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第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用



第4讲

正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

【2013 年高考会这样考】 1.考查正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ωx+φ)的图象的两种变换途径. 【复习指导】 本讲复习时,重点掌握正弦型函

数 y=Asin(ωx+φ)的图象的“五点”作图法,图 象的三种变换方法,以及利用三角函数的性质解决有关问题.

基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做 2π 1 振幅,T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形, 具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+2,k∈Z)成轴

对称图形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ, k∈Z)成中心对称图 形.

一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= M+m 2π = 2 ,ω 由周期 T 确定,即由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定. 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换 再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位 |φ| 变换,平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而 言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象, 就可根据周期性作出整个函数的图象. 双基自测 π? ? 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin?2x-4? 的振幅、频率和初相分别为( ? ? 1 π A.2,π,-4 1 π C.2,π,-8 答案 A π? ? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|<2?的部分图象如图所示,则该简谐运动的 ? ? 最小正周期 T 和初相 φ 分别为( ). 1 π B.2,2π,-4 1 π D.2,2π,-8 ). M-m 2 ,k

π A.T=6π,φ=6 π C.T=6,φ=6 解析

π B.T=6π,φ=3 π D.T=6,φ=3

π 由题图象知 T=2(4-1)=6?ω= 3 ,由图象过点(1,2)且 A=2,可得

π π ?π ? sin?3×1+φ?=1,又|φ|< ,得 φ= . 2 6 ? ? 答案 C π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移2个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为( A.-sin x B.sin x ). C.-cos x D.cos x

? π? 解析 由图象的平移得 g(x)=cos?x+2?=-sin x. ? ? 答案 A π? 4π ? 4.设 ω>0,函数 y=sin?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重合, ? ? 则 ω 的最小值是( 2 A.3 解析 4 B.3 3 C.2 D.3 ).

π? 4π ? ? 4π? π? ? y=sin?ωx+3?+2 向右平移 3 个单位后得到 y1=sin?ω?x- 3 ?+3?+2= ? ? ? ? ? ?

π 4π ? 4π ? sin?ωx+3- 3 ω?+2,又 y 与 y1 的图象重合,则- 3 ω=2kπ(k∈Z). ? ? 3 ∴ω=-2k.又 ω>0,k∈Z, 3 ∴当 k=-1 时,ω 取最小值为2,故选 C. 答案 C 5.(2011· 重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω =________.

T 2 π π 4 2π 3 解析 由题意设函数周期为 T,则 4=3π-3=3,故 T=3π.∴ω= T =2. 3 答案 2

考向一

作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

π ? ? ?π? 【例 1】?设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4? ? ? ? ? 3 =2. (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. [审题视点] (1)由已知条件可求 ω,φ; (2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π].

2π 解 (1)周期 T= ω =π,∴ω=2, π 3 ?π? ? ? ?π ? ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= 2 , ? ? ? ? ? ? π π ∵-2<φ<0,∴φ=-3. π? ? (2)由(1)知 f(x)=cos?2x-3?,列表如下: ? ? π 2x-3 π -3 0 π 2 π 3 2π 5 3π

x f(x) 图象如图:

0 1 2

π 6 1

5 12π 0

2 3π -1

11 12π 0

π 1 2

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线 即可. (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者 φ? ? 可利用 ωx+φ=ω?x+ω?来确定平移单位. ? ? ?1 π? 【训练 1】 已知函数 f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ? (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 解 (1)列表取值: x 1 π 2x-4 f(x) π 2 0 0 3 2π π 2 3 5 2π π 0 7 2π 3 2π -3 9 2π 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移4个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来 的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

考向二

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】?(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部 分图象如图所示,则 f(0)的值是________.

[审题视点] 由最高、最低点确定 A,由周期确定 ω,然后由图象过的特殊点确定 φ. T 7π π π π 解析 由图可知:A= 2, 4=12-3=4,所以 T=2kπ+π,∴φ=2kπ+3,令 k 2π π π ?π ? =0,ω= T =2,又函数图象经过点?3,0?,所以 2×3+φ=π,则 φ=3,故函数 ? ? π? π 6 ? 的解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?,所以 f(0)= 2sin3= 2 . ? ? 答案 6 2 解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、 最低点确定 A, 的值, h 函数的周期确定 ω 的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. π 【训练 2】 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<2,ω>0)的图象的一部分如图 所示.

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程. 解 (1)观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω· 0+φ), 1 即 sin φ=2. π π 11 ∵|φ|<2,∴φ=6.又∵12π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零

点, 11π π ∴ 12 ω+6=2π,∴ω=2. π? ? ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π (2)设 2x+6=B,则函数 y=2sin B 的对称轴方程为 π B=2+kπ,k∈Z, π π 即 2x+6=2+kπ(k∈Z), kπ π 解上式得 x= 2 +6(k∈Z), π? kπ π ? ∴f(x)=2sin?2x+6?的对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z). ? ? 考向三 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用

【例 3】?(2012· 西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0 π π <φ<2)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2,且图象上的一个 ?2π ? 最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ? π π? (2)当 x∈?12,2?时,求 f(x)的值域. ? ? [审题视点] 先由图象上的一个最低点确定 A 的值,再由相邻两个交点之间的距 离确定 ω 的值,最后由点 M 在图象上求得 φ 的值,进而得到函数的解析式;先 π 由 x 的范围,求得 2x+6的范围,再求得 f(x)的值域. ?2π ? 解 (1)由最低点为 M? 3 ,-2?,得 A=2. ? ? π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2,得2 =2,即 T=π,所以 ω= T = π = 2π ?2π ? ? ? ?4π ? 2.由点 M? 3 ,-2?在图象上,得 2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1. ? ? ? ? ? ?

4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2,k∈Z,所以 φ=2kπ- 6 (k∈Z). π? π ? 又 φ∈?0,2?,所以 φ=6. ? ? π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π ?π 7π? ? π π? (2)因为 x∈?12,2?,所以 2x+6∈?3, 6 ?. ? ? ? ? π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取得最小值-1. 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. 1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的2个 最小正周期,去求解参数 ω 的值,利用图象的最低点为三角函数最值点,去求 解参数 A 的值等.在求函数值域时,由定义域转化成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+ φ 看作一个整体. 【训练 3】 (2011· 南京模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 ?π ? ?π ? P?12,0?,图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q?3,5?. ? ? ? ?

(1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间. ?π π ? 解 (1)依题意得:A=5,周期 T=4?3-12?=π, ? ? 2π ?π ? ∴ω= π =2.故 y=5sin(2x+φ),又图象过点 P?12,0?, ? ? ?π ? ∴5sin?6+φ?=0, ? ? π π 由已知可得6+φ=0,∴φ=-6 π? ? ∴y=5sin?2x-6?. ? ? π π π (2)由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z,

π π 得:-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z, π π? ? 故函数 f(x)的递增区间为:?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ?

规范解答 8——怎样求解三角函数的最值问题 【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意 其定义域,否则容易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角函数的值域(或最 值)求相关的参数; ③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问 题. 【解决方案】 ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数,可通过引入辅助角 a b ? ? ?,将原式化为 y= a2+b2· φ?cos φ= 2 sin(x+φ)+c 的形 2,sin φ= 2 a +b a +b2? ? 式后,再求值域(或最值);②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 t= sin x,将原式化为二次函数 y=at2+bt+c 的形式,进而在 t∈[-1,1]上求值域(或 最值);③形如 y=asin xcos x+b(sin x± x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos cos 1 x,将原式化为二次函数 y=± a(t2-1)+bt+c 的形式,进而在闭区间 t∈[- 2, 2 2]上求最值. ? π? 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin ?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? 2π ? π π? 首先化为形如 y=Asin(ωx+φ)的形式,由 T= ω 求得:由 x∈?-6,4?, ? ? 求得 ωx+φ 的范围,从而求得最值. ? π? [解答示范] (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ? ? 3 ? 1 =4cos x? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ? = 3sin 2x+2cos2x-1= 3 sin 2x+cos 2x

π? ? =2sin?2x+6?,(4 分) ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π.(6 分) π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 .(8 分) π π π 于是,当 2x+6=2,即 x=6时, f(x)取得最大值 2;(10 分) π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.(12 分) 解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函 数,如二次函数等来解决. π? 5 3 ? 【试一试】 是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+8a-2在闭区间?0,2? ? ? 上的最大值是 1?若存在,求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由. [尝试解答] 1 ? a2 5 1 ? y=-?cos x-2a?2+ 4 +8a-2, ? ?

π 当 0≤x≤2时,0≤cos x≤1,令 t=cos x,则 0≤t≤1,
2 1 ? 1 ? a 5 ∴y=-?t-2a?2+ 4 +8a-2,0≤t≤1. ? ?

a a a 当 0≤2≤1,即 0≤a≤2 时,则当 t=2,即 cos x=2时. a2 5 1 3 ymax= 4 +8a-2=1,解得 a=2或 a=-4(舍去). a 当2<0,即 a<0 时,则当 t=0,即 cos x=0 时, 5 1 12 ymax=8a-2=1,解得 a= 5 (舍去). a 当2>1,即 a>2 时,则当 t=1,即 cos x=1 时, 5 3 20 ymax=a+8a-2=1,解得 a=13(舍去). 3 综上知,存在 a=2符合题意.



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