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24 圆(复习)第五课时



人教版义务教育教科书 数学九年级上册
第二十四章圆(复习)

寒葱沟镇中学 孙元成

2114.2.3

第五课时 圆周角

圆心角、弦、弧、弦心距、

前四组量中有一组量相等,其余各组量也相等; 注意:圆周角有两种情况 圆周角的推论应用广泛 ⌒ 1. ⊙O中,B为AC的中点,BD为AB的延长线, ∠OAB=50°,求∠CBD的度数。
C O

·
B D

A

2.在⊙O中,半径OA⊥OB,
⌒ ⌒ ⌒ AC=CD=DB,AB交OC于E,交 OD于F.求证:AE=CD=BF
A C D B O

·

3. ⊙O1与⊙O2为等圆,M是O1O2 的中点,过M作一直线交⊙O1于A、 B ,交⊙O2于C、D 。 ⌒ ⌒ 求证:AB=CD
B

D O1

·
E

C A M

F

· O

2

A

4. 如图,∠BAC=50°,则 ∠D+∠E=__________ 230° 5.在Rt△ ABC中,AB=6, BC=8,则这个三角形的外 接圆直径是___________ 10或8

D

E
O B

·
C

6.已知,点O是△ ABC的外 心,∠BOC=130°, 则∠A的度数为________ 。 65或115 °

A C B

A O · C B

· O

? 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线 都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性,即圆绕圆心旋转任 意一个角度α,都能与原来的图形重合。

圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD,EF⊥CD, 你能得到什么结论? E
A

弧AE=弧BF
C
O

D
B F

7. 在⊙O中,弦AB所对的圆心角∠AOB=100°,则弦 AB所对的圆周角为______________. 8. ⊙C通过原点,并与两坐标轴分别相交于A、D两点, 已知∠OBA=30°,点D的坐标为(0,2),则点A的 坐标为_________,点C的坐标为__________.
y D C B

·
A x

O

9. AB是△ABC外接圆⊙O的直径,D为⊙O上一点, 且DE⊥CD,交BC于E,求证:EB· CD=DE· AC
A C D O E

·

B

圆心角:顶点在圆心的角。
(如:∠AOB)
A

弦心距:从圆心到弦的距离。
(如:OC)
B

O

C

题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 ( 条 件 ) 圆 心 角 相 等

结论
圆心角所对的弧相等, 圆心角所对的弦相等, 圆心角所对弦的弦心距相等。

( )

推论 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。

角的顶点 在圆心
F D C
O

圆心角:如∠BOA
圆内角:如∠BCA 圆外角:如∠BFA 圆周角:如∠BDA
?角的顶点在圆周上 ?是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
A

B

B

C

C A
C

A

O

O
O

B

A

B

圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.

一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
C
C

C

O B

化 归
A

O A B

化 归

O

A B

分类讨论

完全归纳法

圆周角定理

C

1、已知∠AOB=75°, 求: ∠ACB
A

C

O

2、已知∠AOB=120°, B 求: ∠ACB
3、已知∠ACD=30°,求: ∠AOB

O A

B

C O D A

4、已知∠AOB=110°,求: O B ∠ACB

B

A

C

? 定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。 ? 也可以理解为:一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。

推论
? 弧相等,圆周角是否相等?反过来呢? ? 什么时候圆周角是直角?反过来呢? ? 直角三角形斜边中线有什么性质?反过 来呢?

C

同弧所对的圆 如图,比较∠ ACB、∠ADB、∠AEB 的大小 周角相等
E

D A

E

O B

A

O B

F D

等弧所对的圆周角相等; 如图,如果弧 AB=弧CD,那么∠E 在同圆中,相等的圆周角 和∠ F是什么关系?反过来呢?
所对的弧也相等
E O1 C A D O2

C

如图,⊙O1和⊙O2是等圆, 等圆也成立 如果弧AB=弧CD,那么∠E 和∠F是什么关系?反过来 呢?

F

B

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
思考: 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉? 2、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B

C

E
O A D B

A

O

D
C

F

推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°; 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半,那么这个三角形是直角三角形。
C E D A O B

? 什么时候圆周角是直角? 反过来呢? ? 直角三角形斜边中线有什 么性质?反过来呢?

已知:点O是ΔABC的外心, ∠BOC=130°,求∠A的度数。
C

C

A

O A B

O

B



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