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2017《教与学》中考全程复习导练第27课 轴对称、平移和旋转



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年

1. 轴对称和轴 对称图形 2.平移 3.旋转 4.中心对称和 中心对称图 形

温州T14,5分 宁波T20,8分 湖州T2,3分 湖州T24,12分 台州T12,5分 台州T15,5分 金华T21,8分 绍兴、义乌T3,4分 嘉兴、舟山T2,3分

杭州T3,3分 温州T4,3分 宁波T10,4分 宁波T12,4分 丽水T10,3分 绍兴、义乌T23,12分 嘉兴、舟山T2,4分 嘉兴、舟山T22,12分

杭州T22,12分 绍兴T9,4分 宁波T3,4分 台州T10,4分 台州T12,5分 舟山T7,3分 舟山T14,4分 嘉兴、舟山T9,4分

考点一 轴对称和轴对称图形
考点清单
1.由一个图形变为另一个图形,并使这两个图形沿某一 条直线折叠后能够互相重合,这样的图形改变叫作图 形的轴对称,这条直线叫作对称轴.

2.如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两侧的部 分能够互相重合,那么这个图形叫作轴对称图形,这 条直线叫作对称轴.

3.图形的轴对称的性质: (1)成轴对称的两个图形是全等图形. (2)对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
(3)对应线段相等,对应角相等. 4.轴对称图形的性质: (1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分. (2)对应线段相等,对应角相等.

要点点拨
1.图形的轴对称是指两个图形关于某条直线对称,是两 个图形特殊的位置关系;轴对称图形是指一个图形本 身具有的特性;轴对称变换是指由一个图形得到它的 轴对称图形的过程. 2.轴对称作图时,关键是画出原图形各顶点的对应点. 主要步骤为:首先过各顶点向对称轴引垂线并延长, 再在延长线上取对应点,使之与垂足间的线段长度等 于垂足与各顶点间的线段长度,最后连结所得到的对 应点.

3.折叠问题的实质是轴对称问题,折痕就是对称轴.折 叠问题中,常借助方程来解决线段间的数量关系. 4.利用轴对称还可以解决在直线上找一点,使它到直线 同侧两点距离之和最小这类常见问题.
特别关注 判断一个图形是不是轴对称图形,关键是看

能否找到至少 1 条直线,使该图形沿着这条直线对折后, 直线两侧的部分能够完全重合.若找得到,则是轴对称图 形;若找不到,则不是.

【典例 1】 (2016· 广西百色)如图 27-1, 正三角形 ABC 的边长为 2, 过点 B 的直线 l⊥AB,且△ ABC 与△ A′BC′关于直线 l 对称,D 为 线段 BC′上一动点,则 AD+CD 的最小值是 ( ) A. 4 B. 3 2 C. 2 3 D. 2+ 3
【点评】 本题主要考查轴对称图形的知识,根据轴对称 的性质正确作出点 D 是解题的关键.

【解析】 如解图,连结 CC′. 易得△ CBC′≌△A′BC′,即点 C 与点 A′关于 C′B 对称, 则 A′A 与 C′B 的交点 B 即为 AD+CD 取得最小值时点 D 的位置,此时 AD+CD=4.

【答案】 A

(典例 1 解)

考点二 平移
考点清单
1.平移的概念: 一个图形整体沿着一条直线的方向平行移动一段距离 叫作平移. 2.平移的性质: (1)平移变换不改变图形的形状、大小和方向. (2)连结对应点的线段平行(或在同一条直线上)而且相 等.

要点点拨
1.平移作图的步骤和方法: (1)弄清题目要求,确定平移的方向和移动的距离. (2)找出构成图形的关键点. (3)沿一定的方向,按一定的距离平移各个关键点. (4)连结所作的各个关键点,并标上相应字母. (5)写出结论. 2.图形连续经过两次轴对称(两条对称轴相互平行)得到 的图形可以看作是由原图形经过一次平移得到的.

特别关注

1.要描述一个平移变换,必须指出平移的方

向和移动的距离. 2.画平移图形的依据是平移的性质.

【典例 2】 (2016· 山东济宁)如图 27-2,将△ ABE 向右平 移 2 cm 得到△ DCF.如果△ ABE 的周长是 16 cm,那 么四边形 ABFD 的周长是 ( ) A. 16 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 21 cm

图 272

【点评】 本题主要考查平移的性质,解题的关键是知道 平移的距离即为线段 AD,EF 的长.

【解析】 ∵△ABE 向右平移 2 cm 得到△ DCF, ∴EF=AD=2 cm,AE=DF. ∵△ABE 的周长为 16 cm,∴AB+BE+AE=16 cm, ∴四边形 ABFD 的周长=AB+BE+EF+DF+AD =AB+BE+AE+EF+AD=20 cm.

【答案】 C

考点三 旋转
考点清单
1.旋转的定义: 在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一 个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点叫作 旋 转中心. 2.旋转的性质: (1)旋转变换不改变图形的形状和大小. (2)对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与 旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. (3)对应线段相等,对应角相等.

要点点拨
旋转作图的步骤和方法: (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角. (2)找出图形的关键点. (3)将图形的关键点和旋转中心连结起来, 然后按旋转方向 分别将它们旋转一个旋转角的度数, 得到这些关键点的 对应点. (4)按原图形顺次连结这些对应点, 所得到的图形就是旋转 后的图形.

特别关注

1.在描述旋转时,必须指出它是按顺时针还

是逆时针旋转多少度,不能只说旋转多少度.
2.旋转不改变图形的形状与大小,利用旋转证明或计算 时要抓住旋转角相等,对应点到旋转中心距离相等这 些性质.

【典例 3】 (2016· 山东潍坊)如图 27-3, 在菱形 ABCD 中, AB=2,∠BAD=60° ,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, DF⊥BC 于点 F. (1)如图①,连结 AC, 分别交 DE,DF 于 点 M,N,求证: 1 MN= AC. 3 (2)如图②,将△ EDF 以点 D 为旋转中心 旋转,其两边 DE′,DF′分别与直线 AB,BC 相交 于点 G, P, 连结 GP, 当△ DGP 的面积等于 3 3时, 求旋转角的大小并指明旋转方向.

【点评】 本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定 与性质,通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键.

【解析】 (1)如解图,连结 BD,交 AC 于点 O. 在菱形 ABCD 中,∵∠BAD=60° ,AD=AB, ∴△ABD 为等边三角形. ∵DE⊥AB,∴AE=EB. AM AE 1 ∵AB∥DC,∴MC=DC= . 2 CN 1 1 同理,AN= ,∴MN= AC. 2 3

(2)∵AB∥DC,∠BAD=60° ,∴∠ADC=120° ,∠BCD=60° , ∴∠ADE=∠CDF=30° ,∴∠EDF=60° . 当∠EDF 顺时针旋转时,由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP, ∠GDP=∠EDF=60° , DE=DF= 3,∠DEG=∠DFP=90° . ?∠GDE=∠PDF, ? 在△ DEG 和△ DFP 中,∵?DE=DF, ?∠DEG=∠DFP, ? ∴△DEG≌△DFP(ASA),∴DG=DP, ∴△DGP 为等边三角形, 3 DE 1 ∴S△ DGP= DG2=3 3,解得 DG=2 3,则 cos∠EDG=DG= , 4 2 ∴∠EDG=60° ,∴当顺时针旋转 60° 时,S△ DGP=3 3. 同理可得,当逆时针旋转 60° 时,△ DGP 的面积也等于 3 3. 综上所述,将△ EDF 以点 D 为旋转中心,顺时针或逆时针旋转 60° 时,S△ DGP=3 3.

考点四 中心对称和中心对称图形
考点清单
1.如果一个图形绕着某一个点旋转 180° 后,能够和另外 一个图形互相重合,我们就称这两个图形关于这一点 成中心对称,这个点叫作对称中心,这两个图形中的 对应点叫作关于对称中心的对称点. 2.关于某一点中心对称的两个图形的对称点所连线段都 经过对称中心,且被对称中心平分.关于某一点中心 对称的两个图形是全等图形. 3.如果一个图形绕着一个点旋转 180° 后,所得到的图形 能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫作 中心 对称图形,这个点叫对称中心.

要点点拨
成中心对称是两个图形的特殊位置关系, 而中心对称 图形是指一个图形本身具有的特性.
特别关注 特别注意:等边三角形不是中心对称图形.

【典例 4】 (2016· 浙江湖州)为了迎接杭州 G20 峰会,某 校开展了设计“YJG20”图标的活动.下列图标中,既 是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )

【点评】 本题主要考查对轴对称图形和中心对称图形的

识别,根据中心对称图形的概念找对称中心是解题的关 键.

【解析】 A.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故 错误; B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故错误; C.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故错误; D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故正确. 故选 D.

【答案】 D

本课考点的考查以基础题和稍难题为主, 轴对称图形 与中心对称图形的识别一般单独考查, 其余一般都会结合 图形的一些性质综合考查. 本课的难点在于折叠问题与旋 转问题,在压轴题中经常出现.在最短路径问题和折叠问 题中,常用到转化思想.

【例 1】 (2016· 江苏无锡)下列图案中,是轴对称图形, 但不是 中心对称图形的是 ( ) ..

【解析】 A 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故正

确; B 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故错误; C 既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故错误; D 不是轴对称图形,但是中心对称图形,故错误. 故选 A.
【答案】 A

【例 2】 (2015· 浙江丽水)如图 274, 在 方格纸中,线段 a,b,c,d 的端点 在格点上,通过平移其中两条线段, 使得和第三条线段首尾相接组成三 角形, 则能组成三角形的不同平移方 法有 ( ) A. 3 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 12 种

【解析】 由题图,根据勾股定理 可得: a= 2,b= 5,c=2 5,d= 5. ∵a+b<c,a+d<c,b+d=c,b- a<d<b+a, ∴根据三角形构成条件,只有 a,b, d 三条线段首尾相接能组成三角形, 如解图所示. 通过平移 a,b,d 中的两条线段, 使得和第三条线段首尾相接组成三 角形,能组成三角形的不同平移方 法有 6 种. 【答案】 B

【例 3】 (2016· 浙江温州)如图 275, 将△ ABC 绕点 C 按顺时针方向旋 转至△ A′B′C, 使点 A′落在 BC 的 延长线上.已知∠A=27° ,∠B =40° ,则∠ACB′=____.
【解析】 ∵∠A=27° ,∠B=40° , ∴∠ACA′=∠A+∠B=27° +40° =67° . ∵△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转至△ A′B′C, ∴△ABC≌△A′B′C,∴∠ACB=∠A′CB′, ∴∠ACB-∠B′CA=∠A′CB′-∠B′CA,即∠BCB′= ∠ACA′, ∴∠BCB′=67° , ∴∠ACB′=180° -∠ACA′-∠BCB′=180° -67° -67° =46° .

【答案】 46°

【例 4】 (2016· 湖北十堰)如图 276,将矩形纸片 ABCD(AD>AB)折叠,使点 C 刚好落在线段 AD 上, 且折痕分别与边 BC,AD 相交.设折叠后点 C,D 的 对应点分别为 G,H,折痕分别与边 BC,AD 相交于 点 E,F. (1)判断四边形 CEGF 的形状,并证明你的结论. (2)若 AB=3,BC=9,求线段 CE 的取值范围.

图 276

提 示

(2)当点 F 与点 D 重合时,CE 取最小值;当点 G

与点 A 重合时,CE 取最大值.
【解析】 (1)四边形 CEGF 为菱形.证明如下:

∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC. 由折叠的性质知,∠GEF=∠FEC, ∴∠GFE=∠GEF,∴GF=GE. 又∵GE=EC,∴GF‖EC, ∴四边形 CEGF 为菱形.

(2)如解图①,当点 F 与点 D 重合时,CE 取最小值, 易得此时四边形 CEGD 是正方形, ∴CE=CD=AB=3.

(例 4 解)

如解图②,当点 G 与点 A 重合时,CE 取最大值, 由折叠的性质,得 AE=CE. ∵∠B=90° ,∴AE2=AB2+BE2,即 CE2=32+(9-CE)2, ∴CE=5. 综上所述,线段 CE 的取值范围是 3≤CE≤5.

按时完成考点达标训练27(训练一,A本P44~P45; 训练二,B本P46~P47),全面提升自我!

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