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2012三年高考两年模拟数学试题与解析3.数列[1]


【3 年高考 2 年模拟】 第三章 数 列

第一部分 三年高考题荟萃 2012 年高考 数列
一、选择题
1. (2012 辽宁文)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=

( (

) )

B.16 C.20 D.24 2 . (2012 辽宁理)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= A.58 B.88 C.143 D.176
3 . ( 2012 四 川 文 ) 设 函 数

A.12

f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 , {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数
( D.21 )

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? A.0 B.7 C.14

? 4 .( 2012 四 川 理 ) 设 函 数 f ( x)? 2 x

co, x s {an } 是 公 差 为

? 的等差数 8
( )

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )]2 ? a1a3 ? A. 0
5 . (2012 上海文)若 Sn

B.

1 2 ? 16

C. ?

1 8

2

D.

13 2 ? 16

? ? ? sin ? ? sin 27 ? ? ? sin n7 (n ? N ? ) ,则在 S1, S2 ,?, S100 中,正数 7

的 个数是 A.16.
6 . (2012 上海理)设 an

( B.72. C.86. D.100.



? , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 在 S1, S2 ,?, S100 中,正数的个数 ?1 sin n n 25

是 A.25.

( B.50.
n



C.75.

D.100. )

7 . (2012 课标文)数列{ an }满足 an?1 ? (?1)

an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为 (

B.3660 C.1845 D.1830 8. (2012 江西文)观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2 的 不 同 整 数 解 (x,y) 的 个 数 为 8, |x|+|y|=3 的 不 同 整 数 解 (x,y) 的 个 数 为 12 . 则 |x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 ( ) A.76 B.80 C.86 D.92
9 . (2012 湖北文)定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列

A.3690

?an?,? f (an )? 仍 是 等 比 数 列 , 则 称

f ( x) 为 “ 保 等 比 数 列 函 数 ”. 现 有 定 义 在

1

(??,0) ? (0, ??)











数:① f ( x) ? x2 ;② f ( x) ? 2x ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | . 则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ ( )

10 . ( 2012 福建文) 数列

?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? , 其前 n 项和为 Sn , 则 S2012 等于 2
C.503 ( ) D.0 ( )

A.1006

B.2012

11 . (2012 大纲文)已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ?
n ?1

A. 2

n ?1

B. ?

?3? ? ?2?

C. ?

?2? ? ?3?

n ?1

D.

1 2 n ?1

12 . (2012 北京文理)某棵果树前 n 年得总产量 Sn 与 n 之间的关系如图

所示,从目前记录的结果看,前 m 年的年平均产量最高, m 的值为 A.5 B.7 C.9 D.11
13. (2012 北京文)已知 {an } 为等比数列.下面结论中正确的是









A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2

2 2 2 B. a1 ? a3 ? 2a2

D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

14 . ( 2012 安徽文) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数 ,且

a3 a11 =16,则 a5 ?
( )

A. 1

B. 2

C. ?

D. ? )

15 . (2012 新课标理)已知

?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (
C. ?? D. ??

A. 7

B. 5

16 . (2012 浙江理)设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错 .

误 的是 . A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列
17 . (2012 重庆理)在等差数列 {an } 中, a2





? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = (
2



B.15 C.20 D.25 ? 2 3 3 4 4 5 5 10 10 18 . ( 2012 江西理) 观察下列各式 :a+b=1.a +b =3,a +b =4 ,a +b =7,a +b =11,, 则 a +b = ( ) A.28 B.76 C.123 D.199
19 ( .2012 湖北理) 定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } ,

A.7

{ f (an )} 仍

是等比数列 ,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) ? (0,?? )上的如下 函 数:① f ( x) ? x2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | . ( D.② ④ ) )

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③

1 0. (2012 福建理)等差数列

?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为 (
C. 3 D.4

A.1

B.2

21. (2012 大纲理)已知等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ?
99 100 101 100

? 1 ? ?的 ? an an ?1 ?
( )

前 100 项和为 A.

100 101

B.

99 101

C.

D.

22. (2012 安徽理)公比为 3

2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 (
C. ? D. ?



A. 4
二、填空题

B. 5

1. ( 2012 福建理)已知 ?ABC 得三边长成公比为

2 的等比数列,则其最大角的余弦值为

_________.
2. (2012 重庆文)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 3. (2012 上海文)已知

? ______

1 .各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 2 ? f (an ) .若 f ( x) ? 1? x

a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是_________.
4. (2012 辽宁文)已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列{an}的

公比 q = _____________________.
5. (2012 课标文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q =_______ 6. (2012 江西文) 等比数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1。若 a1 ? 1 ,且对任意的 n ? N *

都有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 ? _________________。
3

7. (2012 湖南文)对于 n ? N ,将 n 表示为 n ? ak ? 2

?

k

? ak ?1 ? 2k ?1 ? ?? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,

当 i ? k 时 ai ? 1 , 当 0 ? i ? k ? 1 时 ai 为 0 或 1, 定义 bn 如下 : 在 n 的上述表示中 , 当

a0 , a1 , a2 , ak 中等于 1 的个数为奇数时, bn ? 1;否则 bn ? 0 。
(1) b2 ? b4 ? b6 ? b8 ? _ _;

(2)记 cm 为数列 ?bn ? 中第 m 个为 0 的项与第 m ? 1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大 值是___.
8. (2012 湖北文)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示

数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3, 6,10,记为数列 ?an ? ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成 一个新数列 ?bn ? ,可以推测: (Ⅰ) b2012 是数列 ?an ? 中的第______项; (Ⅱ) b2 k ?1 ? ______.(用 k 表示)

9. (2012 广东文)(数列)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 10 . ( 2012 北 京 文 ) 已 知 {an } 为 等 差 数 列 ,

1 2 ,则 a1a3 a5 ? _________. 2

Sn 为 其 前 n 项 和 . 若 a1 ?

1 , S2 ? a3 , 则 2

a2 ? ________; Sn =________.
11. (2012 新课标理)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)
n

an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为_______

12. (2012 浙江理)设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若
S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=______________.

13 .( 2012 上 海 春 ) 已 知 等 差 数 列

{an } 的 首 项 及 公 差 均 为 正 数 , 令

bn ? an ? a2012? n (n ? N * , n ? 2012). 当 bk 是数列 {bn } 的最大项时, k ? ____.
14. (2012 辽宁理)已知等比数列

?an ? 为递增数列,且 a52 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列

的通项公式 an ? ______________.

4

15 . ( 2012 江 西 理 ) 设 数 列

?an?,?bn ? 都 是 等 差 数 列 , 若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 , 则

a5 ? b5 ? __________。
16. (2012 湖南理)设 N=2 (n∈N ,n≥2),将 N 个数 x1,x2,,xN 依次放入编号为 1,2,,N 的 N 个
n
*

位置,得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依

N N 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN,将此操作称为 C 变换,将 2 2 N i P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2 段, 2 N 每段 i 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 2
次放入对应的前 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 17 . ( 2012 湖 北 理 ) 回 文 数 是 指 从 左 到 右 读 与 从 右 到 左 读 都 一 样 的 正 整 数 . 如 22,121,3443,94249 等 . 显然 2 位回文数有 9 个 :11,22,33,,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有__________个; (Ⅱ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有_________个.
2 18 . ( 2012 广 东 理 ) ( 数 列 ) 已 知 递 增 的 等 差 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ?4 ,则

an ? ______________.
19 . ( 2012 福 建 理 ) 数 列

?an ? 的 通 项 公 式 an ? n cos

n? ? 1 , 前 n 项 和 为 Sn , 则 2

S2012 ? ___________.
20 . ( 2012 北 京 理 ) 已 知 {an } 为 等 差 数 列 ,

Sn 为 其 前 n 项 和 . 若 a1 ?

1 , S2 ? a3 , 则 2

a2 ? ________.
三、解答题 1. (2012 重庆文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分))已知

{an } 为等差数列,

且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

2. ( 2012 浙江文) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡ , 数列 {bn} 满足
2

5

an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

3. (2012 天津文)(本题满分 13 分)已知

?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 S n , ?bn ? 是等比数

列,且 a1 ? b1 , a4 ? b4 ? 27, S4 ? b4 =10 . (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)记 Tn =a1b1 +a2b2 +?+anbn ( n ? N )证明: Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N * , n ? 2) .
*

4. (2012 四川文)已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x

2

?

an 与 x 轴正半轴相交于点 2

A ,设 f (n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ;
(Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? 与 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由. f (0) ? f (1)

5. (2012 四川文)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an

? S1 ? Sn 对一切正

整数 n 都成立. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

6. (2012 上海文) 对于项数为 m 的有穷数列数集 {an } ,记 bk

? max{ a1, a2 , ?, ak } (k=1,2,,m),

即 bk

6

为 a1 , a2 , ?, ak 中的最大值,并称数列 {bn } 是 {an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数 列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 {an } ; (2)设 {bn } 是 {an } 的控制数列,满足 ak ? bm? k ?1 ? C (C 为常数,k=1,2,,m). 求证: bk ? ak (k=1,2,,m); (3)设 m=100,常数 a ? ( 1 , 1) .若 an ? an 2 ? (?1) 2 求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) .
n ( n ?1 ) 2

n , {bn} 是 {an } 的控制数列,

7. (2012 陕西文)已知等比数列

?an ? 的公比为 q=- 2 .

1

(1)若

a

3

=

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? ,

a ,a
k

k ?2

,

a

k ?1

成等差数列.

8. (2012 山东文)已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项 和 Sm .

9. (2012 江西文)已知数列|an|的前 n 项和 Sn

? kc n ? k (其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3

(1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

7

10. (2012 湖南文)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金

2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第 一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部 投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示).

11、 (2012 湖北文)已知等差数列

?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(1) 求等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和.

? ?

12 . ( 2012 广东文) ( 数列 ) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn , 满足

Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N* .
(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

13. (2012 福建文)在等差数列

?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8,?an ? 的前 10 项和

S10 ? 55 .
(Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)现分别从 ?an ? 和 ?bn ? 的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两 项的值相等的概率.

8

14. (2012 大纲文)已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ?

n?2 an . 3

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

15( .2012 安徽文) 设函数 f ( x ) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } ; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

16. (2012 辽宁理)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.

(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

17. (2012 山东文)(本小题满分 12 分)

在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan Atan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

18. (2012 辽宁文)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.

(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

19. (2012 天津理)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 =

b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式;
9

(Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N + ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

20 .( 2012 新 课 标 理 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对

边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

21. (2012 重庆理)(本小题满分 12 分,(I)小问 5 分,(II)小问 7 分.)

设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1 ,求证: S n ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

22. (2012 四川理)已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x

2

?

an 与 x 轴正半轴相交于 2

点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ;

f (n) ? 1 n3 (Ⅱ)求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值; ? f (n) ? 1 n3 ? 1
(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由. 4 f (0) ? f (1)

23. (2012 四川理) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an

? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立.

(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 大值.

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最 an

10

24. (2012 上海理)对于数集 X

? {?1, x1, x2 , ?, xn} ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定

义向量集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通 项公式.

25. (2012 上海春)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分

6 分. 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

26. (2012 陕西理) 设

?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数

列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

27. (2012 山东理)在等差数列

?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * , 将数列 ?an ? 中落入区间 (9 , 9
m 2m

) 内的项的个数记为 bm ,求数列

?bm?

的前 m 项和 Sm .

11

28. (2012 江西理)已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn(k ? N ? ) ,且 Sn 的最大值为 8. 2

(1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn. 2n

2, n} , n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的 29( .2012 江苏) 设集合 Pn ? {1, …,
个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2 x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A .
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示).

30. (2012 江苏)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满

足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? a an ? ?? n ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

31 . ( 2012

湖 南 理 ) 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 记

A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }
的通项公式.

12

(2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数

?

A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列.

32. (2012 湖北理)已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

23. ( 2012 广东理) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n ?1 ? 1 , n ? N ,且 a1 、
*

a2 ? 5 、 a 3 成等差数列.
(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

34. (2012 大纲理)(注意:在试卷上作答无效 ) ........

函 数 f ( x) ?

2

x? 2 x ? .3 定 义 数 列

?xn ?

如 下 : x1 ? 2, xn?1 是 过 两 点

P( 4 , 5 Q x n ) ,n

(f n的直线 , x ( PQ ) n)与 x 轴交点的横坐标.

(1)证明: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 ; (2)求数列 ?xn ? 的通项公式.

35. (2012 北京理)设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值

不大于 1,且所有数的和为零.记 S (m, n) 为所有这样的数表构成的集合.

13

对于 A ? S (m, n) ,记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 1 ? i ? m , c j ( A) 为 A 的第 j 列各数 之和 1 ? j ? n ; 记 k ( A) 为 | r |, | r2 ( A) |,…, | rm ( A) |, | c1 ( A) |, | c2 ( A) |,…, | cn ( A) |中的最小值. 1 ( A) (1)对如下数表 A,求 k ( A) 的值; 1 0.1 (2)设数表 A= S (2,3) 形如 1 1 1 -0.3 -0.8 -1

a
求 k ( A) 的最大值;

b

1 -1

(3)给定正整数 t ,对于所有的 A∈S(2, 2t ? 1 ),求 k ( A) 的最大值。
36. (2012 安徽理)数列 {xn } 满足: x1
2 ? 0, xn?1 ? ?xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列.

14

参考答案 一、选择题 1.

【答案】B 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 2、 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前 n 项和公式,同时考查运算求 解能力,属于中档题.解答时利用等差数列的性质快速又准确. 3. [答案]D [解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ∴ [(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14 ∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 [点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质 的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点. 4、 [答案]D [解析]∵数列{an}是公差为

? 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? 8

∴( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 5? ∴ (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 得 a3 ? 即 ( 2 a1 ? a2 ? ? ? a5) ? 2 ? 5a3 ? 5?

?
2

, a1 ?

?
4

, a5 ?

3? 4
2 2

∴ [ f (a3 )]2 ? a1a3 ? (2a3 ? cos a3 ) ? a1 a5 ? ? ?

3? 2 13? 2 ? 16 16

[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使 用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外, (cosa1 ? cosa2 ? ? ? cosa5 ) ? 0, 隐蔽 性较强,需要考生具备一定的观察能力.
5.
? [解析] 令 ? ? ? ,则 n7 ? n? ,当 1≤n≤14 时,画出角序列 n?终边如图,y 7

其终边两两关于 x 轴对称,故有 S1 , S2 ,?, S12 均为正数,

5? 6? 7? 8? 9?

4?

3?

2?

?
14? 13? 10? 11? 12?

x

15

而 S13 ? S14 ? 0 ,由周期性可知,当 14k-13≤n≤14k 时,Sn>0, 而 S14 k ?1 ? S14 k ? 0 ,其中 k=1,2,,7,所以在 S1, S2 ,?, S100 中有 14 个为 0,其余 都是正数,即正数共有 100-14=86 个,选 C. 6、 [解析] 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数.
? ? 当 26≤k≤49 时,令 25 ? ? ,则 k ? k? ,画出 k?终边如右, 25

y
13? 23? 24? ? 12? ? 2?

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) , 所以 Sk ? sin ? + sin 2? ++
1 1 1 2 1 23

?

sin 23? + sin 24? +0
1 24

26? 27? ?

?

49? 48?

x

37? 38?

1 1 + 26 sin 26? + 27 sin 27? + 1 k sin k? 1 1 1 1 =1 sin ? + 1 sin 2? ++ ( 24 ? 26 ) sin 24? + ( 23 ? 27 ) sin 23? + 1 2

+ ( 501 ?1 ) sin(50 ? k )? ,其中 k=26,27,,49,此时 0 ? 50 ? k ? k , ?k k 所以 501 ?1 ? 0 ,又 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,所以 sin(50 ? k )? ? 0 , ?k k 从而当 k=26,27,,49 时,Sk 都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上,可选 D. [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号,为此,需 借助分类讨论、 数形结合、 先局部再整体等数学思想.而重中之重,是看清楚角序列的终 边的对称性,此为攻题之关键. 7. 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】 【法 1】有题设知

a2 ? a1 =1,①

a3 ? a2 =3 ②

a4 ? a3 =5 ③

a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 , a1 ? a3 a4 ? a2

∴②-①



=2,③+②



=8,









a5 ? a7 =2, a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2, a10 ? a12 =40,,
∴ a1 ? a3 , a5 ? a7 , a9 ? a11 ,,是各项均为 2 的常数列, a2 ? a4 , a6 ? a8 , a10 ? a12 ,是首 项为 8,公差为 16 的等差数列, ∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 【法 2】可证明:

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ?15 ?
8.

15 ?14 ?16 ? 1830 2

【答案】B 【解析】 本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为 4, 公差为 4 的等差数列,则所求为第 20 项,可计算得结果.

2 f (an?1 ) an ?1 9. C 【解析】设数列 ?an ? 的公比为 q .对于①, ? 2 ? q 2 ,是常数,故①符合条 f (an ) an

件 ; 对 于 ②,

f (an?1 ) 2an?1 ? an ? 2an?1 ?an , 不 是 常 数 , 故 ② 不 符 合 条 件 ; 对 于 f (an ) 2

③,

| an ?1 | f ( an ?1 ) ? f ( an ) | an |

?

f (an?1 ) ln | an?1 | an?1 ,不是常数,故④ ? ? q ,是常数,故③符合条件;对于④, f (an ) ln | an | an

不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选 C. 【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意, 然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质 等. 10. 【答案】A 【解析】由 an ? n cos

n? ,可得 S2012 ? 1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1 ? ?? 2012 ?1 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012 ? 2 ? 503 ? 1006

【考点定位】 本题主要考察数列的项、 前 n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并 项求和. 11. 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用. 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an

1 1 S1 ? 2 2



①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为 2 2 2

?1 ( n ? 1) ? 公比的等比数列,故数列通项公式为 an ? ? 1 3 , n?2 ? ( ) ( n ? 2) ?2 2

1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 2 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 3 2 1? 2

17

当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( )
12.

3 2

1?1

,故选答案 B

【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度 可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平 均产量最高,就需要随着 n 的增大, Sn 变化超过平均值的加入 ,随着 n 增大, Sn 变化不

足平均值,故舍去. 13. 【答案】B 【解析】当 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时,C 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾.因此根据均值定 理可知 B 选项正确. 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知 识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选 择题用排除法来做.
14. 【解析】选 A 15、
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

【解析】选 D a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4

a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
【答案】C 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,.满足数列{S n}是递增数列,但是 S n>0 不成立. 17、 【答案】B 【 解 析 】
16、

2d ?
故 S5 ?

4

a ?

2

5

, aa a2 ? 1 3d ? 1 ? 6 ? 7 ,1 5 ??

?

4

d

(a1 ? a5 ) ? 5 6 ? 5 ? ? 15 . 2 2

【考点定位】 本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解 答. 18、 C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为 1,3,4,7,11,, 发现从第 3 项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右边依次为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,, 故 a ? b ? 123.
10 10

【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解

18

归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 19、 考点分析:本题考察等比数列性质及函数计算.
2 2 ? ? ? ? 2 2 解 析 : 等比数列 性质 , an an ? 2 ? an ?1 ,① f an f an ? 2 ? an an ? 2 ? an ?1

? ?

2

? f 2 ?an ?1 ? ;
;③ ;④



f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2an 2an?2 ? 2an ? an?2 ? 22an?1 ? f 2 ?an ?1 ?
an an ? 2 ? an ?1 ? f 2 ?an ?1 ?
2
2

f ?an ? f ?an ? 2 ? ?

f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ?ln an ?1 ? ? f 2 ?an ?1 ? .选 C
20、

【答案】B 【解析】? a1 ? a5 ? 10 ? 2a1 ? 4d ? 10 ,而 a4 ? a1 ? 3d ? 7 ,解得 d ? 2 .

【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式,考查计算求解能力. 21、答案 A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以及裂项 求和的综合运用,通过已知中两项,得到公差与首项,得到数列的通项公式,并进一步裂 项求和. 【解析】由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得

?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 1 d ? 15 ? ?5a1 ? ? ? 2

?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 100 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 100 101 101 101
22、 【解析】选 B
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5

二、填空题 1. 【答案】 ?

2 4

【解析】设最小边为 a ,则其他两边分别为 2a, 2a ,由余弦定理得,最大角的余弦值为

cos ? ?

a 2 ? ( 2a)2 ? (2a)2 2 ?? 4 2a ? ( 2a)

【考点定位】 此题主要考查三角形中的三角函数,等比数列的概念、 余弦定理,考查分析 推理能力、运算求解能力.

19

2. 【答案】:15

【解析】: S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式
3. [解析]
3 5 , a5 ? 2 , a7 ? 5 , a9 ? 8 , an ? 2 ? f (an ) ? 1?1an (*), a1 ? 1 ,所以有: a3 ? 1 2 3

2 8 2 ;又 a2012 ? 1?a1 a11 ? 13 ? a2010 ,得 a2010 ? a2010 ? 1 ? 0 ,令 a2010 ? t ,则 t ? t ? 1 ? 0 , 2010

由题设 t ? 0 ,所以 t ?

5 ?1 ,变形(*)为 2 5 ?1 2

t an ? an1?2 ?1 ,则 a2008 ? a210 1 0 ? 1 ? 1? ? t ,故 t

a2n ? t ?
4. 【答案】2

5 ?1 2

,所以 a20 ? a11 ?

5 ?3 8 . ? 13 ? 13 26

【解析】? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? 因为数列为递增数列,且 a1 ? 0, 所以q ? 1,? q ? 2

1 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 5. 【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题. 【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数 列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,
6. 【答案】11

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q

1 ? (?2)5 【解析】由已知可得公比 q ? ?2, a1 ? 1 ,可得 S5 ? ? 11 . 1 ? (?2)
【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心.
7. 【答案】(1)3;(2)2.

【解析】(1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 一次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知 cm 的最大值为 2.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
8. (Ⅰ)5030;(Ⅱ)

5k ? 5k ? 1? 【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,,的一个通项公 2

20

式为 an ? 发 现

n(n ? 1) ,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110, 2
其 中 能 被 5 整 除 的 为 10,15,45,55,105,110, 故

b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 .
从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数), 2 (5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) b2 k ?1 ? a5 k ?1 ? ? , 2 2

故 b2012 ? a2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 【点评】 本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想 需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.
9.解析:

1 1 ?1? 1 2 4 2 a5 ? a3 ?? ? ? . . a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 4 4 2 ?2?

2

10. 【答案】1,

1 n(n ? 1) 4
析 】





? S2 ? a3

,





a1 ? a ? d ? a1 ? 2d ? d ?

1 1 n( n 2? 1) . ? 1 a ? a ? d ? 1 , Sn ? 4 2

1

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 n 项和公式的计 算.
11、 【解析】 {a n } 的前 60 项和为 1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ?15 ?
12、 【答案】

15 ?14 ?16 ? 1830 2

3 2 【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子.

即 ?

? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两 式 作 差 得 : a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 2 3 3 ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? 3a1q ? 2

即: 2q 2 ? q ? 3 ? 0 ,解之得: q ?
13、 1006 14、 【答案】 2
n

3 or q ? ?1(舍去). 2

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

21

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), ? an ? 2 n 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题. 15、 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 (解法一)因为数列 {an },{bn }都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,解 得 a5 ? b5 ? 35 . (解法二)设数列 {an },{bn }的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d2 ) ? 21, 所以 d1 ? d2 ? 7 .所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d2 ) ? 35 . 【点评】 对于等差数列的计算问题,要注意掌握基本量法这一通法,同时要注意合理使用 等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的 通项公式,前 n 项和,等差中项的性质等.
16、 【答案】(1)6;(2) 3 ? 2
n?4

? 11

【解析】(1)当 N=16 时,

P 0 ? x1 x2 x3 x4 x5 x6 ? x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5, 6,?,16) ,
P 1 ? x1 x3 x5 x7 ? x15 x2 x4 x6 ? x16 ,即为 (1,3,5,7,9,? 2, 4,6,8,?,16) , P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6 ? x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,?,16) , x7 位于 P2 中的
第 6 个位置,; (2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2
n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 17、考点分析:本题考查排列、组合的应用. 解析:(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 0,有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种. 答案:90 (Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,所以 可以算出 2n+2 位回文数的个数.2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不能 为 0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数.计算四位数的回文数是可以 看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99”,因此四位数的回文数有 90 个按此规

22

律推导 因此

,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数, ,则答案为 9 ? 10 .
n
2

18 、 解 析 : 2 n ? 1 . 设 公 差 为 d ( d ? 0 ), 则 有 1 ? 2 d ?? 1 ? d ? ? 4, 解 得 d ? 2 , 所 以

an ? 2n ? 1 .
19、 【答案】 3018











an ? n cos

n? ?1 2

,





S2012 ? (1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1? ?? 2012 ?1) ? 2012
? (?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012) ? 2012 ? 2 ? 503 ? 2012 ? 3018
【考点定位】 本题主要考察数列的项、 前 n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并 项求和.
20、 【答案】1,

1 n(n ? 1) 4
析 】





? S2 ? a3

,





a1 ? a ? d ? a1 ? 2d ? d ?

1 1 n( n 2? 1) . ? 1 a ? a ? d ? 1 , Sn ? 4 2

1

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 n 项和公式的计 算.
三、解答题 1. 【答案】:(Ⅰ) an

? 2n (Ⅱ) k ? 6

【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列 ,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 . 2. 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知 识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力. (1) 由 Sn= 2n ? n ,得
2

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
23

2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡. (2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡ 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 22 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n?1 ,

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1)]
? (4n ? 5)2n ? 5

Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
3. 解 :(1) 设 等 差 数 列

?an ? 的 公 差 为 d
3

, 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得

3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 ,故 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由条件得方程组 ? ?? 3 q ? 2 ? ? ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ?

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * )
(2)证明;由(1)得

Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? 8 ? 23 ? ?? (3n ?1) ? 2n ①

2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? 8 ? 24 ? ?? (3n ?1) ? 2n?1 ②
由①-②得,

?Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? 3 ? 2 n ? (3n ? 1) ? 2 n ?1 6 ? (1 ? 2n ) ? ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 1? 2 ? ?(3n ? 4) ? 2n ?1 ? 8
即 Tn ? 8 ? (3n ? 4) ? 2
n?1

,而当 n ? 2 时, an?1bn?1 ? (3n ? 4) ? 2
*

n?1

所以 Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N , n ? 2)

? ? 4. [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?
则抛物线在点 A 处的切线方程为:

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 2 ? 2 ? ?
n

y ? ?2 x

'

24

y ? ? 2 a (x ?
(2)由(1)知 f(n)=

n

a

n

2
n

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a
,则

n

n

n

a

f ( n) ? 1 n n ? 成立的充要条件是a ? 2n ? 1 f ( n) ? 1 n ? 1

即知,

a

n

? 2n ? 1

对于所有的 n 成立,

特别地,当 n=1 时,得到 a≥3 当 a=3,n≥1 时,

a

n

? 3 ? (1? 2) ? 1 ? C n .2 ? ? ? 2n ? 1
n n 1

当 n=0 时,

a

n

f ( n) ? 1 n ? =2n+1.故 a=3 时 f ( n) ? 1 n ? 1 对所有自然数 n 均成立.

所以满足条件的 a 的最小值为 3 (3)由(1)知 f(k)= a 下面证明:
k

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) ? ? ?? ? 6. f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n ) ? f ( 2n ) f (0) ? f (1)

首先证明 0<x<1 时,

1 x?x
2

? 6x
2 3

设函数 g(x)=6x(x -x)+1,0<x<1, 则 g ' ( x) ? 18 x( x ? ) .
2

2 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 3 2 1 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g ( x) ? g ( ) ? ? 0 min 3 9
当0 ? x ? 当 所以,当 0<x<1 时,g(x)>0,即得

2 时,g'(x)<0; 3

1 x?x
2

? 6x

由 0<a<1 知 0 ?

a

k

? 1(k ? N ),因此

*

1

a ?a

k

2k

? 6a k , 从而

1 1 1 ? ??? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n) ? f ( 2n) 1 1 1 ? ? 2 ?? n 2 4 a?a a ?a a ? a 2n
? 6( a ? a ? ? ? a ) ? 6 ?
2 n

a?a

n ?1

1? n

? 6?

f (1) ? f (n ? 1) ??????14分 f (0) ? f (1)

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的

25

能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、 分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、 特殊与一般等数学思维方法.
5. [解析]取 n=1,得 ?a 1

? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0

若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

2

?

,

2a n ? 当 n ? 2时,

2

?

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

则a n ? 0
2n

若 a1 ? 0,则a n ?

?
1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2 100 100 ? lg1 ? 0 当 n≥7 时,bn≤b7= lg 7 ? lg 128 2
则 b1>b2>b3>>b6= lg 故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大 an

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比 数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力; 第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
6. [解](1)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;

2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5 (2)因为 bk ? max{ a1, a2 , ?, ak } , bk ?1 ? max{ a1, a2 , ?, ak , ak ?1}, 所以 bk ?1 ? bk 因为 ak ? bm? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm? k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm? k ?1 ? bm? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak 因此, bk ? ak
2 2 (3)对 k ? 1, 2, ?, 25 , a4k ?3 ? a(4k ? 3) ? (4k ? 3) ; a4k ? 2 ? a(4k ? 2) ? (4k ? 2) ;

26

a4k ?1 ? a(4k ? 1)2 ? (4k ? 1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) .
比较大小,可得 a4 k ? 2 ? a4 k ?3 因为 1 ? a ? 1 ,所以 a4k ?1 ? a4k ? 2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4k ? 2 ? a4k ?1 ; 2

a4k ? a4k ? 2 ? 2(2a ? 1)(4k ? 1) ? 0 ,即 a4k ? a4k ? 2 .
又 a4k ?1 ? a4k , 从而 b4k ?3 ? a4k ?3 , b4 k ? 2 ? a4 k ? 2 , b4k ?1 ? a4k ? 2 , b4 k ? a4 k 因此 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ? ? ? (b4k ?1 ? a4k ?1 ) ? ? ? (b99 ? a99 ) = (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ? ? ? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) ? ? ? (a98 ? a99 ) =
7.

? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) = (1 ? a)? (8k ? 3) = 2525(1 ? a)
k ?1 k ?1

25

25

解: (1)由通项公式可得

1 1 a3 ? a1 (? ) 2 ? 得a1 ? 1, 再由等比数列求和公式得: 2 4 1 ? ? 1? ?1 ? (? ) n ? 2 ? (? 1 ) n ?1 2 ? 2 Sn ? ? ? . 1 3 1 ? (? ) 2
(2)证明:

? k ? N ? ,? 2ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 2a1q k ?1 ? (a1q k ?1 ? a1q k ) 1 1 ? a1q k ?1 (2q 2 ? q ? 1) ? a1q k ?1 (2(? ) 2 ? (? ) ? 1) ? 0, 2 2 ?? 2ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 ) ? 0,? 成等差数列.
?5a1 ? 10d ? 105, 8.解:(I)由已知得: ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 ,

所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 ,即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 ,∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, bk 7
27

∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

9. 【解析】 (1)当 n ? 1 时, an

? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 综上所述 an ? 2n (n ? N * ) (2) nan ? n2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2 n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1
Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1
10. 【解析】(Ⅰ)由题意得 a1

? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 2 3 ? ( ) an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 ?? a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? . 2 2 ? 2 2 ?
整理得 an ? ( )

3 2

n ?1

? 3 ? (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? ? 2 ?

28

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 n ? ( ) ? 2? ?1000 ? 1000(3n ? 2n?1 ) 2 ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ? 2 ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资 3n ? 2n

金为 4000 元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分 析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? 第二问,只要把第一问中的 an ?1 ?

3 an ? d , 2

3 an ? d 迭代,即可以解决. 2

11.考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算.

解析:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

29

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 【点评】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想
以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d 求解;有 时需要利用等差数列的定义: an ? an?1 ? c ( c 为常数)或等比数列的定义:

an ? c'(c ' an ?1

为常数, c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项 ;有些数列本身 不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求 和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项 的性质.
12.解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 12 ,而 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 12 ,解得 a1 ? 1 .

(Ⅱ)在 Tn ? 2Sn ? n2 中用 n ? 1 取代 n 的位置 , 有 Tn?1 ? 2Sn?1 ? ? n ? 1? , 两式相减 , 可得
2

Sn ? 2an ? 2n ? 1 ( n ? 2 ), 所 以 Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ? n ? 1? ? 1 , 两 式 相 减 , 可 得 an ? 2 an ? 2 ? a ?, 2 即 an ? 2an ?1 ? 2 ( n ? 3 ),即 an ? 2 ? 2 ? an?1 ? 2? ,所以数列 ?an ? 2? 1n
是一个首项为 a2 ? 2 ,公比为 2 的等比数列. 在式子 Tn ? 2Sn ? n2 中 , 令 n ? 2 , 有 T2 ? 2S2 ? 22 , 即 a1 ? ? a1 ? a2 ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 22 , 所 以 a2 ? 4 , 于是 an ? 2 ? ? a2 ? 2? ? 2n?2 ? 6? 2n? 2 ? 3? 2n? 1 , 所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ( n ? 2 ). 当
n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 .
13. 【答案】(1) an

? n , bn ? 2n

(2)

2 9

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列、古典概型的基本知识,考查运算求解能力, 考查转化与划归思想、必然与或然思想,注意留心学习. 解:(1)设 d 是数列 ?an ? 的公差, q 是 ?bn ? 的公比,由题意得:

S10 ? 10 ?

10 ? 9 d ? 55, b4 ? q 3 ? d ? 1, q ? 2 2

?an ? n, bn ? 2n?1 .
(2) 分 别 从 ?an ? , ?bn ? 中 的 前 三 项 中 各 随 机 抽 取 一 项 , 得 到 基 本 事 件 有 9 个 , (1,1),(1, 2),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3, 4) . 符 合 条 件 的 有 2 个
30

(1,1), (2, 2) ,故所求概率为 p ?

2 . 9

14. 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用.

解:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3
,

2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 3 3? 2 2 S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 S2 ?
故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 .

n?2 n ?1 an ① Sn ?1 ? an ?1 ② 3 3 n?2 n ?1 an ? an ?1 即 ①-②可得 S n ? S n ?1 ? 3 3
(2)当 n ? 2 时, S n ?

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

故有 an ?

an an?1 a n ?1 n 3 n2 ? n ? ??? 2 ? a1 ? ? ??? ?1 ? an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2



12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2

【点评】 试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前 n 项 和的关系式变形就可以得到结论.
15. 【解析】(I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 得:当 x ? 2k? ? 3 2? 得: xn ? 2n? ? 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 3 2n? 2n? Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3
当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

2? 3 ? 3 2
31

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? sin 得: 当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin Sn ? 0 当 n ? 3k ? 1(k ? N * ) 时, sin Sn ?

4? 3 ?? 3 2

3 2 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? ?

16. 【答案及解析】

(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
2

所以 A=B =C =

?
3

, sin A sin C =

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系 ,再来求最后的结 果. 17.解:(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,
sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ?
sin C ? 1 ? cos 2 C ? 7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4

∴△ ABC 的面积 S ?
15. 【答案与解析】

(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

32

解法二: b =ac , 所以 A=B =C =

2

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B= = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
, sin A sin C =

?
3

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系 ,再来求最后的结 果. 19、 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前 n 项和公 式、 数列求和等基础知识,考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、 推理论证的能力. (1) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得
3 ? ?2 ? 3d ? 2q ? 27 ? ?d ? 3 ,故 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由条件得方程组 ? ?? 3 q ? 2 ? ? 8 ? 6 d ? 2 q ? 10 ? ?

3

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * )
( 2 )

a a Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ? 2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ? 2 ? ? ? nn ) 2 2 ?1 an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2

Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 ) ? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ?12 ? 10bn ? 2an
【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用, 但方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空 间留有余地,符合高考命题选拔性的原则. 20、 【解析】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2
21、 (1)证明:由 S2

? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 .
33

因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

a2 ? a2 , a1

又由题设条件知 Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? ,即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列. an ?1
n (a1 ? an ) ,等号成立. 2

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 S n ?

设 n ? 3 , a2 ? ?1 且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2 n?1 ,所以要证的不等式化为:

n 1 ? a2 n ?1 ? ? n ? 3? ? 2 n ?1 2 n 1 ? a2 n ? ? n ? 2 ? 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
当 a2 ? 1时,上面不等式的等号成立. 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1 与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为负; 当 a2 ? 1时,

a2r ?1 与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为正;

因此当 a2 ? ?1 且 a2 ? 1时,总有 ( a2r ?1 )( a2n?r ?1 )>0,即

a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 ).
2 n?r n 上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2 ) ? (n ? 1) 1 ? a2

?

?

n ?1 ?1 ? a2n ? 2 n 综上 , 当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时 , 有 S n ? (a1 ? an ) , 当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

立.

? ? 22、 [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?
则 抛 物 线 在 点 A

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 2 ? 2 ? ?
n

y ? ?2 x
程 为

'







线



34

y ? ? 2 a (x ?
(2)由(1)知 f(n)= 即知,
n

n

a

n

2
n

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a
,则

n

n

n

a

f (n) ? 1 n3 n ? 3 成立的充要条件是 ? 2n 3 ? 1 a f (n) ? 1 n ? 1

a

? 2n 3 ? 1 对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥ 17

当 a ? 17, n ? 3时 ,

a ? 4 ? (1?3)
n n
1 2

n

? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ?
2 3 3

1

2

2

3

3

? 1? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3

? 1? 2n ?
>2n +1
3

3

2 1 ? n 5 (n ? 2) ? (2n ? 5)? ? ? ? 2 ?

当 n=0,1,2 时,显然

( 17 )

n

? 2n ?1

3

f ( n) ? 1 ? 故当 a= 17 时, f ( n) ? 1
所以满足条件的 a 的最小值是 (3)由(1)知 f ( k ) ?
n

n 对所有自然数都成立 n ?1
3

3

17 .
n 1 1 f (1) ? f (n) a ? a , ?? k ? 2k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a f (0) ? f (1) 1? a

a
1

n

,则

?
k ?1

n

n

下面证明:

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

27 f (1) ? f (n) ? . 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时,

1 x?x
3

?

27 x 4

27 2 x( x ? x) ? 1,0 ? x ? 1 4 81 2 则g ' ( x) ? x( x ? ) 4 3 2 2 ( ' x) ? 0;当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 当 0 ? x ? 时, g 3 3 2 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g ( ) ? 0 3
设函数 g ( x) ? 所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

1 x?x
2

?

27 x 4

35

由 0<a<1 知 0<a <1( k ?
k

N

*

),因此

1

a ?a

k

2k

?

27 k ,从而 4 a

?
k ?1

n

n 1 1 ?? k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a2 k

?

27 n k ? 4 k ?1 a
n ?1

27 a ? a ? ? 4 1? a ?

27 a ? a ? 4 1? a 27 f (1) ? f (n) ? ? 4 f (0) ? f (1)
[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的 能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、 分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、 特殊与一般等数学思维方法.

n

23、 [解析]取 n=1,得 a2 a 1
2

? s2 ? s1 ? 2a1 ? a2 ,
② ③



取 n=2,得 a2 ? 2a1 ? 2a2 , 又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2=0, 由①知 a1=0, (2)若 a2 ? 0,易知a2 ? a1 ? 1, 由①④得: a1 ?



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2; 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

(2)当 a1>0 时,由(I)知, a1 ?

当 n ? 2时,有( 2 ? 2)an ? s2 ? sn , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 所以,an= 2an?1 (n ? 2) 所以 an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 an 2 2

36

所以,数列{bn}是以 ? 则 b1>b2>b3>>b7= lg

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2

10 ? lg1 ? 0 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 当 n≥8 时,bn≤b8= lg 2 128 2
所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 2 2

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比 数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力; 第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
24、 [解](1)选取 a1

? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b)

所以 x=2b,从而 x=4 (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1 (3)[解法一]猜测 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, , n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1.
37

假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n. 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有 且只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?
q s

? q ,这不可能;

所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1

? ? s22
t

.

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2
xn xn?1

?

xn xn ?2

???
xn x2

xn x2

?
xn x1

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

?

x n ?1 x1

x2 x1

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, , n x1

38

25、解:(1)? an?1 ? an

? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 ,?b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8
n3 , 2n ? 7

(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 , 即 b4 ? b5 ? b6 ? ? ; 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 , 即

b1 ? b2 ? b3 ? b4
?k ? 4.
(3) 由

an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n)

,



bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) ,

?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2),?, bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)

当 n ? 2k (k ? N * ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 22 ? ? ? 2n?2 ? 2n?1 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ?
2 ? 2n n ? 3 2 2 ? 2n n 2n n 5 ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3
*

2 ? 2n?1 (?2) n ? 1 ? (?2) 2

?

? bn ?

当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6

? 2n n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? * ? bn ? ? , (k ? N ) ( n ? 2k ) ? 2n n 5 ? ? , ? ?3 2 3
26、解析:(1)设数列

?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 )
2 4 3

由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q 由 a1 ? 0, q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2,
2

q2 ? 1(舍去)

39

∴ q ? ?2 (2)证法一:对任意 k ? N ?

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk ) ? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 , 证法二

Sk , Sk ?1 成等差数列
2a1 (1 ? q k ) 1? q

对任意 k ? N ? , 2Sk ?

Sk ? 2 ? Sk ?1 ?

a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q

2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ?
?

a1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) 1? q

?

a1q k 2 (q ? q ? 2) ? 0 1? q

因此,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,
27 、 解 析 :(Ⅰ) 由

Sk , Sk ?1 成等差数列.
可 得 3a4 ? 84, a4 ? 28, 而 , a9=73, 则 于 是

a3+a4+a5=84,a5=73 ,

5d ? a9 ? a4 ? 45, d ? 9

a1 ? a4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1

an ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 ,即 an ? 9n ? 8 .
(Ⅱ)对任意 m∈N﹡, 9 ? 9n ? 8 ? 9
m 2m

,则 9 ? 8 ? 9n ? 9
m

2m

? 8,

即9

m ?1

?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? ,而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 9 2m?1 ? 9 m?1 , 9 9

于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

?

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92

40

即 Sm ?

9 2 m ?1 ? 1 9 m ? . 80 8

28、 【解析】

1 2 1 1 n ? kn 取 最 大 值 , 即 8 ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 , 故 2 2 2 7 9 9 k ? 4 ,从而 an ? S n ? S n ?1 ? ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n 2 2 2 9 ? 2an n 2 3 n ?1 n ? n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 (2) 因为 bn ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? 2Tn ? Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 2 2 2 2 2 2
? 解 : (1) 当 n ? k ? N 时 , S n ? ?

【点评】 本题考查数列的通项,递推、 错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 利用 an ? ?

?S1 (n ? 1), 来实现 an 与 Sn 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注 ?Sn ? Sn?1

意 an ? Sn ? Sn?1 不能用来求解首项 a1 ,首项 a1 一般通过 a1 ? S1 来求解.运用错位相减 法求数列的前 n 项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、 另一项是等比数列.
29、 【答案】解:(1)当 n =4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, ?1, 4?, ?2,3?, ?1,3, 4? ,

∴ f (4) =4. ( 2 )任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商 必为奇数.此时记商为 m .于是 x =m?2k ,其中 m 为奇数 k ? N * . 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数. 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定. 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数. 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是

n n ?1 ( ). 2 2

? n 2 ?2 ? n为偶数? ∴ f (n)= ? n ?1 . ?2 2 n为奇数 ? ? ?
【考点】集合的概念和运算,计数原理. 【解析】(1)找出 n =4 时,符合条件的集合个数即可. (2)由题设,根据计数原理进行求解.

30、 【答案】解:(1)∵ bn ?1

? 1?

bn an ? bn ,∴ an?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

.

41

2 2 2 2 ? 2 ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? .∴ ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? n ? ? 1? n ? N *? an ?1 ? ? ? an ? ? an ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? ?
2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列. ? ? an ? ? ? ?

2

.

(2)∵ an > 0,bn > 0 ∴ 1 < an?1 ?

? a ? bn ? ,∴ n
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? .
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 .(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾. q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾. q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 .∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 . 又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列. = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 a1 an a1

若 a1 ? 2 ,则

2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 . a1
即 a1 ?

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

.

∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾.∴ a1 = 2 .

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2.

∴ a1 =b2 = 2 . 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法. 【解析】(1)根据题设 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从 an ?1 an ? an ?

2

42

而证明 ?

? bn?1 ? ? bn ? ? ? ? ? ? 1 而得证. ? an?1 ? ? an ?
an ? bn an 2 ? bn 2 ? 2 , 用反证法证明等比数列 {an } 的公

2

2

(2) 根据基本不等式得到 1 < an?1 ? 比 q =1 .

从而得到 an ? a1 ? n? N *? 的结论 , 再由 bn ?1 ? 2 ? 等比数列.最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 .
31、 【解析】

bn 2 2 的 = ? bn 知 {bn } 是公比是 a1 an a1

解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以

?

B(n) ? A(n) ? C(n) ? B(n),
即 an?1 ? a1 ? an?2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (Ⅱ)(1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于 0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )
?

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则

B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) ,
于是 C(n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即

an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1.
由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 .
43

因为 an ? 0 ,所以

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列, an ?1 a1

综上所述,数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数

A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差 数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易 得证. 32、考点分析:考察等差等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算. 解析:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2

?2a1 ? a2 ? 3 ? 33、解析:(Ⅰ)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3

44

n (Ⅱ) 由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可 得 2Sn?1 ? an ? 2 ( n ? 2 ), 两 式 相 减 , 可 得 ? 1

2an ? an?1 ? an ? 2n , 即 an?1 ? 3an ? 2n , 即 an?1 ? 2n?1 ? 3 an ? 2n

?

?

, 所 以 数 列

?a

n

? 2n ? ( n ? 2 ) 是 一 个 以 a2 ? 4 为 首 项 ,3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 由 2a1 ? a2 ? 3 可

得 , a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 , 即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ), 当 n ? 1 时 , a1 ? 1 , 也满足该 式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .
n ?1 n ?1 n n1 ? 2? 2 ?, 2 (Ⅲ) 因 为 3n ? 3n?1 ? 2 ? 3 所 以 3n ? 2n ? 3? ,所以

1 1 ? n ?1 , 于 是 an 3

?1? 1? ? ? n 1 1 1 1 1 3 ? ?1? ? 3 3 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 1 a1 a2 an 3 3 2? ? ?3? ? ? 2 1? 3
点评 : 上述证法实质上是证明了一个加强命题 命题的思考过程如下. 考虑构造一个公比为 q 的等比数列 ?bn ? , 其前 n 项和为 Tn ?
n 1 1 1 3? ?1? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? , 该加强 a1 a2 an 2 ? ? ? 3? ? ?

n

b1 ?1 ? q n ? 1? q

, 希望能得到

1 1 1 b1 ?1 ? q ? ??? ? a1 a2 an 1? q

n

? ? 3 , 考虑到 b ?1 ? q ? ?
n 1

2

1? q

b 3 b1 , 所以令 1 ? 即可 . 由 1? q 2 1? q

an 的通项公式的形式可大胆尝试令 q ?

1 1 , 则 b1 ? 1 , 于是 bn ? n?1 , 此时只需证明 3 3

1 1 ? bn ? n ?1 就可以了. an 3
当然, q 的选取并不唯一,也可令 q ? 在于,当 n ? 1 时,

3 1 1 3 ,此时 b1 ? , bn ? n?1 ,与选取 q ? 不同的地方 4 3 2 2

1 1 ? bn ,当 n ? 2 时, ? bn ,所以此时我们不能从第一项就开始放缩, an an

应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法. 当
n ?1 时 ,

1 3 ?1? a1 2

; 当

n?2

时 ,

1 1 1 3 ? ?1? ? a1 a2 5 2

; 当 n?3

时,

1 1 1 1 1 3 ? ? ?1? ? ? . a1 a2 a3 5 19 2

45

当 n ? 4 时,

1 ? bn ,所以 an

1 1 1 1 1 ? ?? ? ?1? ? ? a1 a2 an 5 19
综上所述,命题获证. 下面再给出

3 ? ?1? ?1 ? ? ? 32 ? ? ?2? 1 1? 2

n ?3

? ? ? ?

? 1?

1 1 3 3 ? ? ? . 5 19 16 2

1 1 1 3 ? ? ? ? ? 的两个证法. a1 a2 an 2

法 1:(数学归纳法) ①当 n ? 1 时,左边 ?

1 3 ? 1 ,右边 ? ,命题成立. a1 2
1 3 ? 成立.为了证明当 n ? k ? 1 时命 i 2 i ?1 3 ? 2
i k

②假设当 n ? k ( k ? 2 , k ? N )时成立,即 ? 题也成立,我们首先证明不等式:
i ?1

1 1 1 ( i ? 1 , i ? N ). ? ? i i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i 1 1 1 1 1 要证 i ?1 ,只需证 i ?1 ,只需证 3i ?1 ? 2i ?1 ? 3i ?1 ? 3 ? 2i , ? i ?1 ? ? i i ?1 i i ?1 i 3 ?2 3 ? 3? 2 3 ?2 3 3 ?2 1 1 1 只需证 ?2i ?1 ? ?3 ? 2i ,只需证 ?2 ? ?3 ,该式子明显成立,所以 i ?1 . ? ? i i ?1 3 ?2 3 3 ? 2i k ?1 k ?1 1 1 1 1 k 1 1 3 3 ? ?? i ?1? ? i ? 1 ? ? ? ,所以命 于是当 n ? k ? 1 时, ? i i i i 3 ? 2 i ?2 3 ? 2 3 i ?1 3 ? 2 3 2 2 i ?1 3 ? 2
题在 n ? k ? 1 时也成立. 综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的 ,其实这是一个 错误的认识. 法 2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供) 当 n ? 1 时,

1 3 1 1 1 3 ? 1 ? 显然成立.当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? 显然成立. a1 2 a1 a2 5 2
n

1 2 n ?1 ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n 当 n ? 3 时, an ? 3n ? 2n ? ?1 ? 2? ? 2n ? 1 ? Cn

1 2 n ?1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n ? n ? 1? , 又因 为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1? ,

所以 an ? 2n ? n ? 1? ( n ? 2 ),所以

1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ( n ? 2 ),所以 an 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?

46

1 1 1 1 1? 1 1 1 1 1? 1? 1? 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? . a1 a2 a3 an 2? 2 3 4 n ?1 n ? 2? n? 2
综上所述,命题获证. 34、 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用 . 先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明,根据递 推公式构造等比数列进而求得数列的通项. 解:(1)为 f (4) ? 42 ? 8 ? 3 ? 5 ,故点 P(4,5) 在函数 f ( x) 的图像上,故由所给出的两点

P(4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在.故有
直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) ,令 y ? 0 ,可求得 xn ? 4

xn 2 ? 2 xn ? 8 4x ? 3 ?5 ?5 ? ( x ? 4) ? ? x?4? x ? n xn ? 4 xn ? 2 xn ? 2
所以 xn ?1 ?

4 xn ? 3 xn ? 2

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2




2 ? xk ? 3 ? 4 ? xk ? 2 ? 5 ? 1 ?

5 5 11 5 ? ? 2 ? ? 4? ?3 xk ? 2 4 4 xk ? 2

2 ? xk ?1 ? 3 也成立
综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立. 下面证明 xn ? xn?1

4 xn ? 3 4 xn ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1)2 ? 4 由 xn?1 ? xn ? ? xn ? ? xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2
由 2 ? xn ? 3 ? 1 ? xn ?1 ? 2 ? 0 ? ?( xn ?1)2 ? 4 ? 3 ,故有 xn?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn?1 综上可知 2 ? xn ? xn?1 ? 3 恒成立.

47

(2) 由 xn ?1 ?

4x ? 3 4 xn ? 3 2 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 , 解得 x?2 xn ? 2

x ? 3 或 x ? ?1

? xn?1 ? 3 ?

4 xn ? 3 x ?3 ?3 ? n xn ? 2 xn ? 2



xn?1 ? (?1) ?

4 xn ? 3 5x ? 5 ② ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2

两式相除可得

xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 x ?3 2?3 1 ,而 1 ? ? ? ?? xn ?1 ? 1 5 xn ? 1 x1 ? 1 2 ? 1 3

故数列 ?

? xn ? 3 ? 1 1 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 5 3 ? xn ? 1 ?

xn ? 3 9 ? 5n?1 ? 1 4 1 1 ? 3? . ? ? ? ( )n?1 ,故 xn ? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n?1 ? 1 xn ? 1 3 5
法 二 ( 先 完 成 Ⅱ, 用 Ⅱ 证 Ⅰ):(Ⅱ) Q PQn 的 方 程 为

y ?5 ? x?4 , 令 y ? 0 得 2 xn ? 2xn ? 3? 5 xn ? 4

xn?1 ? 4 ? 5 xn ? 2
(不动点法) 令 x ? 4 ? 5 ,得函数 g ( x) ? 4 ? 4 的不动点 x1 ? ?1, x2 ? 3 . x?2 x?2

5(x ?1) ?xn?1 ?1? 5? 5 ? n xn ? 2 xn ? 2 (x ?3) ?xn?1 ?3 ?1? 5 ? n xn ? 2 xn ? 2
上两式相除得

xn?1 ?1 x ?1 x ?1 是等比数列,其中公比 q ? 5 ,首项为 ? 5? n .可见数列 n xn ? 3 xn?1 ? 3 xn ? 3

? ?

x1 ?1 x ?1 4 (n? N ? ) 即为所求. ? ?3 . ? n ??3?5n?1 ? xn ? 3? x1 ? 3 xn ?3 3?5n?1 ?1
(Ⅰ)①由上知 xn ? 3? ②又 xn?1 ? 3 ? ③易见,数列

4 4 ) ? 2 (当 n ? 1 时). ? 2 ? (1? 3?5n?1 ?1 3?5n?1 ?1

4 ? 3 (当 n ? 1 时). 3?5n ?1

?3?54 ?1? (n? N ) 单调递减,所以数列 ?3? 3?54 ?1? (n? N ) 单调递增,即
n?1
?

n?1

?

xn ? xn?1 . 综合①②③得: 2 ? xn ? xn?1 ? 3 . 【点评】 以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式. 既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有一定的 难度.做这类试题那就是根据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系 式即可.
35、 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生

48

严谨的逻辑思维能力. 解 :(1)











r1 ? A? ? 1.2 , r2 ? A? ? ?1.2 , c1 ? A? ? 1.1 , c2 ? A? ? 0.7 , c3 ? A? ? ?1.8 ∴ k ? A? ? 0.7

(2)先用反证法证明 k ? A?≤ 1: 若 k ? A? ? 1 则 | c1 ? A? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 由题目所有数和为 0 即 a ? b ? c ? ?1

同 理 可 知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 ∴ c ? ?1 ? a ? b ? ? 1 与题目条件矛盾 ∴ k ? A?≤ 1. 易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在 (3) k ? A? 的最大值为

∴ k ? A? 的最大值为 1

2t ? 1 . t?2 2t ? 1 首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai, j }(i ? 1,2, j ? 1,2,...,2t ?1) : t?2 t ?1 , a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ?2 ? ... ? a1,2t ?1 ? ? t?2

a2,1 ? a2,2 ? ... ? a2,t ?

t 2 ? t ?1 , a2,t ?1 ? a2,t ?2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

2t ? 1 , t?2

t 2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 , | c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ? ?1? ? t (t ? 2) t ?2 t ?2
| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

t ? 1 2t ? 1 . ? t?2 t?2

2t ? 1 是 最 大 值 . 若 不 然 , 则 存 在 一 个 数 表 A ? S (2, 2t ? 1) , 使 得 t?2 2t ? 1 k ( A) ? x ? . t?2

由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由 于 x ? 1 ,故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g ?h ,则

g ? t, h ? t ? 1 . 另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负.
49

考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每 个正数的绝对值不超过 1(即每个正数均不超过 1),每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每 个负数均不超过 1 ? x ). 因此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ?1)(1 ? x) ? 2t ?1 ? (t ?1) x ? x ? ? 2t ?1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾. 因此 k ? A? 的最大值为

2t ? 1 . t?2

36、 【解析】(I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列

充分条件
2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x12 ? 0

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)由(I)得: C ? 0 ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意 ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c2 ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1
2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn ?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ? 1)

当c ?

1 1 时, xn ? c ? ? xn ? xn ?1 ? 1 ? 0 ? xn ? 2 ? xn ?1 与 xn?1 ? xn 同号, 4 2

由 x2 ? x1 ? c ? 0 ? xn?2 ? xn ? 0 ? xn?1 ? xn
2 lim xn?1 ? lim(? xn ? xn ? c) ? lim xn ? c n?? n?? n??

当c ?

1 1 时,存在 N ,使 xN ? ? xN ? xN ?1 ? 1 ? xN ? 2 ? xN ?1 与 xN ?1 ? xN 异号 4 2

与数列 {xn } 是单调递减数列矛盾 得:当 0 ? c ?

1 时,数列 {xn } 是单调递增数列 4

2011 年高考题
一、选择题 1. (天津理 4)已知

?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为
50

?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
A.-110 C.90 【答案】D 2. (四川理 8 )数列 B.-90 D.110

?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则
C.8 D.11

b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ?
A.0 【答案】B B.3

【解析】由已知知

bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3
3. (四川理 11) 已知定义在

?0, ?? ? 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 3 f ( x ? 2) ,当 x ??0,2 ? 时,

f ( x) ? ? x 2 ? 2 x .设 f ( x) 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N*) ,且 ?an ? 的前 n 项和


Sn ? Sn ,则 lim n ??

A.3 【答案】D

5 B. 2

C.2

3 D. 2

f ( x ? 2) ?
【解析】由题意

1 f ( x) 3 ,在 [2n ? 2, 2n] 上,

1 1 ? ( )n 1 1 2 1 n?1 3 ? lim S ? 3 n ? 1, f ( x) ? 1, n ? 2, f ( x) ? , n ? 3, f ( x) ? ( ) ? an ? ( ) ? Sn ? n 1 3 3 3 2 1? 3
4. ( 上 海 理 18 ) 设 ( i ? 1, 2,? ) ,则 A. B. C. D.

{an } 是 各 项 为 正 数 的 无 穷 数 列 , Ai 是 边 长 为 ai , ai ?1 的 矩 形 面 积

{ An } 为等比数列的充要条件为

{an } 是等比数列。 a1 , a3 ,?, a2n?1,? 或 a2 , a4 ,?, a2n ,? 是等比数列。 a1 , a3 ,?, a2n?1,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,? 均是等比数列。 a1 , a3 ,?, a2n?1,? 和 a2 , a4 ,?, a2n ,? 均是等比数列,且公比相同。

51

【答案】D 5. (全国大纲理 4) 设 则k ? A.8 【答案】D B.7 C.6 D.5

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a ? 1, S ? Sk ? 24 , 若 1 公差 d ? 2 , k ?2

6. (江西理 5) 已知数列{

an }的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sm ? Sn?m ,且 a1 =1.那么 a10 =

A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A 7. (福建理 10) 已知函数 f (x) =e+x, 对于曲线 y=f (x) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C, 给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 【答案】B 二、填空题 8. (湖南理 12)设 则

Sn 是等差数列 {an } (n ? N ? ) ,的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,

S9 =



【答案】25 9. (重庆理 11)在等差数列 【答案】74

{an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________

1 10 . ( 北 京 理 11 ) 在 等 比 数 列 {an} 中 , a1= 2 , a4=-4 , 则 公 比 q=______________ ;

a1 ? a2 ? ... ? an ?
2 n ?1 ?
【答案】

____________。—2

1 2

11. (安徽理 14)已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的 等差数列,则 ?ABC 的面积为_______________. 【答案】 15 3 12. (湖北理 13) 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积
52

成等差数列,上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升。

67 【答案】 66
13. (广东理 11)等差数列 k=____________. 【答案】10 14. (江苏 13) 设

an

前 9 项的和等于前 4 项的和.若

a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则

1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 , a ,a ,a ,a a ,a ,a 其中 1 3 5 7 成公比为 q 的等比数列, 2 4 6

成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________
3 【答案】 3

三、解答题 15. (江苏 20)设M部分为正整数组成的集合,数列 已知对任意整数 k ? M,当整数 (1)设 (2)设

{an }的首项a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,

n ? k时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立

M ? {1}, a2 ? 2, 求a5 的值; M ? {3,4}, 求数列 {an } 的通项公式

本小题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析 探究及逻辑推理的能力,满分 16 分。 解: (1)由题设知,当 即

n ? 2时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ) ,

(Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 2S1 , an?1 ? an ? 2a1 ? 2, 又a2 ? 2, 故当n ? 2时, an ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 2.
a5 的值为 8。

从而 所以

(2)由题设知,当

k ? M ? {3, 4}, 且n ? k时,Sn?k ? Sn?k ? 2Sn ? 2Sk

且Sn?1?k ? Sn? 1 ? 2Sk , ?k ? 2Sn? 1
两式相减得 所以当 列

an?1?k ? an?1?k ? 2an?1 ,即an?1?k ? an?1?k ? an?1 ? an?1?k

n ? 8时, an?6 , an?3 , an , an?3 , an?6 成等差数列,且 an?6 , an?2 , an?2 , an?6 也成等差数

2a ? an?3 ? an?3 ? an?6 ? an?6 . (*) 从而当 n ? 8 时, n
53

且 即

an?6 ? an?6 ? an?2 ? an?2 , 所以当n ? 8时, 2an ? an?2 ? an?2 , an?2 ? an ? an ? an?2 .于是当n ? 9时, an?3 , an?1 , an?1 , an?3 成等差数列, an?3 ? an?3 ? an?1 ? an?1 , 2an ? an?1 ? an?1 ,即an?1 ? an ? an ? an?1 .

从而

故由(*)式知

d ? an ? an?1 . 当 n ? 9 时,设
当 2 ? m ? 8时, m ? 6 ? 8 ,从而由(*)式知 故

2am?6 ? am ? am?12

2am?7 ? am?1 ? am?13 . 2(am?7 ? am?6 ) ? am?1 ? am ? (am?13 ? am?12 ) ,于是 am?1 ? am ? 2d ? d ? d . an?1 ? an ? d 对任意 n ? 2 都成立,又由 Sn?k ? Sn?k ? 2Sk ? 2Sk (k ?{3, 4}) 可

从而

因此, 知

(Sn?k ? Sn ) ? (Sn ? Sn?k ) ? 2Sk , 故9d ? 2S3且16d ? 2S4 ,
a4 ? 7 3 d d , 从而a2 ? d , a1 ? . 2 2 2

解得

因此,数列 所以数列

{an } 为等差数列,由 a1 ? 1知d ? 2.

{an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.

16. (安徽理 18) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记作

Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 .

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

{an } 的通项公式;

bn ? tan an ?tan an?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运 用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解: (I)设

l1 , l 2 ,?, l n?2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, t n?2 ? 100, 则
① ②

Tn ? t1 ? t 2 ??? t n?1 ? t n?2 , Tn ? t n?1 ? t n?2 ??? t 2 ? t1 ,

54

①×②并利用

t1t n?3?i ? t1t n?2 ? 102 (1 ? i ? n ? 2),得

Tn2 ? (t1t n?2 ) ? (t 2t n?1 ) ??? (t n?1t 2 ) ? (t n?2t1 ) ? 102( n?2) ,? an ? lg Tn ? n ? 2, n ? 1.
(II)由题意和(I)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan1 ? tan(( k ? 1) ? k ) ?
另一方面,利用

tan( k ? 1) ? tan k ?

n n?2 k ?3

tan( k ? 1) ? tan k ? 1. tan 1

所以

S n ? ? bk ?? tan(k ? 1) ? tan k
k ?1

tan(k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

17. (北京理 20) 若数列 记

An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2)

满足

an?1 ? a1 ? 1(k ? 1,2,..., n ?1)

,数列

An 为 E 数列,

S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an .
(Ⅰ)写出一个满足 (Ⅱ)若

a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ;

a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011;
An ,使得 S ? An ? =0?

(Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列

An ;如果不存在,说明理由。

解: (Ⅰ)0,1,2,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以

ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1,2,?,1999 ).

所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)×1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 ……
55

a2—a1≤1 所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故

an?1 ? an ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 ),即An 是递增数列. ck ? ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1,2,?, n ? 1),则c A ? ?1.

综上,结论得证。 (Ⅲ)令

因为 a2 ? a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? c2 ??

an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ,
所以

S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn?1

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )( n ? 1) ? (1 ? c 2 )( n ? 2) ? ? ? (1 ? c n ?1 )]. 2

因为 所以

ck ? ?1, 所以 1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ? 1). *1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ) 为偶数,
S ( An ) ? 0, 必须使 n(n ? 1) 2 为偶数,

所以要使

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) . 当

n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An的项满足a4k ?1 ? a4k ?1 ? 0, a4k ?2 ? ?1, a4 k ? 1

(k ? 1,2,?, m) 时,有 a1 ? 0, S ( An ) ? 0;

a4k ? 1(k ? 1,2,?, m), a4k ?1 ? 0时, 有a1 ? 0, S ( An ) ? 0;


n ? 4m ? 1(m ? N*)时, E数列An 的项满足, a4k ?1 ? a3k ?3 ? 0, a4k ?2 ? ?1,

当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ? 3(m ? N )时, n(m ? 1) 不能被 4 整除,此时不存在 E 数列 An, 使得

a1 ? 0, S ( An ) ? 0.

18. (福建理 16)

13 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= 3 。

56

(I)求数列{an}的通项公式; (II)若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? p ? ? ) 在 为 a3,求函数 f(x)的解析式。 本小题主要考查等比数列、 三角函数等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 满分 13 分。

x?

?
6 处取得最大值,且最大值

解: (I)由

q ? 3, S3 ?

13 a1 (1 ? 33 ) 13 得 ? , 3 1? 3 3

1 a1 ? . 3 解得
1 an ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2. 3 所以
(II)由(I)可知

an ? 3n?2 , 所以a3 ? 3.

因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A=3。

x?
因为当

?
6 时 f ( x) 取得最大值,

sin(2 ?
所以

?
6

? ? ) ? 1.

0 ? ? ? ? , 故? ?


?
6

.

f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6 所以函数 f ( x ) 的解析式为
19. (广东理 20)

?

设 b>0,数列 (1)求数列

?an ? 满足 a1=b,

an ?

nban?1 (n ? 2) an?1 ? 2n ? 2 .

?an ? 的通项公式;
an ? bn?1 ? 1. 2n?1

(2)证明:对于一切正整数 n, 解:

57

a1 ? b ? 0, 知an ?
(1)由

nban?1 n 1 2 n ?1 ? 0, ? ? . an?1 ? 2n ? 2 an b b an?1

An ?


n 1 , A1 ? an b,
1 2 ? An ?1 b b



n ? 2时, An ?

1 2 2n ?2 2n ?1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n?1 A1 b b b b ? 1 2 2n ?2 2n ?1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n . b b b b

①当 b ? 2 时,

1 ?2? (1 ? ? ? ) n n b ?b? ? b ?2 , An ? 2 b n (b ? 2) 1? b
b ? 2时, An ? n . 2

n

②当

? nbn (b ? 2) ,b ? 2 ? an ? ? bn ? 2n ?2, b?2 ?
(2)当 b ? 2 时, (欲证

an ?

nbn (b ? 2) bn?1 bn ?1 b n ? 2n n ? ? 1, 只需证 nb ? ( ? 1) b?2 ) b n ? 2n 2n ?1 2n ?1

(2n ?1 ? bn ?1 )

b n ? 2n ? (2n ?1 ? bn ?1 )(bn ?1 ? 2bn ?2 ? ? ? 2n ?1 ) b?2

? 2n?1 bn?1 ? 2n?2 bn?2 ? ? ? 22n ? b2n ? 2b2n?1 ? ? ? 2n?1 bn?1

2 22 2n b n b n ?1 b ? 2n bn ( ? 2 ? ? ? n ? n ? n ?1 ? ? ? ) b b 2 b 2 2

? 2n bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2n ? 2n bn ? n ? 2n?1 bn ,
? an ? nbn (b ? 2) bn?1 ? n ?1 ? 1. b n ? 2n 2
58



b ? 2时, an ? 2 ?

bn?1 ? 1. 2n?1

综上所述

an ?

b n ?1 ? 1. 2n ?1

20. (湖北理 19) 已知数列

?an? 的 前 n 项 和 为 Sn ?an? 的通项公式;

,且满足:

a1 ? a (a ? 0) , an ? 1 ? rSn (n ? N* ,

r ? R, r ? ?1) .
(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)若存在 k ? N*,使得 Sk ? 1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列,是判断:对于任意的 m ?N*, 且 m ? 2 , am ? 1 , am , am ? 2 是否成等差数列,并证明你的结论. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般 的思想。 (满分 13 分) 解: (I)由已知

an?1 ? rSn , 可得 an?2 ? rSn?1 ,两式相减可得

an?2 ? an?1 ? ( r S ) , n?1 ? S n ? ra n ?1
即 又

an?2 ? (r ? 1)an?1, a2 ? ra1 ? ra, 所以 r=0 时, {an } 为:a,0,?,0,?;

数列

a ? 0, 所以an ? 0 ( n ? N * ) 当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 , an?2
an ? 2 ? r ? 1(n ? N ? ) ? (r ? 1)an?1, 可得 an ?1 ,

于是由

?a2 , a3 ,?, an ? ? 成等比数列,
n ?2 ?当n ? 2时 , an ? r (r ?1) a.

n ? 1, ?an an ? ? n?2 {a } ?r (r ? 1) a, n ? 2 综上,数列 n 的通项公式为
(II)对于任意的 m ? N ,且
*

m ? 2, am?1 , am , am?2 成等差数列,证明如下:

59

?a, n ? 1, am ? ? ?0, n ? 2 当 r=0 时,由(I)知,
? 对于任意的 m ? N ,且 m ? 2, am?1 , am , am?2 成等差数列,
*

当 r ? 0 , r ? ?1 时,

? Sk ?2 ? Sk ? ak ? 1? ak ? ,2Sk ? ? 1 ak ? .
若存在 k ? N ,使得
*

1

Sk ?1 , S1 , Sk ?2 成等差数列,



Sk ?1 ? Sk ?2 ? 2Sk ,

?2Sk ? 2ak?1 ? ak?2 ?2 S即 a?k2 ? ? 2 a?k1 , k,
由(I)知,

a2 , a3 ,?, am ,? 的公比 r ? 1 ? ?2 ,于是
*

对于任意的 m ? N ,且

m ? 2, am?1 ? ?2am , 从而am?2 ? 4am ,

?am?1 ? am?2 ? 2 am, 即 am , a? ?1 , am m 2 成等差数列,
综上,对于任意的 m ? N ,且
*

m ? 2, am?1 , am , am?2 成等差数列。

21. (辽宁理 17) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

? an ? ? n ?1 ? 2 ? (II)求数列 ? 的前 n 项和.
解:

(I)设等差数列

{an } 的公差为 d,由已知条件可得

?a1 ? d ? 0, ? ?2a1 ? 12d ? ?10,

?a1 ? 1, ? d ? ?1. 解得 ?
故数列

{an } 的通项公式为 an ? 2 ? n.
{

………………5 分

an a a }的前n项和为Sn Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn , 故S1 ? 1 n ?1 2 2 ?1 (II)设数列 2 ,即 ,

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n

60

所以,当 n ? 1 时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n
所以

Sn ?

n 2 n ?1

.

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 综上,数列 2 {
22. (全国大纲理 20)

………………12 分

1 1 ? ? 1. ?a ? a ? 0 且 1 ? a n?1 1 ? a n 设数列 n 满足 1
(Ⅰ)求

?a n? 的通项公式;
bn ? 1 ? an?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1 n

(Ⅱ)设 解:

1 1 ? ? 1, 1 ? a 1 ? a n ? 1 n (I)由题设 1 { } 1 ? a n 是公差为 1 的等差数列。 即 1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a 1 ? a 1 n 又
1 an ? 1 ? . n 所以
(II)由(I)得

61

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ,
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n

????8 分

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1 ????12 分

23. (全国新课标理 17) 已知等比数列 (I)求数列

{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

{an} 的通项公式.

1 { } b ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和. (II)设 n
解:
3 2 a2 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 3 所以

q2 ?

1 9.

q?
由条件可知 c>0,故

1 3.
a1 ? 1 3.



2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以

1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 .
(Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) b n(n ? 1) n n ?1 故 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

62

1 2n { } ? b 所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1
24. (山东理 20) 等比数列

?an ? 中, a1, a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1, a2 , a3 中的任
第一列 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

何两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列 解: (I)当 当 当 3 6 9

?an ? 的通项公式;

?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

a1 ? 3 时,不合题意;

a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; a1 ? 10 时,不合题意。 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18,

因此

所以公式 q=3, 故

an ? 2 ? 3n?1.
(II)因为

bn ? an ? (?1)n ln an

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2n ? 2(1 ? 3 ??? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ? ?? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ? ?? (?1) n n]ln3,
所以

当 n 为偶数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2

1 ? 3n n ?1 Sn ? 2 ? ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2 当 n 为奇数时,
63

? 3n ?

n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

综上所述,

? n n 3 ? ln 3 ? 1, n为偶数 ? ? 2 Sn ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2
25 . (上海理 22 ) 已知数列 (n? N ) ,将集合
*

{an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7

{x | x ? an , n ? N *} ?{x | x ? bn , n ? N *} 中的元素从小到大依次排列,构成数列

c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
(1)求

c1 , c2 , c3 , c4 ;
{cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2n ,? ;

(2)求证:在数列 (3)求数列 解:⑴

{cn } 的通项公式。

c1 ? 9 , c2 ? 1 1c ,3 ? 1 2 c4, ? ;1 3
*

⑵ ① 任意 n ? N ,设

a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ? 2 ,即

a2n?1 ? b3n?2
1 k ? 3n ? ? N * a ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? 2 ② 假设 2n (矛盾) ,∴
∴ 在数列 ⑶

a2n ?{bn }

{cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2n ,? 。

b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6?k 6 ?7

b ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,?? ∴ 当 k ? 1 时,依次有 1

64

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? cn ? ? ,k ? N* ? 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k ) ∴ 。
26. (四川理 20) 设 d 为非零实数, (1)写出 (II)设

an ?

1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n (Cn d ? 2Cn d ? ? ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ](n ? N * ) n

a1 , a2 , a3 并判断 {an } 是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由;

bn ? ndan (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

解析: (1)

a1 ? d a2 ? d (d ? 1) a3 ? d (d ? 1)2
0 1 2 2 3 n ?1 n an ? C n d ? Cn d ? Cn d ? ? ? Cn d ? d (1 ? d ) n ?1

an ?1 ? d (1 ? d ) n an ?1 ? d ?1 an
因为 d 为常数,所以

{an } 是以 d 为首项, d ? 1 为公比的等比数列。

bn ? nd 2 (1 ? d ) n ?1 Sn ? d 2 (1 ? d )0 ? 2d 2 (1 ? d )1 ? 3d 2 (1 ? d ) 2 ? ?? ? nd 2 (1 ? d ) n ?1
(2) ? d [(1 ? d ) ? 2(1 ? d ) ? 3(1 ? d ) ? ?? ? n(1 ? d )
2 0 1 2 n ?1

](1)

(1 ? d )Sn ? d 2[(1 ? d )1 ? 2(1 ? d )2 ? 3(1 ? d )3 ? ??? n(1 ? d )n ](2)

1? (1 ? (1 ? d )n ) ? dSn ? ?d [ ? d 2 n(1 ? d )n ? d ? (d 2 n ? d )(1 ? d )n 1 ? (1 ? d ) (2) ? (1)
2

? Sn ? 1 ? (dn ?1)(1 ? d )n
27. (天津理 20)

已知数列

{an } 与 {bn } 满足:

bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ?

3 ? (?1)n * 2 , n ? N ,且

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ)求

a3 , a4 , a5 的值;
65

(Ⅱ)设

cn ? a2n?1 ? a2n?1, n ? N * ,证明: ?cn ? 是等比数列;
*

(III)设

Sk ? a2 ? a4 ???? ? a2k , k ? N , 证明: k ?1

?a

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) 6 .

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.

(I)解:由

bn ?

3 ? (?1)n , n ? N *, 2

?1, n为奇数 bn ? ? ?2,n为偶数 可得


bn an ? an?1 ? bn?1an?2 ? 0,

当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
(II)证明:对任意 n ? N ,
*

a2n?1 ? a2n ? 2a2n?1 ? 0, 2a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? 0,

① ②

a2n?1 ? a2n?2 ? 2a2n?3 ? 0, ③
②—③,得

a2 n ? a2 n?3 . ④ a2n?1 ? a2n?3 ? ?(a2n?1 ? a2n?1 )

将④代入①,可得 即 又

cn?1 ? ?cn (n ? N * )

c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0,

cn?1 ? ?1, 所以{cn } c n 因此 是等比数列.
(III)证明:由(II)可得

a2k ?1 ? a2k ?1 ? (?1)k ,

* 于是,对任意 k ? N 且k ? 2 ,有

66

a1 ? a3 ? ?1, ?(a3 ? a5 ) ? ?1, a5 ? a7 ? ?1, ? (?1) k (a2 k ?3 ? a2 k ?1 ) ? ?1.
将以上各式相加,得 即

a1 ? (?1)k a2k ?1 ? ?(k ?1),

a2k ?1 ? (?1)k ?1 (k ?1) , a2k ? (?1)k ?1 (k ? 3).

此式当 k=1 时也成立.由④式得 从而

S2k ? (a2 ? a4 ) ? (a6 ? a8 ) ? ? ? (a4k ?2 ? a4k ) ? ?k ,

S2k ?1 ? S2k ? a4k ? k ? 3.
所以,对任意 n ? N , n ? 2 ,
*
n Sk S S S S ? ( 4 m?3 ? 4 m?2 ? 4 m?1 ? 4 m ) ? ? a4 m?2 a4m?1 a4 m k ?1 ak m ?1 a4 m ?3
n

4n

? ?(
m ?1 n

2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3 2m ? ? ? ) 2m 2m ? 2 2m ? 1 2m ? 3 2 3 ? ) 2m(2m ? 1) (2m ? 2)(2m ? 2)

? ?(
m ?1

?

n 2 5 3 ?? ? 2 ? 3 m?2 2m(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 n 5 3 ? ?? ? 3 m?2 (2m ? 1)(2m ? 1) (2n ? 2)(2n ? 3)

1 5 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3)
1 5 5 1 3 ? ? ? ? ? 3 6 2 2n ? 1 (2n ? 2)(2n ? 3) 7 ? . 6
对于 n=1,不等式显然成立. 所以,对任意 n ? N ,
*

67

S S S1 S2 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n a1 a2 a2 n ?1 a2 n ?( S S S S S1 S2 ? ) ? ( 3 ? 4 ) ? ? ? ( 2 n?1 ? 2 n ) a1 a2 a3 a4 a2 n?1 a2 n

1 1 1 2 1 n ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ? ? (1 ? n ? n ) 2 4 12 4 4 ? (4 ? 1) 4 (4 ? 1) 1 1 1 2 1 n ? n?( ? )?( 2 ? 2 2 ) ?? ? ( n ? n n ) 4 12 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1)
1 1 1 ? n?( ? ) ? n? . 4 12 3
28. (浙江理 19)已知公差不为 0 的等差数列

{an } 的首项 a1 为 a( a ? R ),设数列的前 n

1 1 1 S a a a 项和为 n ,且 1 , 2 , 4 成等比数列
(1)求数列

{an } 的通项公式及 Sn

An ?
(2) 记 与

1 1 1 1 1 1 1 1 Bn ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? a1 a2 a22 a2n A S1 S S Sn , 2 3 , 当 n ? 2 时, 试比较 n

Bn 的大小.

本题主要考查等差数列、 等比数列、 求和公式、 不等式等基础知识, 同时考查分类讨论思想。 满分 14 分。

1 2 1 1 ) ? ? , {a } a a1 a4 (I)解:设等差数列 n 的公差为 d,由 2 (


(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )
an ? na1 , Sn ? an(n ? 1) . 2

因为 d ? 0 ,所以 d ? a 所以

1 2 1 1 ? ( ? ) S a n n ? 1 n (II)解:因为 ,所以

An ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ??? ? (1 ? ) S1 S2 S3 Sn a n ?1
,所以

因为

a2n?1 ? 2n?1 a

68

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ??? ? ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2

0 1 2 n n ? 2时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? n ?1,

1?


1 1 ? 1? n , n ?1 2

所以,当 当

a ? 0时, An ? Bn ;

a ? 0时, An ? Bn .

29. (重庆理 21) 设实数数列 (I)若

{an } 的前 n 项和 S n ,满足 S n?1 ? an?1S n (n ? N * )

a1 , S2 ? 2a2 成等比数列,求 S2 和 a3 ;
k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ? 4 3

(II)求证:对

2 ? S2 ? ?2a1a2 , 2 得S2 ? ?2S2 ? S ? a S ? a a , ? 2 2 1 1 2 (I)解:由题意 ,

由 S2 是等比中项知 由

S2 ? 0.因此S2 ? ?2.

S2 ? a3 ? S3 ? a3 S2 解得

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ?2 ? 1 3
Sn ? an?1 ? an?1Sn ,

(II)证法一:由题设条件有

Sn ? 1, an?1 ? 1且an?1 ?
故 从而对 k ? 3 有

Sn a , Sn ? n?1 , Sn ? 1 an?1 ? 1

69

ak ?1 2 Sk ?1 ak ?1 ? Sk ? 2 ak ?1 ? 1 ak ?1 ak ? ? ? ? 2 . ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? Sk ? 2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ak ?1 ? ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?
1 2 3 2 2 ak ) ? ? 0且ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ( ak ?1 ? ?1 ? 0 a ?0 2 4 因 ,由①得 k
2 ak 4 ?1 4 ? , ak ? 2 3 ,由①只要证 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3 要证
2 2 3ak (ak ?1 ? 2)2 ? 0. ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1),即



即证

此式明显成立.

因此

ak ?

4 ( k ? 3). 3

最后证

ak ?1 ? ak . 若不然
2 k

ak ?1 ?

2 ak ? ak , 2 ak ? ak ? 1

ak ? 0, 故
又因 因此

ak ? 1,即(ak ? 1)2 ? 0. a ? ak ? 1 矛盾.

ak ?1 ? ak (k ? 3). Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an?1Sn ,

证法二:由题设知 故方程

x2 ? Sn?1 x ? Sn?1 ? 0有根Sn 和an?1 (可能相同).
2 ? ? Sn ?1 ? 4Sn?1 ? 0.

因此判别式

Sn? 2 ? Sn?1 ? an? 2 ? an? 2 Sn?1得an? 2 ? 1且Sn?1 ?
又由
2 an 4an?2 2 ?2 ? ? 0,即3an ? 2 ? 4an ? 2 ? 0 2 a ? 1 ( a ? 1) n?2 因此 n? 2 ,

an? 2 . an? 2 ? 1

解得

0 ? an ? 2 ? 4 3

4 . 3 (k ? 3).

因此

0 ? ak ?

70

ak ?


Sk ?1 ? 0 (k ? 3) Sk ?1 ? 1 ,得
Sk Sk ?1 S ? ak ? ak ( ? 1) ? ak ( 2 k ?1 ? 1) Sk ? 1 ak Sk ?1 ? 1 S k ?1 ?1 S k ?1 ? 1 S
2 k ?1

ak ?1 ? ak ?

??

ak ?? ? Sk ?1 ? 1

ak ? 0. 1 2 3 ( Sk ?1 ? ) ? 2 4

因此

ak ?1 ? ak

(k ? 3).

2010 年高考题 一、选择题

S5 ? an ? S 8 a ? a ? 0 ? S n n 2 5 2 1.(2010 浙江理)设 为等比数列 的前 项和, ,则
(A)11 (B)5 (C) ?8 解析:通过 (D) ? 11

8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,带入所

求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 属中档题 2.(2010 全国卷 2 理)如果等差数列

?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ?
(D)35

(A)14 (B)21 (C)28 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】

a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

3.(2010 辽宁文)设 公比 q ? (A)3 【答案】 B

Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则

(B)4

(C)5

(D)6

解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 ,

a4 ? 4a3 ,? q ?

a4 ?4 a3

.

4. (2010 辽宁理) 设{an}是有正数组成的等比数列,

Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,

71



S5 ?
31 (B) 4 33 (C) 4 17 (D) 2

15 (A) 2

【答案】B 【命题立意】 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 考查了同学们解决问题的能 力。

【解析】由 a2a4=1 可得

a q ? 1 ,因此
2 1 4

a1 ?

1 2 q 2 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 7 ,联力两

S5 ? 1 1 1 ( ? 3)( ? 2) ? 0 q 式有 q ,所以 q= 2 ,所以
5.(2010 全国卷 2 文)如果等差数列

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 1 4 1? 2 ,故选 B。

?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +??+ a7 =

(A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ∵ 3
6.(2010 安徽文)设数列 (A) 15 【答案】 A 【解析】

1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

{an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为
(B) 16 (C) 49 (D)64

a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 即可得出结论.

【方法技巧】直接根据

S5 ? s { a } 8 a ? a ? 0 S n n 2 5 2 7.(2010 浙江文)设 为等比数列 的前 n 项和, 则
(A)-11 (C)5 解析:通过 (B)-8 (D)11

8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,带入所

求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 8.(2010 重庆理)在等比数列 A. 2 B. 3 【答案】A C. 4

?an ? 中, a2010 ? 8a2007
D. 8

,则公比 q 的值为

72

a2010 ?q 3 ? 8 a 解析: 2007
9. (2010 广东理) 已知

?q ? 2

{an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7

5 S 的等差中项为 4 ,则 5 =
A.35 【答案】C 解析:设{ B.33 C.31 D.29

an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知,a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。由 a4

5 5 1 5 1 5 1 a4 ? 2a7 ? 2 ? a7 ? (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? a 4 ,即 2 4 2 4 4. 与 2 7 的等差中项为 4 知,

q3 ?


a7 1 1 1 ? q? a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 a ? 16 . a4 8 ,即 2. 8 ,即 1

10.(2010 广东文)

11.(2010 山东理)

73

12.(2010 重庆文) (2)在等差数列 (A)5 (C)8 【答案】 A 解析:由角标性质得

?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为
(B)6 (D)10

a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5

13.(2010 江西理)5.等比数列

?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数
,则

f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 )
A. 2
6 9 B. 2 12 C. 2

f ' ? 0? ?





15 D. 2

【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 有关;得:

f ' ? 0?

只与函数

f ? x?

的一次项

a1 ? a2 ? a3 ?a8 ? (a1a8 )4 ? 212 。

1? ? 1 1 lim ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? x ?? 3 ? ( ? 3 3 14.(2010 江西理)
5 A. 3



3 B. 2

C. 2

D. 不存在

【答案】B

1 1? n 3 lim ( 3 ) ? n ??? 1 2 1? 3 【解析】 考查等比数列求和与极限知识.解法一: 先求和, 然后对和取极限。

74

15.(2010 北京理)在等比数列 (A)9 【答案】C (B)10

?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1.若 am ? a1a2a3a4a5 ,则 m=
(C)11 (D)12

16.(2010 四川理)已知数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,

an ? n ?? S n 则 lim
1 (B) 2

(A)0 解析:由

(C) 1

(D)2

Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn?2 ? 2Sn?1 ? a1

作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是公比为 2 的等比数列 Sn=a1+2a1+22a1+……+2n-1a1=(2n-1)a1

an 2n?1 a 1 ? lim n 1 ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1 则 lim
【答案】B 17. (2010 天津理) (6) 已知

9s ? s6 , ?an ? 是首项为 1 的等比数列,sn 是 ?an ? 的前 n 项和, 且 3

?1? ? ? a 则数列 ? n ? 的前 5 项和为
15 (A) 8 或 5 31 (B) 16 或 5 31 (C) 16 15 (D) 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。

1 9(1 ? q3 ) 1-q6 1 { } = ? 1 ? q3 ? q ? 2 a 1? q 显然 q ? 1,所以 1-q ,所以 n 是首项为 1,公比为 2 的等

1 1 ? ( )5 2 ? 31 T5 ? 1 16 1? 2 比数列, 前 5 项和 .
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的 应用。 18.(2010 福建理)3.设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn
75

取最小值时,n 等于 A.6 【答案】A

B.7

C. 8

D.9

【解析】设该数列的公差为 d ,则

a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 ,

所以

Sn ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 S 2 ,所以当 n ? 6 时, n 取最小值。

【命题意图】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最值的 求法及计算能力。 19.(2010 全国卷 1 文) (4)已知各项均为正数的等比数列{ 则

an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,

a4 a5a6 =
(B) 7 (C) 6 (D) 4 2

(A) 5 2

【答案】A 【命题意图】 本小题主要考查等比数列的性质、 指数幂的运算、 根式与指数式的互化等知识, 着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】 由等比数列的性质知 所以 所以
3 3 a1a2a3 ? (a1a3 )? a2 ? a2 ? 5 ,a7 a8a9 ? (a7 a9 )? a8 ? a8 ? 10,

a2 a8 ? 50 ,

1 3

a4 a5a6 ? (a4 a6 )? a5 ? a ? ( a2 a8 ) ? (50 ) ? 5 2
3 5 3

1 6 3

1 a3 , 2a2 a a 20.(2010 湖北文)7.已知等比数列{ m }中,各项都是正数,且 1 , 2 成等差数列,

a9 ? a10 ? a ? a8 则 7
A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2

21.(2010 安徽理)10、设

?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分

别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是
76

A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

B、 D、

Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ?

Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

【答案】 D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. 22.(2010 湖北理数)如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆, 又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 积之和,则 n ? ? A. 2 ? r

s n 为前 n 个圆的面

lim s n

= C.4 ? r D.6 ? r

2

8 2 B. 3 ? r

2

2

二、填空题 23. ( 2010 辽 宁 文 ) 设

Sn 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 若 S3 ? 3,S6 ? 24 , 则

a9 ?



解析:填 15.

3? 2 ? S ? 3a1 ? d ?3 ? ? 3 2 ? ?a1 ? ?1 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 ? 6 1 d ? 2 ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? 2 ? ,解得 ?

24. (2010 福建理) 在等比数列 式

?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公

an ?


77

【答案】 4

n-1

【解析】由题意知

a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4 n-1 。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 25.(2010 江苏卷)函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 解析:考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为:

y ? ak ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得
2

x?

ak 2 ,

所以

ak ?1 ?

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 2 。

三、解答题 26.(2010 上海文)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题 满分 8 分。 已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N *

(1)证明: (2)求数列

?an ?1? 是等比数列;
?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

5 an ? 1 ? (an?1 ? 1) 6 解析: (1) 当 n?1 时, a1??14; 当 n≥2 时, an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1, 所以 , 又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 由 Sn?1>Sn,得 ? 6 ?
n ?1 n ?1

?5? an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6? ,得

n ?1

?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? ,从而

n ?1

? n ? 90

(n?N*);

?

2 2 n ? log 5 ? 1 ? 14.9 5, 6 25 ,最小正整数 n?15.

27.(2010 陕西文)16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 解 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

1 ? 2 d 1 ? 8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1 = 1 ? 2 d ,
解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
am

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

2(1 ? 2 n ) Sm=2+22+23+?+2n= 1 ? 2 =2n+1-2.
78

28.(2010 全国卷 2 文) (本小题满分 12 分) 已知

{an } 是各项均为正数的等比数列,且
1 1 1 1 1 ? ) a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a1 a2 , a3 a4 a5

a1 ? a2 ? 2(

(Ⅰ)求

{an } 的通项公式;
bn ? (an ? 1 2 ) an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

(Ⅱ)设

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1 与 d 的方程求得 a1 与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 bn 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。 29.(2010 江西理)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长
2 2 2

an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn2,cn2 成等差

数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 1 ,5 ,7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形, 再证明互不相似,且无穷。 证明:当 分解得:
2 2 2 2 2 2 an ,bn ,cn b2 ? an ? cn ? bn 成等差数列,则 n ,

2

2

2

(bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn )
2

选取关于 n 的一个多项式, 4n(n ?1) 做两种途径的分解

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ?1)
?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n

对比目标式,构造 ,由第一问结论得,等差数列成立, 考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。

79

下证互不相似。 任取正整数 m,n,若△m,△ n 相似:则三边对应成比例

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? ? n 2 ? 2n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1 ,
m ?1 m ?1 ? ?m?n 由比例的性质得: n ? 1 n ? 1 ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。
30.(2010 安徽文) (21) (本小题满分 13 分) 设

C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线
3 x 3 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互

y?

外切,以

rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列.

(Ⅰ)证明:

{rn } 为等比数列;

n { } r ? 1 ,求数列 rn 的前 n 项和. (Ⅱ)设 1
【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】 ( 1 )求直线倾斜角的正弦,设

Cn 的圆心为 (?n ,0) ,得 ?n ? 2rn ,同理得

?n?1 ? 2rn?1 , {r } r 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, 即 n 中 n ?1
n r {r } {r } r 与 n 的关系,证明 n 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 n 的通项公式,代入数列 n ,
然后用错位相减法求和.

80

3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 n ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? (n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项

an 与 an ?1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通 Sn 乘以公比,然后错位相减解决.

项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 的数列时,通常是利用前 n 项和

31.(2010 重庆文) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知

?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和.
an 及 Sn ;

(Ⅰ)求通项 (Ⅱ)设 和

?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项

Tn .

81

32.(2010 浙江文) (19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差 数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 (Ⅰ)若

S5 S6 +15=0。

S5 =5,求 S6 及 a1;

(Ⅱ)求 d 的取值范围。

33.(2010 北京文) (16) (本小题共 13 分) 已知

| an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 | an | 的通项公式;
| bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式

(Ⅰ)求

(Ⅱ)若等差数列

解: (Ⅰ)设等差数列 因为

{an } 的公差 d 。

a3 ? ?6, a6 ? 0

82

?a1 ? 2d ? ?6 ? a ? 5d ? 0 所以 ? 1
所以

解得

a1 ? ?10, d ? 2

an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12
{bn } 的公比为 q

(Ⅱ)设等比数列 因为

b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8
即 q =3

所以 ?8q ? ?24

所以

{bn } 的前 n 项和公式为

Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

34.(2010 四川理) (21) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N*都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 (2)当 n∈N *时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a2 n ?1 ? a1 2 an= -(n-1)2. a2 n ?1 ? a2 n ?1 2 那么 an+1-an= -2n+1 8n ? 2 = 2 -2n+1
=2n 于是 cn=2nqn-1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1)
83

当 q≠1 时,Sn=2·q0+4· q1+6· q2+……+2n· qn-1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2·q1+4· q2+6· q3+……+2n· qn. 上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn-1)-2nqn

1 ? qn =2· 1 ? q -2nqn

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 1? q =2· nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2 所以 Sn=2·
?n(n ? 1) (q ? 1) ? ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) ? 2? (q ? 1) 2 ?

综上所述,Sn=

??????????12 分

35.(2010 全国卷 1 理) (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知数列

?an ? 中,

a1 ? 1, an?1 ? c ?

1 an .

5 1 c ? , bn ? 2 an ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅰ)设
(Ⅱ)求使不等式

an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

84

36.(2010 山东理) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 (Ⅰ)求

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

an 及 Sn ;
2

1 a ? 1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (Ⅱ)令 bn= n
【解析】 (Ⅰ)设等差数列

?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ? ?2a1 ? 10d ? 26 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 ,
a ? 3?( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 所以 n
3n+ n(n-1) ?2 2 2 = n +2n 。

85

1 1 1 1 1 1 1 = ? ?( ) 2 a ? 2n+1,所以 bn= an ? 1 = (2n+1) ? 1 4 n(n+1) = 4 n n+1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 n
2

n 1 1 1 1 1 1 1 1 )= ? (1- + ? + ? + ) ? (1T 4(n+1) , n+1 2 2 3 n n+1 = 4 所以 n = 4 n T ?b ? 即数列 n 的前 n 项和 n = 4(n+1) 。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 37.(2010 湖南文)20.(本小题满分 13 分) 给出下面的数表序列:

其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行中 的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广 到表 n(n≥3) (不要求证明) ; (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

?bn ?

b3 b b ? 4 ? ? n?2 b b b2b3 bnbn ?1 求和: 1 2

86

87

38.(2010 全国卷 2 理) (18) (本小题满分 12 分) 已知数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n)?3n .
lim

an n ?? S n ; (Ⅰ)求
a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n 2 2 1 2 n (Ⅱ)证明: .

? s1 (n ? 1) an ? ? ?sn ? sn?1 (n ? 2) 的运用,数列极限和数列 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式
不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

88

【点评】 2010 年高考数学全国 I、 Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等 式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方 法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考, 对数列的考查主要涉及数列的基本公式、 基本性质、 递推数列、 数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.

89

39.(2010 北京理) (20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合

Sn ? {X X| ? x1 x( … , xn ,x ? 2 ,

1

) i ?,

…n { n 0? , 1 对 } 于 ,

1 ,

2 ,

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 (Ⅰ)证明: (Ⅱ)证明:

d ( A, B) ? ? | a1 ? b1 |
i ?1

?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d (B, C) 三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设 P

? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d (P).

mn 证明: d (P)≤ 2( m ? 1) .
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 证明: (I)设 因为 从而

A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1, b2 ,..., bn ) , C ? (c1, c2 ,..., cn ) ? Sn

ai , bi ??0,1? ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n)

A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn
n



d ( A ? C , B ? C ) ? ? || ai ? ci |? | bi ? ci ||
i ?1

90

由题意知 当

ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) .

ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ;


ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi |
n

所以 (II)设

d ( A ? C , B ? C ) ? ? | ai ? bi | ? d ( A, B)
i ?1

A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1, b2 ,..., bn ) , C ? (c1, c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? , k d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .


O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知
d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C ) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h

所以

| bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的

个数为 l 。 设 t 是使

| bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t

由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。

d ( P) ?
(III)

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B)

,其中

A, B?P

? d ( A, B)
t

表示 P 中所有两个元素间距离的总和,

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 i 个 1,

m ? ti 个 0



A, B?P

?

d ( A, B)
=

? t (m ? t )
i ?1 i i

n

由于

ti (m ? ti )

?

m2 (i ? 1, 2,..., n) 4
2

所以 A, B?P

? d ( A, B) ? nm
4

91

1 d ( P) ? 2 Cm 从而

nm mn d ( A, B) ? ? ? 2 4Cm 2(m ? 1) A, B?P

2

40.(2010 天津文) (22) (本小题满分 14 分) 在数列

?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N* , a 2k ?1,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列;

(Ⅰ)证明

(Ⅱ)求数列

?an ? 的通项公式;
22 32 n2 3 ? ?? ? ?? ? 2n ? Tn ? ( 2 n ? 2) a2 a3 an ,证明 2 .

Tn ?
(Ⅲ)记

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识, 考查运算能力、 推理论证能力、 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。 (I) 证明: 由题设可知, 2

a ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 , a5 ? a4 ? 4 ? 12 ,

a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
a6 a5 3 ? ? a a 2 ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 4 从而 5
(II)解:由题设可得 所以

a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N *

a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ...? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ?1? ? ... ? 4 ?1
? 2k ? k ? 1? , k ? N *
由 .

a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 , n为奇数 ? ? 2 an ? ? 2 n n2 ? ?1? ? 1 ? n , n为偶数 an ? ? ? ?a ? ?2 2 4 所以数列 n 的通项公式为 或写为 , n ? N *。
(III)证明:由(II)可知

a2k ?1 ? 2k ? k ?1?



a2k ? 2k 2 ,

以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m

? m ? N *?

92

若 m ? 1 ,则

2n ? ?

k2 ?2 k ? 2 ak ,
n

若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? ? ? ? 2 a2 k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k k ?1 2k ? k ? 1? n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ?

1? 1? 3 1 ? 2m ? 2? m ? ? 1? ? ? 1 ? ? n2 ? ? 2? m? 2 n.

所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8,.... 2 n ,从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

当 n 为奇数时,设
n

n ? 2m ?1? m ? N *?
2


2

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m ? m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1

所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5,7,.... 2 n ? 1 ,从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

3 ? 2n ? Tn ? 2. 综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有 2
41.(2010 天津理) (22) (本小题满分 14 分) 在数列

?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * . a2k ?1 , a2 k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 dk 。
dk = 2k ,证明 a2 k , a2k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N * )
*

(Ⅰ)若

(Ⅱ)若对任意 k ? N ,

a2 k , a2k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk 。

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。

a ?a ? 4k , k ? N * 2 k ? 1 2 k ? 1 (Ⅰ)证明:由题设,可得 。

93

所以 2k ? 1

a

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由
2 2 a1 =0,得 a2k ? 1 ? 2k (k ? 1), 从而a2k ? a2k ? 1 ? 2k ? 2k , a2k ? 2 ? 2(k ? 1) .

a a a a 2k ? 1 ? k ? 1 , 2k ? 2 ? k ? 1 , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 a k a k a a 2k ? 1 2k ? 1 2k 。 于是 2k
d k ? 2k时,对任意k ? N * , a , a ,a 2k 2k ? 1 2k ? 2 成等比数列。 所以
(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 2k ? 1

a

, a2 k , a a ,a ,a 2k ? 1 成等差数列,及 2k 2k ? 1 2k ? 2 成

a a 2a ? a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2 k ? 1 a a q 2k 2k k ?1 等比数列,得


q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N *
1 ? q k ?1 2 ? 1 1 ?1 q k ?1 ? 1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

从而

? ? 1 ? ? ? ? q ? 1? ? k ? 是等差数列,公差为 1。 所以 ?
q1 ?

(Ⅱ)证明:

a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而

1 4 ? 2, q ? 1 2 1 =1.由(Ⅰ)有

1 q k ?1

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

2 a a a ( ) 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? k ? 1 , 从而 2k ? 2 ? k ? 1 ,k ? N * a a k a k2 2 k ? 1 2 k 2 k 所以

因此,

a2 k ?

2 a a a (k ? 1)2 22 2k . 2k ? 2 .... 4 .a ? k . ... .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k (k ? 1), k ? N * 2k ? 1 2 k k a a a 2 (k ? 1)2 (k ? 2)2 12 2k ? 2 2 k ? 4 2

以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

94

若 m=1,则

2n ? ?

k2 ?2 k ? 2 ak .
n

若 m≥2,则

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? ?? ?? 2 ? a2k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k +
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2k ( k ? 1) k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
n k2 3 1 3 k2 2n ? ? ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8... 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak 所以 n

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )
*

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2m?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1

所以

2n ? ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5, 7 2 n ? 1 从而 2 k ? 2 ak k ? 2 ak · · · n

n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 ? 2 k ? 2 ak 综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

证法二: (i)证明:由题设,可得

dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ? 2 ? dk ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ? 2 qk a2 k qk a2k qk

q 1 1 ? k ? ?1 q ? 1 q ? 1, k ? N * q ? 1 q ? 1 q ? 1 q ? 1 1 k k ? 1 k k k 由 可知 。可得 , 1 ?

? 1 ? ? ? qk ? 1? ? 所以 是等差数列,公差为 1。
(ii)证明:因为

a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。

95

所以

a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而

q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2 ?1 ? ? qk ? 1? a2 q ? 1 ? 1 , 。于是,由(i)可知所以 是

1 k ?1 qk ? 1 ? k ? 1 ? k ? ? q ?1 = k 。 公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得 k ,故

dk ?1 k ?1 ? qk ? d k 。 从而 k

dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k d ? 2 ,可得 d dk ?1 dk ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1 所以 1 ,由 1

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知

a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 , k ? N *

以下同证法一。 42.(2010 湖南理)21. (本小题满分 13 分)

数列 点

?an? (n ? N * )

中,

是函数

f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2 an x 3 2 的极小值

(Ⅰ)当 a=0 时,求通项

an ;

(Ⅱ)是否存在 a,使数列 理由。

?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明

96

97

43.(2010 江苏卷)19、 (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 的等差数列。 (1)求数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 ?

Sn

?是公差为 d

?an ?的通项公式(用 n, d 表示) ;

S ? S n ? cSk (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 m
9 都成立。求证: c 的最大值为 2 。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。
98

(1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2 2 2 2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d ) ? a1 ] ? ( a1 ? 2d ) ,

化简,得:

a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2


Sn ? d ? (n ?1)d ? nd , Sn ? n2d 2
当 n ? 2 时, 故所求

an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。

an ? (2n ?1)d 2

(2) (方法一)

Sm ? Sn ? cSk ? m d ? n d ? c ? k d ? m ? n ? c ? k ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

c?

m2 ? n2 k 2 恒成立。

又 m ? n ? 3k且m ? n ,

2(m2 ? n2 ) ? (m ? n)2 ? 9k 2 ?

m2 ? n 2 9 ? k2 2,

c?


9 9 2 ,即 c 的最大值为 2 。

(方法二)由

a1 ? d



Sn ? a1 ? (n ? 1)d

S ?n d 。 ,得 d ? 0 , n
2 2

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

S m ? S n ? (m 2 ? n 2 )d 2 ?
cmax ?

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 d ? d k ? Sk 2 2 2 。

所以 c 的最大值

9 2。 9 3 3 m ? k ? 1, n ? k ? 1 2 。设 k 为偶数,令 2 2 ,则 m, n, k 符合条件,

a?
另一方面,任取实数

3 3 1 Sm ? Sn ? (m 2 ? n 2 )d 2 ? d 2 [( k ? 1) 2 ? ( k ? 1) 2 ] ? d 2 (9k 2 ? 4) 2 2 2 且 。

于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当
2 2

k?

2 1 S m ? S n ? d 2 ? 2ak 2 ? aS k 2a ? 9 时, 2 。

c?
所以满足条件的

9 9 cmax ? 2 ,从而 2。

99

9 因此 c 的最大值为 2 。

第二部分

两年模拟题

全国各地市 2012 年模拟试题分类汇编:数列
【 山 东 省 日 照 市 2012 届 高 三 12 月 月 考 文 】( 12 ) 若 数 列

?an ?满足

1 1 ? ? d n ? N ? , d为常数 ,则称数列 ?an ? 为“调和数列”.已知正项数列 an?1 an

?

?

?1? ,且 b1 ? b2 ? ? ? ? ? ? ? ?b9 ? 90 ,则 b4 ? b6 的最大值是 ? ? 为“调和数列” ? bn ?
A.10 【答案】B 【 解 析 】 由 已 知 得 ?bn ? 为 等 差 数 列 , 且 b4 ? b6 ? 20, 又bn>0, 所 以 B.100 C.200 D.400

? b ?b ? b4 ? b6 ? ? 4 6 ? ? 1 0. 0 ? 2 ?
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 、 a 4 是方
2 程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根, S5 ?

2

A.

5 2

B.5

C. ?

5 2

D.-5

【答案】A
2 【解析】 a2 、 a 4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根, a2 + a 4 =1, S5 ?

( a1 ? a5 ) ? 5 5 ? 2 2

【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】 已知等比数列 {an } 的公比 q=2, 其前 4 项和 S4 ? 60 , 则 a2 等于 A.8 【答案】A 【解析】本题主要考查等比数列及其前 n 项的和公式. 属于基础知识、基本运算的考查. B.6 ( C.-8 ) D.-6

S4 ? 60, q ? 2 ?

a1 (1 ? q 4 ) ? 60 ? a1 ? 15 1? q
为等比数

【山东实验中学 2012 届高三一次诊断文】14. __________________ 已知数列
100

列,且. 【答案】16 【解析】解:

,则 =________.

? a5 ? 4, a9 ? 64, ?{an }是等比数列, ? a5 ?a9 =a7 2 =256 又 ? a5,a7,a9符号相同,所以a7 =16
【山东实验中学 2012 届高三一次诊断文】3. 设 ,那么 为等差数列 的前《项和,已知

A:2
【答案】C 【解析】解:因为

B. 8

C. 18

D. 36

设等差数列的公差为d,则由a1 ? a3 ? a11 ? 6 可得3a1 +12d ? 6,? a1 +4d ? 2 ? a5 ? S9 ? (a1 ? a9 ) ? 9 ? 9a5 ? 9 ? 2 ? 18 2

因此答案为 C 【山东实验中学 2012 届高三第一次诊断性考试理】4. 已知{an}为等差数列,其公差为 -2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( (A). -110 (C). 90 【答案】D 【解析】解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a72=a3?a9,所以 a72=(a7+8) (a7-4) , 所以 a7=8,所以 a1=20, 所以 S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选 D 【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考理】 3 .已知 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项的和, (B). -90 (D). 110 )

a2 ? a5 ? 4, , S7 ? 21 ,则 a 7 的值为
A. 6 【答案】 D 【 解 析 】 B.7



) C.8 D.9

由 条 件 a2 ? a5 ? 4, S7 ? 21 可 转 化 为 2a1 ? 5 d?

4a , 1 ? 3d ? 3 ,解

得 : a1 ? ?3, d ? 2, a7 ? ?3 ? 6 ? 2 ? 9, 这里考查等差数列通项公式与求和公式以及解方程 组. 【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】 已知 ?an ? 为等差数列, 且 a7 -2 a4 =-1, a3

101

=0,则公差 d =( A.-2 【答案】B

) B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式. 属于基础知识、基本运算的考查.

? a1 ? 1 ?a1 ? 6d ? 2(a1 ? 3d ) ? ?1 ? ,得 ? a7 -2 a4 =-1, a3 =0,得 ? 1 d ?? ?a1 ? 2d ? 0 ? ? 2
【 2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】已知各项均为正数的等比数列 { an } ,

a1 · a9 =16,则 a2 · a5 · a8 的值
A.16 【答案】 D 【解析】 本题主要考查集合的等比数列及其通项公式的基本运算. 属于基础知识、 基本运算 的考查.等比数列{ an }, a1 · a9 = a2 · a8 = a5 2 =16, ,各项均为正数则,∴ a5 ? 4 ∴ a2 · a5 · a8 = a53 ? 43 ? 64 即 a2 · a5 · a8 的值为 64. 【2012 厦门期末质检理 5】在等差数列{an}等 an>0,且 a1+a2+?+a10=30,则 a5·a6 的最 大值等于 A. 3 【答案】C 【解析】等差数列的性质:项数和相等,则项的和也相等,所以由 a1+a2+?+a10=30 得 B. 6 C.9 D. 36 B.32 C.48 D.64

a5 ? a 6 ?

30 ? 6 ,由基本不等式得 a5·a6 ? 9 ,选 C; 5
1 , S n 为数列 {an } 的前项和且 3

【 2012 粤西北九校联考理 13 】在数列 {an } 中, a1 ?

S n ? n(2n ? 1)an ,则 S n ?
【答案】 S n ?

;

n 2n ? 1

【 解 析 】 因 为 S n ? n(2n ? 1)an , S n?1 ? (n ? 1)(2n ? 3)an?1 (n ? 2) , 两 式 相 减 得

(2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1, (n ? 2) ,求得 a n ?

1 4n ? 1
2

, Sn ?

n 2n ? 1

【2012 宁德质检理 2】设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 S5 等于
102

( A.7 【答案】B B.15

) C.30 D.31

【解析】由等差数列通项公式得: 5 ? 1 ? 2d , d ? 2, a1 ? ?1, S5 ? 15 【2012浙江宁波市期末文】设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 2011 ? 3S 2010 ? 2012 ,

a 2010 ? 3S 2009 ? 2012 ,则公比 q ? (
(A) 4 【答案】A 【解析】由 (B) 1 或 4 (C) 2

) (D) 1 或 2

a 2011 ? 3S 2010 ? 2012 , a 2010 ? 3S 2009 ? 2012 相减得 a2011 ? a2010 ? 3a2010 ,即

q ? 4。
【2012安徽省合肥市质检文】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 (n ? N ) ,则 a10 =
n *

( A.64 【答案】B B.32

) C.16 D. 8

【解析】由题

an?1 ? an ? 2 , an?2 ? an?1 ? 2
n

n?1

an ? 2 ?2 a ? 1 ,可得 a2 ? 2 ,故 a n ,故 ,又 1

a10 ? 25 ? 32 ,选 B。
【2012 山东青岛市期末文】对于正项数列 ?a n ?,定义 H n ?

n 为 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan

?an ? 的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为 H n ?
为 . 【答案】 an ?

2 ,则数列 ?a n ? 的通项公式 n?2

2n ? 1 2n

【解析】由 H n ?

n 可得 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? nan n n(n ? 2) ? ①, Hn 2

a1 ? 2a2 ? 3a3 ??? nan ?

103

(n ? 1)(n ? 1) ② 2 2n ? 1 n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 1) 2n ? 1 ? ? ①-②得 nan ? ,所以 an ? 。 2n 2 2 2 a1 ? 2a2 ? 3a3 ??? (n ? 1)an ?1 ?
【2012江西南昌市调研文】等差数列 {an } 中, a5 ? 0, a6 ? 0 且 a6 ?| a5 | , Sn 是数列的前n 项的和,则下列正确的是 ( ) B. S1,S2,?S5均小于0 , S6,S7 ?均大于0 D.S1,S2,?S11均小于0 ,S12,S13 ?均大于0

A.S1,S2,S3均小于0, S4,S5,S6 ?均大于0 C.S1,S2,?S9均小于0 , S10,S11 ?均大于0 【答案】C

【 解 析 】 由 题 可 知 a6 ? a5 ? 0 , 故 S10 ?

S9 ?

(a1 ? a 9) ? 9 2a ? 5 9 ? ? 9a5 ? 0 ,故选C。 2 2

(a1 ? a 1 ) (a ? 0 ? 10 5 a )? 6 10 ? ?0 ,而 2 2

【 2012 广东佛山市质检文】等差数列 ( ) A. ? 4 【答案】B B. ? 6

?a n ? 中, d ? 2 ,且 a1 , a3 , a 4 成等比数列,则 a 2 ?
C. ? 8 D. ? 10

【解析】由题 a32 ? a1 ? a4 , d ? 2 ,即 (a2 ? 2) 2 ?( a2 ?2) ? ( a2 ?4)

,解得 a2 ? ?6 ,选B。

2 2 【2012 北京海淀区期末文】已知数列 {an } 满足:a1 ? 1, an ? 0, an ?1 ? an ? 1(n ? N*) ,那

么使 an ? 5 成立的 n 的最大值为( (A)4 【答案】C (B)5

) (C)24 (D)25

2 2 2 【解析】由 a1 ? 1, an ? 0, an ?1 ? an ? 1(n ? N*) 可得 an = n ,即

an =

n ,要使 an ? 5 则 n ? 25 ,选 C。

【2012 广东韶关市调研文】设数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a19 ? 26 , 则此 数列 ?an ? 前 20 项和等于( A. 160 【答案】B 【解析】因数列 ?an ? 是等差数列,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? ?24 ,即 a2 ? ?8 ,从而
104

) D. 220

B. 180

C. 200

S20 ?

a1 ? a20 a ?a ? 20 ? 2 19 ? 20 ? 180 ,选 B。 2 2
1 a 3 ,2a 2 成等差 2

【2012 韶关第一次调研理 5】已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , 数列,则

a8 ? a9 等于( ) a6 ? a7
B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

A. 1 ? 2 【答案】C 【 解 析 】 因 为 a1 ,

1 1? 2 2 2 a 3 ,2a 2 成 等 差 数 列 , 所 以 a3 ? a1 ? 2 a2, q , ? 1 ? 2 q, q ? 2 2

a8 ? a9 = q2 ? 3 ? 2 2 a6 ? a7
【2012 海南嘉积中学期末理 4】 等差数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + 1 , 其前 n 项和为 Sn , 则数列 { A、70 【答案】B 【解析】 因为等差数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + 1 , 所以 S n ? n 2 ? 2n, 所以

Sn } 的前 10 项和为( n
B、75

) C、100 D、120

sn ? n?2, n

3 ? 4 ? 5 ? ... ? 12 ? 75
【2012 黑龙江绥化市一模理 5】已知数列{ an },若点 (n, an ) 的定直 l l 上,则数列{ an }的前 9 项和 S9 =( A. 9 【答案】D 【解析】点 (n, an )( n ? N * )在经过点 (5,3) 的定直 l l 上,a5 ? 3 ,根据等差数列性质得: B. 10 ) C. 18 D.27 ( n ? N * )在经过点 (5,3)

S 9 ? 9a5 =27
【2012 泉州四校二次联考理 6】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ?

1 1 an ?1 ? ( ) n (n ? 2 ,且 3 3

n ? N* ) ,则数列 ?an ? 的通项公式为(
3n A. an ? n?2
B. an ?



n?2 3n

C. an ? n ? 2
105

D. an ? (n ? 2)3

n

【答案】B 【 解 析 】 由 an ?

3n?1 an?1 ? 3n?2 an?2

1 1 an ?1 ? ( ) n (n ? 2 且 n ? N* ) 得 , 3n an ? 3n?1 an?1 ? 1 , 3 3 n?2 ? 1,....., 32 a2 ? 3a1 ? 1 ,相加得 3n an ? n ? 2 , an ? n 3

【2012 泉州四校二次联考理 9】满足 a1 ? 1,log 2 an?1 ? log 2 an ?1( n ? N*) ,它的前 n 项和 为 Sn ,则满足 Sn ? 1025 的 最小 n 值是( A.9 【答案】C 【 解 析 】 因 为 a1 ? 1, l o 2 g an? 1? ) B.10 C.11 D.12

l oa g n1 ?( N* , 所 ) 以 an?1 ? 2an , an ? 2 n?1 , 2 n ?

S n ? 2n ? 1 ,则满足 Sn ? 1025 的最小 n 值是 11;
【2012 延吉市质检理 7】等差数列 ?an ? 中, 值的集合为( )

an 是一个与 n 无关的常数,则该常数的可能 a2 n

A. ?1? 【答案】B

B. ?1 ,?

? 1? ? 2?

C. ? ?

?1 ? ?2?

D. ?0,

? 1 ? ,1? ? 2 ?

【 解 析 】 等 差 数 列 ?an ? 中 ,

an a ? (n ? 1)d 与 n 无关的常数,所以 ? 1 a2 n a1 ? (2n ? 1)d
1 ; 2

a1 ? (n ? 1)d ? ma1 ? m(2n ? 1)d 对 n 恒成立,所以 d ? 0, m ? 1; d ? 0, m ?

【2012 深圳中学期末理 11】 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn . 若 a3 ? 20 ? a6 , 则 S8 等 于 【答案】80 【解析】因为 a3 ? 20 ? a6 ,所以 s8 ? 4(a3 ? a6 ) ? 4 ? 20 ? 80 。 【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 10 , 则 S11 的值为 。 .

106

【答案】 22 【解析】本题主要考查等差数列及其前 n 项和公式. 属于基础知识、基本运算的考查.

S8 ? S3 ? 10 ?

8(a1 ? a8 ) 3(a1 ? a3 ) ? ? 10 ? 5a1 ? 8a8 ? 3a3 ? 20 2 2

? 10a1 ? 50d ? 20 ? a1 ? 5d ? 2 ? a6 ? 2
? S11 ? 11(a1 ? a11 ) ? 11a6 ? 22 2

【2012 厦门市高三上学期期末质检文】已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1+a6+a11=3,则 a3 +a9= 【答案】2 【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、等差中项. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵数列 ?an ? 为等差数列,∴a1+a11=2a6 ∴3a6=3 得 a6=1 ∴ a3+a9=2a6=2 。

【 2012 金 华 十 校 高 三 上 学 期 期 末 联 考 文 】 已 知 {an } 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 若

3a6 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12, 则 d =
【答案】 2



【解析】本题主要考查等差数列的通项公式. 属于基础知识、基本运算的考查.

3a6 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12 ? 3(a1 ? 5d ) ? a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? a1 ? 4d ? 12 ? 6d ? 12
d ?2
【2012 金华十校高三上学期期末联考文】已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和为 14,且 a1 , a3 , a7 恰为等比数列 {bn } 的前三项。 (1)分别求数列 {an },{bn }的前 n 项和 Sn , Tn ; (2)记为数列 {anbn } 的前 n 项和为 K n ,设 cn ?

SnTn ,求证: cn?1 ? cn (n ? N ? ). Kn

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列及不等式等基础知识,考查运算求解能力及应用 意识. :

107

【 2012 年 西 安 市 高 三 年 级 第 一 次 质 检 文 】 已知等差数列
(I)求数列

中,a1=1,a3=- 3.

的通项公式; 的前众项和为-35,求 k 的值.

(II)若数列 【解析】

【 2012 唐 山 市 高 三 上 学 期 期 末 统 一 考 试 文 】 在 等 差 数 列 {an } 中 ,

a2 ? a3 ?7 , a4 ? a5 ? a6 1 ?8 .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求

1 1 1 ? ??? . S3 S 6 S3 n

【解析】 题主要考查等差数列的概念、 通项公式, 考查运算求解能力及裂项求和的数学方法.

108

解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,依题意,
?a1+d+a1+2d=7, ? 解得 a1=2,d=1, ?a1+3d+a1+4d+a1+5d=18,

∴an=2+(n-1) ×1=n+1. 3n(a1+a3n) 3n(2+3n+1) 9n(n+1) (Ⅱ)S3n= = = , 2 2 2 1 2 2 1 1 = = ( - ). S3n 9n(n+1) 9 n n+1 ∴

?5 分

?9 分

1 1 1 2 1 1 1 1 1 2n + +?+ = [(1 - )+( - )+?+( - )] = . S3 S6 S3n 9 2 2 3 n n+1 9(n+1) ?12 分

【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】 已知等差数列{ an }, Sn 为其前 n 项的和,

a2 =0, a5 =6,n∈N*.
(I)求数列{ an }的通项公式; (II)若 bn =3 an ,求数列{ bn }的前 n 项的和. 【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式、等差数列的前 n 项和数列的综合应用.。考 查了基础知识、基本运算、基本变换能力.

解: (Ⅰ)依题意 ?

?a1 ? d ? 0, ??????2 分 ?a1 ? 4d ? 6.

解得 ?

?a1 ? ?2, ?d ? 2.
?????5 分 ,

an ? 2n ? 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 32n?4

bn?1 1 ? 9 ,所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 9 的等比数列,?????7 分 9 bn

1 (1 ? 9n ) 1 9 ? (9n ? 1) 1? 9 72
所以数列 ?bn ? 的前 n 项的和

.

1 n (9 ? 1) .??????10 分 72

109

【2012 厦门市高三上学期期末质检文】某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学 科知识设计为由易到难共 12 关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若 干慧币(一种网络虚拟币) .该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励 40 慧币;第二种,闯过第一关奖励 4 慧币,以后每一关比前一关多奖励 4 慧币;第三种, 闯过第一关奖励 0.5 慧币, 以后每一关比前一关奖励翻一番 (即增加 1 倍) , 游戏规定: 闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (Ⅰ)设闯过 n ( n∈N,且 n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为 An,Bn,Cn, 试求出 An,Bn,Cn 的表达式; (Ⅱ)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列及不等式等基础知识,考查运算求解能力及应用 意识,考查方程与函数、分类讨论与整合等思想方法.

【2012 江西师大附中高三下学期开学考卷文】 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,an ?1 ?

2n ?1 an 1 ( n ? ) an ? 2 n 2

( n ? N ? ). (1)设 bn ?

2n ,求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ; an
1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn . n(n ? 1)an ?1

(2)设 cn ?

【解析】本题主要考查了等比数列数列的前 n 项和数列的综合应用. 属于难题。考查了基
110

础知识、基本运算、基本变换能力.

2n?1 2n 1 an?1 an 解: (Ⅰ)由已知可得 n ?1 ? ,即 ? ?n? , 1 an?1 an 2 2 (n ? )an ? 2n 2


2n?1 2n 1 ? ? n? an?1 an 2

即 bn ?1 ? bn ? n ?

1 2

∴ b2 ? b1 ? 1 ?

1 1 1 , b3 ? b2 ? 2 ? ,? , bn ? bn ?1 ? (n ? 1) ? 2 2 2

累加得 bn ? b1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 又 b1 ?

n ? 1 (n ? 1)n n ? 1 n 2 ? 1 ? ? ? 2 2 2 2

2 2 ? ?1 a1 2

∴ bn ?

n2 ? 1 n2 ? 1 ?1 ? 2 2
∴ an ?1 ?

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 an ?

2n 2n ?1 ? , bn n2 ? 1

2n ? 2 , (n ? 1)2 ? 1

cn ?
?
∴ Sn ?

? (n ? 1)2 ? 1 1 n2 ? 2n ? 2 1 ? n2 ? n n?2 ? ? ? ? ? n?2 n ?1 n ?1 n ?1 ? n(n ? 1)2 2 n(n ? 1) ? 2 2 ? n(n ? 1)2 n(n ? 1) ? 2 ?
? 1? 1 1 1 ? ? ? n ?1 n n ?1 ? 2 ?2 n ? 2 (n ? 1)2 ?

? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ( 2 ? ? ? n?1 ) ? ?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) 2 2 3 n n ?1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 n ? 2 (n ? 1) ? 2 ?

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1? 1 1 1 n ? 2? 2 ? 1 ?1 ? ? ?2 ? ?1 ? ( ) n ?1 ? ? n ?1 ? 1 2 n ?1 ? 2 2 ? 2 (n ? 1) ? 2 ? 2 ? ? 1? 2
【2012 三明市普通高中高三上学期联考文】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n , 且 2Sn ? 2 ? an . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 【解析】本题主要考查了等差数列、等比数列的概念以及它们的前 n 项和. 属于容易题。考 查了基础知识、基本运算、基本变换能力. 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, 2S1 ? 2 ? a1 , 2a1 ? 2 ? a1 ,∴ a1 ?

2 ; ???? 1 分 3

111

即 3an ? an?1 (n ? 2) ,又 an ?1 ? 0 ?

an 1 ? (n ? 2) , an ?1 3

?????? 4 分

∴数列 {an } 是以

2 1 为首项, 为公比的等比数列. 3 3

??????? 5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2 ? ( )n ? n , ∴ Tn ? 2 ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) 3 3 ? ?3 3
2 3

1 3

??????? 7 分

?1

1

1

1 n?

??????? 9 分

【 2012 黄 冈 市 高 三 上 学 期 期 末 考 试 文 】 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , 前 n 项 和 为

Sn且 Sn?1 ?

3 * S n ?1, ( n? N ) 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

1 12 } 的前 n 项和为 Tn ,求满足不等式 Tn ? 的 n 值。 an Sn ? 2

【解析】本题主要考查等比数列及不等式等基础知识,考查运算求解能力、转化能力。 解: (I)解法 1:由 S n ?1 ? ∴ S n ?1 ? S n ?

3 3 S n ? 1 ,得 当 n ? 2 时 S n ? S n ?1 ? 1 2 2
,∴

3 3 ( S n ? S n ?1 ) , 即 an ?1 ? an 2 2

an ?1 3 ? ?????????3 分 an 2


又 a1 ? 1 ,得 S 2 ?

3 3 a1 ? 1 ? a1 ? a2 , ∴ a2 ? , 2 2
112

a2 3 ? a1 2

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 分

3 3 n ?1 的等比数列∴ an ? ( ) ???????????6 2 2
3 的等比数列, 2

(Ⅱ)∵数列 {an } 是首项为 1,公比为

2 1 ? ( )n 2 1 3 ? 3[1 ? ( 2 )n ] ?9 分 ∴数列 { } 是首项为 1,公比为 的等比数列,∴ Tn ? 2 3 an 3 1? 3
又∵ S n ? 2 ? ( ) ? 2 ,∴不等式 Tn <
n

3 2

12 sn ? 2

即得: ( ) >

2 3

n

1 , 3

∴n=1 或 n=2??????????????????????????????13 分 【2012 武昌区高三年级元月调研文】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向 他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付 38 元;第二种,第一天付 4 元,第二天付 8 元,第三天付 12 元,依此类推;第三种,第一天付 0.4 元,以后每天支付的薪酬是 前一天薪酬的 2 倍,1:作时间为 n 天. (I)工作 n 天,记三种付费方式薪酬总金额依次为 An,Bn,Cn,写出 An,Bn,Cn 关于 n 的表达式; (II)如果 n=10,你会选择哪种方式领取报酬? 【解析】本题主要考查了应用问题、等差数列、等比数列的概念以及它们的前 n 项和. 属于 容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力. 解:(Ⅰ)三种付酬方式每天金额依次为数列 ?an ? , ?bn ? , ?cn ? ,它们的前 n 项和依次分别 为 An , Bn , Cn .依题意, 第一种付酬方式每天金额组成数列 ?an ? 为常数数列, An ? 38n . 第二种付酬方式每天金额组成数列 ?bn ? 为首项为 4,公差为 4 的等差数列, 则 Bn ? 4n ?

n?n ? 1? ? 4 ? 2n 2 ? 2n . 2

第三种付酬方式每天金额组成数列 ?cn ? 为首项是 0.4,公比为 2 的等比数列,

0.4 1 ? 2 n ? 0.4 2 n ? 1 . 则 Cn ? 1? 2

?

?

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当 n ? 10 时,

113

An ? 38n ? 380,

Bn ? 2n 2 ? 2n ? 220, Cn ? 0.4 210 ? 1 ? 409.2 .
所以 B10 ? A10 ? C10 . 答:应该选择第三种付酬方案. 【山东省济宁市邹城二中 2012 届高三第二次月考文】18、 (本小题满分 12 分) 设递增等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 1 , a4 是 a3 和 a7 的等比中项, (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 【答案】18、解:在递增等差数列 ?an ? 中,设公差为 d ? 0 ,

?

?

?a 2 ? a 3 ? a 7 ?(a ? 3d ) 2 ? 1? (a1 ? 6d ) ?? 1 ?? 4 ? a3 ? 1 ? a1 ? 2d ? 1
解得

?a1 ? ?3 ? ? d ?2

7分

? an ? ?3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 5
Sn ? n(?3 ? 2n ? 5) ? n 2 ? 4n 2
12 分

? 所求 an ? 2n ? 5 , S n ? n 2 ? 4n

【山东省济宁市邹城二中 2012 届高三第二次月考文】 19 . (本题满分 14 分)已知

f ( x) ? ? 4 ?

1 1 ) 在 曲 线 y ? f ( x) 上 (n ? N * ) 且 a1 ? 1, an ? 0. , 点 Pn ( a n ,? 2 an?1 x

?1 ? (Ⅰ)求证:数列 ? 2 ? 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ? an ?
* 2 2 ( Ⅱ ) 设 数 列 {an ? an ?1} 的 前 n 项 和 为 S n , 若 对 于 任 意 的 n ? N , 存 在 正 整 数 t, 使 得

Sn ? t 2 ? t ?
【答案】19 ? ?

1 恒成立,求最小正整数 t 的值. 2
1 an?1 ?? 4?
1 1 1 ,? 2 ? 2 ? 4 2 an ?1 a n an
114

2分

所以 {

1 } 是以 1 为首项,4 为公差的等差数列. 2 分 2 an
1 4n ? 3
3分

?

1 ? 4 n ? 3 , ? an ? 0 , ? a n ? 2 an

2 2 ? an (Ⅱ) bn ? a n ?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ) .2 分 (4n ? 3)( 4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ? ….2 分 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 4 4n ? 1 4 1 1 1 对于任意的 n ? N * 使得 S n ? t 2 ? t ? 恒成立,所以只要 ? t 2 ? t ? 2 分 2 4 2 3 1 ?t ? 或 t ? ? ,所以存在最小的正整数 t ? 2 符合题意 1 分 2 2
【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】28. (本小题满分 8 分) 已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式: ( Ⅱ ) 等 比 数 列 {bn } 满 足 : b1 ? a1 , b2 ? a2 ? 1 , 若 数 列 cn ? an ? bn , 求 数 列 {cn } 的前 n 项和 S n . 【答案】28. (本小题满分 8 分)解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2 ? a7 ? 16 .得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ② ---------------1 分 ---------------2 分

2 由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

2 ∴ d ? 4 ,又 d ? 0,? d ? 2 ,代入①得 a1 ? 1 ,

---------------3 分 ------------------4 分

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . (Ⅱ)? b1 ? 1, b2 ? 2,?bn ? 2 n?1 ∴ cn ? an ? bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,

---------------5 分

S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 2S n ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n
---------------6 分

115

错位相减可得: ? S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n 整理得: ? S n ? 1 ?

4(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 2n?1 ? 3 ? (2n ?1) ? 2n ---------------7 分
∴ S n ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2 n?1 ? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n ---------------8 分

2011 届高三模拟题 题组一 一、选择题 1. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)

已知数列 ( A. 3 答案 C.

?an ? 中, a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 4

n ?1

(n ? N * 且n ? 2)
,则数列

?an ? 通项公式 an 为

B. 3

n ?1

?8

n C. 3 ? 2

D. 3

n

2.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知等差数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,若

a4 ? 18 ? a5, 则 S8 ? (
A.18 答案 D. B. 36

) C. 54 D. 72

3. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 已知公差不为 0 的等差数列 足

{an }



a1 , a3 , a4 成等比数列, Sn为{an }的前n 项和,则
S3 ? S 2 S5 ? S3 的值为( )

A.2 答案 A.

B.3

1 C. 5

D.4

4. (福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理) 数列

{an } 是公差不为 0 的等差数列,

116



a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 的连续三项,则数列 {bn } 的公比为( )
1 D. 2

A.

2

B.4

C.2

答案 C. 5.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理)已知数列{an}的通项公式为

an ?

2 n ? 4n ? 5
2

则{an}的最大项是(

) D.a4

A.a1 B.a2 C.a3 答案 B. 6. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) 等比数列 A. ?4 答案 B. 7.(福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 已知等差数列

?an ? 中, a3 ? 2, a7 ? 8,
C. 6 D. ?4



a5 =





B. 4

{an } 的公差为 ?2 ,且

a2 , a4 , a 5 成等比数列,则 a2 等于(



A.-4 B.-6 c C.-8 D.8 答案 D. 8. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)已知数列{an}的前 n 项

n ?1 ,则a3 ? 和 Sn= n ? 2
1 1 1 A. 20 B. 24 C. 28
答案 A. 9. (广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 且

1 D. 32

Sn



S2 = 10, S5 = 55

,则过点

P ( n, an )



Q(n + 2, an+ 2 )

(n ?

N*)的直线的斜率是 C. 2 D.1

A.4 B.3 答案 A.

10.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)设

?an ? 是公差为正数的等差数列,若

a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ?

117

( A. 120 答案 B. B. 105

) C. 90 D. 75

11. (北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题) 已知等差数列 若 原点 A.100 答案 A. ) ,则 ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过 =( ) C. 200 D. 201

的前 项和为



B. 101

12.(贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理)在等差数列 则此数列的前 13 项的和等于( A.13 B.26 答案 A. ) C.8

{an } 中, a3 ? a5 ? 2a10 ? 4 ,

D.16

13. (河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) 在等比数列

{an } 中,已知

a1 a3 a1 1 ? 8 ,那么 a2 a8 =
(A)3 答案 B. (B)4 (C)12 (D)16

14. (黑龙江大庆实验中学 2011 届高三上学期期中考试理) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 , 最后 3 项的和为 146 ,且所有项的和为 390 ,则这个数列有(
A.13 项 B.12 项 C .11 项 D.10 项



答案 A. 15. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)已知等差数列 且

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

a3 ? 3a7 ? a11 ? 15 ,则 S13 ?
( ) B. 78 C. 52 D. 39 A. 104

答案 D. 16. (福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理) 如 果 数 列

{an }(an ? R)对任意m, n ? N *满足am?n ? am ? an , 且a3 ? 8, 那么a10 等 于

( ) A.256 B.510 C.512 D. 1024 答案 D.
118

17 . (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) (理科)已知数列

?an? 满足

a1 ? 33,

an ?1 ? an an ? 2, n 则 n 的最小值为
B.10.5 D .8





A .10 C .9 答案 B.

18. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理)等差数列 ( A. ?2 ) B.0 C.1 D.2

{an } 满足: a2 ? a9 ? a6 ,则 S9 =

答案 B. 19. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) 在数列

{an } 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n,(n ? N * ), 则a100 的值为





A.55050 B.5051 C.4950 D.4951 答案 D. 20. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15 =120,则 2a6-a4 的值为 A.24 B.22 C.20 D.-8 答案 A. 21. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)若{a n }为等差数列,且 a 2 +a 5 +a 8 =39,则 a 1 +a 2 +?+a 9 的值为 A.117 答案 A. B.114 C.111 D.108

22.(甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线

y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于(
A.3 答案 B. B.2 C.1

) D. ?2

? ? 23 . (浙 江省温州市啸秋中 学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)数列 an 满 足
1 ? 2 a n ( 0 ? an ? ) ? ? 2 an ?1 ? ? 1 ?2a ? 1 ( ? a ? 1) n n ? 2 ?

119



a1 ?

6 7 ,则 a8

?
3 C. 7
1 D. 7

6 A. 7

5 B. 7

答案 B. 24. (宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理) 等比数列

{ a n } 首项与公比分别是复数 i ? 2 ( i 是虚数单位 ) 的实部与虚部,则数列 { a n } 的
( B. 2
10

前 10 项的和为 A. 20

) C. ? 20 D. ? 2i

?1

【答案】A 【分析】 根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比, 按照等比数列的求和 公式进行计算。 【解析】该等比数列的首项是 2 ,公比是 1 ,故其前 10 项之和是 20 。 【考点】数列、复数 【点评】 本题把等比数列和复数交汇, 注意等比数列的求和公式是分公比等于 1 和不等于1 两 种情况,在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。 25. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) (文科)设

Sn 是等比数列 ?an ? 的

S3 1 S6 ? S 3 ,则 S12 等于 前项和, 6
1 A. 3 1 C. 8 1 B. 5 1 D. 9





答案 B 26. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)

?2 x ? 1( x ? 0) f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序排 已知函数
列成一个数列,则该数列的通项公式为 ( )

A. C.

an?

n(n ? 1) (n ? N * ) a ? n ?1(n ? N * ) 2 B. n

an ? n(n ?1)(n ? N * ) D. an ? 2n ? 2(n ? N * )
120

答案 B 27. (北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理) 已知等差数列 那么

{an } 的前 20 项的和为 100,

a7 a14 的最大值为(
( B ) 50

)

( A) 25

(C ) 100

( D ) 不存在

答案 A. 28. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理)

1 1 3是3a 与3b的等比中项,则 ? a b 的最小值为 ( 设 a ? 0, b ? 0. 若
A.4 B.8



C.1 答案 A.

1 D .4

29.(浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题理)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当

x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,
且对任意的实数 x, y ? R ,等式 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) 成立,

若数列

?an ? 满足 a1 ? f (0) ,且
(B)4018

f (an?1 ) ?
(C)4019

1 (n ? N * ) a f (?2 ? an ) ,则 2011 的值为(
(D)4021



(A)4017 答案 D. 二、填空题

30. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)已知等差数列 且

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

S13 ? 0, S14 ? 0, 若 at at ?1 ? 0 则 t


= 答案 7.

31. (福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理)已知等比数列 前 n 项和为

?an ? 各项均为正数,

S n ,若 a2 ? 2 , a1a5 ? 16 .则 S5 ? ▲▲.

答案 31. 32. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理)已知数列 1, a1, a2, a3 , a4 ,4 成

a3 ? a 2 ? b 2 等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 _______.
121

5 答案 2
33. (河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) 若数列 只有有限个正整数 m 使得
? n

? ?an ? 满足: 对任意的 n ? N ,

am<n 成立,记这样的 m 的个数为 (an )? ,则得到一个新数列
? n

?(a ) ? .例如,若数列 ?a ? 是1, 2,3,…,n,… ,则数列 ?(a ) ? 是 0,1, 2,…,n ?1,… .已
n
? a ? n2 ,则 (a5 ) 知对任意的 n ? N , n

?

?

? ? (( a ) ) ? n ,



答案 n2 34. (浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) 数列 的各项按如下规则排列:

{an } 的前 n 项和为 Sn , {a } 且数列 n

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n ?1 , , , , , , , , , ,? , , ,?, ,?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n n


a15 =

,若存在正整数 k ,使

Sk ? 10, Sk ?1 ? 10, 则 k ?



5 答案 6 、 20.
35. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理) 在 ?ABC中,a, b, c分别是?A,?B,?C的对边 且 a, b, c 成等差数列。则 ? B 的范围是

(0, ] 3 . 答案
36 . ( 浙 江 省 诸 暨 中 学 2011 届 高 三 12 月 月 考 试 题 文 ) 由 9 个 正 数 组 成 的 矩 阵

?

? a 11 ? ? a 21 ?a ? 31

a 12 a 22 a 32

a 13 ? ? a 23 ? a 33 ? ?

中,每行中的三个数成等差数列,且

a 11 ? a 12 ? a 13 , a 21 ? a 22 ? a 23 ,

a 31 ? a 32 ? a 33 成等比数列.给出下列结论:①第 2 列中的 a 12 , a 22 , a 32 必成等比数列;②
第1列中的 a 11 、 a 21 、

a 31 不一定成等比数列;③ a 12 ? a 32 ? a 21 ? a 23 ;④若这 9 个数之和
▲ (填写所有正确结论的序号) .

等于 9,则 a 22 ? 1.其中正确的序号有 答案:①②③ 三、简答题

37. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷) 已知 且

{an } 为等比数列,

a3 ? a6 ? 36, a4 ? a7 ? 18.

122

(1)若

an ?

1 {a } S S 2 ,求 n ; (2)设数列 n 的前 n 项和为 n ,求 8 .

?a1 ? 128 ? ? 1 1 q? an ? 128 ? ( ) n ?1 n ?1 ? a ? a1q ,由题意,解之得 ? 2 ,进而 2 答案 解:设 n
1 1 an ? 128 ? ( ) n ?1 ? 2 2 ,解得 n ? 9. (1)由

???3 分

Sn ?
(2)

a1 (1 ? q n ) 1 ? 256[1 ? ( )n ] 1? q 2

1 ? S8 ? 256[1 ? ( )8 ] ? 255. 2

???3 分

38. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) (本小题满分 13 分)在数列{

an }

中,

a1 ?

1 1 bn ? (n ? N ? ) ? a ? a ? an?1 ? an 成立, an 3, 并且对任意 n ? N , n ? 2 都有 n n?1 令 .

(Ⅰ)求数列{

bn }的通项公式 ;

an T (Ⅱ)求数列{ n }的前 n 项和 n .

b1 ?
解: (1)当 n=1 时,

1 ?3 a1 ,当 n ? 2 时,



an ? an?1

1 1 ? ? 1, ? an?1 ? an 得 a n a n ?1 b ? bn?1 ? 1 所以 n

所以数列 所以数列

{bn } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列, {bn } 的通项公式为 bn ? n ? 2

an 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ????8分 n n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 (2)

123

1 1 1 3 1 1 3n 2 ? 5n ? ? ) ? [ ?( ? )] ? ??11分 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4(n 2 ? 3n ? 2) 3 4(n ? 1) ? 2 ? ? 4 4(n ? 1)(n ? 2)
39.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) (本题满分 13 分)

数列

?an ?
a3, a4

n? ? ? 1 2 n? a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? ?1 ? cos2 , n ? 1,2,3 ? ? ? ?an ? 2 sin 3 2 2 ? ? 满足
及数列

(1)求

?an ? 的通项公式;(2)设 S n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,求 S 2 n ;

答案 (本题满分 13 分)

数列

?an ?
a3, a4

n? ? ? 1 2 n? a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? ?1 ? cos2 , n ? 1,2,3 ? ? ? ?an ? 2 sin 2 ? 2 ? 3 满足
及数列

(1)求

?an ? 的通项公式;(2)设 S n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,求 S 2 n ;

解: (1)

?? ? ? 1 a3 ? ?1 ? cos2 ?a1 ? 2 sin 2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 2? 2 ? 3
2? ? 2 4 ? 1 ? 1? 2 2? a4 ? ?1 ? c o 2s ?a2 ? 2 s i n ? ?1 ? ?a2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 3 3 ? 3

----2 分

2n ? 1 ? ? 1 2 2n ? 1 a 2 n?1 ? ?1 ? cos2 ? ? a2 n?1 ? 2 ?a 2 n?1 ? 2 sin a a 3 2 2 ? ? 一般地, 即 2 n?1 - 2 n?1 =2
即数列{

a2n?1 }是以 a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列。? a2n?1 ? 2n ? 1 ----4 分

2n ? 2n 2 ? 1 又 ? a2 m? 2 ? ?1 ? cos2 ? ?a2 n ? 2 sin 2 ? ? a2 n 2 ? 2 3 ? 3

? 2? 2 ? a2 n ? a2 ? ? a ? 3? 即数列{ 2 n }是首项为 a 2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列
?n, n ? 2m ? 1, m ? N ? ? ? n?2 综上可得a n ? ? 2 2 ? ? ?2? ? , n ? 2m, m ? N ? ? ?3? ?
(2)

n ?1

?2? ? 2? ? ?3?

n ?1

--6 分

----8 分

S 2n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? ?a2n?1 ? a2n ? ?a1 ? a3 ? ? ? ? ? a2n?1 ? ? ?a2 ? a4 ? ? ? ? ? a2n ?

124

n ?1 ? n 4 ?2? ? 2? ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? n 2 ? 6 ? 6 ? ? ? ? 3 ? 3? ? ? ? ? ? 3 ? ---13 分

40.(浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) (本小题满分 15 分) 已知数列

{an } , {bn } 中, {an } 为公比 q ? 0 的等比数列,且 S4 ? 20, S8 ? 340, b1 ? 1 ,

bn?1 ? qTn (n ? N*) ,其中 Sn , Tn 分别为数列 {an } , {bn } 的前 n 项和
(I)求数列

{an } 的通项公式;
{bn } 的通项公式;

(II)求数列

(III)求数列

{nbn } 的前 n 项和 H n ;

答案 (本小题满分 15 分)

4 an ? ?2 n ?1 3 (1)

n ?1 ? 1 bn ? ? n?2 3 n?2 ?2? (2)
Tn ?
(3)

1 1 n ?1 ? ( n ? )? 3 2 2

41. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文) (本小题满分 14 分) 已知数列

?an ?是公比为 d

(d ? 1) 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列.

(Ⅰ) 求 d 的值; (Ⅱ) 设数列 试比较

?bn ? 是以 2 为首项, d 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n ,

S n 与 bn 的大小.

答案 (Ⅰ) 解:

? 2a3 ? a1 ? a2 , ? 2a1d 2 ? a1 ? a1d , ? 2d 2 ? d ? 1 ? 0
1 2

? d ? 1, ? d ? ?

n 5 ? 1? ? bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 ? 2? (Ⅱ) 解:
? Sn ? n(b1 ? bn ) ? n 2 ? 9n ? , 2 4

125

? S n ? bn ?

? n 2 ? 9n n 5 ? (n ? 1)(n ? 10) ? (? ? ) ? 4 2 2 4

? n ? 1或n ? 10时, S n ? bn ;

  2 ? n ? 9时,

S n ? bn ;

n ? 11 时, S n ? bn .
42. (重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) (13 分)已知数列 比数列,

{an } 是公比大于 1 的等

Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S3 ? 7 ,且 a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 成等差数列。 {an } 的通项;

(1)求数列 (2)令 答案

bn ? nan , 求数列{bn } 的前 n 项和 Tn .

43. (重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理) (本小题满分 12 分)

设数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,

a1 ? 1, an ?

Sn ? 2(n ? 1), (n ? N * ). n

(1)求数列

{an } 的通项公式 an ;

sn s1 s2 2 ? ? ? ? n ? 1? ? 2011 2 .... ? n (2)是否存在正整数 n 使得 1 ?若存在,求出 n
值;若不存在,说明理由. 答案

126

44.(河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) (本小题满分 12 分) 已知

?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1, a3 , a9 成等比数列. ?an ? 的通项;
bn ? 2an ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn

(I)求数列 (II)记

答案 解:设公差为 d ,则: 解得: d ? 1

(a1 ? 2d )2 ? a1 ? (a1 ? 8d )

? an ? n

bn ? 2 ? n
n

Sn ? 2n ?1 ?

n( n ? 1 ) ?2 2

45. ( 贵 州 省 遵 义 四 中 2011 届 高 三 第 四 次 月 考 理 ) ( 12 分 ) 已 知 数 列

{an } 满 足

a1 ? 0且
(1)求 (2)设

S n ?1 ? 2S n ?

1 n(n ? 1), (n ? N *) 2

a2 , a3 , 并证明: an?1 ? 2an ? n, (n ? N*);(4 分) bn ? an?1 ? an (n ? N*),求证: bn?1 ? 2bn ? 1 ; (4 分) {an }(n ?


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