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圆的方程复习课



圆的方程复习课
佛山禅城实验高中 赵文武

[知识 要 点]

一、圆的定义及方程
平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合

定义 标准 方程

限定条件

(轨迹)
(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心: ( a,b),半径 r x2+y2

+Dx+ Ey+F=0 r>0

一般
方程

D E 圆心: ( - ,- ), D2+E2 2 2 1 2 半径: -4F>0 2 D +E -4F 2

二、点与圆的位置关系 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径r, 若点M(x0,y0)在圆上,则 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ;

2 2 2 若点M(x0,y0)在圆外,则 (x0-a) +(y0-b) >r ;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 若点M(x0,y0)在圆内,则

三、直线与圆的位置关系的判定:
方法1:定义法 判断方法: (1)△>0 直线与圆相交; 方法2:几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△<0 直线与圆没有交点 直线与圆相离. 半径r的大小关系

(d>r) 1、相离 (2)△ = 0 直线与圆相切;

2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点

方法3:代数法
圆C: ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? r ? 0 ? (x 直线l:Ax ? By ? C ? 0
2 2 2

?( x ? a) ? ( y ? b) ? r 直线与圆有两个交点 ? Ax ? By ? C ? 0 ?

3、相交 (d<r)

四、直线与圆相交时弦长的求法:
(1)几何法:用弦心距d,半径r及 半弦构成直角三角形的三边
? AB ? r ? d ?? ? , d为弦心距,r为半径 ? 2 ?
2 2 2

y B r

A

d O

x

(2)代数法:用弦长公式
AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 ? x2
2 2 2

?1? ?1? AB ? 1 ? ? ? ? y1 ? y2 ? 1 ? ? ? ? ?k? ?k?

2

2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 ? y2

五、圆与圆的位置关系:

? O

r1
1

r2 d

? O2
r1

? d O1

r1

r2

? O2

外离 O1O2>r1+r2

外切 O1O2=r1+r2 r2
r1
2

r1

内切 相交 内含 O1O2=︱r1-r2︱ ︱r1-r2︱<O1O2<r1+r2 0≤O1O2<︱r1 -r2︱

? d O1

r2

? O

?dO ? O
1

2

O1 r ? ?2 2 dO

圆与圆的位置关系的判定:
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

外离: O1O2>r1+r2 外切: O1O2=r1+r2 相交:︱r1-r2︱<O1O2<r1+r2 内切: O1O2=︱r1-r2︱ 内含: 0≤O1O2<︱r1 -r2︱ 结合图形记忆

圆心距d (两点间距离公式)

比较d和r1,r2的 大小,下结论

六、共点圆系方程:

过两圆C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0
2 2

和圆C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2

的交点的圆系方程:

?x

2

?? ? ?1?

? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2 2

? ?

?

此圆系方程少一个圆C2

特别地,在该圆系方程 中, 当? ? ?1时,两圆相减得: 方程?D1 ? D2 ?x ? ?E1 ? E2 ? y ? ?F1 ? F2 ? ? 0

为两圆公共弦?相交弦?所在直线的方程。

七、过圆上一点的切线方程:
结论一: 过圆 x ? y ? r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线 2 y 方程是 x0 x ? y0 y ? r
2 2 2

M ( x0 , y0 )
O

x

结论二:

过圆( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2

( 线方程为:x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r .
2

y
M ( x0 , y0 )
(a,b)

O

x

结论三:

过圆x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0上一点( x0 , y0 )的切线 x ? x0 y ? y0 方程为: xx0 ? yy0 ? D ?E ? F ? 0. 2 2 y
2 2

M ( x0 , y0 )

O

x

八、过圆外一点的切线方程:
设切线方程为 y-yo= k(x-xo) 圆心到切线的距离等于圆半径 (1) 利用 _______________________________ 待定 k; 联立方程组消去一元后判别式等于零 (2) 利用 _______________________________ 待定 k; 注:此时切线一般有两条,故 k 有二解, k 不存在 若只求出一解,需考虑 ___________

练习题

1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内 部,则a的取值范围为(
A.(-1,1) C.{1,-1} A

)

B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解:因为(1-a)2+(1+a)2<4,所以-1<a<1,故选A.

2.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那

么这两个圆的位置关系是(
A.相离 B.相交

)
D.内切

C.外切

解析:将圆x2+y2-6x-8y+9=0. 化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16. ∴两圆的圆心距
(0 ? 3) 2 ? (0 ? 4) 2 ? 5,

又r1+r2=5,∴两圆外切. 答案:C

3.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截

得的最长弦所在的直线方程为(
A.3x-y-5=0 C.x+3y-5=0 B.3x+y-7=0 D.x-3y+1=0

)

解析:依题意知,所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两 点式方程得 y ? 2 ? x ? 1 , 即3x-y-5=0. 1 ? 2 2 ?1 答案:A

4.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,

则a的值为(
A.1,-1

)
C.1 D.-1

B.2,-2

解析:圆x2+y2-2x=0的圆心C(1,0),半径为1,依题意得 |1 ? a ? 0 ? 1| ? 1, 即 | a ? 2 |? (a ? 1)2 ? 1, 平方整理得 2 (1 ? a) ? 1 a=-1. 答案:D

5.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0
都相切的直线条数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

解析:两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1, O2:(x-2)2+(y-5)2=16, 圆心O1(-2,2),O2(2,5),半径r1=1,r2=4, ∴|O1O2|=
(2 ? 2) 2 ? (5 ? 2) 2

=5,r1+r2=5.

∴|O1O2|=r1+r2,∴两圆外切,故有3条公切线. 答案:B

6.圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为 (

)

A.(x-2)2+y2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5

B.x2+(y-2)2=5
D.x2+(y+2)2=5

解析:(x,y)点关于(0,0)对称点(-x,-y),则得 (-x+2)2+(-y)2=5,∴(x-2)2+y2=5. 答案:A

7.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(

)

1 A.m ? 2 1 C.m≤ 2

1 B.m ? 2 D.m ? 1

1 1 1 解析 : 将圆的方程配方, 得( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ? m, 2 2 2 1 1 ? ? m ? 0,? m ? . 2 2

答案:B

8.(2010· 上海高考)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到 直线3x+4y+4=0的距离d=________.
解析:∵x2+y2-2x-4y+4=0,∴(x-1)2+(y-2)2=1. |3×1+4×2+4| 圆心(1,2)到3x+4y+4=0的距离为d= =3. 2 2 3 +4

答案: 3

9.(2010· 天津高考)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与

x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程
为____________.
解析:根据题意可知圆心坐标是(-1,0),圆的半径等于 |-1+0+3| = 2,故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2. 2

答案:(x+1)2+y2=2

10.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线
x+y=0上,则圆C的方程为 A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=2 ( ) B.(x-1)2+(y-1)2 =2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

解析:由题知,两切线间的距离即为圆C的直径,所以 1 |4| 半径r= × = 2 ,又两切线分别与直线x+y=0的交 2 2 点为切点,可得两切点分别为(0,0),(2,-2),故圆心 为C(1,-1),所以圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

答案: C

11.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0-4), B(0,-2),则圆C的方程为________.

解析:圆心是AB的垂直平分线和2x-y-7=0的交 点,则圆心为E(2,-3),r=|EA|= 4+1= 5, 则圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2=5.

答案: (x-2)2+(y+3)2=5

12. (2010· 山东高考)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴 的正半轴上, 直线 l: y=x-1 被该圆所截得的弦长为 2 2, 则圆 C 的标准方程为________.

解析:设圆心为(a,0),a>0 则圆心到直线 x-y-1=0 的距离 |a-1| 为 d= . 2 因为圆截直线所得的弦长为 2 2,根据半弦、半径、弦心距 |a-1| 2 之间的关系有( ) +2=(a-1)2,即(a-1)2=4,所以 a= 2 3 或 a=-1(舍去),则半径 r=3-1=2,圆心为(3,0).所以 圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=4.

答案: (x-3)2+y2=4

圆的方程求法: 1.选择方程的原则: (1)若条件与半径、圆心坐标有关,选标准式. (2)若条件与半径、圆心坐标无关选一般式.

2.求法:待定系数法.
(1)利用标准式求a,b,r. (2)利用一般式求D,E,F. 3.注意适时运用几何知识,利用图形的直观性来分析, 从而减少计算量.

13.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的距 离的最大值与最小值的差是 A.36 C.6 2 B.18 D.5 2 ( )

解析:圆半径为3 2 ,圆心坐标为(2,2),它到直线x+y |2+2-14| -14=0的距离为 =5 2 >3 2 ,直线与圆相 2 离,则圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y- 14=0的距离的最大值与最小值的差即为圆的直径6 2.

答案: C

14.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线, 则切线长的最小值为 A.1 C. 7 B.2 2 D.3 ( )

解析:如图所示,设直线上一点P, 切点为Q,圆心为M,则|PQ|即为切 线长,MQ为圆M的半径,长度为1, |PQ|= |PM|2-|MQ|2 = |PM|2-1, 要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线y =x+1上的点到圆心M的最小距离,设圆心到直线y=x +1的距离为d,

|3-0+1| 则d= 2 2=2 2, 1 +?-1? ∴|PM|的最小值为2 2, ∴|PQ|= |PM|2-1≥ ?2 2?2-1= 7.

答案:C

[归纳领悟] 1.研究与圆有关的最值问题时可借助图形的性质数形结 合求解. y-b 2.形如Z= 的形式的最值问题可转化为动直线斜率 x-a 的最值问题. 3.形如Z=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题可转化为动 点到定点距离的平方的最值问题.

15.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方 程是 A.(x-2)2+(y+1)2=1 ( B.(x-2)2+(y+1)2=4 )

C.(x+4)2+(y-2)2=4

D.(x+2)2+(y-1)2=1

解析:设圆上任一点坐标为(x0,y0),则x 2 +y 2 = 0 0 4,连线中点坐标为(x,y),
?2x=x +4, ? 0 ? 则 ?2y=y0-2 ? ?x =2x-4, ? 0 ?? ?y0=2y+2 ?



代入x2+y2=4中得(x-2)2+(y+1)2=1. 0 0

答案:A

16.若圆C:x2+y2-ax+2y+1=0和圆x2+y2=1关于直线 y=x-1对称,动圆P与圆C相外切且与直线x=-1相切,则动圆 P的圆心的轨迹方程是 A.y2+6x-2y+2=0 C.y2-6x+2y-2=0 ( ) B.y2-2x+2y=0 D.y2-2x+2y-2=0

a 解析: C 的圆心为 C(2, 圆 -1). 半 |a| 径为 2 ,依题意,C 与原点关 于直线 y=x-1 对称, -1 ∴ a =-1,解得 a=2, 2

设动圆 P 的圆心坐标为(x,y),由动圆 P 与直线 x=-1 相切得,圆 P 的半径为 x+1,由动圆 P 与 C 外切得 x+1 +1= (x-1)2+(y+1)2,化简得 y2-6x+2y-2=0.

答案:C

17.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,

以OM、ON为两边作平行四边形MONP,O为坐标原 点,求点P的轨迹方程.

解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0), x y 则线段OP的中点坐标为( , ),线段 2 2 x0-3 y0+4 MN的中点坐标为( , ). 2 2 因为平行四边形的对角线互相平分,
?x =x+3, ? 0 x x0-3 y y0+4 故 = , = ,从而? 2 2 2 2 ?y0=y-4. ?

N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P点的轨迹方程为:(x+3)2+(y-4)2=4,但 9 12 21 28 应除去两点:(- , )和(- , )(点P在OM所在的 5 5 5 5 直线上时的情况).

[归纳领悟]
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以 下做法:

1.直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
2.定义法:根据圆、直线等定义列方程. 3.几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.

4.代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点
满足的关系式等. 此外还有交轨法、参数法等.不论哪种方法,充分利用圆

与圆的几何性质,找出动点与定点之间的关系是解题的关键.

18.直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系 是 A.相离 B.相切或相交 ( )

C.相交

D.相切

解析:圆x2+y2-2y=0的圆心是(0,1),半径r=1,则圆 |k| 心到直线l的距离d= 2<1. 1+k 答案:C

19.经过圆x2+y2=10上一点 M (2, 6) 的切线方程是(
A.x ? 6 y ? 10 ? 0 C.x ? 6 y ? 10 ? 0 B. 6 x ? 2 y ? 10 ? 0 D.2 x ? 6 y ? 10 ? 0
, kOM ?

)

解析:∵点

2 2 M (2, 6) 在圆x +y =10上

的切线的斜率为 故切线方程为



6 , 3 6 y? 6 ?? ( x ? 2), 3 k ??

6 ∴过点M , 2

2x ? 6 y ?10 ? 0.

答案:D

20.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m 等于 A. 3或- 3 C.-3 3或 3 B.- 3或 3 3 D.-3 3或 3 3 ( )

解析:圆的标准方程为(x-1)2+y2=3,圆心(1,0)到直 | 3+m| 线的距离等于半径? = 3?| 3+m|=2 3?m 3+1 = 3或m=-3 3.

答案: C

21.已知圆 C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 l:x-y+ 3=0,当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3时,a 等于 ( ) A. 2 C. 2-1 B.2- 2 D. 2+1

解析:∵圆 C 的半径为 2,且直线 l 被圆 C 截得的弦长 |a-2+3| 为 2 3,∴圆心到直线 l 的距离为 1,即 d= 2 =1(a>0),∴a= 2-1.

答案:C

22.已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,

C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程
是________.

解析:两圆相减即得:x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0

23.两圆x2+y2-6x+6y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0
公切线的条数是__________.
解析:两圆圆心距d= 74< 66+ 64 ∴两圆相交,故有2条切线.

答案:2

24.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共 弦长为 2 3,则 a=________.
解析:两圆方程作差易知弦所在直线 1 方程为:y=a, 如图,由已知|AC|= 3,|OA|=2. 1 有|OC|=a=1,∴a=1.

答案:1

25.若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相 交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段

AB的长度是________.
解析:由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直,则两切 线分别过另一圆的圆心,所以O1A⊥OA. 又∵|OA|= 5,|O1A|=2 5,∴|OO1|=5,而A、B关 于OO1轴对称,所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍, 5×2 5 即|AB|=2× =4. 5

答案:4

26.(2010· 四川高考)直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、 B两点,则|AB|=________.

解析:圆心到直线x-2y+5=0的距离为d= 5,则弦|AB|=2 8-5=2 3.

5 1+4



答案:2 3

27.(2010· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+

y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,
则实数c的取值范围是________.
解析:因为圆的半径为2,且圆上有且仅有四个点 到直线12x-5y+c=0的距离为1,即要求圆心到 |c| 直线的距离小于1,即 2 2<1,解得 12 +?-5? -13<c<13.

答案:(-13,13)

28.求过P(5,-3),Q(0,6)两点,并且圆心在直线l:2x-3y-6=0上的 圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将P(5,-3),Q(0,6)代入得 5D-3E+F=-34①

6E+F=-36②
又∵圆心
(? D E ,? ) 2 2

在直线2x-3y-6=0上,

∴2D-3E+12=0③

联①②③组成方程组得 D=-38,
E?? 64 F=92 , 3

∴所求圆的方程为

64 x ? y ? 38 x ? y ? 92 ? 0. 3
2 2

29.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,从圆C外一点P向圆引一条切 线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求|PM|的最小 值. 解:如图:PM为圆C的切线,则CM⊥PM,∴△PMC为直角三角 形,∴|PM|2=|PC|2-|MC|2.

设P(x,y),C(-1,2), ∵|PM|=|PO|,

| MC |? 2.

∴x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-2,化简得点P的轨迹方程为:2x4y+3=0. 求|PM|的最小值,即求|PO|的最小值,即求原点O到直线2x4y+3=0的距离,代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小

值为 3 5 .
10

30.(2008·江苏高考题)设平面直角坐标系xOy中,二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点,经过这 三个交点的圆记为C.

(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

解:(1)f(0)=b,则函数f(x)的图象与y轴的交点是(0,b).则b≠0. 令f(x)=0,得x2+2x+b=0, 则关于x的方程x2+2x+b=0有两个不等的实数根,所以Δ=4-

4b>0,解得b<1,
所以实数b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1).

(2)设圆C的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,则 D=2,F=b.

令x=0,得y2+Ey+F=0,
则关于y的方程y2+Ey+F=0有且只有一个实数根b,则

b2+Eb+b=0.
又b≠0,所以E=-1-b. 所以圆C的方程x2+y2+2x+(-1-b)y+b=0.

(3)圆C的方程可化为(x2+y2+2x-y)-b(y-1)=0. 圆C经过的定点是圆x2+y2+2x-y=0和直线y-1=0的交点,
?x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0, 解方程组 ? ? y ? 1 ? 0, ?x ? 0 ?x ? ?2, 得? 或? ? y ? 1 ? y ? 1,

所以经过定点(0,1),(-2,1).

31.一个圆与y轴相切,圆心在直线x ? 3y ? 0 上,且在直线y ? x上截得的弦长为2 7,求此圆的方程.
y

B M A

y=x x-3y=0
x

o

解析:设此圆的圆心坐标为M (a,b),半径为r. 因为圆心在直线x ? 3y ? 0上,所以a ? 3b. 又圆与y轴相切,所以r 2 ? a 2 . 所以所求圆的方程可设为? x ? 3b ? ? ? y ? b ? ? ? 3b ? .
2 2 2

因为圆在直线y ? x上截得的弦长为2 7, 所以圆心到直线y ? x的距离 | 2b | d? ? r 2 ? ? 7 ?2 ? 9b 2 ? 7, 2 解得b ? 1或b ? ?1. 则a ? 3或a ? ?3. 所以所求圆的方程为? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9或 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9.
2 2 2 2

32:已知方程x 2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? m ? 0.

?1? 若此方程表示圆,求m的取值范围; ? 2 ? 若 ?1?中的圆与直线x ? 2y ? 4 ? 0相交于M,N 两点,
且OM ? ON (O为坐标原点),求m的值;

? 3? 在 ? 2?的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
解析: ?由D 2 ? E 2 ? 4F ? 0,得4 ? 16 ? 4m ? 0,得m ? 5. ?1 故m的取值范围是(??,. 5)

? 2 ? 设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),
由x1 ? 4 ? 2 y1,x2 ? 4 ? 2 y2, 得x1 x2 ? 16 ? 8 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 .

因为OM ? ON,所以x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 则16 ? 8 ? y1 ? y2 ? ? 5 y1 y2 ? 0. ?*? ?x ? 4 ? 2 y 由? 2 ,得5 y 2 ? 16 y ? m ? 8 ? 0, x ? y2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ?

16 8? m 所以y1 ? y2 ? ,y1 y2 ? . 5 5 8 8 代入 ?*? 得m ? ,此时? ? 0,所以m ? . 5 5 8 16 ? 3?由? 2 ? 可得x1 ? x2 ? 8 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? ,而y1 ? y2 ? , 5 5 4 8 又因为OM ? ON,设MN的中点为P ( , ), 5 5 4 8 则圆的半径为OP ? ( ) 2 ? ( ) 2 . 5 5 8 16 2 2 故所求圆的方程为x ? y ? x ? y ? 0. 5 5

33. 自点A(?3,3)发出的光线l射到x轴上, 被x轴反射,其反 射线所在直线与圆x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0相切, 求光线 l的方程.
A(?3,3)
y

解:圆心C1 (2, 2), 半径r ? 1

C1

则圆C1关于x轴对称的圆C2为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

o
C2

x

设过A点且与圆C2相切的直线为y ? 3 ? k ( x ? 3)或x ? 3
即kx ? y ? 3k ? 3 ? 0或x ? 3, 经检验x ? 3不符合要求 |2k ? 2 ? 3k ? 3 | 3 4 ? ? 1???解得k ? ? 或k ? ? 2 4 3 k ?1 ?光线l的方程为3x ? 4 y ? 3 ? 0或4 x ? 3 y ? 3 ? 0

34.如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点

P分别作圆O1,圆O2的切线PM?PN(M,N分别为切点),
使得 PM ?

2PN

建立平面直角坐标系,并求

动点P的轨迹方程.

解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直 角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).

由已知

PM ? 2PN , 得PM2=2PN2,

因为圆的半径为1,所以: PO21-1=2(PO22-1), 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

? 35. 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台 风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P 处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭 的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速 度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

35.解:如图建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向. 在t时刻: (1)台风中心P( x, y )的坐标为
? 2 2 x ? 300? ? 20 ? t, ? ? 10 2 ? ? y ? ?300? 7 2 ? 20 ? 2 t. ? 10 2 ?

此时台风侵袭的区域是 ( x ? x) ? ( y ? y) ? [r (t )] ,
2 2 2

其中 r (t ) ? 10t ? 60, 若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有

(0 ? x) ? (0 ? y) ? (10t ? 60) .
2 2 2

即 (300? 2 ? 20 ? 2 t ) 2 ? (?300? 7 2 ? 20 ? 2 t ) 2 10 2 10 2

? (10t ? 60) 2 ,即t 2 ? 36t ? 288 ? 0, 解得 ? t ? 24 12
答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

36.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4
和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 (1)若直线

l

过点 A(4,0) ,且被圆

C1 截得的弦长为

2 3 ,求直线 l 的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对 互相垂的直线,l 和l 它们分别与圆 C1 和圆 C 1 2 2 相交,且直线 被圆

l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2
y

C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件
. .

的点P的坐标.
1 O

1

x

7 解:(1) y ? 0 或 y ? ? ( x ? 4) 24


(2)P在以C1C2的中垂线上,且与C1、C2等腰
直角三角形,利用几何关系计算可得点P坐标

5 1 3 13 为 (? , ) 或 ( , ? ) 2 2 2 2
.
。 1 O

y

.

1

x

知识探究:直线与圆的方程在平面几何中的应用

37.已知内接于圆的四边形的对角线 互相垂直,求证:圆心到一边的距 离等于这条边所对边长的一半.
B C O M A

N

D

如图所示建立直角坐标系,设 四边形的四个顶点分别为点 A(a,0),B(0,b),C(c,0), D(0,d),那么BC边的长为多少?
B
C o M N D y A x

思考:由上述计算可得|BC|=2|MN|,从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗? B
C M A

E
D

N



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