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1.4-命题的形式及等价关系(3)



1.4-命题的形式及等价关系(3)
The Forms of Propositions and Equivalent Relationship

目标与要求 准备与导入 探究与深化

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〔教学目标〕 知识与技能 1.掌握命题的四种形式及等价命题。 2.能构判断各

种形式的命题的真假关系;掌握等价命 题转化的方法和条件。 过程与方法 1.命题——逆命题——否命题——逆否命题——等价 命题——应用举例和练习。 2.方法:讲练结合法。 情感态度与价值观 通过命题间的转化体会事物间的内在联系;通过等 价命题的转化转移矛盾体会数学的内在美。
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〔学习要求 〕

1.寻找四种命题间哪些命题是同真同假
的关系 。 2.理解等价命题的概念。 3.会用等价命题的定义进行命题转化。

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〔准备与导入一〕
1、问题:

(1-1)

上一节课,我们学习了命题的四种形式。 原命题:“如果α,那么β”。那么,它的逆命题、否 命题及逆否命题分别是什么?
2、研究:

任务1:分析原命题及其逆命题的真假,总结规律。 任务2:分析原命题及其否命题的真假,总结规律。
任务3:分析原命题及其逆否命题的真假,总结规律。

任务4:分析否命题及逆命题的真假,总结规律。
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〔准备与导入二〕

判断下列命题的真假

(2-1)

原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线 垂直。 真 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正 方形。 假 否命题:若四边形不是正方形,则它的两对角线 不垂直 假 逆否命题:若四边形两对角线不垂直,则四边形不 是正方形 真 思考:你发现了什么规律?
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〔准备与导入二〕

判断下列命题的真假

(2-2)

原命题:若a>b,则ac2>bc2 逆命题: 若ac2>bc2,则a>b




否命题: 若a≤b,则ac? ≤bc? 真 ,则a≤b 逆否命题: 若ac? ≤bc? 思考:你发现了什么规律? 假

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〔探究与深化一〕

(2-1)

问题:在前的讨论中你发现了什么规律? 你是否发现互为逆否的两个命题是同真 或同假的? 在前面的讨论中,你是否发现逆命题与 否命题也是互为逆否的命题?

一般地:原命题与它的逆否命题是同真或
同假的两个命题。

逆命题与否命题是同真或同假的两个命题。
原命题的真假与逆命题的真假之间没有关系。

原命题的真假与否命题的真假之间没有关系。
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〔探究与深化一〕

(2-2)

四种命题之间的关系 原命题 逆命题

否命题

逆否命题

互为逆否的两个命题同真同假 互逆或互否的两个命题间的真假关系没有必 然的联系
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〔探究与深化二〕

(1-1)

设A、B是两个命题,如果 A ? B, B ? A ,那么 A、B叫做等价命题。 问题:四种命题之间,哪些命题是等价的关系? 原命题与逆否命题是等价命题; 逆命题与否命题是等价命题; 思考:你是否可以大致分辨出何时用等价命题 来回答问题? 特别:当我们证明某个命题有困难时,就 可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题。
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〔探究与深化三〕

(2-1)

例如:已知BD、CE分别是 ?ABC 的?B, ?C 的角平分 线, AB ? AC BD ? CE,求证: 分析:本题的条件与结论中有BD ? CE AB ? AC A 的不等关系,像这种问题如果 E 直接证明比较困难,有时可考 虑去证明原命题的逆否命题。 1 2 B
本题的逆否命题是:如果AB=AC,那么BD=CE 证明:∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB 又∵BD、CE是∠ABC、 ∠ACB 平分线∴∠1=∠2, 又∵∠ACB=∠ABC,BC=CB ∴△BCD≌△CBE,于是BD=CE。故原命题得证。
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D
C

〔探究与深化三〕

(2-2)

说明:一般地,若某一命题是以否定式给出的, 要证明其正确,通常用它的逆否命题来代替

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〔练习与评价一〕

(2-1)

1、选择题 (1)与命题“能被6整除的整数,一定能被2整除”等价 D 的命题是 A:能被2整除的整数,一定能被6整除; B:不能被6整除的整数,一定不能被2整除; C:不能被6整除的整数,不一定能被2整除; D:不能被2整除的整数,一定不能被6整除。

b ? M ”等价的命题 C a ? M ,那么 (2)与命题“如果 a ? M或b? M ; A:如果b ? M,那么a ? M B: 是 C:如果b ? M,那么a ? M D:如果a ? M,那么b ? M


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〔练习与评价一〕

(2-2)

(3)命题:“所有男学生都爱踢足球” 的否命题是 C A:没有男生爱踢足球; B:所有男学生都不爱踢足球; C:至少有一个男学生不爱踢足球; D:所有女学生都爱踢足球。

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〔练习与评价二〕

(1-1)

2、简答题 (1)写出原命题为“矩形的对角线相等”的逆命题、 否 命题、逆否命题,且指出哪些是正确的。 假 假 逆命题:对角线长相等的四边形是矩形 真 否命题:不是矩形的四边形对角线长不相等。 逆否命题:对角线长不相等的四边形不是矩形。 (2)写出原命题“如果A?B,那么A∪B=B”的否命题, 且指出其真假。 否命题:如果A ? B,那么A∪B≠B 真

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〔练习与评价三〕

(1-1)

3、已知BD、CE分别是 ?ABC 的AC、AB边上的中线, 且BD ? CE ,求证: AB ? AC 该命题的等价命题是:如果AB=AC,那么BD=CE
A

证明:∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB E 又 ∵BD、CE是AB、AC边上的中线 1 ∴AE=CD, 又∵∠ABC=∠ACB, B BC=CB ∴△BCE≌△CBD,于是CE=BD。 故原命题得证。

D
2

C

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〔回顾与小结〕

(1-1)

小结:这节课我们主要学习了哪些知识?哪些思想 方法?请你说说看。 1、等价命题的概念 2、原命题与逆否命题是等价命题; 逆命题与否命题是等价命题;

3、会用等价命题进行命题等价转化;
4、掌握了四种命题之间的关系;

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〔作业与拓展一〕

作业

(2-1)

1、原命题“菱形的对角线必互相垂直”,则下列说法正 B 确的是 A:逆命题与否命题正确 B:原命题与逆否命题正确 C:逆命题与逆否命题正确 D:原命题与逆命题正确 2、已知N、Z分别表示自然数集和整数集,命题“若 D x∈N,则x∈Z”的逆否命题是 A:若x?Z,则x?N B:若x∈Z,则x∈N C:若x?Z,则x∈N D:若x?N,则x?Z D 3、命题“所有男学生都爱上网”的否命题是 A:没有男学生爱上网 B:所有男学生都不爱上网 C:所有女学生都爱上网D:至少有一个男学生不爱上网
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〔作业与拓展二〕

拓展

(2-2)

依据你所学的知识,请你研究下面的一个 问题,并给出回答。 问题:“若a+b不是偶数,则a、b一定不全是奇 数”。这个命题是真?是假?请说明理由。

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