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河北省邢台市2014—2015学年高一上学期期末考试数学试题



邢台市 2014-2015 学年度第一学期期末考试 高一数学试题
?? 参考公式: b
n n

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

?? x ? x ?
i ?1 i

n

?

? x y ?n? x ? y
i ?1 i i

2

?x
i ?1

n

? . ? ? y ? bx ,a

2 i

? n? x2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、如图所示,全集 U ,集合 ? 与集合 ? 的关系,则集合 ? 中阴影部分为( A. ?U ? ? ?? C. ? 痧 U ?? B. ??U ?? ? )

?

U

??

D. ??U ?? ? ) C.? x x ? 1? D.? x x ? ?1?

2、函数 y ? x ? 1 ? ln ? x ? 1? 的定义域为( A.? x x ? ?1? B.? x x ? 1?

3、已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本的平均数 x ? 3 , y ? 3.5 ,则由 观测的数据得线性回归方程可能为(
? ? 0.4 x ? 2.3 A.y ? ? 2 x ? 2.4 B.y


? ? ?2 x ? 9.5 C.y ? ? ?0.3x ? 4.4 D.y

4、阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 n 的值是( A. 2 C. 4 ) B. 3 D. 5 )

5、把 18 化为二进制数为( A. 10110? 2? C. 11010? 2?

B. 10010? 2? D. 10011? 2?

6、在 18 cm 长的线段 ?? 上任取一点 ? ,并以线段 ?? 为边作正方形,则点 ? 使 得此正方形面积介于 25 cm2 到 81 cm2 之间的概率为( A.
2 9


14 18

B.

4 81
第 1 页 共 9 页

C.

D.

5 18

7、 如图, 点 D 是线段 ? C 的中点,?C ? 6 , 且 ?? ? ?C ? ?? ? ?C , 则 ?D ?( A.
3 2



B. 2 3 D. 6

C. 3

8、甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,则 甲、乙二人相邻的概率为( A.
1 6


1 3

B.

C.

1 2

D.

2 3

9、 若函数 y ? x2 ? 4x ? 4 的定义域为 ?0, m? , 值域为 ??8, ?4? , 则 m 的取值范围是 ( A. ? 2, 4 ? B. ? 2, 4? C. ? 2, 4?



D. ? 2, 4?

10、从某校高一期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名 学生的成绩得到频率分布直方图, 如图所示. 根据频率分 布直方图,估计该次数学考试的平均分为( A. 46 C. 92 11、 已知 x0 是函数 f ? x ? ? 2 x ? A. f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 B. 82 D. 102
1 的一个零点. 若 x1 ? ?1, x0 ? , 则 ( x2 ? ? x0 , ??? , 1? x





B. f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 D. f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0
2

? 12、设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,在 ?0, ??? 上单调递增.若 a ? f ? log ? ? b ? f ? log ?
3

1 ? ?, 3?

1 ? ? , c ? f ? ?2? ,则 a , b , c 的大小关系是( 2?
B. b ? c ? a C. c ? b ? a

) D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 2 : 2 : 3 ,现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 70 的样本,则应从高二年级抽取
第 2 页 共 9 页

名学生.
? 16 ? 14、lg 25 ? lg 2 ? lg 50 ? ? lg 2 ? ? ? ? ? 81 ?
2 3 ?  4

?



15、如图,矩形 ?? CD 的三个顶点 ? , ? , C 分别 在函数 y ? log
2 2

? 2? x, y ? x , y ?? ? 2 ? ? 的图象上, ? ?
1 2

x

且矩形的边分别平行于两坐标轴, 若点 ? 的纵坐标为 2 , 则点 D 的坐标为



16、已知函数 f ? x ? ? e x ? x ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有两个不同的实根,则实数
k 的取值范围是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17、 (本小题满分 10 分)已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2 x, x ? , c ? ? 3,1? .

? ? ? 若 ? a ? b ? //c ,求实数 x 的值; ? ?? ? 若 ? a ? b ? 与 c 的夹角为 45 ,求实数 x 的值.

18、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

? ? ? 求 a 的值; ? ?? ? 求证:函数 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 上是增函数.

a ? 2x ? 1 ? a 为奇函数. 2x ? 1

第 3 页 共 9 页

? a1 x ? b1 y ? c1 19、 (本小题满分 12 分)请写出求二元一次方程组 ? ( a1b2 ? a2b1 ? 0 ) ? a2 x ? b2 y ? c2

的解的算法步骤,并画出相应的程序框图.

20、 (本小题满分 12 分)某中学高一年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加学 科测试,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. ? ? ? 求 x 和 y 的值,并计算甲班 7 位学生成绩的方差 s2 ; 求至少有一名学生是甲班的概 ? ?? ? 从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 率.

21、 (本小题满分 12 分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润 不超过 15 万元时,按销售利润的 10%进行奖励;当销售利润超过 15 万元时,若超 出部分为 ? 万元,则超出部分按 2log5 ? ? ?1? 进行奖励,没超出部分仍按销售利润 单调 10%进行奖励.记奖金总额为 y (单位:万元) ,销售利润为 x (单位:万元) .

? ? ? 写出该公司激励销售人员奖励方案的函数表达式; ? ?? ? 如果业务员老张获得 5.5 万元的奖励,那么他的销售利润是多少万元?

第 4 页 共 9 页

22 、 (本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 4? ? f ? x? ,当

x ??0, 4? 时, f ? x ? ? 2 x?m ? n ,且 f ? 2? ? 6 .

? ? ? 求 m , n 的值; ? ?? ? 当 x ??0, 4? 时,关于 x 的方程 f ? x? ? a ? 2x ? 0 有解,求 a 的取值范围.

第 5 页 共 9 页

邢台市 2014-2015 学年度第一学期期末考试 高一数学试题参考答案
一、选择题 DBABB ACCDC AD 二、填空题 13.20 14. ?

11 8

15. ( , )

1 1 2 4

16. (1, ?? )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解: a ? b ? (2 x ? 1, x ? 1) (I) …………2 分 …………4 分

( a ? b) / / c

? 2 x ? 1 ? 3( x ? 1) ? 0 ? x ? ?2

(II) Q (a ? b ) 与 c 的夹角为 45?

r

r

r

? (a ? b) ? c ? a ? b ? c ? cos 45? …………6 分 c ? 10
2 2
…………8 分 …………10 分

r r Q a ? b ? (2 x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2

? 3(2 x ? 1) ? x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 10 ?
?12 x 2 ? 13 x ? 3 ? 0

1 3 ? x1 ? ? 或 x2 ? ? 3 4 3 1 代入检验, x2 ? ? 舍去? x1 ? ? . 4 3
18.解: f ? x ? ?

a ? 2x ?1 ? a 1 ?a? x x 2 ?1 2 ?1

…………2 分

(Ⅰ)由奇函数定义,得 f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,

1 1 1 ?a? x ? 0 ,解得 a ? ? . ……6 分 2 ?1 2 ?1 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ? x ? ? ? ? x , 2 2 ?1
即a?
?x

设 0 ? x1 ? x2 ? ?? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 2 x1 ? 2 x2 ? ? , …………8 分 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

Q 0 ? x1 ? x2 ,?1 ? 2 x1 ? 2 x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 2 x1 ? 1 ? 0, 2 x2 ? 1 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,…………10 分
第 6 页 共 9 页

所以函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数. 19.解: (I)算法步骤: 第一步,输入 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 ,第二步,计算 x ?

…………12 分

b2 c1 ? b1c2 , a1b2 ? a2b2

第三步,计算 y ?

a1c2 ? a2 c1 ,第四步,输出 x, y . a1b2 ? a2b1

此问 6 分,其中 x , y 表达式正确,各 2 分,输入和输出部分,各 1 分 (II)程序框图

说明:此问不设步骤分,只有 0 分和 6 分. 20.解: (Ⅰ)∵甲班学生的平均分是 85,设甲班中需求学生的成绩为 m …………1 分 …………3 分

?

92 ? 96 ? 80 ? m ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 , ? m ? 85 7 说明:列式中未区分 x 和 m 的扣一分
∵乙班学生成绩的中位数是 83,∴ y ? 3 . 甲班 7 位学生成绩的方差为

∴ x ? 5.

…………4 分

s2 ?

2 2 2 1? ?6 ? ? ? ?7 ? ? ? ?5 ? ? 02 ? 02 ? 7 2 ? 112 ? ? 40 . ? ? ? ? 7?

…………6 分

(Ⅱ)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A, B , 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C , D, E .
第 7 页 共 9 页

…………7 分

从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ? C , D ? , ? C , E ? , ? D, E ? .

…………8 分

其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? .

…………10 分

至少有一名学生是甲班的概率为 ?从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 21.解: (Ⅰ)由题意,得 y ? ?

7 …12 分 10

0.1x, 0 ? x ? 15 ? . 1.5 ? 2 log x ? 14 , x ? 15 ? ? 5 ?

…………6 分

(Ⅱ) Q x ? ? 0,15? 时, 0.1x ? 1.5 , …………8 分 又 y ? 5.5 ? 1.5,? x ? 15 , …………10 分 故 1.5 ? 2 log 5 ? x ? 14 ? ? 5.5 ,解得 x ? 39. 答:业务员老张的销售利润是 39 万元. 22.解: (Ⅰ) Q f ( x ? 4) ? f ( x) 即 2|? m| ? n ? 2|4 ? m| ? n ? m ? 2 …………12 分

? f (0) ? f (4)

…………2 分 …………4 分 …………6 分

Q f (2) ? 6

20 ? n ? 6 ? n ? 5
x

(Ⅱ)由 f ( x) ? a ? 2 ? 0 可得 a ?

2| x ? 2| ? 5 2x

?4(2? x ) 2 ? 5 ? (2? x ), 0 ? x ? 2 2| x ? 2| ? 5 ? 令y? ? ?1 ?x 2x 2 ? x ? 4. ? ? 5? 2 , ?4
⑴当 0 ? x ? 2 时,令 t ? 2? x ,则 t ? [ ,1]

…………8 分

1 4

3 y ? 4t 2 ? 5t ,? y ? [ ,9] 2 1 1 1 9 3 ⑵当 2 ? x ? 4 时, y ? ? 5 ? 2? x , Q 2? x ? [ , ) ? y ? [ , ) 4 16 4 16 2
第 8 页 共 9 页

…………10 分

综上所述 y ? [

9 ,9] 16 9 ,9] . 16
…………12 分

所以 a 的取值范围是 [

第 9 页 共 9 页



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