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连云港市灌云县四队中学高中数学教案:离散型随机变量的方差和标准差 (苏教版选修2-3)



四队中学教案纸
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1

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教学 目标

(1)理解随机变量的方差和标准差的含义; (2)会求随机变量的方差和标准差,并能解决一些实际问题.

重点难 点 教学过程

理解方差和标准差公式所表示的意义,

并能解决一些实际问题.

一.问题情境 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格 品数分别用 X1 , X 2 表示, X1 , X 2 的概率分布如下.

X1

0

1

2

3

pk
X2

0.7
0 0.5

0.1
1

0.1
2

0.1
3

pk

0.3

0.2

0

二.学生活动 如何比较甲、乙两个工人的技术? 我们知道,当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的 偏离程度.能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢? 三.建构数学 1. 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布如表所示:

X
P
2

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

则 ( xi ? ? ) (? ? E( X )) 描述了 xi (i ? 1, 2,..., n) 相对于均值 ? 的偏离程度,故 (其中 ( x1 ? ?)2 p1 ? ( x2 ? ?)2 p2 ? ... ? ( xn ? ? )2 pn ,

pi ? 0, i ? 1, 2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1 )刻画了随机变量 X 与其均值 ? 的平均偏离程度,
我们将其称为离散型随机变量 X 的方差,记为 V ( X ) 或 ? .
2

1

2.方差公式也可用公式 V ( X ) ?

?x
i ?1

n

2

i

pi ? ? 2 计算.

3.随机变量 X 的方差也称为 X 的概率分布的方差, X 的方差 V ( X ) 的算术平方根称为 X 的标 准差,即 ? ? V ( X ) . 思考:随机变量的方差和样本方差有何区别和联系? 四.数学运用 1.例题: 例 1.若随机变量 X 的分布如表所示:求方差 V ( X ) 和标准差 V ( X ) .

X P

0

1

1? p

p

解:因为 ? ? 0 ? (1 ? p) ? 1? p ? p ,所以

V ( X ) ? (0 ? p)2 (1 ? p) ? (1 ? p)2 p ? p(1 ? p) ,

V ( X ) ? p(1 ? p)
例 2.求第 2.5.1 节例 1 中超几何分布 H (5,10,30) 的方差和标准差. 解:第 2.5.1 节例 1 中超几何分布如表所示: X P 0 1 2 3 4 5

2584 23751

8075 23751

8550 23751

3800 23751

700 23751

42 23751

数学期望 ? ?

n 5 2 2 ,由公式 V ( X ) ? ? xi pi ? ? 有 3 i ?1

V (X ) ? 0?
?

2584 8075 8550 3800 700 42 5 ? 1? ? 4? ? 9? ? 16 ? ? 25 ? ? ( )2 23751 23751 23751 23751 23751 23751 3

204750 ? 0.9579 213759 故标准差 ? ? 0.9787 .
例 3.求第 2.5.1 节例 2 中的二项分布 B(10,0.05) 的方差和标准差. 解: p ? 0.05 ,则该分布如表所示: :

X

0
0 C10 p0 (1 ? p)10

1
1 C10 p1 (1 ? p)9

2
2 C10 p2 (1 ? p)8

3
3 C10 p3 (1 ? p)7

4
4 C10 p4 (1 ? p)6

5
5 C10 p5 (1 ? p)5

pk
X

6

7

8
2

9

10

pk

6 C10 p6 (1 ? p)4

7 C10 p7 (1 ? p)3

8 C10 p8 (1 ? p)2
n

9 C10 p9 (1 ? p)1

10 C10 p10 (1 ? p)0

由第 2.5.1 节例 2 知 ? ? E ( X ) ? 0.5 ,由 V ( X ) ?

?x
i ?1

2

i

pi ? ? 2 得

0 1 10 ? 2 ? 02 ? C10 0.050 ? 0.9510 ?12 ? C10 0.051 ? 0.959 ? ... ? 102 ? C10 0.0510 ? 0.950 ? 0.52

? 0.725 ? 0.25 ? 0.475 故标准差 ? ? 0.6892 .
说明: 一般地, 由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式: X ~ H (n, M , N ) 当 时, V ( X ) ?

nM ( N ? M )( N ? n) ,当 X ~ B(n, p) 时, V ( X ) ? np(1 ? p) . N 2 ( N ? 1)

例 4.有甲、乙两名学生,经统计,他们字解答同一份数学试卷时,各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率分布大致如下表所示: 甲 分数 X甲 概率 80 90 100 乙 分数 X 乙 概率 80 90 100

0.2

0.6

0.2

0.4

0.2

0.4

试分析两名学生的答题成绩水平. 解:由题设所给分布列数据,求得两人的均值如下:

E X甲)=80 ? 0.2+90 ? 0.6+100 ? 0.2=90 ( E X乙)=80 ? 0.4+90 ? 0.2+100 ? 0.4=90 (
方差如下:



V ( X甲) ? (80 ? 90)2 ? 0.2 ? (90 ? 90)2 ? 0.6 ? (100 ? 90)2 ? 0.2 ? 40 V ( X乙 ) ? (80 ? 90)2 ? 0.4 ? (90 ? 90)2 ? 0.2 ? (100 ? 90)2 ? 0.4 ? 80
由上面数据可知 E( X甲 ) ? E( X乙 ),V ( X甲 ) ? V ( X乙 ) ,这表明,甲、乙两人所得分数的平均 分相等,但两人得分的稳定程度不同,甲同学成绩较稳定,乙同学成绩波动大. 2.练习:课本 P 1, 2 70 五.回顾小结: 1.离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义; 2.离散型随机变量的方差和标准差的计算方法; 3.超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法

P71
课外作业

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教学反思

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