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高中数学精华定理



[定理 1]:在三角形中[关键前提],a>b>c 是 sinA>sinB>sinC 的充分必要条件。[这是选择题 常考的一个典型知识点 [定理 2]在三角形中,若 sinA>sinB,则 B 必定为锐角,A 待定。[记忆方法:由正弦知 a>b, 根据“大角对大边”原则知 A>B,显然在三角形中,B 角不可能为钝角或者直角,所以必为 锐角。记忆口诀:正

弦小为锐] [定理 3]:(sina)^2-(sinb)^2=sin(a+b)sin(a-b)[注:首先不要怀疑这个定理的正确性,真理就 是真理,这个定理可以运用于求某个三角形是何种三角形,证明方法:令 a= [(a+b)/2]+[(a-b)/2],b=[(a+b)/2-(a-b)/2] [定理 4]:在复数范围内,1 的 n 次方根必有 n 根。[它的解体现在复数平面内的单位圆与其 n 等分线的交点上] [定理 5]空间四面体[凸形]必有内切球,必有外接球。[这个结论有可能出现在组合型选择题 中] [定理 6]:根据 tana 求 cosa,sina 的快速方法是:构造一个直角三角形。[注:正负根据 tana 待定] [定理 7]:sin18 度=(√5-1)/4,[简单记忆为:黄金比的一半];tan15 度=2-√3;tan75 度= 2+√3;√5≈2.236。[知道这些常数只是为了加快计算速度] [定理 8]: 非 p 是非 q 的必要不充分条件等价于 q 是 p 的必要不充分条件[这个结论的价值是: 一般不考虑非 p 和非 q 的内容是什么,而是先转化到 p 与 q 之间的关系,而且这样不容易 出错] [定理 9]:在等差数列中,Sn=na 中[当 n 为奇数时]。[注:na 中的意思是 n 倍中间项举例说 明:S7=7a4(第一个 7 与 4 为下角标]。强调:一定是在等差数列中。 [定理 10]:在等差数列中,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq;反之,也成立。[这个定 理的价值在于后半部分的利用,有些题目如果灵活一点有可能在此挖心思]说明:上述定理 可以推广成多项。 [定理 11]:关于如何得到圆锥曲线中的椭圆,双曲线,抛物线:1,椭圆。所截平面与圆锥 底面成 x 角,[0<x<90 度],左右切尽,构成封闭截面就是椭圆;2,双曲线:所截平面垂 直圆锥底面[排除过顶点切的这种情况,这种情况的截面是三角形];3:抛物线:所截平面 平行于圆锥母线。 [定理 12]:法向量有两种[一正一负]。[注意答题,回答一种是错的] [定理 13]: 射影公式: 向量 a 在向量 b 上的射影=(向量 a×向量 b)[即数量积]/(向量 b 的模)。 [记忆方法:在哪里射影除哪个的模,分子都是数量积] 说明:射影有正负。 [定理 14]:椭圆焦点在 x 轴的表达形式:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)(a^2=b^2+c^2),焦 点 在 y 轴 , y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1(a>b>0)(a^2 = b^2+c)^2 ; ◆ ◆ 双 曲 线 焦 点 在 x 轴 : x^2/a^2-y^2/b^2 =1(a>0 ,b>0)(c^2 = a^2+ b^2) ,焦点在 y 轴: y^2/a^2-x^2/b^2 =1(a>0 , b>0)(c^2=a^2+b^2)。[别看这个很基础,有些人只要一把焦点转到 y 轴就开始糊涂了,等 式和方程无法对应起来,现在整理出来,请务必搞懂] [定理 15]: 已知三角形三点坐标求其面积的方法: 任取其中两个点得到一条向量 m=(a, b), 再任取两个点得到一条向量 n=(x,y),则 S=∣ay-bx∣/2.[记忆方法:对角相乘相减再除 2. 证明方法:略 [定理 16]:已知双曲线表达式求其渐近线的快速方法:令右边为 0 即可。[举例说明:已知 后双曲线(y^2)/3-x^2=1,令右边为 0 有:(y^2)/3=x^2,所以渐近线为 y=√3x,或者 y=√3x.] [定理 17]:异面直线的公垂线有无数条,与两条异面直线都相交的公垂线有且仅有 1 条。 [定理 18]:空间四面体的重心公式[(x1+x2+x3+x4)/4,(y1+y2+y3+y4)/4,(z1+z2+z3+z4)/4] [定

理 19]:若一个集[和谐]合含有 n(n 为正整数)个元素,它的子集为 2^n 个,它的非空子集为 (2^n)-1 个,它的真子集(2^n)-1 个,它的非空真子集为(2^n)-2 个 [定理 20]:直观图的面积是原图面积的√2/4 倍.[斜二测画法是一个冷门,但不要忘记掌握 它的画法] [定理 21]正四面体的棱长为 a,则必有以下结论:它的高为 h=(√6)a/3,它的外接球的半径 R=3h/4, 它的内切球的半径 r=h/4, 它的体积 V=[(√2)a^3]/12, 它的任意两对棱间的距离 d=(√ 2)a/2。[同学们有兴趣的可以自己推导:外接构造直角三角形,内切利用等体积。公式写在 笔记本上会整洁哦,这里为了不引起歧义以及编辑工具的问题所以有点繁琐,敬请谅解] [ 定 理 22] : 若 长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 顶 点 的 三 条 棱 所 成 角 分 别 为 a.b.c. 必 有 (cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1. [定理 23]对于 a(n+1)=ban+d 的构造,首先写出基本形式 a(n+1)+x=b(an+x),则 x=d/(b-1), 轻易构 造新等比数列。[对于这个也有利用特征根方程的做法,怕你们弄糊了,在此不介绍] [定理 24]:有理根定理:设 f(x)=anx^n+...+a1x+a0 ∈Z(x),其中 an≠0。如果 c =s / t 是 f(x) 的根,其中 s、t∈Z 且(s,t)=1,则 t 整除 an,且 s 整除 a0.[不作很大要求,不懂也没关系] [定理 25]:注意点:a.周期函数,周期必无限 b.周期函数未必存在最小正周期 ,如:常数 函数 。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数,如:y=sinx 与 y=sin 派 x 相加不是周期 函数。 [定理 26]: 若等差数列的前 n 项和为 Sn, 则 Sm , S2m-Sm, S3m-S2m, ?为等差数列; 等比数列的前 n 项和为 Sn ,则在公比不等于-1 时,Sm,S2m -Sm,S3m-S2m ,?成 等比数列。[强调 q 不等于-1] [定理 27]:等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+(q^m) S(n) [作用:可以迅速求 q.记忆方法: 中间三个都是 m,头尾保持为 n] [定理 28]:适用条件:[直线过焦点],必有 ecosA=(x-1)/(x+1) ,其中 A 为直线与焦点 所在轴夹角,是锐角 。x 为分离比 ,必须大于 1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦 点内分(指的是焦点在所截线段上), 用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边 为(x+1)/(x-1),其他不变。 [定理 29]:[请务必搞懂下面这两个恒等式]关于对称问题 1,若在 R 上(下同)满足:f(a +x)=f(b-x)恒成立, 对称轴为 x=(a+b)/2,◆◆◆2、函数 y=f(a+x) 与 y=f(b -x)的图像关于 x=(b-a)/2 对称。[记忆方法:第一个:左右括号内相加除。第二个: 令左括号内式=右括号内式,解出 x 即为对称轴] [定理 30]:关于函数奇偶性 1、对于属于 R 上的奇函数有 f(0)=0 ;2、对于含参函数, 奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项。 [举例说明:若 f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx +e 为奇函数,必有 a=0,c=0,e=0.(常数项可以看成是 x^0,归为偶次方项处理);若该函数 是偶函数,则 b=0,d=0] [定理 31]: 数列的终极利器, (如果看不懂就算了) 。 首先介绍公式: 对于 a(n+1)=pan+q , a1 已知,那么特征根 x=q/(1-p) ,则数列通项公式为 an=(a1-x)p^(n-1)+x ,这 是一阶特征根方程的运用。[说明:这与前面的那个构造求法是不一样(我想说的是两个 x 不 一样), 请不要误会。 看你习惯选择用哪一个啦, 但千万不要混淆] [定理 32]: 关于三次函数: [三次函数曲线是中心对称图形],它有一个对称中心,求法为二阶导后导数为 0,根 x 即为 中心横坐标,纵坐标可以用 x 带入原函数界定。另外,图像中必有唯一一条过该中心的直线 与两旁相切。 [定理 33]:关于复合函数:1、复合函数奇偶性:内偶则偶,内奇同外 2,复合函数单调性: 同增异减。[说明:对于复合函数,不要畏惧它有几重复合,关键理解在于每个函数总是基 函数得来的]



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