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【2014高考一轮理科数学人教A课程】第9单元-概率、统计与统计案例(基础梳理+考点专讲+能力提升,6讲)



第九单元

概率、统计与统计案例

第50讲 第51讲 第52讲 第53讲

随机抽样 用样本估计总体 变量的相关性 统计案例

第54讲
第55讲

随机事件的概率与古典概型
随机数与几何概型

单元网络

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核心导语
一、概率 1.随机事件的概率——理解概率的意义是解题的前提, 互斥事件和对立事件是容易混淆的概念. 2.古典概型——高考考查的重点,通过列表、画树形 图等方法列出基本事件数n和事件A的个数m是解题的基本 方法. 3.几何概型——逐渐形成热点,由于它的事件个数的 不可数性而区别于古典概型.解题中弄清基本事件构成的 区域和要求概率的事件A构成的区域是重点.

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核心导语
二、统计与统计案例 1.抽样方法——三种抽样方法中,合理选择抽样方法 是重点,分层抽样抽取比例是易错点. 2.用样本估计总体——解题中涉及平均数、中位数、 众数、方差、标准差等,重点是频率分布直方图、茎叶图 的使用,对直方图的认识和使用是易错点. 3.统计案例——涉及两类问题:线性回归方程的求解 及应用和独立性检验,这两类问题中,公式多,运算量大, 所以容易出错,要注意提高运算能力.

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使用建议
1.编写意图 本单元包括两部分内容,一部分是“统计与统计案 例”,另一部分是“概率”.本单元内容与实际生产生活 结合得较为紧密,特别是统计与统计案例,数据多,公式 多,要求考生有较强的数据处理能力,公式一般不需要记 忆,考试时会给出公式;古典概型与几何概型也是高考经 常考查的一个知识点,也是对学生应用意识考查的重要载 体.根据考试大纲和高考对本单元考查的实际情况,本单 元在编写时注意到以下几点:

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使用建议
(1)注意了基础知识的全面性和系统性; (2)注意了统计方法的讲解,编写中把各种统计方法的 使用放在首位; (3)把握基本题型,对各种基本题型进行了详细叙述, 目的是帮助学生构建知识体系,能针对不同的概率类型灵 活选择相应的方法和公式; (4)注意了高考的发展趋势,重点关注概率与统计相结 合的解答题的训练.

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使用建议
2.教学指导 在复习过程中,要注意以下几个方面: (1)强化概念的教学,本单元概念较多,引导学生结合 具体题目,仔细体会概念的含义,通过适当练习,学会如 何使用概念解题.如互斥事件、对立事件的概率是两个核 心概念,它贯穿概率问题的始终,在教学中一定要通过各 种措施使学生掌握好这两个概念. (2)统计图表是统计中的主要工具,教学中要使学生学 会从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法. (3)把握基本题型,对于常见的求概率的基本题型要牢 固掌握,求概率公式要求记忆准确,针对不同的概率类型 灵活选择相应的方法和公式.
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使用建议
(4)加强运算能力的培养,统计的数字计算较繁,要求 学生培养良好的运算习惯,通过统计的复习提高运算能 力. 3.课时安排 本单元包括6讲、1个45分钟滚动基础训练卷和1个标 准单元能力检测卷,每讲1课时,两份试卷3课时,共需9 课时完成.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第50讲 随机抽样

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考试大纲
1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分 层抽样和系统抽样方法.

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

—— 知 识 梳 理 ——

一、简单随机抽样
逐个不放回 1. 定义: 设一个总体含有 N 个个体, 从中________

地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总
机会都相等 体内的各个个体被抽到的__________,就把这种抽样

方法叫做简单随机抽样. 2.最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机 数法.

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

二、系统抽样 1.定义:当总体中的个体数目较多时,可将总体
分成均衡的几个部分 事先定出的规则 _________________,然后按照_______________,从

每一部分抽取 1 个个体得到所需要的样本,这种抽样 方法叫做系统抽样. 2.系统抽样的操作步骤:第一步,利用随机的方 式将总体中的个体编号;第二步,将总体的编号分段, N N N 确定分段间隔 k.当 是整数时, k= ; 不是整数时, 当 n n n 通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数 N′能被 n
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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

N′ 整除,这时 k= ;第三步,在第 1 段用简单随机抽 n 样确定第一个个体编号 l(l≤k);第四步,按事先确定 的规则抽取样本,通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个 个体编号(l+k),将(l+k)加上 k,得到第 3 个个体编号 (l+2k),这样继续下去,直到获取整个样本(注:这是 个常用方法,但不是唯一的方法).

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

三、分层抽样
互不交叉的层 1. 定义: 在抽样时, 将总体分成_______________, 比例 然后按照一定的________,从各层独立地抽取一定数

量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这 种抽样的方法就叫做分层抽样. 2.分层抽样的操作步骤:第一步,确定样本容量 与总体个数的比;第二步,计算出各层需抽取的个体 数;第三步,采用简单随机抽样或系统抽样在各层中 抽取个体;第四步,将各层中抽取的个体合在一起, 就是所要抽取的样本.
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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

—— 疑 难 辨 析 ——

1.简单随机抽样的识别 (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能 性与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最 大.( ) ) )
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(2)从 20 个零件中用简单随机抽样一次性抽取 3 个进行质量检测.( (3)从 100 件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出 一件,连续拿 5 次,是简单随机抽样.(

第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[答案]

(1)×

(2)× (3)×

[解析]

(1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可

能性与第几次抽取无关,每一次抽到的可能性相等. (2)简单随机抽样的抽取方法是逐个抽取. (3)简单随机抽样的抽取方法是不放回地抽取.

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

2.系统抽样的应用 (1)当总体中个体数较多时,应采取系统抽样 法.( ) (2)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容 量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公 平.( )

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[答案]

(1)√

(2)×

[解析]

(1)当总体中个体数较多时,用简单随机抽

样,操作不方便,如果样本之间差异不大,也不需要分 层,所以用系统抽样法较好. (2)因为剔除个体时是随机的,每个学生被剔除的可能 性相等,在整个抽样过程中,每个学生被抽取的概率仍是 20 1 002.

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

3.对分层抽样的理解 (1)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及 分层有关.( ) (2)某地区教育部门要调查中小学生的近视情况及形 成原因,要抽取 1%的学生进行调查,可用分层抽样进 行.( )

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[答案]

(1)×

(2)√

[解析]

(1)分层抽样中,每层的样本数量与每层的个体

数量的比,与这一层的个体数量与总体数量的比相等,每个 个体被抽到的可能性相等,与层数及分层无关. (2)因为不同年龄段的学生的近视情况可能存在明显差 异,因此,宜将全体学生分成高中、初中和小学三部分分别 抽样.

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

4.三种抽样方法的比较 (1)某班有 45 人,现抽取 5 人参加一项社会活动,则 可以用简单随机抽样法抽取.( ) ) (2)某校即将召开学生代表大会,现要从高一、高二、 高三共抽取 60 名代表, 则可用分层抽样方法抽取. ( 体被抽到的机会均等.( ) (3)三种抽样方法,不论是哪一种,总体中每一个个

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第50讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[答案]

(1)√

(2)√ (3)√

[解析]

(1)由于人数不多,用简单随机抽样比较方便.

(2)考虑到不同年级学生的差异, 用分层抽样方法抽取代 表比较合适. (3)根据三种抽样方法的规则可知, 每个个体被抽到的机 会均等.

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第50讲

随机抽样
考点统计 题型(考频) 解答(1)
0 解答(1) 2009年T18(B)

题型示例(难度) 2008年T19(A)

1.简单随机抽样
点 面 讲 考 向 2.系统抽样 3.分层抽样

4.三种抽样方法的综合应用

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第50讲

随机抽样

?

探究点一
例1

简单随机抽样

第 30 届夏季奥运会于 2012 年 7 月 27 日在伦敦

点 面 讲 考 向

成功举行,伦敦某大学为了支持奥运会,从报名的 60 名大 三学生中选 10 人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法 设计抽样方案.

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第50讲

随机抽样

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:从 60 名大三学生中选 10 人;目标:

设计选取 10 人的方案;方法:考虑到总体中个体数较少, 利用抽签法或随机数表法均可容易获取样本,可按随机数 表法的操作步骤和抽签法的操作步骤进行:抽签法应“编 号、制签、搅匀、抽取”;随机数表法应“编号、确定起 始数、读数、取得样本”.

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第50讲

随机抽样

解:(1)抽签法: 第一步:将 60 名学生编号,编号为 01,02,?,59,
点 面 讲 考 向

60; 第二步:将 60 个号码分别写在 60 张外形完全一样的纸 张上,并揉成团,制成号签; 第三步:将 60 个号签放入一个不透明的盒子中,充分 搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取 10 个号签,并记录上面的 编号,编号对应的志愿者,就是选出的学生志愿者成员.

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第50讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)随机数表法: 第一步:将60名志愿者编号,编号为01,02, 03,?,60; 第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任意方 向读数,比如第8行第29列的数7开始,向右读; 第三步:从数7开始,向右读,每次取两位,凡不在 01~60中的数,或已读过的数,都跳过去不作记录,依次 可得到12,58,07,44,39,52,38,33,21,34; 第四步:找出以上号码对应的志愿者,就是志愿小组 的成员.

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第50讲

随机抽样

点评
点 面 讲 考 向

总体的个数较少,利用随机数表法或抽签法可容

易获得样本.

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第50讲

随机抽样

归纳总结
点 面 讲 考 向

简单随机抽样是最简单、最基本的抽样,

比较容易理解,步骤性强,操作方便.关键是掌握操作步 骤:随机数表法的操作要点:编号、选起始数、读数、获 取样本;抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取.

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第50讲

随机抽样

变式题

下面的抽样方法是简单随机抽样的是(

)

A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一
点 面 讲 考 向

个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖 B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上, 每隔 30 分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验

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第50讲

随机抽样

[解析] D
点 面 讲 考 向

A、B不是简单随机抽样,因为抽取的个

体间的间隔是固定的;C不是简单随机抽样,因为总体的 个体有明显的层次;D是简单随机抽样.

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第50讲

随机抽样

?

探究点二

系统抽样

例 2 (1)[2012· 银川一中月考] 要从已经编号(1~60)的 60
点 面 讲 考 向

枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的 6 枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25,30 B.2,12,22,32,42,52 C.6,13,38,31,45,58 D.5,10,23,33,43,59

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第50讲

随机抽样

(2)[2012· 牡丹江一中月考] 将参加夏令营的 600 名学 生编号为:001,002,?,600,采用系统抽样方法抽取一
点 面 讲 考 向

个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 600 名 学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区 被抽中的人数依次为( A.26,16,8 C.26,16,9 ) B.25,17,8 D.24,17,9

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第50讲

随机抽样

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:符合系统抽样的特点,按系统抽

样的方法进行抽样;推理:按照系统抽样的等距性对每个 选项进行检验;结论:只有选项 B 符合条件. (2)分析:使用系统抽样的方法;推理:按照等距的特 征,抽取的号码组成等差数列,得出通项公式;结论:位 于各个营区的项即为所求.

[答案]

(1)B (2)B

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第50讲

随机抽样

[解析] (1)按系统抽样,分为 6 组,每组 10 个编号,每 个被抽取的编号之间相差 10,只有选项 B 符合条件,选 B. (2)首先考虑系统抽样.从 600 名学生中选出 50 名,随 机抽取的号码为 003,则由系统抽样的特点,被抽取的相邻 600 号码之间的间隔应该是 =12,故被抽取的号码成等差数 50 列.其次考虑等差数列.该等差数列是以 3 为首项,12 为 公差,则其通项公式为 an=12n-9(n∈N*).所以在第 I 营 9 区的学生数需满足 0<12n-9≤300,解得 12<n≤25,故第 I 营区有 25 人;在第 II 营区的学生数需满足 300<12n- 9≤495,解得可知在第 II 营区的学生数为 17 人;在第 III 营区的学生数需满足 496≤12n-9≤600,解得可知在第 III 营区的学生数为 8 人.综上可知选择 B.
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点 面 讲 考 向

第50讲

随机抽样

归纳总结
点 面 讲 考 向

一般地,系统抽样是等距离抽样,若第一

组抽取号码 a,然后以 d 为间距依次等距离抽取后面的编 号,抽出的所有号码为 a+dk(k=0,1,2,…,n-1)其中 n 是组数.值得注意的是,并不是所有的系统抽样都是等 距离抽样,这要看所给的抽样规则.

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第50讲

随机抽样

变式题

(1)某班级共有 52 名学生,现将学生随机编

号,用系统抽样方法(等距抽样),抽取一个容量为 4 的样
点 面 讲 考 向

本,已知 6 号,32 号,45 号学生在样本中,那么在样本中 还有一个学生的编号是________号. (2)高三(10)班有 45 位同学, 现要从中抽取 5 位同学参 加社会实践活动, 下面给出了 4 种抽样结果: ①2, 15, 17, 35,41;②1,12,25,35,40;③3,13,23,33,43; ④9,18,27,36,44.其中是系统抽样的是________.

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第50讲

随机抽样

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)19 (2)②③④

[解析] (1)用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大 成等差数列,因此,另一学生编号为6+45-32=19. (2)将45人均分为5段,1~9,10~18,19~27,28~ 36,37~45,每段抽取1人,结果①中在同段中抽取了2 人,不符合条件;结果②中抽样规则可视为随机抽样,符 合条件;结果③中抽样规则可视为等距抽样符合条件;结 果④中前四段的抽样规则可视为等距抽样,后一段抽样规 则可视为随机抽样符合条件.所以有②③④符合条件.

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第50讲

随机抽样

?

探究点三
例3

分层抽样
某个年级有男生560人,女生

(1)[2012· 浙江卷]

点 面 讲 考 向

420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个 容量为280的样本,则此样本中男生人数为________. (2)[2012· 湖南六校联考] 某校共有学生2 000名,各年 级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1 名,抽到二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法 在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 ________.
一年级 女生 男生 373 377 二年级 x 370 三年级 y z
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第50讲

随机抽样

思考流程 (1)分析:只要求出男女抽取比例即可;推
点 面 讲 考 向

理:男女生的人数比例与抽取的男女生的人数比例相同; 结论:根据比例计算. (2)分析:由于三年级学生数未知,可以先求出在一、 二年级中应抽取的学生数,再确定在三年级中应抽取的学 生数;推理:先求出二年级女生数,再确定抽取比例,按 此比例确定一、二年级应抽取的人数;结论:将抽取的总 人数减去一、二年级被抽取的人数可得结论.

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第50讲

随机抽样

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)160 (2)16

[解析]

设样本中男生、女生的人数分别为x、y,且

4 x∶y=4∶3,那么x=280× =160. 7 (2)根据题意可知,二年级女生的人数应为2

000×0.19

=380,故一年级共有750人,二年级共有750人,这两个年 750 级各均抽取64× 2 000 =24人,则应在三年级抽取的学生人 数为64-24×2=16.

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第50讲

随机抽样

点评
点 面 讲 考 向

分层抽样解题的关键是抽取比例,比例确定之

后,各层以同一比例抽取样本,这样就保证了各个个体被抽 取的机会均等;在求解的过程中,要注意比例的性质、解方 程的方法的应用.

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第50讲

随机抽样

归纳总结
点 面 讲 考 向

应用分层抽样应遵循的两点:①分层,将相

似的个体归为一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不 交叉,即不重复不遗漏;②分层保证每个个体等可能被抽取, 需遵循在各层中进行简单随机抽样, 每层样本数量与每层个体 数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.

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第50讲

随机抽样

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 湖北卷] 一支田径运动队有男运动

员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽样的方法取若干人, 若抽取的男运动员有 8 人, 则抽取的女运动员有________人. (2)[2012· 惠州一模] 某校对全校男女学生共 1 600 名进 行健康调查, 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本. 已 知女生比男生少抽了 10 人, 则该校的女生人数应是________ 人.

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第50讲

随机抽样

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)6 (2)760

[解析] (1)设抽取的女运动员为 x 人, 因为分层抽样在每 8 x 个层次抽取的比例是相等的, 所以56=42, 解得 x=6.故抽取 女运动员 6 人. (2)设该校男生 x 名,女生 y 名,则 x+y=1 600,x-y 1 600 =10× ,解得 y=760. 200

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第50讲

随机抽样

?

探究点四
例4

三种抽样方法的综合应用

某单位有 2 000 名职工,老年、中年、青年分布

点 面 讲 考 向

在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:

人数 老年 中年 青年 共计

管理 40 80 40 160

技术开发 40 120 160 320

营销 40 160 280 480

生产 80 240 720 1 040

共计 200 600 1 200 2 000
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第50讲

随机抽样

(1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的
点 面 讲 考 向

座谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽 20 人调查对广州亚运会筹备情况的了解,则 应怎样抽样?

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第50讲

随机抽样

思考流程

(1)条件:2 000 名职工中,从年龄上看,有

点 面 讲 考 向

老、中、青三类,从工作岗位上看有管理、技术开发、营 销、生产四类;目标:抽取 40 人调查身体状况;方法:调 查身体状况,与年龄有关,按老年、中年、青年的人数比 例分层抽样. (2)条件:2 000 名职工中,从年龄上看,有老、中、青 三类,从工作岗位上看有管理、技术开发、营销、生产四 类;目标:抽取 25 人开一个讨论单位发展与薪金调整座谈 会;方法:讨论单位发展与薪金调整,与工作部门有关, 按部门人数比例分层抽样. (3)条件:2 000 名职工中,从年龄上看,有老、中、青 三类,从工作岗位上看有管理、技术开发、营销、生产四 类;目标:抽 20 人调查对广州亚运会筹备情况的了解;方 法:调查对亚运会的关注,没明显区别,按系统抽样.
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第50讲

随机抽样

解:(1)调查身体状况,按老年、中年、青年人数的比
点 面 讲 考 向

200 例用分层抽样抽取,老年应抽取的人数为40× =4,中 2 000 600 年应抽取的人数为40× 2 000 =12,青年应抽取的人数为 1 200 40× =24. 2 000

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第50讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)讨论单位发展与薪金调整, 按管理、 技术开发、 营销、 生产人数的比例用分层抽样抽取,管理应抽取的人数为 160 320 25× =2,技术开发应抽取的人数为 25× =4,营 2 000 2 000 480 销应抽取的人数为 25× =6,生产应抽取的人数为 2 000 1 040 25× =13; 用分层抽样, 并按管理 2 人, 技术开发 4 人, 2 000 营销 6 人,生产 13 人抽取. (3)调查对广州亚运会筹备情况的了解,用系统抽样:对 全部 2 000 人随机编号,号码从 0001~2000,每 100 号分为 一组,从第一组中用随机抽样抽取一个号码,然后将这个号 码分别加 100,200,?,1 900,共 20 人组成一个样本.
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第50讲

随机抽样

点评
点 面 讲 考 向

本题审题的关键是确定抽样方法,主要依据抽查

的内容、 样本的特征差异是否明显以及样本容量的大小; 抽样 方法是统计问题的基础, 三种抽样方法各有其使用环境, 解题 时, 要根据具体情况选择方法. 对于多种方法交叉使用的问题, 要将问题细化,在不同的层面上,使用合理的抽样方法.

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第50讲

随机抽样

归纳总结
点 面 讲 考 向

三种抽样方法的联系:简单随机抽样是最基

本的抽样方法,是其他两种方法的基础,适用范围不同,要根 据总体的具体情况选用不同的方法; 它们的共同点都是等概率 抽样,即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等,体现了这三 种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为 n,总体的个体 数为 N,则用这三种方法抽样时,每一个个体被抽到的概率都 n 是 . N

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第50讲

随机抽样

变式题

(1)现要完成下列 3 项抽样调查:①从 10 盒酸

奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有 32 排,
点 面 讲 考 向

每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会 结束后,为了听取听众意见,需要请 32 位听众进行座谈; ③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政 人员 16 名,后勤人员 24 名.为了了解教职工对学校在校务 公开方面的意义,拟抽取一个容量为 20 的样本.较为合理 的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
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第50讲

随机抽样

(2)[2012· 永州四中月考] ①某学校为了了解 2011 年高考 数学学科的考试成绩,在高考后对 1 200 名学生进行抽样调
点 面 讲 考 向

查,其中文科 400 名考生,理科 600 名考生,艺术和体育类 考生共 200 名,从中抽取 120 名考生作为样本;②从 10 名 家长中抽取 3 名参加座谈会.设Ⅰ.简单随机抽样法,Ⅱ.系 统抽样法,Ⅲ.分层抽样法.问题与方法配对正确的是( A.①Ⅲ,②Ⅰ B.①Ⅰ,②Ⅱ C.①Ⅱ,②Ⅲ D.①Ⅲ,②Ⅱ )

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第50讲

随机抽样

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)A

[解析] (1)①总体较少,宜用简单随机抽样;②已分段, 宜用系统抽样;③各层间差距较大,宜用分层抽样,故选 A. (2)通过分析可知,对于问题①应采用分层抽样法,对于 问题②应采用简单随机抽样法,故选 A.

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第50讲

随机抽样

答题模板14


抽样方法解答题解答的关键点

[2012· 郑州检测] 调查郑州某初中 1 000 名学生
偏瘦 女生(人) 100 x 正常 173 177 偏胖 y z

的肥胖情况,得下表:

多 元 提 能 力

男生(人)

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生 的概率为 0.15. (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 50 名,问应在偏胖学生中抽多少名?
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第50讲

随机抽样

x 解:(1)由题意可知, =0.15,∴x=150.5 分 1 000 (2)由题意可知,偏胖学生人数为 y+z=400,8 分 m 50 设应在偏胖学生中抽取 m 人,则 = ,∴m= 400 1 000 20.11 分
多 元 提 能 力

答:应在偏胖学生中抽 20 名.12 分

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第50讲

随机抽样

方法解读

现实中正确的分层抽样一般有三个步

骤:首先,辩明突出的统计特征和分类;其次,确定每个 分层在总体上的比例,利用这个比例,可计算出样本中每 组(层)应抽取的人数;最后,必须从每层中抽取独立简单 随机样本.
多 元 提 能 力

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第50讲

随机抽样

自我检评 (1)[2013· 海南农垦中学月考] 某中学有高 三文(1)、高三文(2)两个实验班,现用分层抽样方法从这两 个文科实验班抽取 10 名同学参加“党的十八大知识”竞 1 赛.已知高三文(1)的每个学生被抽到的概率都为 ,则这 12
多 元 提 能 力

两个文科实验班共有学生________人. (2)[2012· 福建卷] 一支田径队有男女运动员 98 人,其 中男运动员有 56 人, 按男女比例用分层抽样的方法, 从全 体运动员中抽出一个容量为 28 的样本, 那么应抽取女运动 员人数是________.

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第50讲

随机抽样

[答案]
[解析]

(1)120 (2)12

因为每个学生被抽到的概率是相等的,因此, 10 1 可设两个文科实验班的学生数为x,则 =12?x=120. x (2)解题的关键是记住分层抽样中最基本的比例关系,即
多 元 提 能 力

可解决分层抽样的所有计算问题.抽取女运动员的人数是: 98-56 42 28× 98 =28×98=12.

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第50讲

随机抽样

备选理由 本例中涉及三种抽样方法,用以巩固学生 所学知识、熟练掌握方法.

教 师 备 用 题
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第50讲

随机抽样

例 某中学举行了为期 3 天的迎国庆体育运动会,同 时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生 中产生的影响,分别在全校 500 名教职员工、3 000 名初中 生、4 000 名高中生中作问卷调查,如果要在所有答卷中抽 出 120 份用于评估. (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论? (2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的 样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作? (3)为了从 4 000 份高中生的答卷中抽取一个容量为 64 的样本,如何使用系统抽样抽取到所需的样本?

教 师 备 用 题

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第50讲

随机抽样

解: (1)由于这次活动对教职员工、 初中生和高中生产 生的影响不会相同, 所以应当采取分层抽样的方法进行抽 样. 因为样本容量为 120, 总体个数为 500+3 000+4 000 120 2 2 =7 500,则抽样比:7 500=125,所以 500×125=8,3 2 2 000× =48,4 000× =64,所以在教职员工、初中 125 125 生、高中生中抽取的个体数分别是 8,48,64.
教 师 备 用 题
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第50讲

随机抽样

分层抽样的步骤是: ①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层. ②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、 高中生中抽取的个体数分别是 8,48,64. ③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取 样本. ④综合每层抽样,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程, 就能得到比较客观的评 价结论.
教 师 备 用 题
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随机抽样

(2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数 法.如果用抽签法,要作 3 000 个号签,费时费力,因此 采用随机数表法抽取样本,步骤是: ①编号:将 3 000 份答卷都编上号码:0001,0002, 0003,?,3 000. ②在随机数表上随机选取一个起始位置. ③规定读数方向: 向右连续取数字, 4 个数为一组, 以 如果读取的 4 位数大于 3 000,则去掉,如果遇到相同号 码则只取一个,这样一直到取满 48 个号码为止.
教 师 备 用 题
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第50讲

随机抽样

(3)由于4 000÷ 64=62.5不是整数,则应先使用简单 随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体,再将剩余 的3 968个个体进行编号:1,2,?,3 968,然后将整体 分为64个部分,其中每个部分中含有62个个体,如第1部 分个体的编号为1,2,?,62.从中随机抽取一个号码, 如若抽取的是23,则从第23号开始,每隔62个抽取一 个,这样得到容量为64的样本:23,85,147,209, 271,333,395,457,?,3 929.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第51讲 用样本估计总体

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考试大纲
(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会 画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,体会 他们各自的特点. (2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数 据标准差. (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均 数、标准差),并作出合理的解释. (4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本 的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解样本 估计总体的思想. (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思 想解决一些简单的实际问题.
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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

—— 知 识 梳 理 ——

一、用样本频率分布估计总体分布 1.样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本
频率 容量的比,就是该数据的________,所有数据(或者 频率分布 数据组)的频率的分布变化规律叫做________,可以 频率分布直方图 用样本频率表、______________、频率分布折线图、

茎叶图等来表示.

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

2.作频率分布直方图的步骤:(1)求极差,即
最大值 最小值 一组数据中________与________的差;(2)决定 分组 列频率分布表 ________;(3)将数据________;(4)____________; 组距与组数

(5)画频率分布直方图.

频率 组距 在频率分布直方图中,纵轴表示________,数

面积 据落在各小组内的频率用各小长方形的________表 等于1 示,各小长方形的面积总和________.

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

3.总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各
中点 小长方形上端的________,就得到频率分布折线图;

(2)总体密度曲线:如果样本容量不断增大,作
组数 图所分的________增加, 分组的________减小, 则相 组距

应的频率分布折线图会越来越接近于一条________, 光滑曲线
光滑曲线 这条________就叫做总体密度曲线.

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

4.茎叶图:统计中还有一种被用来表示数据的
一列数 图叫茎叶图,茎是指中间的________,叶是从茎的旁

生长出来的数 边______________.

在样本数据较少、较为集中,且位数不多时,用 茎叶图表示数据的效果较好, 茎叶图表示数据有两个
原始数据 突出的优点:一是它较好地保留了________信息,二 分布 是能够展示数据的________情况,方便记录与表示.

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

二、样本的数字特征 1.众数:一组数据中出现______最多的数据叫 次数 做众数; 2.中位数:将一组数据从小到大(或从大到小)
最中间两数据 最中间 依次排列,把______数据(或______________的平均

数)叫做中位数,中位数把样本数据分成了相同个数 的两部分;
1 (x +x +?+xn) ____________________________. n 1 2

3 . 平 均 数 : x1 , x2 , ? , xn 的 平 均 数 x =

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

注:由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较 多,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左 右, 因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计 总体数字特征的准确性. 4.标准差与方差 考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计 量是标准差. 标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离,一般用 s 表示.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

1 [(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2] n s=______________________________________.

标准差的平方 s2 叫做方差,
1 [(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2] 2 n s =___________________________________,
第n个数 样本容量 其中 xn 是__________,n 是__________,x 是 平均数 ________

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

—— 疑 难 辨 析 ——

1.频率分布直方图的特征 (1) 在频率分布直方图中,小矩形的高表示频 率.( 1.( ) ) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

[答案]

(1)×

(2)√

[解析] 频率 表示 . 组距

(1)在频率分布直方图中,纵轴(即小矩形的高)

(2)根据频率分布直方图的构成特点,各个长方形的面积 表示对应样本数据区间的频率, 所有频率之和等于 1, 所以各 个长方形的面积之和为 1.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

2.茎叶图的特点 (1)茎叶图中的数据都是原始数据.( (2)茎叶图只能分析一组数据.( ) )

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

[答案]

(1)√

(2)×

[解析]

(1)茎叶图中的数据是原始数据的直接记录,

没有进行任何加工.在数据较少时,用茎叶图记录数据较 方便. (2)茎叶图可用来分析单组数据,也可以对两组数据进 行分析比较.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

3.中位数、众数、平均数的求法 (1)对于数据1,3,4,6,8,9,这组数据的中 位数是4或6.( ) ) (2)比赛中,计算选手得分时,去掉一个最高分 和最低分对比赛结果影响不大.( 方图的面积相等.( ) (3)在频率分布直方图中,众数左边和右边的直

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

[答案]

(1)×

(2)× (3)×

[解析]

(1)把一组数据按顺序排列,当数据是奇数个,

中间的数据就是中位数;当数据是偶数个,中位数是最中间 两个数据的平均数,因此,中位数为 5. (2)平均数受极端数值的影响较大, 去掉一个最高分和最 低分的做法是防止个别评委给出过高或过低的分数, 对选手 得分造成较大的影响. (3)在频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的 面积相等,由此可以估计中位数的值,众数是最高的矩形的 中点的横坐标.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

4.对标准差与方差的理解 (1)标准差越小,样本数据的波动也越小.( 需求出平均数就可以了.( ) ) (2)用样本的数字特征估计总体的数字特征时, 只

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第51讲
双 向 固 基 础

用样本估计总体

[答案]

(1)√

(2)×

[解析] (1)标准差是反应数据波动大小的量. (2)样本的数字特征包括平均数、众数、中位数、方差、 标准差等,在估计总体的数字特征时,往往将这些数据求出 来,进行综合分析.

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第51讲

用样本估计总体

考点统计
1.利用样本的频率分布估计总 体分布 2.茎叶图在数据处理中的应用 3.利用样本数字特征估计总体 的数字特征

题型(考频)
解答(2) 填空(1) 解答(2)

题型示例(难度) 2009年T18(B), 2011年T19(B)
2008年T16(C) 2008年T19(B), 2012年T18(B)

点 面 讲 考 向

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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用样本估计总体

?

探究点一
例1

利用样本的频率分布估计总体分布

(1)[2012· 琼海一模] 为了了解某校高三 400 名学

点 面 讲 考 向

生的数学学业水平测试成绩, 制成样本频率分布直方图如图 9-51-1,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为优秀, 则及格率与优秀人数分别是( )

A.60%,60 C.80%,80

B.60%,80 D.80%,60
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第51讲

用样本估计总体

(2)[2012· 南阳联考] 某乡镇供电所为了调查农村居民用 电量情况,随机抽取了 500 户居民去年的用电量(单位:
点 面 讲 考 向

kW/h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图 9- 51-2;其中直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1∶2∶3. 该 乡 镇 月 均 用 电量 在 [37 , 39) 之 内 的居 民 共 有 ________户.

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第51讲

用样本估计总体

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:理解频率分布直方图与频率的关

系;推理:求出各组的频率;结论:得出及格率与优秀人 数. (2)分析:直方图中各区间的频率没有完全给出,要依 据它们的和为1进行推理;推理:利用五个小矩形面积之 和为1可求出前3个小矩形的面积之和,再运用它们的面积 比求出[37,39)之内的频率;结论:用[37,39)之内的频 率乘以500即得结果.

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用样本估计总体

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)125

[解析]

(1)由直方图, 60 分以上的频率之和为(0.025 得

+0.035+0.010+0.010)×10=0.8,80 分以上的频率之和为 (0.010+0.010)×10=0.2, 则及格率为 80%,优秀人数为 400×0.2=80,故选 C. (2)由直方图可知, 从左到右前 3 个小矩形的面积之和= 1-(0.087 5+0.037 5)×2=0.75,又三个矩形的面积之比为 2 1∶2∶3,所以第 2 个矩形的面积= ×0.75=0.25, 1+2+3 故该乡镇月均用电量在[37,39)之内的居民共有 0.25×500 =125(户).
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第51讲

用样本估计总体

归纳总结
点 面 讲 考 向

解决频率分布直方图的问题,关键在于

找出图中数据之间的联系.这些数据中,比较明显的有组 频率 距、 ,间接的有频率、小长方形的面积,合理使用这 组距 频率 些数据,再结合两个等量关系:小长方形面积=组距× 组距 =频率,小长方形面积之和等于 1,即频率之和等于 1,就 可以解决直方图的有关问题.

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用样本估计总体

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 三明联考] 在样本的频率分布直方

图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等 1 于其他 10 个小长方形的面积和的4,且样本容量为 160, 则中间一组的频数为( A.32 B.0.2 ) C.40 D.0.25

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用样本估计总体

(2)[2012· 吉林质检] 某地区教育主管部门为了对该地 区模拟考试成绩进行分析, 抽取了总成绩介于 350 分到 650
点 面 讲 考 向

分之间的 10 000 名学生成绩, 并根据这 10 000 名学生的总 成绩画了样本的频率分布直方图(如图 9-51-3),则总成 绩在[400,500)内共有( )

A.5 000 人 C.3 250 人

B.4 500 人 D.2 500 人
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第51讲

用样本估计总体

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)B

[解析] 频率等于长方形的面积, 所有长方形的面积等于 1 1 1,中间长方形的面积等于 S,则 S= (1-S),S= .设中间 4 5 x 1 一组的频数为 x,则160=5,得 x=32. (2)由频率分布直方图可求得 a=0.005,故[400,500)对 应的频率为(0.005+0.004)×50=0.45,相应的人数为 4 500 人.

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用样本估计总体

?

探究点二
例2

茎叶图在数据处理中的应用

(1)[2012· 陕西卷] 对某商店一个月内每天的顾客 )

点 面 讲 考 向

人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图 9-51-4 所示), 则该样本中的中位数、众数、极差分别是(

A.46,45,56 C.47,45,56

B.46,45,53 D.45,47,53
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第51讲

用样本估计总体

(2)[2012· 吉安二模] 某学校举办一次以班级为单位的 广播操比赛,9 位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图 9
点 面 讲 考 向

-51-5 所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后, 算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶 图中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是 ( )

A.2

B.3

C.4

D.5
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第51讲

用样本估计总体

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:使用中位数、众数、极差的概

念;推理:按照茎叶图从小到大排列数据得出中位数、根 据各个数字出现的次数确定众数,最大数与最小数之差为 极差;结论:结合选项得出答案. (2)分析:要在去掉一个最高分和一个最低分后才能计 算平均分,因此数字x是否为最大要进行分类讨论;推 理:利用计算平均数公式,分两种情况列方程,计算x的 值并检验所求出的x的值是否符合题意;结论:结合选项 得出答案.

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第51讲

用样本估计总体

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)A

[解析] (1)本题主要考查茎叶图数据的读取和数据特征 的简单计算, 由所给的茎叶图可知所给出的数据共有 30 个, 其中 45 出现 3 次为众数,处于中间位置的两数为 45 和 47, 则中位数为 46;极差为 68-12=56.故选 A. (2)若 x 对应的是最高分,则有平均分为 88+89+91+92+92+93+94 2 x= =91 ≠91,所以 x 对 7 7 应的不是最高分.那么最高分为 94,于是 88+89+91+92+92+93+90+x x= =91,解得 x=2. 7 故选 A.
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第51讲

用样本估计总体

点评 统计图给出了数据的分布情况,特别是茎叶图给出
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了全部的数据,根据给出的数据即可对数据的数字特征进行 分析、计算.

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用样本估计总体

归纳总结

茎叶图刻画数据的优点:①所有数据信息

都可由茎叶图看到;②茎叶图便于记录和表示,且能够展
点 面 讲 考 向

示数据的分布情况.

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第51讲

用样本估计总体

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 郑州质检] 第 30 届夏季奥运会于 2012

年 7 月 27 日在伦敦成功举行, 当地某学校招募了 8 名男志 愿者和 12 名女志愿者.将这 20 名志愿者的身高编成茎叶 图如图 9-51-5(单位:cm): 若身高在 180 cm 以上(包括 180 cm)定义为“高个 子”,身高在 180 cm 以下(不包括 180 cm)定义为“非高个 子”.

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第51讲

用样本估计总体

(1)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的 中位数;
点 面 讲 考 向

(2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个 子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人 是“高个子”的概率是多少?

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第51讲

用样本估计总体

解:(1)8 名男志愿者的平均身高为
点 面 讲 考 向

168+176+177+178+183+184+187+191 = 8 180.5(cm); 12 名女志愿者身高的中位数为 175. (2)根据茎叶图,有“高个子”8 人,“非高个子”12 人, 5 1 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = , 20 4 1 所以选中的“高个子”有 8× =2 人, 设这两个人为 A, 4 B; 1 “非高个子”有 12×4=3 人,设这三个人为 C,D,E.
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第51讲

用样本估计总体

点 面 讲 考 向

从这五个人A,B,C,D,E中选出两个人共有:(A, B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E), (C,D),(C,E),(D,E)10种不同方法; 其中至少有一人是“高个子”的选法有:(A,B), (A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)共7 种. 7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是10.

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第51讲

用样本估计总体

?

探究点三
例3

用样本数字特征估计总体的数字特征

(1)甲、 乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位

点 面 讲 考 向

面积产量如下(单位:t/hm2),根据这组数据估计产量比较稳 定的水稻品种是________.
品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8

(2)某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如 下(单位:min):
等待时间 频数 [0,5) 4 [5,10) 8 [10,15) 5 [15,20) 2 [20,25] 1

用上表分组资料计算病人平均等待时间的估计值是 ________min. 返回目录

第51讲

用样本估计总体

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:判定产量是否稳定,关键看方

差的大小,方差越小越稳定;推理:利用方差计算公式算 出两组数据的方差;结论:根据方差值的大小作结论. (2)分析:以区间中点值作为平均等待时间的估计值; 推理:先求出各个时间段的等待总时间的估计值,再求总 的平均等待时间的估计值;结论:依据计算结果作结论.

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第51讲

用样本估计总体

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)甲

(2)9.5

[解析] (1)甲品种的样本平均数为10,样本方差为 [(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2 -10)2]÷ 5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为 [(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+ (9.8-10)2]÷ 5=0.244. 因为0.244>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻 的产量比较稳定.

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第51讲

用样本估计总体

点 面 讲 考 向

(2)等待时间在[0,5)内的 4 个人的等待总时间的估计值 0+5 为 ×4=10; 2 等待时间在[5, 10)内的 8 个人的等待总时间的估计值为 5+10 ×8=60; 2 同理,其余三个时间段等待总时间的估计值分别为 62.5,35,22.5. 所 以 病 人 平 均 等 待 时 间 的 估 计 值 为 10+60+62.5+35+22.5 =9.5(min). 4+8+5+2+1

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第51讲

用样本估计总体

点评 平均值是样本数字特征中的一个重要特征,它能够
点 面 讲 考 向

反映样本的总体水平.样本的数字特征除了平均值外,还有众 数、中位数、方差、标准差等,在进行数据分析时,这些数字 特征往往会结合起来使用.

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第51讲

用样本估计总体

归纳总结 众数、中位数、平均数的异同: (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的
点 面 讲 考 向

量,平均数是最重要的量. (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何 一个数据的变动都会引起平均数的变动, 而中位数和众数都不 具备此性质. (3)众数体现各数据出现的频率,当一组数据中有若干数 据多次出现时,众数往往更能反映问题. (4)中位数仅与数据的排列位置有关,中位数可能出现在 所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数 据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
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第51讲

用样本估计总体

变式题

(1)[2012· 广东卷] 由正整数组成一组数据 x1,

x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,
点 面 讲 考 向

则这组数据为________.(从小到大排列) (2)[2012· 西安质检] 某校甲、 乙两个班级各有 5 名编号 为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投 中的次数如下表:
学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9

(

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ,则 s2 = ) 2 4 6 A. B. C. D.2 5 25 5
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第51讲

用样本估计总体

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)1,1,3,3

(2)A

[解析] (1)设四个数从小到大分别是:x1 ,x2,x3,x4, 根据已知可以得到方程组: ?x2+x3 ? 2 =2, ?x2+x3=4, ? ? ?x1+x2+x3+x4 即 ?x1+x2+x3+x4=8, 又因 为四 =2, ? 2 2 2 2 ? 4 ?x1+x2+x3+x4=20. ?2 ?s =1, 个数都是正整数,根据第一个式子知 x2=1,x3=3 或 x2=2, x3=2,则 x1=1,x4=3 或 x1=2,x4=2,代入第三个式子, 只有 x1=1,x2=1,x3=3,x4=3 满足条件,所以四个数分 别是 1,1,3,3.
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第51讲

用样本估计总体

点 面 讲 考 向

(2)本题主要考查样本的数字特征.属于基础知识、基 本运算的考查. 1 2 x甲=7,s 甲 = [(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7 5 2 2 -7) ]= , 5 1 2 x乙=7,s 乙 = [(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9 5 6 2 -7) ]=5. 2 2 2 两组数据的方差中较小的一个为s甲 ,s甲= . 5

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第51讲

用样本估计总体

易错究源17

频率分布直方图中概念不清致误

例 [2012· 广东卷改编] 某校 100 名学生期中考试语文成绩 的频率分布直方图如图 9-51-6 所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],那么图中 a 的值等于(
多 元 提 能 力

)

A.0.05

B.0.06

C.0.005 D.0.006
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第51讲

用样本估计总体

错解 A 由频率分布直方图可知 0.04+0.03+0.02+ 2a=1.所以 a=0.05.故选 A.

[错因] 没有弄清频率分布直方图中的概念, 错把纵坐标 当成频率了.
多 元 提 能 力

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第51讲

用样本估计总体

[正解] C

由频率分布直方图可知,(0.04+0.03+0.02

+2a)× 10=1.所以 a=0.005.故选 C.

多 元 提 能 力

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第51讲

用样本估计总体

自我检评

(1)[2012· 山东卷] 如图 9-51-7 是根据部

分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本 频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样 本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5), [23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均
多 元 提 能 力

气温低于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低 于 25.5℃的城市个数为________.

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第51讲

用样本估计总体

(2)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图 9-51-8 所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数 据落在区间[10,12)内的频数为( )

多 元 提 能 力

A.18

B.36

C.54

D.72
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第51讲

用样本估计总体

[答案]

(1)9

(2)B

[解析] (1)本题考查频率分布直方图及样本估计总体的 知识,考查数据处理能力,容易题. 11 样本容量= =50, 样本中平均气温不 1×(0.10+0.12) 低于 25.5℃的城市个数为 50×1×0.18=9. (2)样本数据落在区间[10,12)内的频率为 1-(0.19+0.15+0.05+0.02)×2=0.18,则样本数据落 在区间[10,12)内的频数为 0.18×200=36.

多 元 提 能 力

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第51讲

用样本估计总体

备选理由

例1、例2均为统计在实际中的应用.

教 师 备 用 题
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第51讲

用样本估计总体

例1

某市2013年4月1日—4月30日对空气污染指数

教 师 备 用 题

的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88, 67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82, 64,79,86,85,75,71,49,45, (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气 质量为优:在51~100之间时,为良;在101~150之间 时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量 给出一个简短评价.
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第51讲

用样本估计总体

解:(1)频率分布表:
分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) 频数 2 1 4 6 10 5 2 频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30
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教 师 备 用 题

[91,101) [101,111)

第51讲

用样本估计总体

(2)频率分布直方图:

教 师 备 用 题
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第51讲

用样本估计总体

教 师 备 用 题

(3)答对下述两条中的一条即可: ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平, 占 1 13 当月天数的 ,有 26 天处于良的水平,占当月天数的 , 15 15 14 处于优或良的天数共有 28 天,占当月天数的15.说明该市空 气质量基本良好. 1 ②轻微污染有 2 天,占当月天数的15.污染指数在 80 以 上的接近轻微污染的天数有 15 天,加上处于轻微污染的天 17 数,共有 17 天,占当月天数的 30,超过 50%,说明该市空 气质量有待进一步改善.
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第51讲

用样本估计总体

例2

对甲、 乙两名自行车赛手在相同条件下进行了

6 次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表. 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数 据的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更 合适.

教 师 备 用 题

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第51讲

用样本估计总体

解:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数,

教 师 备 用 题

从茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均 匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是33.5,甲的中位数 是33.因此乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好. (2)计算可得:x甲=33;x乙=33;s甲≈3.96,s乙≈3.56; 甲的中位数是33,乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比 赛较为合适.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第52讲 变量的相关性

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考试大纲
1.会作两个有关联变量的数据的散点图,并利用 散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回 归方程系数公式建立线性回归方程.

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

—— 知 识 梳 理 ——

一、变量间的相关关系 1.常见的两变量之间的关系有两类:一类是函
相关关系 数关系,另一类是 ________;与函数关系不同, 相关关系 ________是一种非确定性关系.

2.从散点图上看,点分布在从左下角到右上角
正相关 的区域内,两个变量的这种相关关系称为________,

点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相
负相关 关关系为________.

3.相关关系与函数关系的区别与联系
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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

二、回归直线方程 1.回归直线:观察散点图的特征,如果散点图 中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 就称这 两个变量之间具有________关系,这条直线叫做 线性相关
回归直线 ________.

2.回归直线方程的求法——最小二乘法 设具有线性相关关系的两个变量 x,y 的一组观 ^ 察值为(xi,yi)(i=1,2,?,n),则回归直线方程y= ^ +bx 的系数为: a ^
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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

中心

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

—— 疑 难 辨 析 ——

1.变量间的相关关系 (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系, 也是一种因果关系.( ) ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平 与学生的水平成正相关关系.(

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

[答案]

(1)×

(2)√

[解析]

(1)相关关系与函数关系均是指两个变量的关

系,函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的 关系;函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果 关系,也可能是伴随关系. (2)高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生,所以 教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

2.散点图的作用 (1)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则, 则两个变量之间不具有相关关系.( 方法和手段.( ) ) (2)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

[答案]

(1)√

(2)√

[解析]

(1)从散点图可以看出,如果变量之间存在某

种关系,这些点会有一个集中的大致趋势. (2)在正确作出散点图的基础上,散点图可以初步有效 地判定变量之间的相关关系,因此散点图可以作为判断两 个变量是否相关的一种重要方法和手段.

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

3.回归直线方程的特点 (1) 任 何 一 组 数 据 都 对 应 着 一 个 回 归 直 线 方 程.( ) (2)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之 ^ 间的关系,得回归方程y =-2.352x+147.767,则气 温为 2℃时,一定可卖出 143 杯热饮.( )

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第52讲
双 向 固 基 础

变量的相关性

[答案]

(1)×

(2)×

[解析]

(1)两个变量具有线性相关关系时,这一组数

据才能确定一个回归方程,如果有一个确定的回归方程也 不一定是回归直线方程. (2)将x=2℃代入回归方程,得 ^ =143.063,这个值是 y 预测值,不是实际值.

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第52讲

变量的相关性

考点统计 点 面 讲 考 向 1.利用散点图判断两个变量的 相关关系 2.线性回归方程的求法 3.利用线性回归方程对总体进 行估计

题型(考频) 题型示例(难度) 选择(1) 0 0

2009年T3(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第52讲

变量的相关性

?

探究点一
例1

利用散点图判断两个变量的相关关系

某棉业公司的科研人员在 7 块并排、形状大小相

点 面 讲 考 向

同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响 的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg): 施化肥量 x

15

20

25

30

35

40

45

棉花产量 y 330 345 365 405 445 450 455

(1)画出散点图; (2)判断是否具有相关关系.
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第52讲

变量的相关性

思考流程
点 面 讲 考 向

条件: 施化肥量 x 与产量 y 的对应数据表;

目标:画出散点图,判断是否具有相关关系;方法:用 x 轴表示化肥施用量,y 轴表示棉花产量,逐一画点,根据 散点图,分析两个变量是否存在相关关系.

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第52讲

变量的相关性

解:(1)散点图如图所示.
点 面 讲 考 向

(2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附 近,所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系.

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第52讲

变量的相关性

归纳总结
点 面 讲 考 向

利用散点图判断两个变量是否有相关关

系是比较简便的方法.在散点图中如果所有的样本点都落 在某一函数的曲线上, 就用该函数来描述变量之间的关系, 即变量之间具有函数关系.如果所有的样本点落在某一函 数的曲线附近,变量之间就有相关关系;如果所有的样本 点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.

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第52讲

变量的相关性

变式题
点 面 讲 考 向

[2013· 玉溪一中月考] 图 9-52-1 是根据变

量 x,y 的观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10)得到的散点图, 由这些散点图可以判断变量 x,y 具有相关关系的图是 ( )

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

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第52讲

变量的相关性

[解析] D
点 面 讲 考 向

相关关系有两种情况:所有点看上去都在

一条直线附近波动,是线性相关;若所有点看上去都在某 一函数曲线附近波动,是非线性相关.由图可以看出, ③④是线性相关.

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第52讲

变量的相关性

?

探究点二
例2

线性回归方程的求法

[2012· 石家庄二模] 从某高中随机选取 5 名高三

点 面 讲 考 向

男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 体重 y(kg) 160 63 165 66 170 70 175 72 180 74

^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=0.56x+a,据此模型预报 身高为 172 cm 的高三男生的体重为( A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg
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)

第52讲

变量的相关性

思考流程
点 面 讲 考 向

分析:先求回归直线方程,再求预报量;

^ 推理:由于点(x, y)在回归直线上,代入可求a,进一步确定 回归直线方程;结论:将 x=172 代入回归直线方程可求预 报量,对照选项得答案.

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第52讲

变量的相关性

点 面 讲 考 向

160+165+170+175+180 [解析] B x= =170, 5 63+66+70+72+74 y= =69, 5 ^ 代入回归方程,得69=0.56×170+a, ^ ^ ∴a=-26.2,∴y=0.56x-26.2. ^ 当x=172时,y=0.56×172-26.2=70.12.故选B.

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第52讲

变量的相关性

归纳总结

求回归直线方程,关键在于正确求出系数

^ ,b,由于计算量较大,所以计算时要仔细,分步进行, a ^
点 面 讲 考 向

避免因计算产生失误,特别注意,只有在散点图大体呈线 性时,求出的回归直线方程才有意义.

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第52讲

变量的相关性

?

探究点三
例 3

利用线性回归方程对总体进行估计

[2012· 福建卷] 某工厂为了对新研发的一种产品

点 面 讲 考 向

进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到 如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

^ ^ ^ ^ ^ ^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中b=-20,a=y-bx; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的 关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大利润, 该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
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第52讲

变量的相关性

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:样本数据组、线性回归方程的

^ 系数b;目标:求回归直线方程;方法:计算两个变量的均 ^ 值 x,y,根据回归直线过样本中心点求出a. (2)条件:产品的销量与单价的函数关系和成本价;目 标:确定产品单价时利润最大;方法:建立利润关于单价 的函数,通过函数何时取得最大值得出结论.

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第52讲

变量的相关性

点 面 讲 考 向

1 解:(1)由于x=6(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, -=1(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. y 6 所以 ^ = - -bx=80+20×8.5=250,从而回归直线方 a y ^ 程为y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为L元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 ? 33?2 =-20?x- 4 ? +361.25. ? ? 当且仅当x=8.25时,L取得最大值. 故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
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第52讲

变量的相关性

点评 本题考查的问题具有非常现实的意义,即首先根据
点 面 讲 考 向

收集的数据建立产品销量与售价之间的一个拟合函数, 再根据 这个拟合函数确定最优化方案,这个题目的考查方向值得关 注.

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第52讲

变量的相关性

归纳总结
点 面 讲 考 向

利用变量相关关系的概念判断变量间的相关

关系时,一般是看当一个变量的值一定时,另一个变量是否带 有确定性.若两个变量之间的关系具有确定关系,则是函数关 系;若两个变量之间的关系具有随机性,不确定性,则是相关 关系.只有当散点图中的点大致分布在一条直线附近时,即在 ^ ^ 一个较为狭窄的带型区域内,才可以设回归直线方程为y=b x ^ +a,利用回归直线方程进行计算和预测,否则,就没有必要 求回归方程,用公式求得的回归方程是没有意义的.

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第52讲

变量的相关性

变式题

[2011· 安徽卷] 某地最近十年粮食需求量逐

年上升,下表是部分统计数据:
点 面 讲 考 向

年份 需求量(万吨)

2002 2004 2006 2008 2010 236 246 257 276 286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方 ^ ^ ^ 程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮 食需求量.

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第52讲

变量的相关性

解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似
点 面 讲 考 向

直线上升.下面来求回归直线方程,为此对数据预处理如 下: 年份-2006 -4 -2 0 2 4

需求量-257 -21 -11 0 19 29 对预处理后的数据,容易算得 x=0,y=3.2,
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第52讲

变量的相关性

^ b



点 面 讲 考 向

(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×29 42+22+22+42 260 = =6.5. 40 ^=y-b x=3.2. ^ a 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 ^-257=b(x-2006)+a=6.5(x-2006)+3.2, ^ ^ y ^ 即y=6.5(x-2006)+260.2.① (2)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5(2012-2006) +260.2=6.5×6+260.2=299.2( 万 吨)≈300(万吨).
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第52讲

变量的相关性

易错究源18

求解线性回归方程中的易错问题

例 [2012· 开封四模] 下表是降耗技术改造后生产甲产品过 程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应 ^ 数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y= 0.7x+0.35,那么表中 m 的值为(
多 元 提 能 力

) 5 4 6 4.5

x y A.4

3 2.5

4 m

B.3.15 C.4.5 D.3
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第52讲

变量的相关性

错解 B 3.15,① 故选 B.
多 元 提 能 力

^ 因为 y 关于 x 的线性回归方程y =0.7x+

0.35,将点(4,m)的坐标代入方程得 m=0.7×4+0.35=

[错因] ①处:这里把线性相关关系理解成函数关系,导 致解题错误.

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第52讲

变量的相关性

[正解] D

3+4+5+6 因为 x= = 4.5 , y = 4

2.5+4+4.5+m 11+m 11+m ^ = 0.7x + 0.35 , 所 以 = 4 . 又y 4 4 = 0.7× 4.5+0.35?m=3,故选 D.
多 元 提 能 力

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第52讲

变量的相关性

自我检评 [2012· 潍坊联考] 为了解儿子身高与其父 亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x/cm 174 176 176 176 178
多 元 提 能 力

儿子身高 y/cm 175 175 176 177 177 则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y=x-1 1 C.y=88+2x )

B.y=x+1 D.y=176
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第52讲

变量的相关性

[解析] C

样本点的中心是(176,176),代入选项中的

回归直线方程只有选项C中的方程符合要求,故只能是选项 C中的方程.

多 元 提 能 力

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第52讲

变量的相关性

备选理由

本例涉及两个主要问题:一个是相关关系与

概率的综合应用,一个是相关关系的实际应用,可以培养学 生的应用意识.

教 师 备 用 题
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第52讲

变量的相关性



某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆

新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记 录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每 天每 100 颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 温差 x(℃) 发芽数 y(颗) 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 10 23 11 25 13 30 12 26 8 16

教 师 备 用 题

该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选 取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归方程,再对被选 取的 2 组数据进行检验.
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第52讲

变量的相关性

(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率; (2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据,请根 据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方 ^ ^ ^ 程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检 验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方 程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

教 师 备 用 题
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第52讲

变量的相关性

解:(1)设抽到不相邻 2 组数据为事件 A,因为从 5 组数 据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可能出 现的,其中抽到相邻 2 组数据的情况有 4 种,所以 P(A)=1 4 3 -10=5. (2)由数据求得,x=12,y=27,由公式求得 ^ =5,a=y-bx=-3. ^ ^ b 2 ^ =5x-3. 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y 2
教 师 备 用 题
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第52讲

变量的相关性

^=5×10-3=22,|22-23|<2; (3)当 x=10 时,y 2 ^=5×8-3=17,|17-16|<2; 当 x=8 时,y 2 其他三个数据也都满足误差不超过 2 颗. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第53讲 统计案例

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考试大纲
1. 了解回归分析的基本思想、 方法及其简单应用. 2. 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思 想、方法及其简单应用.

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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

—— 知 识 梳 理 ——

一、回归分析的基本思想及其初步应用
相关 1.回归分析是对具有________关系的两个变量
散点图 进行统计分析的方法,其一般步骤是画出________,

求出回归直线方程,并利用回归直线方程进行预报. 2.对 n 个样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,
(x,y) yn),________称为样本点的中心.

3.除用散点图外,还可以用样本相关系数 r 来 衡量两个变量 x,y 相关关系的强弱,其中
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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

正相关 当 r>0,表明两个变量________,当 r<0,表
负相关 明两个变量________,r 的绝对值越接近于 1,表明

两个变量的线性相关性越强; 的绝对值越接近于 0, r
几乎不存在 表明两个变量之间________线性相关关系,通常 >0.75 |r|________时, 认为这两个变量具有很强的线性相关

关系.
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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

4.用相关指数 R2 来刻画回归的效果,公式是

R2 的值越大,说明残差平方和越小,也就是说
越好 模型拟合效果________.

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双 向 固 基 础

统计案例

二、独立性检验的基本思想及其初步应用
个体所属的不同类别 1.若变量的不同“值”表示_______________,

则这类变量称为分类变量.
频数 2.列出的两个分类变量的________表,称为列

联表. 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为

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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

3.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关
独立性检验 系”的方法称为____________.

独立性检验公式K2=_ _______________________________.
n(ad-bc)2 (a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

—— 疑 难 辨 析 ——

1.回归分析的特点 (1)回归模型都是确定性的函数,且回归模型都 是线性的.( ) ) (2)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模 型才有预测价值.(

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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

[答案]

(1)×

(2)√

[解析]

(1)由于收集的数据的不同,所建立的回归模型

也会不同,回归模型有线性的,也有非线性的. (2)如果两个变量没有相关关系,即使求得了回归模型, 这个模型对这两个变量之间的变化趋势的预报也是不准确 的.

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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

2.独立性检验的应用 (1)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得 到的K2的观测值越大.( ) (2)由独立性检验可知,有99%的把握认为物理 成绩优秀与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则 他有99%的可能物理优秀.( )

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第53讲
双 向 固 基 础

统计案例

[答案]

(1)√

(2)×

[解析]

(1)由统计假设,如果由观测数据计算得到的

K2 的观测值越大, 就拒绝假设, 即拒绝事件“X 与 Y 无关”, 从而认为它们是有关的. (2)某人数学成绩优秀, 只能说其物理成绩优秀的可能性 较大,有 99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关,但 并没有理由认为数学成绩优秀者有 99%的可能物理成绩优 秀.

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第53讲

统计案例

考点统计 点 面 讲 考 向 1.线性回归分析

题型(考频) 选择(1)

题型示例(难度) 2012年T3(A)

2.独立性检验
3.独立性检验的综合应用

0
解答(1) 2010年T19(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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统计案例

?

探究点一
例1

线性回归分析

(1)[2012· 课程标准卷] 在一组样本数据(x1,y1),

点 面 讲 考 向

(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等)的散 点图中,若所有样本点(xi ,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y 1 = x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) 2 1 A.-1 B.0 C. 2 D.1

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第53讲

统计案例

(2)[2012· 湖南卷] 设某大学的女生体重 y(单位: kg)与身 高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,
点 面 讲 考 向

^ yi)(i=1, ?, 用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x 2, n), -85.71,则下列结论中不正确的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x,y) C. 若该大学某女生身高增加 1 cm, 则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必 为 58.79 kg )

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第53讲

统计案例

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:考虑相关系数的定义;推理:当

样本点均在直线上时,相关系数为1;结论:结合选项得 出结论. (2)分析:欲作出判断,需考虑回归分析的基础知识和 基本思想方法;推理:根据回归直线的斜率判断正负相关 性,根据回归直线方程求法判断是否过样本点的中心,根 据回归分析的基本思想判断选项C,D;结论:逐项判断 后确定选项.

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统计案例

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)D

(2)D

[解析]

(1)因为所有点都分布在一条直线上,说明相

关性很强,相关系数达到最大值,即为1. 故选D. (2)本题考查线性回归方程的特征与性质,意在考查考 生对线性回归方程的了解,解题思路:A,B,C均正确, 是回归方程的性质,D项是错误的,线性回归方程只能预测 学生的体重.选项D应改为“若该大学某女生身高为170 cm,则估计其体重大约为58.79 kg”.

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第53讲

统计案例

点评 当样本数据的散点图位于一条直线上时, 其相关系
点 面 讲 考 向

数为± 1,当直线的斜率为正值时为 1,直线的斜率为负值时为 -1; 无论是建立的什么样的回归方程(直线的和曲线的), 由这 个回归方程得到的预报变量的值只能是估计值, 或者说在大量 的重复情况下得到的数值的平均值,这个值不是精确值,这就 是回归分析中建立的函数模型与通常意义下的函数模型的不 同之处,也是统计思维和确定性思维的差异所在.

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第53讲

统计案例

归纳总结
点 面 讲 考 向

回归分析就是寻找相关关系中非确定性

关系的某种确定性,散点图形象地反映了各对数据的密切 程度,线性回归分析的主要作用是通过对两个变量已有数 据的分析来预测这两个变量的变化趋势,一般步骤是:① 进行线性相关性检验;②如果具有线性相关性,用最小二 乘法求出线性回归方程;③将观测值代入回归方程进行预 测.

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第53讲

统计案例

变式题
点 面 讲 考 向

(1)用最小二乘法所建立起来的线性回归模型 )

^=a+bx,下列说法正确的是( y ^ ^ B.使残差平方和最小 C.使相关指数最大 D.使总偏差平方和最大

A.使样本点到直线 y=a+bx 的距离之和最小

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第53讲

统计案例

(2)在对两个变量 x, 进行线性回归分析时一般有下列 y 步骤:
点 面 讲 考 向

①对所求出的回归方程作出解释; ②收集数据(xi,yi),i=1,2,?,n; ③求线性回归方程;④求相关系数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图. 如果根据可靠性要求能够判定变量 x, 具有线性相关 y 性,则在下列操作顺序中正确的是( A.①②⑤③④ C.②④③①⑤ ) B.③②④⑤① D.②⑤④③①

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第53讲

统计案例

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)D

[解析]

(1)回归方程建立后,相关指数就是一个确定的

值,这个值是衡量回归方程拟合效果的,它是由残差平方和 确定的, 而用最小二乘法建立起来的回归方程其实质是残差 平方和最小. (2)对两个变量进行线性回归分析的步骤是:收集数据, 绘制散点图,求相关系数,通过这三个步骤确定两个变量是 不是具有线性相关关系, 不然的话求出的回归直线方程也没 有什么价值,在此基础上求出回归直线方程,对求出的回归 直线方程进行解释.故正确的步骤是②⑤④③①.

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统计案例

?

探究点二
例2

独立性检验

[2012· 武昌区调研] 通过随机询问 110 名性别不

点 面 讲 考 向

同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进 行抽样调查,得到如下的列联表: 男 走天桥 走斑马线 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

n(ad-bc)2 由 K2 = ,算得 K2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 110×(40×30-20×20)2 = ≈7.8. 60×50×60×50

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第53讲

统计案例

附表:
P(K2≥k) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

点 面 讲 考 向

k

参照附表,得到的正确结论是( 别有关”

)

A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性 B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性 别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选 择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选 择过马路的方式与性别无关”
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第53讲

统计案例

思考流程
点 面 讲 考 向

分析:根据卡方统计量进行判断;推理:

根据卡方统计量,结合临界值表作出判断;结论:结合选 项得结论.

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第53讲

统计案例

[解析] A
点 面 讲 考 向

∵P(K2≥6.635)=0.01=1-99%.

∴有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别 有关”.

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第53讲

统计案例

点评
点 面 讲 考 向

解决独立性检验问题,关键是根据样本的数据,

正确作出2×2列联表,利用公式计算K2的观测值,对照临界 值表,作出统计推断.

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第53讲

统计案例

归纳总结

利用独立性检验,能够帮助我们对日常生

活中的实际问题作出合理的推断和预测.独立性检验就是
点 面 讲 考 向

考察两个分类变量是否有关系,并能较为准确地给出这种 判断的可信度,具体做法是根据公式K2= n(ad-bc)2 ,计算随机变量的观 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 测值k,k值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.

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统计案例

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 河南十校联考] 为了评价某个电视栏

目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居 民进行调查,经过计算K2≈0.99,根据这一数据分析,下 列说法正确的是( ) A.有99%的人认为该栏目优秀 B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C.有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关 系 D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

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统计案例

[解析] D
点 面 讲 考 向

只有K2>6.635才能有99%的把握认为电视栏

目是否优秀与改革有关系,而即使K2>6.635也只是对"电 视栏目是否优秀与改革有关系"这个论断成立的可能性大 小的结论,不是指有99%的人认为该栏目是否优秀与改革 有关系.故选D.

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统计案例

?

探究点三
例3

独立性检验的综合应用
电视传媒公司为了解某地区观众

[2012· 辽宁卷]

点 面 讲 考 向

对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调 查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日 均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为 “体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
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第53讲

统计案例

(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料 你是否认为“体育迷”与性别有关?
点 面 讲 考 向

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

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第53讲

统计案例

(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为 “超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若
点 面 讲 考 向

从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观 众的概率. n(ad-bc)2 附:K2= , (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k) k

0.05 3.841

0.01 6.635

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第53讲

统计案例

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:样本数据的频率分布直方图;

目标:两个分类变量的2×2列联表、体育迷与性别的关 系;方法:利用频率分布直方图列出两个分类变量的2×2 列联表,计算卡方统计量、结合给出的临界值进行判断. (2)条件:“超级体育迷”的人数和其中女性人数;目 标:任取两人其中至少有一名女性的概率;方法:属于古 典概型问题,列举基本事件个数,找出所求的随机事件含 有的基本事件的个数,根据古典概型的公式进行计算.

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统计案例

解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中, “体育迷”为25人,从而完成2×2列联表如下:
点 面 讲 考 向
非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将2×2列联表中的数据代入公式计算,得 K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =

100×(30×10-45×15)2 100 = 33 ≈3.030. 75×25×45×55
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第53讲

统计案例

点 面 讲 考 向

因为3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷” 与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为5个,从 而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω ={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1, b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}. 其中ai表示男性,i=1,2,3,bj表示女性,j=1,2. Ω 由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是 等可能的.用A表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一 事件,则A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3, b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 7 事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=10.
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第53讲

统计案例

点评
点 面 讲 考 向

本题综合了频率分布直方图、独立性检验、古典

概型的计算,这是文科的概率统计解答题的一个重要考查方 向.

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第53讲

统计案例

归纳总结 独立性检验的一般步骤:①根据样本数据制成 2× 列 联 表 , 假 设 两 个 变 量 无 关 系 ; ② 根 据 公 式 K2 = 2
点 面 讲 考 向

n(ad-bc)2 ,计算 K2 的值;③比较 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) K2 与临界值的大小关系作统计推断.对 2× 列联表每个事件 2 只有两种结果,这类问题计算量大,在运算上要细致.

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第53讲

统计案例

变式题 [2012· 长春四调] 为了解某班学生喜爱打篮球 是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下
点 面 讲 考 向

的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 5 合计

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学 3 生的概率为 . 5
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第53讲

统计案例

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?
点 面 讲 考 向

说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4, A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球.现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜 欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

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第53讲

统计案例

点 面 讲 考 向

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第53讲

统计案例

解:(1)列联表补充如下:
点 面 讲 考 向

喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

50×(20×15-10×5)2 (2)∵K2= ≈8.333>7.879. 30×20×25×25 ∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

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第53讲

统计案例

点 面 讲 考 向

(3)从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、 喜欢踢足球的各1名,其一切可能的结果组成的基本事件如 下: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1, B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1), (A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3, C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3, B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2), (A4,B1,C1),(A4,B1,C2),(A4,B2,C1),(A4,B2, C2),(A4,B3,C1),(A4,B3,C2),(A5,B1,C1),(A5, B1,C2),(A5,B2,C1),(A5,B2,C2),(A5,B3,C1), (A5,B3,C2);基本事件的总数为30,

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第53讲

统计案例

点 面 讲 考 向

用M表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则其对立事 件M表示“B1,C1全被选中”这一事件, 由于M由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1), (A4,B1,C1),(A5,B1,C1)5个基本事件组成, 5 1 所以P(M)=30=6, 1 5 由对立事件的概率公式得P(M)=1-P(M)=1-6=6.

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第53讲

统计案例

易错究源19


因判断两个变量的相关程度易混而致误

在一项研究吸烟与患肺癌的关系的调查中,共调查

36 578人,经计算得K2=62.98,根据这一数据分析,我们认 为“吸烟与患肺癌没有关系”,这种判断出错的可能性是 ________.[参考值P(K2≥10.828)≈0.001]
多 元 提 能 力

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第53讲

统计案例

错解 因为K2=62.98≥10.828, 所以填0.001.

[错因]
多 元 提 能 力

混淆了“吸烟与患肺癌没有关系”与“吸烟与

患肺癌有关系”,P(K2≥10.828)≈0.001的含义是“吸烟与 患肺癌有关系”出错的可能性为0.001.

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第53讲

统计案例

[正解]

由题意,我们有99.9%的把握认为“吸烟与患肺

癌有关系”,这样判断出错的可能性是0.1%,因此我们有 0.1%的把握认为“吸烟与患肺癌没有关系”,这种判断出错 的可能性是99.9%.故填0.999.
多 元 提 能 力

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第53讲

统计案例

自我检评 2×2 列联表:

(1)某班主任对全班 50 名学生的学习积极

性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下的
积极参加 班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 6 24 不太主动参 加班级工作 7 19 26

合计 25 25 50

多 元 提 能 力

则至少有________的把握认为学生的学习积极性与对 待班级工作的态度有关.(请用百分数表示)
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第53讲

统计案例

n(ad-bc)2 附:K2= , (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2>k0)
多 元 提 能 力

0.10

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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第53讲

统计案例

(2)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用, 把 500 名使用血清的人与另外 500 名未用血清的人一年中 的感冒记录比较,提出假设 H0:“计算血清不能起到预防 感冒的作用”,作 2×2 列联表计算得 K2≈3.918,经查对 临界值可知 P(K2≥3.841)≈0.05.对此,四名同学作了以下
多 元 提 能 力

的判断: p:有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的 作用”; q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的 可能性得感冒;

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第53讲

统计案例

r:这种血清预防感冒的有效率为 95%; s:这种血清预防感冒的有效率为 5%. 则下列结论中,正确结论的序号是________.(把你认 为正确的命题序号都填上)
多 元 提 能 力

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第53讲

统计案例

[答案]

(1)99.9%

(2)①④

[解析]

n(ad-bc)2 (1)K2 = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

50(18×19-6×7)2 150 = = ≈11.5, 13 25×25×24×26
多 元 提 能 力

∵K2>10.828, 则至少有 99.9%的把握认为学生的学习积 极性与对待班级工作的态度有关. (2)本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用 语.由题意,得 K2≈3.918,P(K2≥3.841)≈0.05,所以,只 有第一位同学的判断正确, 即有 95%的把握认为“这种血清 能起到预防感冒的作用”.由真值表知①④为真命题.
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第53讲

统计案例

备选理由

例1是独立性检验问题的逆向应用问题,可以

培养逆向思维的灵活性;例2是概率与统计结合的应用题,综 合考查茎叶图、概率与独立性检验.

教 师 备 用 题
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第53讲

统计案例

例1

有两个变量x与y,其一组观测值如下面的

2×2列联表所示: y x x1 x2 y1 a 15-a y2 20-a 30+a

教 师 备 用 题

则a取何正整数时,有90%的把握认为“x与y之间有 关系”试写出a的一个值.

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第53讲

统计案例

解:由题意知:K2>2.706,而 K2= 65[a(30+a)-(15-a)(20-a)]2 15×50×45×20 =

13(13a-60)2 >2.706, 90×60 即13a-60>33.5或13a-60<-33.5, 所以a>7.2或a<2.所以取a=8满足题意.

教 师 备 用 题
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第53讲

统计案例

例2

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、

乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不 同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为 了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中 各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如 下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.

教 师 备 用 题
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第53讲

统计案例

(1)在乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩 中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概 率; (2)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 甲班(A方式) 乙班(B方式) 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计
教 师 备 用 题
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第53讲

统计案例

n(ad-bc)2 附:K2= . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

教 师 备 用 题
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第53讲

统计案例

解:(1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件A, 从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为: (86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99), (93,96),(93,97),(93,99),(93,99), (96,97),(96,99),(96,99), (97,99),(97,99), (99,99)共15个. 而事件A包含基本事件: (93,96),(93,97),(93,99),(93,99), (96,97),(96,99),(96,99), (97,99),(97,99), (99,99),共10个. 10 2 所以所求的概率为P(A)=15=3.
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教 师 备 用 题

第53讲

统计案例

(2)由已知数据得 甲班(A方式) 乙班(B方式) 总计 1 5 6 成绩优秀 成绩不优 19 15 34 秀 20 20 40 总计 根据列联表中数据,
教 师 备 用 题

40×(1×15-5×19)2 K2= ≈3.137, 6×34×20×20 由3.137>2.706,所以有90%的把握认为“成绩优秀” 与数学方式有关.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第54讲 随机事件的概率 与古典概型

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考试大纲
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定 性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式. 4.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件 数及事件发生的概率.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

—— 知 识 梳 理 ——

一、随机事件的概率 概率的统计定义:一般地,如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时,我 m 们可以将发生的频率 作为事件 A 发生的概率的近 mn 似值,即 P(A)≈________. n

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

或者

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型



不可能事件

不可能事件 必然事件

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

三、概率的基本性质 1.任何事件A的概率都在[0,1]内,即 0≤P(A)≤1,不可能事件?的概率为0,必然事件Ω 的概率为1. 2.如果事件A,B互斥,则P(A+B)=
P(A)+P(B) ________________.

3.事件A与它的对立事件A的概率满足P(A)+
1 P(A)=________.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

四、古典概型 1.古典概型的两大特点:(1)试验中所有可能出 现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的 可能性相等; 2.古典概型的概率计算公式:P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 ____________________.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为 一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基 本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出 1 现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 . n 如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概
m 率为________. n

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

—— 疑 难 辨 析 ——

1.对随机事件概念的理解 (1)“抛一石块,下落”是必然事件.( 化”是随机事件.( 件.( ) ) ) ) (2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融 (3)“某人射击一次,中靶”是不可能事 (4)“如果a<b,那么a-b<0”是必然事件.( (5)“抛掷一枚骰子,正面向上的点数是5”是随 机事件.( )
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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

[答案]

(1)√

(2)× (3)×

(4)√

(5)√

[解析]

根据定义,事件(1)、(4)是必然事件;事件(2)

是不可能事件;事件(3)、(5)是随机事件.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

2.互斥事件与对立事件的关系 (1)一盒子中有10个球,其中5个红球和5个蓝 球,从中任取一球,则事件“取出的球是红球”与 事件“取出的球是蓝球”是对立事件.( ) (2)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数 从1~10各10张)中,任取一张,“抽取黑桃”与“抽 取方块”是对立事件.( )

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

[答案]

(1)√

(2)×

[解析]

(1)取出的一个球不是蓝球,就是红球,只有

这两种可能,所以这两个事件是对立事件. (2)从40张扑克牌中,任取一张,“抽取黑桃”与“抽 取方块”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时, 不能保证其中必有一个发生,这是因为还可能抽取“红 桃”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

3.古典概型的特征 (1)向一个圆内随机地投一个点,该点落在圆内 任意一点都是等可能的,这种试验是古典概 型.( ) ) (2)在适宜的条件下,种下5粒种子,观察它的发 芽率,这种试验是古典概型.( 5 率为 .( 11 (3)任意投掷两枚骰子,出现点数和为奇数的概 )

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第54讲
双 向 固 基 础

随机事件的概率与古典概型

[答案]

(1)×

(2)× (3)×

[解析]

(1)因为基本事件是无限的,所以不是古典概

型. (2)因为种子发芽与不发芽,在一般情况下不是等可能 的,所以不是古典概型. (3)出现点数和为奇数由数对(奇,偶),(偶,奇)组成, 18 1 列表知共有18种不同的结果,故所求的概率为P=36=2.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

考点统计
1.随机事件的频率与概率问题 点 面 讲 考 向 2.互斥事件与对立事件的概率 问题 3.简单的古典概型的概率问题 4.复杂的古典概型的概率问题

题型(考频)
解答(1)

题型示例(难度)
2012年T18(B)

0
选择(1) 解答(1) 2011年T6(A) 2008年T19(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

?

探究点一
例1

随机事件的频率与概率问题

下表是使用计算机模拟抛掷硬币时正面出现的次

点 面 讲 考 向

数的频率的统计表:

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第54讲
1 2 3

随机事件的概率与古典概型
模拟次数 10 模拟次数 100 模拟次数 1000 模拟次数 5000 模拟次数 10000 模拟次数 50000 模拟次数 100000 模拟次数 500000 正面向上的频率 0.3 正面向上的频率 0.53 正面向上的频率 0.52 正面向上的频率 0.4996 正面向上的频率 0.506 正面向上的频率 0.50118 正面向上的频率 0.49904 正面向上的频率 0.50019

点 面 讲 考 向

4 5 6 7 8

据此表格,估计抛掷一枚硬币时正面向上的概率是 ________.
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

思考流程
点 面 讲 考 向

根据频率估计概率的思想,试验次数越多

概率的估计值就越准确.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[答案]
点 面 讲 考 向

0.5

[解析] 可以看出随着试验次数的逐步增加, 正面向上的 次数的频率越来越稳定在 0.5 附近,据此估计抛掷一枚硬币 时正面向上的概率是 0.5.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

归纳总结
点 面 讲 考 向

概率是频率的稳定值,可以根据大量的

试验中的频率估计事件发生的概率.概率是一个确定的 值,这个值是客观存在的,但在我们没有办法求出这个值 时,就可以使用大量重复试验中的频率值估计这个概率 值.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

变式题
点 面 讲 考 向

[2012· 太原一中月考] 某运动员在最近的几

场大赛中罚球投篮的结果如下: 投篮次数n 进球次数m

8 6

10 8

9 7

12 9

10 7

16 12

这位运动员投篮一次,进球的概率是________.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[答案]
点 面 讲 考 向

0.75

[解析] 根据表格计算几场大赛中罚球进球的频率分别 为:0.75,0.8,0.78,0.75,0.7,0.75.随着罚球投篮的次数 的增加,进球的频率越来越接近于0.75,且在它附近摆 动.故进球的概率为0.75.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

?

探究点二

互斥事件与对立事件的概率问题

例2
点 面 讲 考 向

(1)如图9-54-1是由一个圆、一个三角形和一个

长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个 图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为 ( )

3 3 1 1 A. 4 B.8 C. 4 D.8 (2)甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是50%,甲不输的概 率为95%,则甲、乙二人下成和棋的概率为( A.60% B.30% C.10% D.45%
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)

第54讲

随机事件的概率与古典概型

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:“三个形状颜色不全相同”与

“三个形状颜色全相同”是对立事件;推理:先找出事件 的总数,数出“三个形状颜色完全相同”的事件个数并求 其概率;结论:根据对立事件概率之和为1可得结果. (2)分析:事件“甲不输”是两个互斥事件“甲获胜” 与“甲、乙二人下成和棋”的和事件;推理:设甲、乙二 人下成和棋的概率为P,利用甲不输的概率为95%列方 程;结论:方程的根就是所求的答案.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)D

[解析] (1)分别以a,b表示红色和蓝色,则图中自上而 下不同涂色的种数是8种:aaa,aab,abb,aba,bbb, bba,baa,bab,其中,“三个形状颜色全相同”有2种, 2 1 其概率为P1= 8 = 4 ,所以“三个形状颜色不全相同”的概 1 3 率为P2=1-P1=1-4=4.故选A.也可以直接求解. (2)甲不输即为“甲获胜”或“甲、乙二人下成和 棋”,设“甲乙二人下成和棋”的概率为P,则95%=50% +P,解得P=45%.故选D.
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

点评
点 面 讲 考 向

(1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事

件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公 式进行计算.(2)在求某些复杂事件(如“至多、至少”的概率) 时,通常有两种方法:①将所求事件的概率化为若干互斥事 件的概率的和;②求此事件的对立事件的概率.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

归纳总结

互斥的两个事件在一次试验中不可能同时

发生,这两个事件的和满足概率加法公式;如果两个事件
点 面 讲 考 向

互斥,又在一次试验中必然有一个发生,这样两个事件就 是对立事件,它们的概率之和等于1.在求解概率问题时把 随机事件分解为一些互斥事件的和或者使用事件之间的对 立关系有助于简化计算.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

变式题
点 面 讲 考 向
命中环数

(1)某人射击1次,命中率如下表所示:
10环 9环 8环 7环 6环及其以下(包括脱 靶) 0.1

概率

0.12

0.18 0.28 0.32

则射击1次,至少命中7环的概率为________. (2)有5名学生,其中2名男生,3名女生,从中任选2 名,恰好是2名男生或2名女生的概率是________.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)0.9

(2)0.4

[解析] (1)至少命中 7 环的概率为 1-0.1=0.9. (2)记“从中任选 2 名, 恰好是 2 名男生”为事件 A, “从 中任选 2 名,恰好是 2 名女生”为事件 B,则事件 A 与事件 B 为互斥事件,且“从中任选 2 名,恰好是 2 名男生或 2 名 女生”为事件 A+B.从 5 名学生中选 2 名, 10 种结果, 共 恰 好是 2 名男生的有 1 种,恰好是 2 名女生的有 3 中,所以 1 3 1 3 P(A)= , P(B)= , 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = 10 10 10 10 2 5=0.4.
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

?

探究点三
例3

简单的古典概型的概率问题

(1)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其

点 面 讲 考 向

中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这 两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 3 A. 3 B.2 C. 3 D.4 (2)[2012· 安徽卷] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的 球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两 球,两球颜色为一白一黑的概率等于( 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 )

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

思考流程
点 面 讲 考 向

分析:问题是古典概型;推理:列举基

本事件个数、随机事件含有的基本事件个数;结论:按照 古典概型公式计算.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)B

[解析] (1)他们参加兴趣小组共9种情况,其中参加同 1 一小组情况共3中,所以概率为 ,故选A. 3 (2)用列举法可得:从袋中任取两球有15种取法,其中 一白一黑共有6种取法,由等可能事件的概率公式可得P= 6 2 15=5.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

归纳总结
点 面 讲 考 向

古典概型是基本事件个数有限且每个基本事

件发生的可能性相同的概率模型,遇到一个求解概率的试题 首先要判断这个概率问题是否属于古典概型,然后再根据古 典概型的概率计算公式进行计算.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

变式题

(1)[2012· 宁夏仿真模拟] 从{1,2,3,4,

5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数
点 面 讲 考 向

b,则a>2b的概率为( ) 1 4 1 6 A. B. C. D. 5 15 3 15 (2)如图9-54-2表示的是甲、乙两人在5次综合测评 中成绩的茎叶图,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩 超过乙的平均成绩的概率为( )

2 A. 5

7 B.10

4 C. 5

9 D.10
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)C

[解析] (1)分别从两个集合中各取一个数,共有 15 种取 法,其中满足 a>2b 的有 4 种取法,故所求事件的概率为 P 4 = . 15 (2)设被污损的数字为 x,则 x=0,1,2,?,9 共 10 个数.若甲的平均成绩超过乙的平均成绩,则有 80×2+17 +3×90+3>80×3+13+90×2+9+x,解得 x<8,x=0,1, 8 4 2,?,7 共 8 个数.所求的概率为 P= = ,故选 C. 10 5

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

?

探究点四
例4

复杂的古典概型的概率问题
某校高三某班的一次数学测

[2012· 哈九中四模]

点 面 讲 考 向

试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏,但可见部分如图9-54-3,据此解答如下问题: (1)求分数在[50,60)的频率及全班的人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直 方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析 学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份在[90, 100]之间的概率.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)条件:[50,60)之间的频数为2,矩形

的高为0.008;目标:求分数在[50,60)的频率及全班的人 某个区间的频数 数;方法:运用频率=矩形的高×组距= . 总频数 (2)条件:全班的人数,茎叶图,直方图;目标:求 [80,90)之间的频数及矩形的高;方法:利用各区间频数 之和等于总人数可求[80,90)之间的频数,再利用“频率 =矩形的高×组距”求解. (3)条件:[80,90)及[90,100)之间的频数;目标:任 取两份,至少有一份在[90,100)之间的概率;方法:列举 基本事件,确定基本事件的总数及所求事件所包含的基本 事件数,按照古典概型公式计算.
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

解:(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08,由
点 面 讲 考 向

茎叶图知分数在[50,60)之间的频数为2,所以全班人数为 2 =25. 0.08 (2)由茎叶图可知,分数在[80,90)之间的频数为25-2 -7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高 4 为 ÷10=0.016. 25

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4,[90, 100)之间的2个分数编号为5,6,在[80,100)之间的试卷中 任取两份的基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个基本事件, 其中至少有一份在[90,100]之间的基本事件有(1, 5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4, 6),(5,6)共9个. 9 所以至少有一份在[90,100]之间的概率为15=0.6.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

归纳总结
点 面 讲 考 向

许多古典概型的试题其基本事件个数的计算

没有直接的公式可以套用,一般都是采用列举法,通过列举 把所有基本事件找出来,对于比较复杂的情形,在列举时注 意借助于图表等进行,有时还要与解析几何、函数等其他知 识结合起来才能确定基本事件的个数.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

变式题

(1)[2012· 宁波模拟] 连掷骰子两次(骰子六

个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别
点 面 讲 考 向

记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相 切的概率为________. (2)将一骰子向上抛掷2次,所得点数分别为m和n,则 函数y= ( ) 1 A. 2 2 B.3 3 C. 4 5 D.6 2 3 mx3-nx+1在[1,+∞)上为增函数的概率是

[答案]

1 (1) 18

(2)D
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[解析] (1)连掷骰子两次总的试验结果有36种,要使直 |3a-4b| 线3x-4y=0与圆(x-a) +(y-b) =4相切,则 =2, 5 即满足|3a-4b|=10,符合题意的(a,b)由(6,2),(2,4)2 1 个,由古典概型概率计算公式可得所求概率为P= . 18 (2)基本事件的总数是36,y′=2mx2-n,若函数在[1, n +∞)上单调递增,则y′≥0在[1,+∞)上恒成立,即 ≤x2 2m n 在[1,+∞)上恒成立,即 ≤1,即2m≥n.在所有的基本 2m 事件中2m<n的有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5), 6 5 (2,6),故所求的概率为1-36=6.
2 2

点 面 讲 考 向

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

答题模板15


古典概型的解答题的答题技巧

[2012· 哈三中三模] 口袋里装有4个大小相同的小

球,其中两个标有数字1,两个标有数字2. (1)第一次从口袋里任意取一球,放回口袋里后第二次再 任意取一球,记第一次与第二次取到小球上的数字之和为ξ .
多 元 提 能 力

当ξ为何值时,其发生的概率最大?说明理由; (2)第一次从口袋里任意取一球,不再放回口袋里,第二 次再任意取一球,记第一次与第二次取到小球上的数字之和 为η.求η大于2的概率.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

解: (1)设标号为 1 的球为 A, 标号为 2 的球为 C, B, D, 1分 所有基本事件包括:(A,A),(B,B),(C,C),(D,D), (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(D, A),(C,A),(B,A),(D,B),(C,B),(D,C)共 16 种.2 分
多 元 提 能 力

设事件 A1 表示数字和为 2,包括:(A,A),(B,B),(A, 4 1 B),(B,A),共 4 种,P(A1)=16=4.3 分 设事件 A2 表示数字和为 3,

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

包括:(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(D,A),(C, 8 1 A),(D,B),(C,B),共 8 种,P(A2)= = ,4 分 16 2 设事件 A3 表示数字和为 4,包括:(C,C),(D,D),(C, 4 1 D),(D,C),共 4 种,P(A3)= = ,5 分 16 4
多 元 提 能 力

∴数字和为 3 时概率最大.6 分

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

(2)所有基本事件包括:(A,B),(A,C),(A,D),(B, A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A), (D,B),(D,C),共 12 种.7 分 设事件 B1 表示数字和为 3,包括:(A,C),(A,D),(B,
多 元 提 能 力

8 C),(B,D),(C,A),(C,B),(D,A),(D,B),P(B1)= 12 2 = ,9 分 3 设事件 B2 表示数字和为 4, 包括: (C, D), (D, P(B2) C), 2 5 =12,数字和大于 2 的概率为 P(B1)+P(B2)=6.11 分 5 ∴数字和大于 2 的概率为6.12 分

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

方法解读

解答古典概型问题的应用题,用列举法可

以使我们明确基本事件的构成,列举时要按规律进行,通 常采用分类列表、树形图等方法,这样可以避免重复、遗 漏.关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看做 是无顺序的,也可以看作是有顺序的,其结果是一样的,
多 元 提 能 力

但不能选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导 致错误.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

自我检评

[2012· 太原一模] 某公司有一批专业技术

人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查, 其结果(人数分布)如下表: 学历
多 元 提 能 力

35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 80 x 30 20 20 y

本科 研究生

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

(1)在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中用分层抽样 的方法抽取一个容量为 5 的样本, 将该样本看成一个总体, 从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层 抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上
多 元 提 能 力

10 人,再从这 N 个人中随机抽出 1 人,此人的年龄为 50 5 岁以上的概率为 ,求 x,y 的值. 39

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

解:(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为m, 30 m ∴ = , 解得m=3. 50 5 ∴抽取了学历为研究生的2人,学历为本科的3人,分别 记作S1,S2;B1,B2,B3. 从中任取2人的所有基本事件共10个: (S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2, B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2, B3),(S1,S2),
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多 元 提 能 力

第54讲

随机事件的概率与古典概型

多 元 提 能 力

7 ∴从中任取2人,至少有1人的学历为研究生的概率为10. 10 5 (2)依题意,得 =39,解得N=78, N ∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20. 48 20 10 ∴ = = . 50 20+y 80+x 解得x=40,y=5.

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

备选理由

例1是概率与向量结合的题目,具有一定的综

合性,意在培养学生的综合运用知识的能力;例2则是常规概 率问题的逆向思维,对培养学生的思维的灵活性有一定的帮 助.

教 师 备 用 题
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

例1

[2011· 四川卷]

在集合{1,2,3,4,5}中任

取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α= (a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个 向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的 个数为n,其中面积等于2的平行四边形的个数为m,则 m =( ) n 2 1 4 1 A. 15 B.5 C. 15 D.3
教 师 备 用 题
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

[解析] B

→ → 因为当OP=(a1,a2),OQ=(b1,b2)时,

→ → 则以OP,OQ为邻边的平行四边形的面积

2 = (a2+a2)(b2+b2)-(a1b1+a2b2)2 1 1 2

教 师 备 用 题

=|a1b2-a2b1|.根据条件知平行四边形面积等于2可转化 为|a1b2-a2b1|=2(※).

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第54讲

随机事件的概率与古典概型

由条件知,满足条件的向量有6个,即α1=(2,1),α2 =(2,3),α3=(2,5),α4=(4,1),α5=(4,3),α6=(4, 5),易知n=C 2 =15.而满足(※)式的有向量α1和α4,α1和 6 m 1 α5,α2和α6共3个,即 = . n 5

教 师 备 用 题
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

例2

袋中有12个小球,分别是红球、黑球、黄

1 球、绿球.从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到 3 5 5 黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 . 12 12 试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少?

教 师 备 用 题
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第54讲

随机事件的概率与古典概型

解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”、“得到 黑球”、“得到黄球”、“得到绿球”分别为A,B,C, 5 D,则有P(B+C)=P(B)+P(C)=12, 5 ? ? P(C+D)=P(C)+P(D)= 12 ,P(B+C+D)=1-P ??A?? =1 1 2 1 1 1 - = ,解得P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 3 3 4 6 4 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 4 1 1 6、4.

教 师 备 用 题

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第55讲 随机数与几何概型

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考试大纲
1. 了解随机数的意义, 能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义.

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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

—— 知 识 梳 理 ——

一、随机模拟方法 1.定义: 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以 便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方 法就是模拟方法.

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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

2.基本步骤: 用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟 方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是:① 用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋 予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随 机数的个数 M 和总的随机数个数 N; ③计算频率 fn(A) M = 作为所求概率的近似值. N

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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

二、几何概型 1.概念:如果每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型的基本特点:①试验中所有可能出 现的结果(基本事件)有无限多个; ②每个基本事件出 现的可能性相等. 3 . 计 算 公 式 : P(A) = 构成事件A的区域长度(或面积或体积) . 试验全部结果所构成的区域长度(或面积或体积)
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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

—— 疑 难 辨 析 ——

1.关亍随机模拟 (1)随机相同环境下两次模拟得到的概率的估计值 是相同的.( ) ) ) (2)在区间[1,20]上得到一个均匀随机整数,每一 个整数被抽取的机会均等.( (3)将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均 匀随机数,需实施的变换为 a=a1*8+2.(

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双 向 固 基 础

随机数与几何概型

(4)函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],用计算器 上的随机函数产生一个[-5,5]上的随机数 x0,那么 使 f(x0)≤0 的概率等于 0.3.( )

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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

[答案]

(1)×

(2)√ (3)×

(4)√

[解析]

(1)即使在完全相同的环境下两次模拟得到的频

率值也可能不同,所以得到的概率值也可能不相等. (2)根据均匀随机数的概念可得. (3)将 0~1 之间的随机数转化为 a~b 之间的随机数需进 行的变换为 a=a1*(b-a)+a,所以,本题中的变换应该为 a =a1*8-2. (4)用计算器产生的 x0∈[-5, 其长度为 10, f(x0)≤0, 5], 使 2 即 x0-x0-2≤0, ∴-1≤x0≤2,其区间长度为 3,所以使 f(x0)≤0 的概率 3 等于10=0.3.
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第55讲
双 向 固 基 础

随机数与几何概型

2.关亍几何概型 (1)古典概型与几何概型的相同点是基本事件的 等可能性; 不同点是基本事件的有限性与无限性的区 别.( ) ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的 形状有关.( (3)在 10 立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定 这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的. 若 取出 1 立方米的沙子, 则取出的沙子中含有玻璃球的 概率为 0.1.( )
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双 向 固 基 础

随机数与几何概型

(4)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率 1 是 P= .( 9 )

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双 向 固 基 础

随机数与几何概型

[答案]

(1)√

(2)× (3)√

(4)×

[解析]

(1)根据古典概型和几何概型的概念及特点即

可判断. (2)几何概型的概率与几何图形的形状无关, 只与几何图 形的大小有关. 1 (3)符合几何概型的条件,所以概率为 =0.1. 10 (4)因为从[1,10]内任取一个数,有无数个结果,且每 一个结果所出现的可能性相等,属于几何概型,由概率计算 1-1 公式得 P= =0. 10-1
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第55讲

随机数与几何概型

考点统计

题型(考频) 填空(1) 0 0 0

题型示例(难度)

点 面 讲 考 向

1.随机模拟方法的应用 2.一维的几何概型 3.二维的几何概型 4.三维的几何概型

2010年T14(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第55讲

随机数与几何概型

?

探究点一
例 1

随机模拟方法的应用

已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现

点 面 讲 考 向

采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中 的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指 定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中; 再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模 拟产生了 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 683 431 257 393 027 556 488 730 989 458 113 569 537

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第55讲

随机数与几何概型

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (
点 面 讲 考 向

) A.0.35

B.0.25 C.0.20 D.0.15

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第55讲

随机数与几何概型

思考流程
点 面 讲 考 向

分析:根据这个模拟试验中随机事件“三

次投篮中有两次命中”的频率估计概率;推理:在 20 组随 机数中找出每组中含有 1,2,3,4 中的任意两个数字(可 m 以重复)的组数 m;结论:计算 得结论. 20

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随机数与几何概型

[解析] B 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中
点 面 讲 考 向

5 的是 191,271,932,812,393,其频率为 =0.25,依次 20 估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25.答案为 B.

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第55讲

随机数与几何概型

归纳总结 概率的统计定义的基本思想就是用大量重 复试验下,某个事件发生的频率的稳定值代替概率值,可
点 面 讲 考 向

以通过某次试验的频率去估计概率值,这个概率值是确定 的,这个值是不依赖于这次随机模拟的,是一个客观存在 的确定的数值.

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随机数与几何概型

变式题
点 面 讲 考 向

为了测算如图 9-55-1 阴影部分的面积, 作

一个边长为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随机 投掷 800 个点.已知恰有 200 个点落在阴影部分,据此, 可估计阴影部分的面积是________.

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第55讲

随机数与几何概型

[答案]
点 面 讲 考 向

9

200 1 [解析] 点落在阴影部分的频率是800=4, 由于是随机的 掷点,点落在正方形内各点是随机的,因此我们就有理由相 1 信阴影部分的面积就是整个正方形面积的 4,故阴影部分的 1 面积约为 ×36=9. 4

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随机数与几何概型

?

探究点二
例2

一维的几何概型

(1)[2012· 吉林实验中学三模] 点 A 为周长等于 3

点 面 讲 考 向

的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为________. (2)如图 9-55-2 所示,一游泳者与河岸 AB 成 60°的方 向向河里直线游了 10 米, 然后任意选择一个方向继续直线游 下去,则他再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB 的概率是 ( ) 1 1 1 1 A. 3 B.4 C. 5 D.6
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第55讲

随机数与几何概型

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:几何概型问题;推理:画出图

形,根据条件找到随机事件“劣弧 AB 的长度小于 1”所对 应的圆上的弧长;结论:根据几何概型的计算公式进行计 算. (2)分析:几何概型问题;推理:将基本事件用角度来 进行度量;结论:根据几何概型的计算公式进行计算.

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随机数与几何概型

[答案]
点 面 讲 考 向

2 (1) 3

(2)D

[解析] (1)如图,可设 AM=1,AN=1,根据题意只要 点 B 在优弧 MAN 上,劣弧 AB 的长度就小于 1,由于点 B 在圆周上的任意性,故这个概率是优弧 MAN 的长度与圆的 2 周长之比,即这个概率是 . 3

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第55讲

随机数与几何概型

(2)在点 C 处任意选择一个方向继续直线游下去,可在 360°区域内活动,再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB,
点 面 讲 考 向

60° 1 只能在 60°区域内活动,故所求的概率为 P= =6.故 360° 选 D.

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第55讲

随机数与几何概型

点评 (1)第一小题把直线上的几何概型的计算方法用于
点 面 讲 考 向

圆上, 设计了一道考查考生对几何概型的掌握程度和分类整合 思想应用的试题,试题不落俗套,值得赏析.本题容易只看到 1 点 B 在点 A 的一侧,而将这个概率值求为 ,也有可能把圆的 3 1 1 周长是 3 当成了半径是 3,求出错误结果 或 ;(2)第二小 3π 6π 题的主要考查点是几何概型的计算, 但试题的真正难点在于不 知道用什么量来度量基本事件,用角来度量是思维的一次跳 跃.

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第55讲

随机数与几何概型

归纳总结

几何概型的特征:①无限性:在一次试验

中,可能出现的结果是无限的,即有无限个不同的基本事
点 面 讲 考 向

件;②等可能性:每个基本事件出现的可能性是相等的; ③ 几 何 概 型 的 概 率 公 式 : P(A) = 构成事件A的测度 (测度, 即长度、 面积、 体积等). 试验全部结果所构成的测度

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第55讲

随机数与几何概型

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2012· 武昌区调研] 有一根长为 1 m 的细

1 绳子, 随机从中间将细绳剪断, 则使两截的长度都大于 m 8 的概率为________.
? π (2)在区间?- ? 2 ?

π? ? cosx 的值介于 , ?上随机取一个数 x, 2? ) 2 D. 3

1 0 到2之间的概率为( 1 2 1 A. B. C. 3 2 π

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第55讲

随机数与几何概型

[答案]
点 面 讲 考 向

3 (1) 4

(2)A

[解析] (1)本题主要考查几何概型的计算.属于基础知 识、基本运算的考查. 如图,将细绳八等分,C,D 分别是第一个和最后一个 等分点,则在线段 CD 的任意位置剪断得到的两截细绳长度 1 1 都大于 m. 由几何概型的计算公式, 两截的长度都大于 m 8 8 6 8 3 的概率为 P= 1=4.

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随机数与几何概型

(2) 在 区 间
点 面 讲 考 向
? π x∈?- ? 2 ?

? π ? ?- 2 ?

π? ? ,2? 上 随 机 取 一 个 数 x , 即 ?

π 1 π? ? , 2 ?时,要使 cosx 的值介于 0 到2之间,需使- 2 ?

π π π π ≤x≤- 或 ≤x ,区间长度为 ,由几何概型知 cosx 3 3 2 3 π 1 3 1 的值介于 0 到2之间的概率为 =3. π

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第55讲

随机数与几何概型

?

探究点三
例3

二维的几何概型

(1)[2012· 湖北卷] 如图 9-55-3,在圆心角为直

点 面 讲 考 向

角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆,在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )

1 1 A. 2- π

1 B. π

2 C.1- π

2 D. π
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第55讲

随机数与几何概型

(2)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1.其中 ?a+b-8≤0, ? 实数 a, 满足 ?a>0, b 则函数 y=f(x)在区间[1, +∞) ?b>0, ? 上是增函数的概率是________.

点 面 讲 考 向

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第55讲

随机数与几何概型

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析: 只要求出阴影部分的面积即可;

推理:分割图形转化为求标准图形的面积;结论:根据几 何概型的公式计算后确定选项. (2)分析:几何概型,用区域面积表示基本事件;推理: 所求概率就是函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数时点 (a,b)在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比; 结论:用几何概型概率公式计算得结论.

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第55讲

随机数与几何概型

[答案]
点 面 讲 考 向

1 (1)C (2) 3

[解析] (1)如下图所示,

不妨设扇形的半径为 2a, 记两块白色区域的面积分别为 S1,S2,两块阴影部分的面积分别为 S3,S4,则 S1+S2+S3 1 +S4=S 扇形 OAB=4π (2a)2=π a2①,
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随机数与几何概型

点 面 讲 考 向

1 2 又由图可知 S3=S 扇形 EOD+S 扇形 COD-S 正方形 OEDC= π a 2 -a2, 所以 S 阴影=π a2-2a2. 故由几何概 型概率公 式可得, 所求概率 P= π a2-2a2 2 =1- .故选 C. 2 πa π S阴影 S扇形OAB =

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随机数与几何概型

点 面 讲 考 向

(2)函数 f(x)=ax2-4bx+1 在[1,+∞)单调递增的充要 2b a 条件是 ≤1,即 b≤2.作出平面区域如图,问题等价于向区 a 域 OAB 中 任 意 掷 点 , 点 落 在 区 域 ? ?16 8?? OAC ?其中点C的坐标是 ? 3 ,3?? 中 的 概 率 , 这 个 概 率 值是 ? ? ?? 1 8 2×3×8 1 =3. 1 ×8×8 2

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第55讲

随机数与几何概型

点评 (1)第一小题主要目的是考查几何概型,但问题的落
点 面 讲 考 向

脚点确是圆的定义和面积计算, 体现了几何概型命题背景的广 泛性. (2)第二小题的难点是如何把函数 y=f(x)在区间[1, +∞) 上是增函数转化为其系数所组成的点(a, b)在 aOb 平面上的区 域问题,化解的方法就是把函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是 2b 增函数的代数条件 ≤1 看作坐标平面 aOb 内的曲线所分割出 a 的区域. 几何概型的计算关键就是这种转化. 再看如下变式题.

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第55讲

随机数与几何概型

归纳总结 二维几何概型的关键是计算平面图形的面积, 在计算时要进行适当的技术处理, 如本例题(1)中要计算的是阴
点 面 讲 考 向

影部分的面积,采用面积变换的方法求解,实际上可以直接计 算,不妨设 OA=2,可以验证以 OA,OB 为直径的两个半圆 的交点平分半圆,其中一块空白区域的面积等于以 OA 为直径 的圆面积的二分之一减去四分之一圆上的两个弓形的面积, 即 π ?π 1? -2? - ?=1,所以空白区域的面积为 2,根据对立事件的概 2 ?4 2? 2 率公式可得所求的概率是 1- . π

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第55讲

随机数与几何概型

变式题

(1)[2012· 郑州质检] 在一个边长为 500 m

的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站,若向此区域
点 面 讲 考 向

内随机投放一个爆炸物,则爆炸点距离监测站 200 m 内都 可以被检测到.那么随机投放一个爆炸物被监测到的概率 为( ) π A. 25 2π B. 25 3π C. 25 4π D. 25

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第55讲

随机数与几何概型

(2)[2012· 潍坊重点中学联考] 记集合 A={(x,y)|x2+y2 ≤16}和集合 B={(x,y)|x+y+4≥0,x≤0,y≤0}表示的平
点 面 讲 考 向

面区域分别为 Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y), 则点 M 落在区域 Ω2 内的概率为( 1 A. 2π 1 B. π π -2 1 C. D. 4 4π )

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第55讲

随机数与几何概型

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)D

(2)A

S阴影部分 π ·2002 4π [解析] (1)如图所示,P= = = ,故选 5002 25 S正方形 D.

(2)区域 Ω1 为半径是 4 的圆形区域,其面积是 16π ,区 域 Ω2 是以(0,0),(-4,0),(0,-4)为顶点的三角形区域, 1 8 1 其面积是 ×4×4=8,故所求的概率是 = . 2 16π 2π
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第55讲

随机数与几何概型

?

探究点四
例4

三维的几何概型

在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取一 ) 1 1 C. D. π 6 6

点 面 讲 考 向

点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 a 的概率为( 2 2 A. B. π 2 2

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第55讲

随机数与几何概型

思考流程
点 面 讲 考 向

分析: 三维几何概型, 用体积表示基本事

件; 推理: 基本事件所占有的空间是正方体, 随机事件“点 P 到点 A 的距离小于等于 a”所占有的空间为该正方体内的 1 8个球体,转化为体积之比;结论:根据几何概型的概率公 式计算可得结果.

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第55讲

随机数与几何概型

点 面 讲 考 向

1 [解析] D 满足条件的点在半径为 a 的8球内,所以所 1 4 × π a3 π 8 3 求概率为 P= = 6 ,选 D. a3

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第55讲

随机数与几何概型

点评
点 面 讲 考 向

与体积有关的几何概型的概率问题,可根据题意

列出条件,找出试验的全部结果构成的空间图形区域及事件 A 构成的空间图形区域, 这一过程通常要用到立体几何的有关知 识与公式.

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第55讲

随机数与几何概型

归纳总结 很多几何概型,往往要通过一定的手段才能转 化到几何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题
点 面 讲 考 向

的具体情况进行转化, 如把从两个区间内取出的实数看作坐标 平面上的点的坐标,将问题转化为平面上的区域问题等,这种 转化策略是化解几何概型试题的关键.

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第55讲

随机数与几何概型

变式题

在一个底面圆的半径为 1,高为 2 的圆柱 )

内,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取
点 面 讲 考 向

一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( 1 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 4 4

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随机数与几何概型

[解析] B 先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概 率.圆柱的体积 V 圆柱=π ×12×2=2π .以 O 为球心,1 为半 1 4 2 3 径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球= 2×3π ×1 =3π ,则 2 π 3 1 点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 = ,所以, 2π 3 1 2 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- 3=3.故选 B.

点 面 讲 考 向

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第55讲

随机数与几何概型

思想方法21
例 1 A. 2
多 元 提 能 力

转化与化归思想在几何概型中应用

将长为 l 的小棒随机拆成 3 小段,则这 3 小段能构 ) 1 D. 5 1 B. 3 1 C. 4

成三角形的概率为(

[分析] 本题为求几何概型的概率问题,可通过设三 角形的两边,确定可行域,将求概率的问题转化为求线性 规划问题中的区域面积之比,化归为二维的几何概型问 题.
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第55讲

随机数与几何概型

[解析] C 设事件 A 为“3 段小棒构成三角形”,x,y 分 别表示其中两段的长度,则第三段的长度为 l-x-y.则试验 的全部结果可构成集合 Ω={(x, y)|0<x<l, 0<y<l, 0<x+y<l}. 要使 3 小段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第
多 元 提 能 力

l l 三段,即 x+y>l-x-y?x+y>2,x+l-x-y>y?y<2 ,y+l l - x - y>x?x< . 故 所 求 结 果 构 成 集 合 A = 2 ? ? l l l? ?(x,y)?x+y> ,y< ,x< ?,即如图中的阴影区域.由图 2 2 2? ? ? 可
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第55讲

随机数与几何概型

多 元 提 能 力

1 ? l ?2 ? ? A的面积 2·2? 1 ? 知,所求的概率为 P(A)= = 2 = .故选 C. 4 l Ω的面积 2

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随机数与几何概型

自我检评

(1)[2012· 石家庄模拟] 在平面直角坐标系

xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点 构成的区域, 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, E 向 D 中随机投一点,则所投点在 E 中的概率是________.
多 元 提 能 力
?0≤x≤2, ? 设不等式组 ? 表示 ?0≤y≤2 ?

(2)[2013· 昆明一中月考]

的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是________.

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第55讲

随机数与几何概型

[答案]

π (1)16

4-π (2) 4

[解析] (1)本小题考查几何概型及数形结合思想.如图, 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界), 区域 E 表示 π ×12 π 单位圆及其内部,因此 P= = . 4×4 16

多 元 提 能 力

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第55讲

随机数与几何概型

?0≤x≤2, ? (2)题目中? 表示的区域表示正方形区域,而动点 ?0≤y≤2 ?

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分, 1 2×2- π ×22 4-π 4 因此 P= = . 4 2×2
多 元 提 能 力

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第55讲

随机数与几何概型

备选理由 例 1 中的两问是两个容易混淆的问题, 放在一 起,能起到辨析纠错的作用.例 2 是一道古典概型和几何概型 综合性的题目,强化学生解决综合性问题的能力,加深对古典 概型和几何概型的理解.

教 师 备 用 题
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第55讲

随机数与几何概型

例1

如图,在等腰三角形 ABC 中,∠B=∠C=30

°,求下列事件的概率: (1)在底边 BC 上任取一点 P,使 BP<AB; (2)在∠BAC 的内部任作射线 AP 交线段 BC 于 P, 使 BP<AB.

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第55讲

随机数与几何概型

解:(1)因为点 P 随机地落在线段 BC 上,故线段 BC 为 区域 D.以 B 为圆心,BA 为半径画弧交 BC 于 M,则 P 必须 落在线段 BM 内才有 BP<BM=BA,于是 P(BP<AB)= BM BA BA 1 3 P(BP<BM)= = = = = . BC BC 2BAcos30° 3 3 (2)作射线 AP 在∠BAC 内是等可能分布的,在 BC 上取 点 M,使∠AMB=75°,则 BM=BA,当 P 落在 BM 内时, 75 5 BP<AB.于是所求的概率为 = . 120 8
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随机数与几何概型

例2

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动. 活

教 师 备 用 题

动规则如下:消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘 一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、10 元、0 元的三部 分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能 的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券. (例如:某顾客消费了 218 元,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其共获得了 30 元优惠券)顾 客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动. (1)若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大 于 0 元的概率? (2)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金 额不低于 20 元的概率?
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随机数与几何概型

教 师 备 用 题
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第55讲

随机数与几何概型

解:(1)设“甲获得优惠券”为事件 A. 因为假定指针停在任一位置都是等可能的, 而题中所给 的三部分的面积相等,所以指针停在 20 元,10 元,0 元区 1 域内的概率都是 . 3 顾客甲获得优惠券,是指指针停在 20 元或 10 元区域, 1 1 2 根据互斥事件的概率,有 P(A)= + = , 3 3 3 2 所以,顾客甲获得优惠券面额大于 0 元的概率是3.
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第55讲

随机数与几何概型

教 师 备 用 题

(2)设“乙获得优惠券金额不低于 20 元”为事件 B, 因为顾客乙转动了转盘两次, 设乙第一次转动转盘获得 优惠券金额为 x 元,第二次获得优惠券金额为 y 元,则基本 事件空间可以表示为: Ω ={(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10), (10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}, 即 Ω 中含有 9 个基本事件, 每个基本事件发生的概率为 1 9. 而乙获得优惠券金额不低于 20 元,是指 x+y≥20, 所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个, 6 2 所以乙获得优惠券金额不低于 20 元的概率为 P(B)=9=3.
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