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福建八县一中2015-2016年高三理科数学期中联考试卷及答案



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2015---2016 学年度第一学期八县(市)一中期中联考

高中 三年

数学(理科) 科试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意 要求的。
x 1、设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ? 1)? ,则 A ? B 等于(

?

?



? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? (1, x) 和 b ? ( x ? 2,?2) ,若 a ? b ,则 a ? b ? (
A.5 B.8 C. 10

A. (1,2)

B. (1,2]

C. [1,2)

D. [1,2] ) D.64 )

3、等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5
D E

4、如图 1,已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形, 则 BA? ( BC ? CF ) 的值为( A.
? ? ?

) C.

C

F

3 4

B.

3 2

3 2

D. ?

3 2

B

A

图1

5、将函数 y ? 3 cos x ? sin x, ( x ? R) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对 称,则 ? 的最小值是( ) A.

? 12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6


6、已知定义域为 R 的函数 f ( x) 不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( A. ?x ? R, f (? x) ? f ( x) C. ?x0 ? R, f (? x0 ) ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f (? x) ? ? f ( x) D. ?x0 ? R,f (? x0 ) ? ? f ( x0 )

7、下列四个结论:①设 a,b 为向量,若|a· b|=|a||b|,则 a∥b 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; 其中正确结论的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.0 个

8、对于函数 y ? g ( x) ,部分 x 与 y 的对应关系如下表:

x
y

1 2

2 4

3 7

4 5

5 1

6 8

* 数列 {xn } 满足: x1 ? 2 ,且对于任意 n ? N ,点 ( xn , xn?1 ) 都在函数 y ? g ( x) 的图像上,则

x1 ? x2 ? ? ? x2015 ? (
A.4054

) C.5075 D.6047

B.5046

9、设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k ,则函数

?

?

k ? g ? t ? 的部分图像为(



10、已知向量 a , b 满足 a ? 2 2 b ? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3 a x 2 ? 6a ? b x ? 7 在实数集 R 上单调递增,则向量 a , b 的夹角的取值范围是 ( A. ?0,

?

?

?

?

?

? ?

?

?

)

? ?? ?? ? ? D. ? , ? ? ? 4? ?6 4? ? 11、如图 2 是函数 f ( x) ? A sin( 2 x ? ? ), ( A ? 0, ? ? ) 图像的一部分,对不同的 2
B. ?0, C. ?0, ) x1 , x2 ? ?a, b? ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,有 f ( x1 ? x2 ) ? 2 ,则( 3? ? , ) 上是增函数 A. f ( x ) 在 ( ? 8 8 3? ? , ) 上是减函数 B. f ( x ) 在 ( ? 8 8 5? ? , ) 上是增函数 C. f ( x ) 在 ( ? 12 12 5? ? 图2 , ) 上是减函数 D. f ( x) 在 ( ? 12 12 3 2 12、若关于 x 的不等式 a ? x ? 3x ? 4 ? b 的解集恰好是 ? a, b? ,则 a ? b 的值为( 4 8 16 A. B. 4 C. D. 5 3 3

? ?? ? ? 6?

? ?? ? ? 3?



二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡的相应位置上。 13、若 z ? sin ? ?

3 ? 4? ? i ? cos ? ? ? 是纯虚数,则 tan ? 的值为 5 ? 5?



14 、 若 幂 函 数 f ( x) 过 点 (2,8) , 则 满 足 不 等 式 f (2 ? a) ? f (a ? 1) 的 实 数 a 的 取 值 范 围 是 15、函数 f ( x) ? ?
2



? (?2 ? x ? 0) ? 1 ? ( x ? 1) ,
2 ? (0 ? x ? 1) ? x ? x,

的图象与 x 轴所围成的封闭图形面积为



16 、 已 知 函 数 f ?x ? 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 实 数 x , y 满 足 : f ?2? ? 2 ,

f ?xy? ? xf ? y ? ? yf ?x ? , a n ?

f 2n 2n

? ? ?n ? N *? , b

n

?

f 2n n ? N * ,考查下列结论: ① n

? ??

?

f ?1? ? 1 ;② f ? x ? 为奇函数;③数列 ?an ? 为等差数列;④数列 ? bn ? 为等比数列。
以上命题正确的是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题 10 分) 设p: 关于 x 的不等式 a x ? 1 的解集是 x x ? 0?;q : 函数 y= ax2 ? x ? a 的定义域为 R.若 p 或 q 是 真命题, p 且 q 是假命题,求实数 a 的取值范围.

?

18、 (本小题 12 分) 已知向量 m ? (sin x,?1) ,向量 n ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a ,b , c 分别为 ?ABC 内角 A , B ,C 的对边, A 为锐角, a = 2 3 , c = 4 ,且 f ( A) 恰 是 f ( x ) 在 ?0,

1 2

? ?? ? 上的最大值,求 A , b . ? 2?

19、 (本小题 12 分)

b} ?ba 0, bn ? 已知数列 {an 与 满足: ?? 1, na n { n? 1 ? bn ?1an 1? 2 n}
(Ⅰ)求 a2 , a3 的值;
?

3 ? (?1)n * 且 an bn?1 ? an?1bn ? 1 ? (?2) n , n ? N . 2

(Ⅱ)令 ck ? a2k ?1 ? a2k ?1 , k ? N ,证明: ?ck ?是等比数列; 20、 (本小题 12 分) 罗源滨海新城建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面 和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 32 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+

x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万
元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=96 米时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小? 21、 (本小题 12 分) 在 △ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 (Ⅰ)求 △ABC 的面积.

??? ? ??? ? b sin C , 且 b ? 5, CA ? CB ? ?5 , ? 1? a?c sin A ? sin B

(Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列, 求{

8 }的前 n 项和 Sn. a n a n?2

22、(本小题 12 分)
2 已知函数 g ( x) ? (2 ? a) ln x , h( x) ? ln x ? ax ( a ? R ) ,令 f ( x) ? g ( x) ? h' ( x) ,

其中 h ' ( x) 是函数 h( x) 的导函数。 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 ? 8 ? a ? ?2 时,若存在 x1 , x2 ? ? 1,3? ,使得

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? ln( ?a) 恒成立,求 m 的取值范围. 3

2015---2016 学年度第一学期八县(市)一中期中联考 ---------密???封????装????订???线----------

高中三 年 数学(理科)科参考答案及评分标准
考试日期:11 月 12 日
1~12 13~16 17

完卷时间:120 分钟
18 19 20

满分:150 分
21 22 总分

.

准考号:

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 二、 (每小题 5 1 2 3 4 5 题号 分) B A B C D 答案 13、
.

6 C

7 A

8 D

9 B

10 C

11 A

12 D

填空题: 分,共 20

?

3 4
15、

14、

3 (?? , ) 2
16、 ②③④

1 ? ? 6 2

座号

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (本小题满分 10 分) 解:依题有:对于 p: 0<a<1,????1 分 对于 q:函数的定义域为 R 的充要条件是 ax2-x+a≥0 恒成立.??2 分 当 a=0 时,不等式为-x≥0,解得 x≤0,显然不成立; 1 ,解得 a≥ . 2 ?? ? (?1) ? 4a ? a ? 0 1 所以对于 q:a≥ .????4 分 2 由“p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题” ,可知 p,q 一真一假,??5 分 当 a≠0 时, ?
.
2

姓名

?a ? 0

班级

?0 ? a ? 1 1 ? 当 p 真 q 假时, ? 1 ,有 a 的取值范围是{a|0<a<2};????7 分 a? ? ? 2 ?a ? 0或a ? 1 ? 当 p 假 q 真时, ? ,有 a 的取值范围是{a|a≥1}.???9 分 1 a ? ? ? 2 1 0, ?∪[1,+∞).????10 分 综上,a 的取值范围是? ? 2?

学校

18、 (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

?? ? ??

1 2

????2 分

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2 ? ? sin(2 x ? ) ? 2 ????5 分 6 2? ?? 因为 ? ? 2 ,所以 T ? ????6 分 2 ? ? ? 5? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知:当 x ? [0, ] 时, ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 ? ? 由正弦函数图象可知,当 2 x ? ? 时 f ( x ) 取得最大值 3 ???8 分 6 2 ? ? ? 又A为锐角,所以 2 A ? ? , A ? ???9 分 6 2 3 1 2 2 2 2 由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A 即 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ? 2 ?
故b ? 2 ???12 分

19、 (本小题满分 12 分) (I)解:由 bn ?

?1, n为奇数 3 ? (?1)n , n ? N * , 可得 bn ? ? ???1 分 2 ?2,n为偶数

又 an bn?1 ? an?1bn ? 1 ? (?2) n , a1 ? 1 当 n ? 1 时, a1b2 ? a2 b1 ? ?1 ,得 a2 ? ?3 ????3 分 当 n ? 2 时, a2 b3 ? a3b2 ? 5 ,得 a3 ? 4 ????5 分 (II)证明: ? an bn?1 ? an?1bn ? 1 ? (?2) n , n ? N * ,

? 令 n ? 2k ? 1 ( k ? N ? ) ,则 2a2k ?1 ? a2k

? 1 ? (?2) 2k ?1 ①???7 分
②????9 分

? 令 n ? 2k ( k ? N ) ,则 a2k ? 2a2k ?1 ? 1 ? (?2) 2k

由①②得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3 ? 2 因此

2 k ?2

,即 ck

? 3 ? 2 2 k ?2

c n?1 ? 4 ,所以 ?cn ? 是等比数列. ????12 分 cn

20、 (本小题满分 12 分)

m 解(I)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,即 n= x -1,?? 2 分 ?m ? m 所以 y=f(x)=32n+(n+1)(2+ x)x=32? x -1?+ x (2+ x)x ? ? 32 =m ( + x)+2m-32,( 0 ? x ? m )????6 分 x 32 (II)当 m=96 时,f(x)=96( + x)+160 x 3 1 32 48 则 f′(x)= 96( ? 2 ) ? 2 ( x 2 ? 64) .???8 分 x 2 x x 令 f′(x)=0,得 x =64,所以 x=16 当 0<x<16 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,16)内为减函数; 当 16<x<96,f′(x)>0,f(x)在区间(16,96)内为增函数. 96 所以 f(x)在 x=16 处取得最小值.此时 n= -1=5???10 分 16 故需新建 5 个桥墩才能使余下工程的费用 y 最小.???12 分
21、 (本小题满分 12 分) 解: (I)由正弦定理得:
3 2

b c 2 2 2 ? 1? 即: b ? c ? a ? bc , a?c a?b b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? 所以由余弦定理得: cos A ? 2bc 2bc 2
又因为: 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?

3

,???3 分

??? ? ??? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ?5 b因为 ? 5, CA ? CB ? ?5 即: 5a cos C ? ?5 即: 5a 2ab ? 25 ? c 2 ? a 2 与 cos ? 联立解得: c ? 12 ,???5 分 3 10c 1 所以 △ABC 的面积是: ? 5 ?12 ? sin A ? 15 3 ,???6 分 2 (II)数列{an}的公差为 d 且 d ? 0 由 a1cosA=1 得 a1=2 2 又 a2,a4,a8 成等比数列,得 a4 ? a2 ? a8 解得 d =2???8 分
所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,有 an?2 ? 2(n ? 2)

8 2 1 1 ? ? ? ???10 分 a n a n? 2 n(n ? 2) n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) 所以 s n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 3 1 1 ? = ? ???12 分 2 n ?1 n ? 2


22、 (本小题满分 12 分)

1 1 ? 2ax ,则 f ( x) ? (2 ? a) ln x ? ? 2ax , x ? (0,??) , x x 1 2 1 2x ?1 ' 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? , f ( x ) ? ? 2 ? x x x x2 1 令 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ; 2 1 1 当 0 ? x ? 时 f ' ( x) ? 0 当 x ? 时 f ' ( x) ? 0 ???3 分 2 2 1 1 所以 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) , 单调递增区间为 ( ,?? ) 2 2 1 1 所以 x ? 时 f ( x) 取得极小值 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值。???5 分 2 2 1 a(2 x ? 1)(x ? ) 2?a 1 ' a , x ? ?1,3? ; ? 2 ? 2a ? (II) f ( x ) ? 2 x x x 1 1 1 当 ? 8 ? a ? ?2 即 ? ? ? 时, 恒有 f ' ( x) ? 0 成立, 8 a 2 所以 f ( x) 在 ?1,3?上是单调递减。??????7 分 1 所以 f ( x) max ? f (1) ? 1 ? 2a , f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3 2 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? f (1) ? f (3) ? ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 , 3 2 因为存在 x1 , x2 ? ? 1,3? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? ln( ?a) 恒成立, 3 2 2 所以 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 ? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? ln( ?a) 整理得 3 3 2 2 ma ? ? 4a ? ln( ? a ) 3 3 2 2 ln( ?a) ?4? 又 a ? 0 所以 m ? ??????9 分 3a 3a 2 2 ln t ?4, 令 t ? ?a ,则 t ? (2,8) ,构造函数 F (t ) ? ? ? 3t 3t 2(2 ? ln t ) ' 所以 F (t ) ? , 3t 2 2 2 ' ' 当 F (t ) ? 0 时, t ? e 当 F (t ) ? 0 时, 2 ? t ? e ,此时函数单调递增,
解: (I)依题意 h ( x) ?
'

' 当 F (t ) ? 0 时, e ? t ? 8 ,此时函数单调递减。
2

2 ?4, 3e 2 2 所以 m 的取值范围为 ( 2 ? 4,?? ) ???12 分 3e
所以 F ( x) max ? F (e ) ?
2



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