ? 所以 M ? ? ? ?3 4 ? ? ?2 a ? b ? 0 ?c ? 3 ? ?2 c ? d ? ? 2 ?d ? 4 ? ? ?1 2 ? ? x? ? x ? 2 y (2)因为 M ? ? ? 所以坐标变换公式为 ? y? ? 3x ? 4 y ?3 4 ? ? ?, y?) 是直线 m : x ? y ? 4 上的点。 因为 ( x 所以 ( x ? 2 y) ? (3x ? 4 y) ? 4 即 x ? y ? 2 ? 0 , 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 。
解: (1)设 M ? ? 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

?k 0? ?0 1 ? ? ,N= ?1 0? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1, ? 0 1? ? ?

△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 解:由题设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2? ?0 0 k ? 、B 、C 。 ?? ??? ? ,可知 A1(0,0) 1(0,-2) 1( k ,-2) ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。
?1 0 ? 3.已知曲线 C : y 2 ? 2 x ,在矩阵 M ? ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C1 , C1 在矩阵 ?0 2 ?

N ?? ?1

?0 ?1? 对应的变换作用下得到曲线 C2 ,求曲线 C2 的方程. 0? ?

?0 ?1? ?1 0 ? ?0 ?2 ? 解:设 A =N M, 则 A ? ? ?? ??? ?, ?1 0 ? ? 0 2 ? ?1 0 ?

设 P ? x, y ? 是曲线 C 上任一点,在两次变换下,在曲线 C2 上的对应的点为 P? ? x?, y ? ? ,

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第1页

共8页



x ? y ?, ? x? ? ?0 ?2 ? ? x ? ? ?2 y ? ? x? ? ?2 y, ? ? , 即? ∴? ?? ?? ? y ?? 1 0 ? ? y ? ? 1 ? ? ? ?x ? ? ? ? ? y ? ? x, ? y ? ? 2 x?. ?

又点 P ? x, y ? 在曲线 C : y 2 ? 2 x 上,∴ (? 1 x?) 2 ? 2 y ? , 即 y ? ? 1 x?2 2 8
4.已知矩阵 A ? ?

也即 y ? 1 x 2 8

? ?1 0 ? ?1 ,B?? ? ?0 2 ? ?0

2? ?1 ? ,求矩阵 A B . 6?

解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?a b ? ??1 0 ? ?a b ? ?1 0? ? ?a ? b ? ?1 0? ? ,则 ? 0 2? ?c d ? ? ?0 1? ,即 ? 2c 2d ? ? ?0 1? ?c d ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? ?1 0? 1 ?1 ?, 故 a ? ?1, b ? 0, c ? 0, d ? ,从而 A 的逆矩阵为 A ? ? ? 0 1? 2 ? 2?

? ?1 0 ? ?1 2? ? ?1 ? 2? ? 所以 A B ? ? 1? ? ?0 ? ?0 6 ? ? 0 3 ? ? ? ? ? 2?
?1

5.若圆 C : x

2

? a 0? ? y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? ? (a ? 0, b ? 0) 对应的变换下变成椭圆 ?0 b?

E:

x2 y 2 ? ? 1 ,求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 . 4 3

解:设点 P ( x, y ) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 则? ? ? y ? ? ?by ? ? ? y ?? ,所以 ? y ? ? by . ?0 b? ? ? ? ? ? ? ?
因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E :

x2 y2 a 2 x 2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ?1 , 4 3 4 3

? a2 ? ? 1, ?a2 ? 4, ? ?4 2 2 又圆方程为 x ? y ? 1 ,故 ? 2 ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . ?b ? 3, ? ? b ? 1, ?3 ? ?1 ?2 0? , 所以 A?1 ? ? ? 3? ? ?0 ? ? 0 ? ? 3? 3 ? ?

?2 所以 A ? ? ?0

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第2页

共8页

?a 6.设曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A=? ?b x2+y2=1.
(1)求实数 a,b 的值;(2)求 A 的逆矩阵.
2

0? ?(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为 1?

解:(1)设曲线 2x +2xy+y =1 上任意点 P(x, 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 y)

2

2

?x′? ?a P′(x′,y′).由? ?=? ?y′? ?b
2 2

0? ? 1?

?x′=ax, ?x? ? ax ? ? ?=? ?,得? ?y? ?bx+y? ?y′=bx+y.
2 2 2 2 2

又点 P′(x′,y′)在 x +y =1 上,所以 x′ +y′ =1,即 a x +(bx+y) =1, 整理得(a +b )x +2bxy+y =1.
2 2 ?a +b =2, ?a=1, ?a=-1, ?a=1, 依题意得? 解得? 或? 因为 a>0,所以? ?2b=2, ?b=1, ?b=1. ?b=1. 2 2 2 2

(2)由(1)知,A=?
2

?1 ?1
2 -1

0? ?1 ?,A2=? ?1 1?
0? ?1 ?. ?-2 1?

0? ?1 ? ? 1? ?1

0? ?1 ?=? 1? ?2

0? ?. 1?

所以|A |=1,(A ) =?

7. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A-

?-1 3? 4 4? 1 ? = ,求矩阵 A 的特征值. ?1 -1? ?2 2?

解:因为 A

-1

A=E,所以 A=(A-1)-1. ?2 ) =? ?2 3? ?, 1?

因为 A



?-1 3? 4 4? 1 ? = ,所以 A=(A ?1 -1? ?2 2?

-1 -1

于是矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? 令 f(λ)=0,解得 A 的特征值 8. 已知矩阵 M ? ?

?λ-2 ?-2

-3? 2 ?=λ -3λ-4. λ-1?

?1 ? ?1, ?2 ? 4 。

?2 a ? 其中 a ? R , 若点 P(1, ?2) 在矩阵 M 的变换下得到点 P?(?4, 0) ?, ?2 1 ? (1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. ? 2 a ? ? 1 ? ? ?4 ? 解: (1)由 ? ? ? ? = ? ? , ∴ 2 ? 2a ? ?4 ? a ? 3 . ? 2 1 ? ? ?2 ? ? 0 ? ? 2 3? (2) M ? ? ? ,则 M 的特征多项式为 ? 2 1?

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第3页

共8页

?3 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 6 ? ? 2 ? 3? ? 4 , ?2 ? ? 1 令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 ?1 与 4. ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 当 ? ? ?1 时,? ? x ? y ? 0 ∴矩阵 M 的属于特征值 ?1 的一个特征 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?1? 向量为 ? ? ; ? ?1? ?(? ? 2) x ? 3 y ? 0 当 ? ? 4 时,? ? 2 x ? 3 y ? 0 ∴矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征 ??2 x ? (? ? 1) y ? 0 ?3? 向量为 ? ? . ?2? 2? ?1 ?7? ?,向量 α=? ?. 9.已知矩阵 A=? ?4? ?-1 4? f (? ) ?
(1)求 A 的特征值 λ1,λ2 和特征向量 α1,α2; 解:(1)矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? (2)计算 A α 的值.
5

? ?2

?λ-1 ?1

-2? ? λ-4?

=λ2-5λ+6,由 f(λ)=0 解得 λ1=2,λ2=3.
当 λ1=2 时,解得 α1=? ?; 当 λ2=3 时,解得 α2=? ?. (2)由 α=m α1+n α2 得?

?2? ?1?

?1? ?1?

?2m+n=7 ?m+n=4

,解得 m=3,n=1.

2 1 ?435? 5 5 5 5 5 5 5 ? ? 5 ? ? 则 A α=A (3α1+α2)=3(A α1)+A α2=3(λ1α)+λ2α2=3×2 ? ?+3 ? ?=? ?. ?1? ?1? ?339?
10.在平面直角坐标系

? cos ? xOy 中,设曲线 C: xy=1 在矩阵 ? ? ? sin ?

sin ? ? cos ? ? ?

(0 ? ? ?

?
2

)

2 2 2 对应的变换作用下得到曲线 F,且 F 的方程为 x ? y ? a ( a ? 0 ) 求 ? 和 a 的值. ,

解: 设 P(x0,y0)是曲线 C 上任意一点, 点 P(x0,y0)在矩阵? 下变为点 P'(x0',y0') , 则有?

cosθ ?-sinθ

sinθ ? 对应的变换 cosθ ?

x0'? ? cosθ = ?y0'? ?-sinθ

sinθ ? ?x0? , cosθ ? ?y0?

x0 cosθ 所以 ? ?=? ?y0? ?sinθ

-sinθ ? ?x0'? . cosθ ? ?y0'?
2 2 2 2

又因为点 P 在曲线 C 上,所以由 x0y0=1,得(x0' -y0' )sin?cos?+(cos ?-sin ?)x0'y0'=1, π π 2 2 2 2 2 要使得方程变为 x -y =a (a>0),必须 cos ?-sin ?=cos2?=0,因为 0≤θ < ,所以?= . 2 4 这时 a =2, a= 2.
2

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第4页

共8页

11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 , t 为参数) 曲线 C 的 ( , ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? 参数方程为 ? , ? 为参数) ( 。试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出 ? y ? 2 tan ?
它们的公共点的坐标。 解:因为直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 , t 为参数) ( ,由 x ? t ? 1 得 t ? x ? 1 ,代入 ? y ? 2t

y ? 2t ,得到直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 。同理得到曲线 C 的普通方程为
? y ? 2( x ? 1) 1 ,解得公共点的坐标为 (2, 2) , ( , ? 1) 。 y 2 ? 2x 。联立方程组 ? 2 2 ? y ? 2x
12. 已知在极坐标系下,圆 C :

? ? ? ? 2 cos(? ? ) 与直线 l : ? sin( ? ? )= 2 ,点 M 为圆
2 4

C 上的动点.求点 M 到直线 l 距离的最大值.
解:圆 C : ? ? 2 cos(? ?
2 2

?

2 角坐标方程为 x ? y ? ?2 y ,即 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 所以圆心 C (0, ?1) 。
直线 l : ? sin(? ?

) ,即 ? ? ?2sin ? , ? 2 ? ?2? sin ? ,所以圆 C 的直

?
4

) ? 2 ,即 ? sin ? ? ? cos? ? 2 ,所以直线 l 的直角坐标方

程为 x ? y ? 2 。因为圆心 C 到直线 l 的距离为 d ? 到直线 l 距离的最大值为

| ?1 ? 2 | 3 2 所以动点 M ? 2 2

3 2 ?1 。 2 x2 y 2 13. 在平面直角 坐标系 xOy 中,椭圆 ? ? 1 的右顶点为 A ,上顶点为 B , 点 P 是第一 16 4 象限内在椭圆上的一个动点,求 ?PAB 面积 S 的最大值. 解:由题知 A(4, 0) , B(0, 2) , AB ? 2 5 ,则直线 AB 方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 设 P(4cos ? , 2sin ? ) , ? 为锐角,则点 P 到直线 AB 的距离为

d?

| 4cos ? ? 4sin ? ? 4 | | 4 2 sin(? ? 45? ) ? 4 | ? 5 5
? ? ?

因为 ? 为锐角,所以 45 ? ? ? 45 ? 135 ,所以

2 ? sin(? ? 45? ) ? 1 2

0 ? 4 2 sin(? ? 45? ) ? 4 ? 4 2 ? 4 则当 ? ? 45? 时, d 取得最大值为
此时, ?PAB 面积 S 取得最大值为

4 2 ?4 5

1 4 2 ?4 ?2 5? ? 4 2 ?4 。 2 5

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第5页

共8页

14. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标方

? x ? ? 3t , ? 程为 ? 2 cos 2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R).试在曲 ?y ?1? t ?

线 C 上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大. 解:曲线 C 的普通方程是
x2 ? y2 ? 1 , 3

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0

设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是
3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 2

d?

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? 2

因为 ? 2 ? 2 sin(? ?

?
4

) ? 2 ,所以

π π π 3π 当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z),即 ? ? 2kπ ? (k ? Z)时,d 取得最大值. 4 4 2 4
6 2 . ,sin ? ? ? 2 2 7π 综上,点 M 的极坐标为 ( 2, ) 时,该点到直线 l 的距离最大 6

此时 3 cos ? ? ?



凡给出点 M 的直角坐标为 (?

6 2 ,? ) ,不扣分. 2 2

15.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ?

?

6

) ,点 M 的极坐标为 (6,

?
6

) ,直线 l 过点 M ,且

与圆 C 相切,求 l 的极坐标方程. 解 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,
2 2

则圆 C 的直角坐标方程为(x- 3) +(y-1) =4, 点 M 的直角坐标为(3 3,3) ,当直线 l 的斜率不存在时,不合题意. 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-3 3),由圆心 C( 3,1)到直线 l 的距离等于半径 2. |2 3k-2|



k2+1

=2 解得 k=0 或 k= 3.

所以所求的直线 l 的直角坐标 方程为 y =3 或 3x-y-6=0 π 所以所求直线 l 的极坐标方程为 ρ sinθ =3 或 ρ sin( -θ )=3 3

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第6页

共8页

16 . 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 ?

? x ? 2 cos ? , ? ( ? 为 参 数 ), 直 线 l 的 极 坐 标 方 ? y ? 2sin ? ?

程: ? sin(? ?

?
4

) ? 1 .直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点,求 MN 的长.

解:曲线 C 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l 的直角坐标方程为 y ? x ? 2 。 2 4 2 将直线 l 的方程代入椭圆方程,并化简得 3x ? 2 2 x ? 2 ? 0 , 2 2 4 2 解得 x1 ? ? 2 , x2 ? ,所以 M (? 2,0) , N ( , ) 3 3 3
所以 MN ? (? 2 ?

2 2 4 2 2 8 ) ?( ) ? 3 3 3

17 . 已 知 曲 线

?? ? C1 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos ? ? ? ? ? ?1 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 3? ?
? ?

? ? 2 2 cos ? ? ?

??

? ,判断两曲线的位置关系. 4?

解: 将曲线 C1 ,???C2 化为直角坐标方程得:

C1 :??x ? 3 y ? 2 ? 0 , C2 :?x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 即 C2 :?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,
2 2

圆心到直线的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 ? 2 , ∴曲 线 C1与C2 相离. 2

18 . 在极坐标系中,已知直线 2 ? cos? + ? sin ? + a ? 0(a ? 0) 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为 2 ,

求 a 的值. 解:直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 2 x + y + a ? 0 , 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 + y 2 ? 4 y ,即 x2 + ( y ? 2)2 ? 4 因为截得的弦长为 2 ,所以圆心 (0, 2) 到直线的距离为 4 ? 1 ? 3 , ,



2+a 5

? 3 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? 15 ? 2

19.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C (3, (1)求圆 C 的极坐标方程;

?
6

) ,半径 r ? 3 ,

(2)若 Q 点在圆 C 上运动, P 在 OQ 的延长线上,且 | OQ |:| QP |? 3: 2 ,求动点 P 的 轨迹方程. 解:(1)设 M(ρ ,θ )为圆 C 上任一点,OM 的中点为 N,
矩阵与变换 坐标系与参数方程 第7页 共8页

∵O 在圆 C 上,∴△OCM 为等腰三角形, π? π? ? ? 由垂径定理可得|ON|=|OC|cos?θ - ?,∴|OM|=2×3cos?θ - ?, 6? 6? ? ? π? ? 即 ρ =6cos?θ - ?为所求圆 C 的极坐标方程. 6? ? (2)设点 P 的极坐标为(ρ ,θ ),因为 P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,所 π? 3 ?3 ? ? 以点 Q 的坐标为? ρ ,θ ?,由于点 Q 在圆上,所以 ρ =6cos?θ - ?. 6? 5 ?5 ? ? π? ? 故点 P 的轨迹方程为 ρ =10cos?θ - ?. 6? ?
20. 在平面直角坐标 xOy 中,已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .

(1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中,分别求圆 C1 , C2 的极坐标方程及这 两个圆的交点的极坐标; (2)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程. 【解】(1)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 , 圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,

? ? ? 2, π 由? 得 ? =2,? ? ? ,故圆 C1,C2 交点坐标为圆 2,π , 2, π ? 3 3 3 ? ? ? 4cos?
(2)由(1)得,圆 C1,C2 交点直角坐标为 (1, 3), , 3) , (1 ? 故圆 C1与C2 的公共弦的参数方程为 ?

? ??

?

? x ? 1, ? ? y ? t (? 3≤t≤ 3). ?

注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一。

矩阵与变换 坐标系与参数方程

第8页

共8页



更多相关文章:
矩阵与变换 坐标系与参数方程答案
矩阵与变换 坐标系与参数方程答案_数学_高中教育_教育专区。江苏省南菁高级中学 高二数学暑假作业 矩阵与变换 坐标系与参数方程 1.二阶矩阵 M 对应的变换将点 (...
题目163bc184b9d528ea81c77975
本题设有三个选考题,请考生任选2题作答.【选修4-2:矩阵与变换】请回答27、28题。已知矩阵【选修4-4:坐标系与参数方程】请回答29、30题。在平面直角坐标系...
江苏省南通市2015届高三第一次调研测试数学试题及答案
B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)已知矩阵 的逆矩阵 ,求实数 m,n C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标 xoy ...
杭高2013学年第二学期高三第六次月考自选综合试卷
?1 ? ?5 ? 题号:04 “矩阵与变换坐标系与参数方程”模块(10 分)已知...10 内加 三 杭高 2013 学年第二学期高三第六次月考自选综合试卷参考答案 03...
2013年浙江省高考自选模块试题及答案
2013年浙江省高考自选模块试题及答案_高考_高中教育_教育专区。自选模块测试试题题...题号:04 科目:数学 “矩阵与变换坐标系与参数方程”模块(10 分) (1)极...
2013浙江温岭中学高考提优冲刺考试(四)自选模块试题及答案
2013浙江温岭中学高考提优冲刺考试(四)自选模块试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育...“矩阵与变换坐标系与参数方程”模块(10 分)以极点为原点,极轴为 x 轴的...
2014高三第八次自选模块试题卷
题号:04“矩阵与变换坐标系与参数方程”模块(10 分)已知 P(2t , 2t ) ...病原体是指能使人或其他生物患病甚至死亡的细菌和病毒 自选模块参考答案 语文 ...
2012年宁波市高三“十校联考”自选模块试卷
04 矩阵与变换坐标系与参数方程”模块( “矩阵与变换坐标系与参数方程”...及相应答案写在答题纸上, 请在标有序号的空白处填空,并将序号及相应答案写在...
2012年全国高考自选模块试题-浙江卷
题号:04 科目:数学 “矩阵与变换坐标系与参数方程”模块(10 分) 在直角...根据短文所给的信息,用一个完整的句子回答下面的问题,并将序号及相应答案写在...
更多相关标签:
三维坐标系变换矩阵    坐标系变换矩阵    三维坐标系的变换矩阵    旋转矩阵 坐标系变换    空间坐标系变换矩阵    坐标系变换矩阵公式    坐标系的变换矩阵    直角坐标系变换矩阵    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图