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9.1直线的方程



第九章
§9.1
要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率

解析几何
自主学习

直线的方程

基础知识

(1)直线的倾斜角①定义: 当直线 l与 x 轴相 交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向 与直 线 l 负向方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾 斜角.当直线 l

与 x 轴平行或重合时,规定 它的倾斜角为0° . 0° ≤α<180° ②倾斜角的范围为 .

(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这 条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k= tan ? ,倾斜角是 90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线 y2-y1 k= x2-x1 . 的斜率公式为

2.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴 的直线 不含垂直于 x 轴 的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1 (y1≠y2)

点斜式 y-y1=k(x-x1) 斜截式

y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

两点式

截距式

x y a+b=1

不含垂直于 坐标轴和过 原点的直线

一般式

Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)

平面直角坐 标系内的直 线都适用

3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴, 方程为 x ? x1; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴, 方程为 y ? y ;
1

(3)若 x1=x2=0, y1≠y2 时, 且 直线即为 y 轴, 方程为 x=0 ; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0 .

4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 ? x1+x2 ?x= 2 ? ? ? y1+y2 ?y= 2 ? 标公式. ,此公式为线段 P1P2 的中点坐

[难点正本 疑点清源] 1.直线的斜率与倾斜角的区别及联系 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注 意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范 围.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并 不是每一条直线都存在斜率.所以在研究 直线的有关问题时,应考虑到斜率存在与 不存在的情况,避免出现漏解的情形.同 时,斜率又是由倾斜角唯一确定的

2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截 距式等都是直线方程的特殊形式,其中点 斜式是最基本的,其他形式的方程皆可由 它推导.直线方程的特殊形式都具有明显 的几何意义,但又都有一些特定的限制条 件,如点斜式方程的使用要求直线存在斜 率;截距式方程的使用要求横纵截距都存 在且均不为零;两点式方程的使用要求直 线不与坐标轴垂直.因此应用时要注意它 们各自适用的范围,以避免漏解.

基础自测 1.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1 1,则 m 的值为________.
解析 m-4 ∵kMN= =1,∴m=1. -2-m

2.直线 x- 3y+a=0 (a 为常数)的倾斜角的 π 大小是______. 6
解析 3 π ∵k= 3 ,∴倾斜角 α=6.

3.若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 4 a 的值为______. 5-3 a-3 ∵kAC= =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4

解析

由于 A、B、C 三点共线,所以 a-3=1, 即 a=4.

4.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程为

x+y+1=0或4x+3y=0 .

4 解析 ①若直线过原点,则 k=-3, 4 ∴y=-3x,即 4x+3y=0. ②若直线不过原点. x y 设a+a=1,即 x+y=a. ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.

5.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为 3 -4,则直线 l 的方程为( A ) A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0
3 解析 由 y-5=-4(x+2),得:3x+4y-14 =0,故选 A.

题型分类深度剖析 题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 已知直线 l 过点 P(-1,2), 且与以 A(-2, -3),B(3,0)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.
思维启迪:分别求出 P A 、P B 的斜率,直线 l 处于直线 P A 、P B 之间,根据斜率的几何意义 利用数形结合即可求.

解 方法一

如图所示,直线 P A 的斜率

2-? -3? kP A = =5, -1-? -2? 直线 PB 的斜率 0-2 1 kP B = =- . 3-? -1? 2 当直线 l绕着点 P 由 P A 旋转到与 y 轴平行的位置 P C 时,它的斜率变化范围是[5,+∞); 当直线 l绕着点 P 由 P C 旋转到 P B 的位置时,它的斜
? 1? ? 率的变化范围是?-∞,- ?. 2? ? ?

∴直线

? 1? ? l的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪[5, +∞). 2? ? ?

方法二 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程 为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0. ∵A、 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, B ∴(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0, 1 即(k-5)(4k+2)≥0,∴k≥5 或 k≤-2. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ? 1? ?-∞,- ?∪[5,+∞). 2? ?

探究提高

方法一运用了数形结合思想.当直

线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝 角时,需根据正切函数 y=tan α 的单调性求

k 的范围,数形结合是解析几何中的重要方
法.解题时,借助图形及图形性质直观判断, 明确解题思路,达到快捷解题的目的.方法二 则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性 质使问题得以解决.

变式训练 1 已知点 M 是直线 l: 3x-y+3 =0 与 x 轴的交点,将直线 l 绕点 M 旋转 30° ,求所得到的直线 l′的方程.

解 在 3x-y+3=0 中, 令 y=0,得 x=- 3, 即 M(- 3,0). ∵直线 l 的斜率 k= 3, ∴其倾斜角 θ=60° . 若直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 30° ,则直线 l′的倾斜角为 60° +30° =90° ,此时斜率不存 在,故其方程为 x=- 3. 若直线 l 绕点 M 顺时针方向旋转 30° ,则直线 l′的倾斜角为 60° -30° =30° 此时斜率为 tan , 3 30° 3 ,故其方程为 = 3 y= 3 (x+ 3),即 x- 3y+ 3=0. 综上所述, 所求直线方程为 x+ 3=0 或 x- 3 y+ 3=0.

题型二 例2

求直线的方程

求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相 等; (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的 1 斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6 =0 相交于 B 点且|AB|=5.

思维启迪:选择适当的直线方程形式,把所 需要的条件求出即可.



(1)方法一

设直线 l 在 x, 轴上的截 y

距均为 a,若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

方法二 k≠0,

由题意,所求直线的斜率 k 存在且

设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k, k 2 2 由已知 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , k 3 ∴直线 l 的方程为: 2 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.

(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0.

(3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. ?x=1 ? 解方程组? , ?2x+y-6=0 ? 求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1), ?2x+y-6=0 ? 解方程组? ?y+1=k?x-1? ?

? k+7 ?x= ? k+2 得两直线交点为? ? 4k-2 ?y= k+2 ?

.

(k≠-2,否则与已知直线平行).
?k+7 4k-2? ? , 则 B 点坐标为? ? ?. ?k+2 k+2 ? ?k+7 ? ?4k-2 ? -1?2+? +1?2=52, 由已知? ? ? k+2 ? ? k+2 ? ? ? ?

3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

探究提高

在求直线方程时,应先选择适当的

直线方程的形式,并注意各种形式的适用条 件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存 在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的 直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分 类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式, 应先考虑斜率不存在的情况.

变式训练 2 在△ABC 中,已知 A(5,-2)、 B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边 的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程.

解 BC

? ? ?5+x0 y0-2? (1)设 C(x0,0), AC 中点 M? y 则 ?, , 2 ? ? 2 ? 7+x0 y0+3? ? 中点 N? ? ?. , 2 ? ? 2

5+x0 ∵M 在 y 轴上,∴ =0,x0=-5. 2 y0+3 ∵N 在 x 轴上,∴ =0,y0=-3,即 2 C(-5,-3). ? 5? ? (2)∵M?0,-2?,N(1,0). ? ? ? x y ∴直线 MN 的方程为 + =1. 1 5 - 2 即 5x-2y-5=0.

题型三

直线方程的综合应用

例 3 直线 l 经过点 P(3,2),且与 x、y 轴的正半 轴交于 A、 两点, B 且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点),求直线 l 的方程.

思维启迪:将面积看作截距 a、b 的函数, 求函数的最小值即可.



x y 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0, a b 6 ,得 ab

b>0), 3 2 点 P(3,2) 代 入 得 + = 1≥2 a b ab≥24, 1 3 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号 2 a b b 2 成立,这时 k=- =- ,从而所求直线方 a 3 程为 2x+3y-12=0.

x y 方法二 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), a b 3 2 2a 点 P(3,2)代入得 + =1,解得 b= a b a-3 1 a2 9 (a>3),则 S△AOB= ab= =(a-3)+ 2 a-3 a-3 9 +6≥12, 当且仅当 a-3= 即 a=6 时等 a-3 x 号成立, 这时 b=4, 从而所求直线方程为 + 6 y =1,即 2x+3y-12=0. 4

探究提高

求直线方程最常用的方法是待定

系数法,本题所要求的直线过定点,设直线方 程的点斜式,由另一条件确定斜率,思路顺理 成章,而方法一和方法二联系已知条件与相关 知识,新颖独特,需要较高的逻辑思维能力和 分析问题、解决问题的能力.

变式训练 3 已知直线 l 经过点 P(-5,-4),且 与两坐标轴围成的三角形面积为 5,求直线 l 的方程.

由题意知直线不过原点, 且与两坐标轴都相交, x y 可设直线 l 的方程为a+b=1, ∵直线 l 过点 P(-5,-4), -5 -4 ∴ a + b =1,即 4a+5b=-ab. 1 又由已知有2|a|· |b|=5,即|ab|=10, 5 ? ?4a+5b=-ab, ?a=- , ? 2 解方程组? 得? 或 ?|ab|=10 ? ?b=4 ?
?a=5, ? ? ?b=-2. ?



y x y 故所求直线 l 的方程为 5+4=1 或5+ =1. -2 -2 即 8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0.

x

思想与方法 13.求直线方程时,要根据斜率存在与否进行 分类讨论
试题:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 x 轴、 轴的正半轴上, 点与坐标原点重合.将 y A 矩形折叠,使 A 点落在线 DC 上.若折痕所在 直线的斜率为 k, 试写出折痕所在直线的方程.

审题视角

(1)题目已告诉直线斜率为 k, 即斜

率存在.(2)从题意上看,斜率 k 可以为 0,也 可以不为 0,所以要分类讨论.

规范解答 解 1 (1)当 k=0 时, 此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程为 y= .[2 2

分] (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 C D 上的点为 G (a,1),[4 分] 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kA G ·k=-1, k=-1?a=-k. [6 分] a 故 G 点坐标为 G (-k,1), 从而折痕所在的直线与 A G 的交点坐标(线段 A G
? ? ? k 1? 的中点)为 M ?- , ?. ? 2 2?

[8 分]

1 ? k? 折痕所在的直线方程为 y- =k?x+ ?, 2 ? 2? 2 ? ? k 1 即 y=kx+ + . 2 2 k2 1 1 ∴k=0 时,y= ;k≠0 时,y=kx+ + . 2 2 2

[10 分] [12 分]

批阅笔记

(1)求直线方程时, 要考虑对斜率

是否存在、截距相等时是否为零以及相关位 置关系进行分类讨论. (2)本题是对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨 论.易错点是忽略 k=0 的情况.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率 公式: k= y2-y1 x2-x1 时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. x1=x2, 1≠y2 当 y 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90°. 2.求斜率可用 k=tan α (α ≠90°),其中 α 为倾斜角,由此可 见倾斜角与斜率相互联系不可分割, 牢记: “斜率变化分两段, 90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方 程中的系数,这种方法叫待定系数法. , 该公式与两点顺序无关, 已知两点坐标(x1≠x2)

失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存 在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条 直线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的 范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3. 利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向 向量为(-B,A)不可记错,但同时注意方向 向量是不唯一的.
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